Exemplo (U(n)) Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a multiplicação módulo n é uma operação binária associativa em U(n) e que 1 é o elemento neutro. Além disso, sabemos que um inteiro a tem inverso (multiplicativo) módulo n se e só se a e n são primos entre si, pelo que qualquer elemento de U(n) tem inverso em U(n) para a multiplicação módulo n. Assim, U(n) com a multiplicação módulo n é um grupo. Quando nada for dito em contrário, U(n) será considerado munido da multiplicação módulo n. Note-se que, pelo modo como definimos ϕ(n), U(n) tem ϕ(n) elementos. Exercício Construa a tabela de Cayley para U(8). Exemplo Para n 3, D n, o conjunto das simetrias de um n-ágono regular com a composição é um grupo com 2n elementos. (Verifique-o para o exemplo do quadrado considerado antes.) Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 110 / 132
Definição (Grupo abeliano) Um grupo G diz-se comutativo (ou abeliano) se, para quaisquer dois elementos a, b G, se tem ab = ba. Exemplo Dado um inteiro n 3, U(n) é abeliano, enquanto que D n não é abeliano. Nota O facto de a multiplicação num grupo G ser associativa permite que usemos a notação a n para representar, sem ambiguidade, o produto aa a }{{} n vezes onde a G e n é um inteiro positivo. Definimos a 0 como sendo o elemento neutro de G e, para n um inteiro positivo, a n como sendo (a 1 ) n. Com esta notação, valem as leis dos expoentes. Claro que quando estamos a usar notação aditiva, em vez de potências usamos múltiplos. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 111 / 132
Definição (Ordem de um grupo) O número de elementos de um grupo finito G diz-se a ordem de G e representa-se por ord G (ou G ). De um grupo com uma infinidade de elementos diz-se ter ordem infinita. Por exemplo, o conjunto 2Z dos inteiros pares com a adição é um grupo de ordem infinita. O grupo U(8) = {1, 3, 5, 7} com a multiplicação módulo 8 é um grupo de ordem 4. Definição (Ordem de um elemento) A ordem de um elemento g de um grupo G é o mais pequeno inteiro positivo n tal que g n = e. Se não existir um tal inteiro, dizemos que g tem ordem infinita. A ordem de um elemento g de um grupo é denotada por ord g. O elemento neutro de um grupo é o único elemento de ordem 1. Todos os elementos de U(8) têm ordem menor ou igual que 2. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 112 / 132
Subgrupos Definição (Subgrupo) Pode acontecer um subconjunto H de um grupo G ser ele próprio um grupo, com a mesma operação (mais precisamente, com a operação induzida). Dizemos nesse caso que H é um subgrupo de G e usamos a notação H G. O grupo Z n com a adição módulo n não é um subgrupo do grupo Z com a adição, pois a operação usada não é a mesma. É claro que um grupo é um subgrupo de si próprio. Para indicar que H é um subgrupo de G diferente de G usamos a notação H < G. Dizemos neste caso que H é um subgrupo próprio de G. É também claro que o conjunto reduzido ao elemento neutro e de um grupo G é um subgrupo de G. Dizemos que {e} é o subgrupo trivial de G e que qualquer outro subgrupo é não trivial. Para verificar se um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo de G não é necessário verificar todos os axiomas de grupo. Veremos a seguir alguns critérios bastante simples. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 113 / 132
Proposição Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Então, H é um subgrupo de G se e só se ab 1 H, para quaisquer a, b H. Demonstração. Claro que se H é um subgrupo de G, então ab 1 H, sempre que a, b H. Resta demonstrar que o recíproco também vale. Como a operação em H é a mesma que a considerada em G, ela é associativa. Vejamos agora que e H. Seja x H (note-se que H é não vazio, por hipótese). Então e = xx 1 H. Seja agora x H e vejamos que x 1 H. Para isso basta tomar a = e e b = x no enunciado da proposição. Resta provar que H é fechado para a operação em causa. Sejam então x, y H. Já sabemos que y 1 H. Logo, xy = x(y 1 ) 1 H. Resulta da demonstração que a condição de H ser não vazio pode ser substituída, com vantagem, por e H. Note-se que se mostrarmos que e / H fica automaticamente provado que H não é um subgrupo. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 114 / 132
A proposição seguinte (de demonstração simples a partir da anterior) envolve mais um passo na verificação de que um subconjunto dado é um subgrupo, mas é frequentemente usada. Proposição Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Então, H é um subgrupo de G se e só se, para quaisquer a, b H, tanto ab como a 1 pertencem a H. Exercício Demonstre a proposição anterior. Exercício Seja G um grupo abeliano com identidade e. Mostre que tanto H = {x G x 2 = e} como K = {x 2 x G} são subgrupos de G. Exemplo Seja G o grupo dos números reais não nulos com a multiplicação. H = {x G x = 1 ou x é irracional} não é um subgrupo de G, pois não é fechado para a multiplicação. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 115 / 132
Existe ainda um outro critério de subgrupo, o qual só é válido para subconjuntos finitos. Para ser subgrupo, basta que o subconjunto seja não vazio e fechado para a operação em causa. Proposição Sejam G um grupo e H um subconjunto finito e não vazio de G. Então, H é um subgrupo de G se e só se, para quaisquer a, b H, ab pertence a H. Demonstração. Basta provar que a 1 H, sempre que a H. Se a = e, então a 1 = e e está provado. Se a e, consideramos a sucessão a, a 2,.... Como H é fechado para a multiplicação, todos estes elementos pertencem a H e, por H ser finito, não podem ser todos distintos. Suponhamos que a i = a j, com i > j. Então a i j = e. Como a e resulta que i j > 1. Tem-se aa i j 1 = a i j = e, donde resulta que a i j 1 = a 1. Como i j 1 > 0, a i j 1 H. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 116 / 132