LCE 5806 Estatística Matemática I Profa. Roseli Aparecida Leandro

LCE 5806 Estatística Matemática I Profa. Roseli Aparecida Leandro 1 Experimentos, espaço amostral, eventos Um dos objetivos de um estatístico é tirar conclusões sobre uma população de objetos através da condução de um experimento. Os experimentos podem ser classificados em: { Determinísticos Experimentos determínisticos: Aleatórios São aqueles que repetidos, sob as mesmas condições, conduzem ao mesmo resultado. Experimentos aleatórios: São aqueles que ao serem repetidos, sob as mesmas condições, não produzem o mesmo resultado. O estatístico está preocupado com os experimentos aleatórios. Exemplo 1.1. E 1 E 2 E 3 E 4 : Lançamento de uma moeda. : Lançamento de um dado. : Lançamento de duas moedas. : Plantar duas estacas e verificar o enraizamento

2 E 5 E 6 E 7 E 8 E 9 E 10 : Lançamento de dois dados. : Número de ovos de determinada lagarta. : Selecionar um morador da cidade de Piracicaba e medir sua altura. : Observar o tempo de vida de indivíduos. : Observar a produção de um talhão. : Observar o tempo de vida de lâmpadas Definição 1.1. Associado a cada experimento, E, pode-se associar um espaço amostral, Ω, o conjunto de todos os resultados possíveis. Que dependendo da natureza do experimento poderá não ser único. Exemplo 1.2. E 1 : Lançamento de uma moeda. Ω = {cara, coroa} E 2 : Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E 3 : Lançamento de duas moedas. Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} E 4 : Plantar duas estacas e verificar o enraizamento Ω = {(e, e), (e, ē), (ē, e), (ē, ē)}, e= enraizar, ē=não enraizar

3 E 5 : Lançamento de dois dados. Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } E 6 : Número de ovos de determinada lagarta. Ω = {0, 1, 2, 3, 4,...} E 7 : Selecionar um morador da cidade de Piracicaba e medir sua altura. Ω = {x R : x 0} E 8 : Observar o tempo de vida de indivíduos. Ω = {t R : t 0} E 9 : Observar a produção de um talhão. Ω = {x R : x 0} E 10 : Observar o tempo de vida de lâmpadas Ω = {t R : t 0} Às vezes o espaço amostral de um experimento não é tão fácil de ser definido. Por exemplo no experimento 7, quais os resultados possíveis deste experimento? Números reais entre 0 e?. Supondo que não exista uma altura máxima, talvez seja razoável fazer Ω = (0, ). Mas é evidente que esse conjunto contém resultados impossíveis, tais como um milhão ou um bilhão de metros. Outros candidatos para Ω seriam, por exemplo, os intervalos limitados

4 (0, 3) e [1/10, 3]. Os dois intervalos contêm, aparentemente, todos os resultados possíveis do experimento. Esta propriedade já é suficiente para nossos propósitos, e podemos escolher qualquer desses intervalos (incluindo (0, )) para o espaço amostral. O importante, então, é que Ω contenha todo resultado possível. A importância do espaço de resultados provém, sobretudo, de ser o meio empregue para a definição de eventos. Há, em regra, muito mais interesse nos acontecimentos e nas famílias de acontecimentos de que nos elementos do espaço amostral. Definição 1.2. Qualquer subconjunto do espaço amostral Ω será chamado evento e será denotado por: A, B, C,.... Existe um paralelismo perfeito entre álgebra de conjuntos e álgebra de eventos (e ou acontecimentos) Se A e B são incompatíveis a intersecção não é possível. Contorna-se essa dificuldade introduzindo a noção de acontecimento impossível como resultado da intersecção de dois acontecimentos incompatíveis; a noção vem em correspondência com a de conjunto vazio na álgebra de conjuntos e por isso se representa pelo mesmo símbolo,. Assim, A e B, são incompatíveis se e só se, A B =. O acontecimento, Ω, costuma designar-se por acontecimento certo. 1.1 Eventos elementares Suponha que um experimento seja realizado sob certas condições fixas. Seja Ω o conjunto de todos os resultados possíveis, onde por resultado possível entende-se resultado elementar e indivisível do experimento. Exemplo 1.3. Considerando-se o experimento E 1 temos Ω = {cara, coroa} e os pontos amostrais ou eventos elementares associados são: {cara} e {coroa}. Exemplo 1.4. No experimento E 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os eventos elementares (ou pontos amostrais) associados são: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Note que o evento: sair resultado par, ou seja, A = {2, 4, 6} não é um evento elementar e sim a união finita dos eventos elementares: {2}, {4}, {6}.

