Matemática Computacional SLIDE 1I Professor Júlio Cesar da Silva juliocesar@eloquium.com.br site: http://eloquium.com.br/ twitter: @profjuliocsilva facebook: https://www.facebook.com/paginaeloquium Google+: http://goo.gl/rtfdhn
Introdução a lógica Lógicas clássicas e Não Clássicas Dois são os métodos principais para se tratar de um sistema lógico: 1. Linguístico 2. Algébrico
Introdução a lógica Lógicas clássicas e Não Clássicas Do prisma linguístico, uma lógica (ou sistema lógico) é uma classe de técnicas que nos permitem derivar novas proposições de conjuntos dados de proposições. Por meio de uma lógica, podemos efetuar inferências e edificar teorias. Com auxílio da lógica obtêm-se conclusões de dadas premissas e, ademais, pode-se deduzir consequências dos princípios básicos que definem uma ciência. Hoje, existem infinitas lógicas possíveis.
Proposição
Elementos da Linguagem FRASE é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo: Declarativa: O sol é uma estrela Imperativa: Não faça isto! Interrogativa: Onde você mora? Exclamativa: Parabéns!!!
Elementos da Linguagem PROPOSIÇÃO é uma frase declarativa a qual pode ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos: Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos: O Japão fica na África O Brasil não é uma ilha 3+4=7 Não são preposições: 3+4 (não tem predicado) onde você vai? (interrogativa)
Elementos da Linguagem Proposições simples serão representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto: p: O México fica na América do Norte q: O número 16 é primo.
Proposição A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios: 1. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira (V) e falsa (F). 2. Princípio do terceiro excluído: Toda preposição ou só é verdadeira (V) ou só é falsa (F). Logo, toda preposição admite um e um só dos valores V e F.
Proposição Por virtude do princípio anterior diz-se que a Lógica Matemática é uma lógica bivalente.
Proposição
Exercícios Verifique se os exemplos abaixo são proposições e se forem qual o seu valor lógico: A. A copa do mundo em 2014 será realizada na Alemanha. B. 3-5 C. 32 = 9 D. 3,5 > 2,9
Classificação das Proposições As proposições podem ser classificadas em simples (ou atômicas) e compostas (ou moleculares)
Classificação das Proposições Proposições Simples - definição: Chama-se proposições simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma. As proposições simples são designadas com letras minúsculas (p, q, r, s) chamadas de letras proporcionais. Exemplo: p: Carlos é aluno do Pitagoras. r: O número 25 é quadrado perfeito.
Classificação das Proposições Proposição composta - definição: Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas são designadas por letras maiúsculas (P,Q,R) também chamadas de letras proporcionais. Exemplo: P: Carlos é aluno e Julio é professor Q: Dois é um numero par e três é um numero impar.
Classificação das Proposições As proposições compostas também são chamadas de fórmulas preposicionais ou apenas fórmulas. Em alguns casos pode-se também dizer que uma proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r, escrevese desta forma: P(p,q,r,.)
Conectivos Chama-se de conectivos, palavras que usadas para formar novas proposições a partir de outras. Conectivos usuais: Exemplos: e, ou, não, se...então,...se e somente se... 1. P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 2. Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isóceles. 3. r: Não está chovendo. 4. S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática. 5. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
Exercícios Classifique as proposições como simples ou compostas, justifique a sua resposta indicando o conectivo: 1. p: Pedro é estudante. 2. q: A Beija-Flor foi a escola de samba campeã no carnaval do Rio em 2008. 3. Q: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 4. R: O programa é bom ou a internet é lenta.
Conectivos
Representações
Operações: Negação
Operações: conjunção
Operações: disjunção
Operações: disjunção
Operações: disjunção
Operações: condicional
Operações: bicondicional
Prioridades
Valor Lógico Valor lógico de uma proposição composta Dada uma proposição composta P(p,q,r), pode-se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições p,q,r Sendo p = V e q = F determine: P(p,q) = ~(p q) ~p ~q ~(V F) ~(V) ~(F) ~(V) F V F F V
Resolução de Tabelas-Verdade Exemplificação P(p,q) = ~(p ~q) ou P = ~(p ~q) Numero de proposições simples: 2 Numero de linhas da tabela: 2 2 = 4 p q ~q p ~q ~(p ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V
Exercícios Construa a notação e a tabela verdade para as seguintes proposições: 1. p 2. A casa é azul. 3. Ronaldo ganhou um carro e viajou para londres. 4. Se a figura é um quadrado então possui 4 lados e 4 ângulos. 5. Ela gosta de matematica se e somente se for fácil.
Exercícios Sendo p = A capital do Brasil é São Paulo e q = 2+4 > 5, determine os valores lógicos das seguintes proposições: A. Q = p q B. R = p q C. S = q p D. U = ~(q p) E. O = ~q (p q) F. Z = ~q ~(q q)
Exercícios Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: A. Roma é a capital do Brasil ou 2+3 = 6 B. 13 é um número primo e 4 x 3 = 12 C. -2 >0 2 é primo D. p q para p = V e q = F E. p ~q para p = F e q = V F. ~p q para p = V e q = V
Exercícios Exercícios - Determine as tabelas-verdade A. P(p,q) = ~(p q) B. P(p,q) = ~(q p) C. P(p,q) = ~(p q) ~(q p) D. P(p,q) = ~(p q) ~(q p) E. P(p,q) = (p q) (q p) F. P(p,q) = ~(p q) ~(q p)
Tautologias
Contradições
Indeterminação
Exercícios Ve r i fi q u e s e a s s e g u i n t e s proposições lógicas são Tautologias, Contradições ou Indeterminações: A. p ~(p ~q) B. p (q ~q) p C. (p q) ~(p q) D. p q (p q r)
Exercícios Sabendo que as proposições x = 0 é falsa e que a proposição y = z é verdadeira. Determine o valor lógico da proposição composta: A. Q: (x 0) v (x y) y z B. R: (x = 0) v (x y) y = z
Implicações Lógicas
Equivalência Lógica
Equivalência Lógica
Equivalência Lógica
Equivalência Lógica
Equivalência Lógica
Exercícios Exercícios - Mostrar que: A. q p q B. q p q p C. (x=y x<4) x 4 x=y Exercícios - Verifique a implicação na condicional abaixo: D. (x 0 x=y) x y x=0
Exercícios Demonstrar por tabelas-verdades as seguintes equivalências: A. p (p q) p B. p (p q) p C. p p q p q D. q p q p q E. (p q) r p ~r ~q
Exercícios Qual a negação das frases abaixo? A. Frederico é inteligente e sabe nadar. B. Bruno comprou um carro ou investiu na bolsa de valores. C. É medico e professor. D. Rosas são vermelhas ou violetas não são azuis.
Bibliografia