5 No experimento E 6 os eventos elementares são: {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},.... Nem sempre é fácil definir quais são os eventos elementares. Quais os eventos elementares associados aos experimentos: E 7, E 8, E 9, E 10? Devemos observar a existência de dois tipos de espaço amostral, Ω: finito ou infinito; enumerável ou não-enumerável. Todo conjunto finito é enumerável. Mas nem todo conjunto infinito é não-enumerável. No caso de espaço finito ou infinito enumerável diz-se que o espaço amostral é discreto quando o espaço amostral for infinito não-enumerável tem-se um espaço amostral contínuo. Pode-se mostrar que intervalos da forma: (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] são não-enumeráveis já conjuntos que possuam uma associação biunívoca com os naturais são enumeráveis. Dessa forma, os espaços amostrais caracterizados pelos experimentos descritos podem ser classificados como: Experimentos Espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 finito enumerável discreto 6 infinito enumerável discreto 7, 8, 9, 10 infinito não-enumerável contínuo Quais são os eventos elementares em um espaço amostral cujo espaço amostral é contínuo? Por exemplo, considerando-se os espaços amostrais associados aos experimentos 7, 8, 9 e 10 quais conjuntos serão seus eventos elementares? Resposta: Os eventos elementares associados a esses espaços amostrais são, por exemplo, os intervalos da forma: (a, b] = {x R : a < x b} (1.1) pois qualquer evento A Ω poderá ser escrito como união ou intersecção enumerável ou diferença de conjuntos como os definidos em (1.1). Por exemplo, subconjuntos (eventos) de R ( i) Ponto: {x} = n (x 1n ], x

6 ( ii) Intervalo fechado: [a, b] = {a} (a, b] (iii) Intervalo aberto à esquerda: [a, b] {b} (viii) Quaisquer outros subconjuntos de R poderão ser expressos através de um número enumerável de operações dos conjuntos mencionados nos itens (i) a (iii). 2 Probabilidades 2.1 Interpretação clássica de Probabilidades A primeira definição de probabilidade conhecida, parece ser devida a DeMoivre em 1718, e foi claramente explicitada por Laplace no princípio do século XIX. Laplace adotou o esquema de resultados eqüiprováveis, isto é, dos resultados igualmente prováveis, comuns às aplicações até então esboçadas para definir probabilidade de um acontecimento como: a relação entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número total de casos possíveis, supondo todos os casos igualmente possíveis. Admite-se, historicamente que, a motivação para a definição do conceito de probabilidades foram baseadas em jogos de azar dessa forma não causa surpresa o fato de que o conceito de Laplace seja baseado nas propriedades de tais jogos: possibilidade de classificar a priori todos os resultados possíveis num número finito de casos mutuamente exclusivos, simétricos e igualmente possíveis, como, os dois lados da moeda, as seis faces do dado, as 52 cartas do baralho etc. Apesar das críticas que lhe foram dirigidas a interpretação clássica manteve a sua força até o começo do século XX. Admitido-se o princípio dos casos igualmente possíveis, o cálculo de probabilidades resumese na contagem do número de casos favoráveis e do número de casos possíveis. Essa contagem, nem sempre fácil, encontra poderoso auxiliar na análise combinatória. Exemplo 2.1. Considerando-se A Ω um evento qualquer associado ao espaço amostral do experimento E 2. Podemos atribuir probabilidade ao evento A da seguinte maneira: P (A) = #A 6 = Número de resultados favoráveis a A Número de resultados possíveis

7 Esta é definição a clássica de probabilidade quando Ω é finito, e baseia-se no conceito de resultados eqüiprováveis, ou melhor, no princípio da indiferença (estamos indiferentes diante dos resultados 1, 2, 3, 4, 5, 6; logo, definimos P (i) = 1 i Ω). Então, para esse 6 experimento todo evento terá uma probabilidade. 2.1.1 Críticas a definição clássica Várias críticas são feitas ao conceito clássico de probabilidades: ( i) O que são casos eqüiprováveis? Na falta de definição admitir que é um conceito primitivo? ( ii) Como reconhecer que os casos são eqüiprováveis? A saída parece ser aceitar que algum princípio apriorístico suporta tal reconhecimento. Nesses casos é comum admitir um dois princípios a seguir: ( a) princípio da indiferença que faz apelo às propriedades de simetria ou de homogeneidade da situação experimental. Se o dado é perfeito porque seriam uma das faces preferidas em detrimento de outras? ( b) princípio da razão insuficiente: se não há razão para crer que qualquer dos casos é mais provável do que os outros pode-se admitir que todos os casos são igualmente prováveis. (iii) É bem sabido que não há moedas perfeitas, dados perfeitos, gases perfeitos, água pura etc, que perfeição além do conceito não existe. Consequentemente o conceito clássico é muitas vezes aplicado em situações idealizadas e não consegue vencer a dificuldades levantadas quando os casos não são igualmente possíveis. ( iv) Finalmente como calcular probabilidades quando o número de casos possíveis não é finito nem sequer enumerável?

8 Apesar de todas as críticas não resta dúvida que a interpretação clássica é aplicável sempre que a simetria dos problemas a justifique, e, de fato há numerosos caso em que tal propriedade pode ser aceita. A verdade é que se trata de um modelo probabilístico particular dentro da teoria axiomática a ser desenvolvida, de grande utilidade quando ajustado a uma realidade concreta. 2.2 Interpretação Frequentista de Probabilidades A interpretação frequentista (Venn, von Mises, Reichenbach, Salmon etc) foi adotada de forma quase unâmime pelos estatísticos durante a primeira metade do século XX e é ainda hoje considerada correta pela maioria, apesar de, ter havido uma crescente aceitação da interpretação Bayesiana na segunda metade do século XX. Sustenta que a probabilidade de um acontecimento pode ser medida observando-se a frequência relativa do mesmo acontecimento numa sucessão numerosa de provas ou experiências, idênticas e independentes. Uma das primeiras abordagens da interpretação frequentista deve-se a Venn (1866) ao formalizar a idéia de exprimir probabilidade em termos de limite de frequências relativas em longas sequências de situações independentes capazes de repetição em condições idênticas. 2.2.1 Críticas a definição frequentista ( i) Falta de suporte empírico para a complexa noção de independência. ( ii) Contraste entre o caráter essencialmente finito da experiência humana e a probabilidade definida por passagem ao limite numa sucessão indefinidamente grande. Atribuir probabilidade a um evento nada mais é do que associar uma medida ao evento considerado. Então, a pergunta, agora, passa a ser: conseguimos atribuir medida a qualquer evento A de um espaço amostral Ω? A resposta é não. Só conseguimos atribuir probabilidade a determinados subconjuntos de Ω esses subsconjuntos serão, então, chamados de eventos aleatórios. Outros autores, por exemplo, Kolmogorov (1950) e Crámer (1946) preferiram abandonar o axioma do limite, definindo probabilidade de um acontecimento aleatório como um número

9 associado a esse acontecimento satisfazendo um conjunto de regras ou sistema de axiomas. Na abordagem axiomática a preocupação não é com a interpretação da probabilidade mas sim que probablidade é definida através de um conjunto de axiomas. Interpretação de probabilidade é outro assunto. A frequência de ocorrência de um evento é um exemplo de uma particular interpretação. Uma outra interpretação possível é a interpretação subjetiva, na qual ao invés de pensar probabilidade como frequência, podemos pensá-la como uma crença na chance de um evento ocorrer. Por exemplo, Chover amanhã? ( a) A esse evento é impossível dar a interpretação clássica, pois, como fazer para encontrar número de casos favoráveis ao evento A = Chover amanhã? Quem seria Ω, o espaço amostral associado? Como encontrar número de elementos de Ω? ( b) A esse evento é impossível dar a interpretação frequentista, pois, o evento: Chover amanhã não poderá ser realizado um número grande de vezes. c) No entanto, a interpretação subjetiva é plenamente aceitável. Surge, então, Andrei Nikolaevich Kolmogorov um matemático soviético nascido em Tambov (25 de Abril de 1903) e falecido em Moscou, 20 de Outubro de 1987). A preocupação de Kolmogorov estava na definição de probabilidade e não na interpretação. Kolmogorov participou das principais descobertas científicas do século XX nas áreas de probabilidade e estatística, e em teoria da informação. Foi ele o autor da principal teoria científica no campo das probabilidades: a teoria da medida, que revolucionou o cálculo de integrais, permitindo que as integrais fossem generalizadas para domínios exóticos (integral de Lebesgue). Um de seus principais trabalhos publicados foi Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ( Fundamentos de Teoria das Probabilidades ), em que ele lança as bases da axiomatização da teoria das probabilidades e esboça o que seria a teoria da medida. Como grande cientista que era, Kolmogorov recebeu diversas honrarias ao longo de sua carreira. Em 1939 ele foi eleito para a Academia de Ciências da URSS. Ele recebeu um dos primeiros prêmios científicos dados pelo estado soviético em 1941, o prêmio Lenin de 1965, a Ordem de Lenin em seis ocasiões diferentes, a Medalha Lobachevsky em 1986, entre outros.

10 Ele também foi eleito para inúmeras outras academias e sociedades científicas, como por exemplo a Sociedade Estatística Real de Londres em 1956. Kolmogorov teve muitos interesses fora da matemática, em particular na forma e estrutura da poesia russa do autor Pushkin. O texto acima foi retirado do site: http://pt.wikipedia.org/wiki/andrei_kolmogorov 2.3 Axiomática de Kolmogorov: A que eventos vamos atribuir probabilidades? De modo geral, toda teoria matemática tem como origem a observação de fatos. Mas, na verdade, somente quando um grupo de fenômenos apresenta regularidades e permanências é que pode pensar-se na construção de uma teoria matemática. Tal teoria toma-se como modelo matemático de tal grupo. No início do século XX muitos probabilistas começaram a sentir necessidade de uma axiomatização que permitisse ultrapassar a ambiguidade de muitas aplicações e a proliferação de conceitos e interpretações. A axiomatização hoje generalizada deve muito a Bernstein e à decisiva contribuição de Kolmogorov. A partir desse momento optou-se por considerar que a teoria da probabilidade teria como objeto de estudo certos fenômenos observáveis, os fenômenos aleatórios. Assim a teoria da probabilidade se ocupa de métodos de análise que são comuns ao estudo dos fenômenos aleatórios seja qual for o campo a que pertençam (da duração da vida humana à duração de componentes eletrônicos, do número de chamadas que afluem por dia a uma central telefônica ao número de acidentes de automóvel ocorridos por semana numa estrada, da variação das características biométricas de homem para homem às variações das características quantitativas de um produto fabricado em série etc). Justifica-se, então a introdução da teoria da probabilidade como teoria matemática dos fenômenos aleatórios, isto é, dos fenômenos influenciados pelo acaso. Quando o processo está sujeito à influência de fatores casuais ou contigentes e conduz a resultados incertos fala-se em experiência aleatória ou experimento aleatório.

11 Mais precisamente, uma experimento aleatório ou casual apresenta as seguintes características fundamentais: ( i) Pode-se repetir um grande número de vezes nas mesmas condições ou pelo menos em condições muito semelhantes. ( ii) Cada vez que se repete obtém-se um resultado individual, mas nunca há conhecimento suficiente para prever exatamente esse resultado, mesmo que se desenvolvam todos os esforços para manter sob controle. (iii) Enquanto os resultados individuais se mostram irregulares a ponto de iludir qualquer tentativa de previsão exata, tem-se verificado que os resultados obtidos ao cabo de uma longa série de repetições mostram impressionante regularidade estatística quando tomados em conjunto, isto é, estabilidade das frequências relativas. Fazer um programa no software R para verificar, na prática, as afirmações (i) a (iii) Programa 2.1. # Lançamento de uma moeda honesta rm(list=ls(all=true)) y<-null for(i in 1:10)y[i]<- sum(rbinom(i,1,0.50))/i library(ts) plot.ts(y) abline(h=0.5,col="red") y<-null for(i in 1:20)y[i]<- sum(rbinom(i,1,0.50))/i plot.ts(y) abline(h=0.5,col="red") y<-null for(i in 1:50)y[i]<- sum(rbinom(i,1,0.50))/i plot.ts(y)

12 abline(h=0.5,col="red") y<-null for(i in 1:100)y[i]<- sum(rbinom(i,1,0.50))/i plot.ts(y) abline(h=0.5,col="red") y<-null for(i in 1:1000)y[i]<- sum(rbinom(i,1,0.50))/i plot.ts(y) abline(h=0.5,col="red") Vamos supor, contudo, que a classe dos eventos aleatórios possua certas propriedades básicas e intuitivas, que serão essenciais para o desenvolvimento posterior da teoria do cálculo de probabilidades. Indicando com A a classe de eventos aleatórios, vamos estipular as seguintes propriedades para A. A1. Ω A (definiremos P (Ω) = 1) A2. Se A A, então A C A (é evidente que definiremos P (A C ) = 1 P (A)). A3. Se A A e B B, então A B A (i.e., se atribuirmos uma probabilidade a A e outra a B, então atribuiremos uma probabilidade a A ou B.) Em outras palavras, vamos supor que A, seja uma álgebra de eventos. Definição 2.1. Seja Ω um conjunto não-vazio. Uma classe Ω de subconjuntos de Ω satisfazendo A1, A2 e A3 é chamada álgebra de subconjuntos de Ω Proposição 2.1. Seja A uma álgebra de subconjuntos de Ω. propriedades: Então valem as seguintes A4. A e A5. n, A 1,..., A n A, temos, n i=1a i A e n i=1a i A.

13 Esta proposição diz que uma álgebra é fechada para um número finito de aplicações das operações:,, e C. Observação: A é fechada para diferenças. Quando, Ω é finito uma álgebra é uma classe adequada para domínio da função P (.) Pois uma álgebra contém o evento impossível, o evento certo, o evento contrário ( de qualquer evento que pertença a classe), a união e intersecção de eventos (que pertençam à classe), isto é, em regra, todos os acontecimentos interessantes. Se Ω for finito então A será a álgebra de todas as partes (ou conjunto de todos os subconjuntos ) de Ω, i.e., A = P(Ω). No caso finito geral, se Ω tem n elementos, P(Ω) tem 2 n elementos e será denotado por #P(Ω) = 2 n. Exemplo 2.2. Se Ω = {1, 2, 3} então: #P(Ω) = 2 #Ω = 2 3 = 8 e P(Ω) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Quando Ω é infinito, mesmo que enumerável uma álgebra deixa de servir para a construção de uma teoria que seja mais forte. Pois quando Ω é infinito existem acontecimentos interessantes que se exprimem pela união infinita de outros acontecimentos ou de acontecimentos elementares. Se o domínio da função de conjunto, P (.), deve conter tais acontecimentos então ao invés de o representar por uma álgebra deve representar-se por uma σ-álgebra. Isto é, deve-se exigir que a classe dos eventos aleatórios também satisfaça: A3 Se A n A para n = 1, 2, 3,..., então i=1a i A Definição 2.2. Uma classe A de subconjuntos de um conjunto não-vazio Ω satisfazendo A1, A2, A3 é chamada σ-álgebra de subconjuntos de Ω Uma σ-álgebra é fechada para um número enumerável de aplicações das operações:,, e C. No caso, Ω finito tomou-se para domínio da probabilidade, P (.), a álgebra que se identifica com a classe, P(Ω) = 2 Ω, de todos os conjuntos ou partes de, Ω; no caso de Ω infinito enumerável também não há qualquer inconveniente em tomar para esse domínio P(Ω) = 2 Ω que aliás, agora, é uma σ-álgebra.

14 Quando, Ω, é não-enumerável a situação é mais complicada. A classe, P(Ω) = 2 Ω, embora seja uma σ-álgebra, é demasiadamente rica e pode não ser possível atribuir uma probabilidade, de forma compatível com os axiomas, a todo e qualquer, A P(Ω) = 2 Ω. É por isso que comumente a teoria de probabilidade se desenvolve em relação a uma σ- álgebra mais restritiva, A, composta apenas por conjuntos de Ω probabilizáveis e só estes são designados por acontecimentos (eventos aleatórios). Em particular, nos casos de maior interesse prático em que, Ω = R k, k = 1, 2,..., n a análise restringe-se a uma álgebra de Borel em R k, σ-álgebra que contém os conjuntos (acontecimentos, eventos aleatórios) contemplados em quase todas as aplicações, a saber, em R, intervalos abertos, semi-abertos ou fechados, finitos ou infinitos), uniões (finitas ou infinitas enumeráveis) e intersecções (finitas ou infinitas enumeráveis) de intervalos, etc Se Ω for contínuo quem será A? Por exemplo, consideremos o experimento E: Selecionar um ponto no intervalo [0,1]. Temos que: Ω = [0, 1]. (Barry James, página 7). Para melhor entender os conceitos apresentados sugere-se visita aos sites: 1. http://en.wikipedia.org/wiki/power_set 2. http://en.wikipedia.org/wiki/cardinality_of_the_continuum 3. http://en.wikipedia.org/wiki/borel_algebra Definição 2.3. Um espaço de probabilidade é um trio (Ω, A, P ) em que: (a) Ω é um conjunto não-vazio. (b) A é uma σ-álgebra de subconjuntos de Ω, e (c) P é uma probabilidade em A Definição 2.4. Dado um espaço amostral Ω e uma σ-álgebra (σ de Borel), A, a função de probabilidade é uma função P com domínio A que satisfaz:

15 1. P (A) 0, para todo A A. 2. P (Ω) = 1 3. Se A 1, A 2,... A são disjuntos dois a dois, então P ( i=1) = P (A i ) i=1 As três propriedades apresentadas na definição 2.4 são usualmente referidas como A- xiomas de Probabilidade (ou axiomas de Kolmogorov). Qualquer função que satisfaça os axiomas de Probabilidade é chamada função de probabilidade. O axioma não menciona qual é a função particular P, ele meramente requer que P satisfaça os axiomas. Para qualquer espaço amostral muitas e diferentes funções P podem ser definidas. Não vamos nos preocupar, doravante, com o problema de como definir probabilidade para cada experimento. Simplesmente, vamos admitir que existem as probabilidades em uma certa σ-álgebra A de eventos, chamados eventos aleatórios; vamos supor que a todo A A seja associado um número real P (A), chamado probabilidade de A, de modo que os axiomas a seguir sejam satisfeitos: Axioma 1. P (A) 0. Axioma 2. P (Ω) = 1. Axioma 3. (Aditividade finita) Se A 1,..., A n A são disjuntos (2 a 2), então P ( n k=1 A k = n k=1 P (A k). (Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, i.e., A i A j = se i j.) Axioma 3 (σ-aditividade) Se A 1, A 2,... A são disjuntos (i.e., mutuamente exclusivos), então P ( n k=1a k = n P (A k ) k=1 Proposição 2.2. O axioma 3 implica o Axioma 3, i.e., se P é σ-aditiva, então é finitamente aditiva. Prove!

16 Exercício 2.1. 1. Seja Ω um conjunto não-vazio. (a) Prove: se A e B são σ-álgebras de subconjuntos de Ω, então A B também é uma σ-álgebra. (b) Generalize o item (a): se A i, i I, são σ-álgebras de partes de Ω, onde I é um conjunto não-vazio de índices, então i I A i também é uma σ-álgebra. (c) Seja C uma classe de subconjuntos de Ω. Mostre que existe pelo menos uma σ- álgebra que contém C. (Sugestão Qual a maior classe de subconjuntos de Ω?) (d) Visando a plena utilização dos itens (b) e (c), como você definiria a menor σ-álgebra contendo C, onde C é uma classe de subconjuntos de Ω? (e) Seja Ω um espaço amostral. Mostre que a coleção B = {, Ω} é uma σ-álgebra de Borel. (f) Seja Ω um espaço amostral e B = {todos os subconjuntos de ω, incluindo o próprio Ω}. Mostre que B é uma σ-álgebra de Borel.

17 3 Bibliografia Aula 01 Algumas partes foram retiradas, outras adaptadas de 1. Bento José Ferreira Murteira: Probilidades e Estatística, Volume I, 2 a edição. 2. Barry R. James: Probabilidade: um curso em nível intermediário. 3. George Casella & Roger L. Berger: Statistical Inference. Seminário I: Procurar referências: 1. Maistrov, L. E. Probability Theory: A historical sketch, Academic Press, New York, 1974. 2. Fine, T. L. Theories of Probability, Academic Press, New York, 1973. Apresentar comentários, observações e fatos interessantes ao desenvolvimento da Teoria da probabilidade.