Faculdade de Econoia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade B 1º Seestre 2008/2009 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Maruo Daniel Monteiro Nº: Noe: Data: 25 de Outubro de 2008, 17.00 Duração: 2h30 horas Nota: A utilização de áquinas científicas e gráficas só será peritida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. Não desagrafe nenhua folha. Apresente todos os cálculos e/ou ustificações para as suas respostas. I (35%) Para u candidato presidencial entusiasta da renovação política os assessores de iage contara o núero de vezes que a palavra Mudança foi proferida, nua aostra de 52 coícios. Co base nessa recolha foi construído o seguinte quadro e polígono integral de frequências que, por desleixo dos assessores, se encontra incopletos: x n ]0,5] 6 ]5,10] 7 ]10,15] 9 ]15,25] ]25,40] F (X) 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 (25; 0,75) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 X a) (5%) A variável núero de vezes que a palavra Mudança é proferida é claraente ua variável discreta. Contudo, neste caso a variável foi classificada e classes. Trata se novaente de u caso de desleixo? b) (10%) Coplete a tabela e desenhe o polígono copleto. c) (5%) Deterine a oda pela fórula de King. d) (5%) Considere agora que a aostra é coposta apenas pelas três prieiras classes. U analista político fez o seguinte coentário o candidato segue ua estratégia de counicação coicial que passa por proferir sepre a palavra 1
Mudança e últiplos de 5. Toe coo verdadeiras as palavras do analista e construa o diagraa de barras e a função cuulativa associada. e) (10%) Considere agora duas situações distintas: Situação A: a aostra é coposta pelas três prieiras classes untaente co ua quarta classe, ]15, 40], co frequência absoluta siples igual a 5. Situação B: a aostra é coposta pelas três prieiras classes untaente co u quarta classe, a classe x > 15, co frequência absoluta siples 10. i. (5%) Calcule a édia aostral para abas as situações. ii. (5%) Sabendo que a aplitude total da aostra é igual a 40, forneça ua estiativa da aplitude inter quartis para a situação B. II (30%) A Organização Internacional de Aviação Civil (OIAC) realizou u inquérito a várias copanhias aéreas sobre o núero de aviões que cada ua dessas copanhias deté actualente. Fora apurados os seguintes resultados: Nº de aviões Copanhias e % do total Aviões e % do total 0 5 5 5 5 10 15 10 10 20 55 40 20 30 20 35 30 50 5 10 a) (10%) O Presidente da OIAC afirou: Nesta indústria existe u claro descontrolo e teros de poder de ercado: ua elevada percentage do núero total de aviões actualente activos é detida por ua percentage relativaente pequena do conunto das copanhias que integra a OIAC, o que evidencia altos níveis de concentração. Coente a afiração, quantificando. b) (5%) Sabendo que este inquérito incidiu sobre 400 copanhias aéreas, classifique esta distribuição quanto à assietria através do grau de assietria de Pearson. c) (5%) Coo é que classifica esta distribuição e relação ao achataento? d) (10%) Suponha que a OIAC propôs que todas as copanhias aéreas reduza a diensão das suas frotas e 3%, coo fora de evitar a saturação do espaço aéreo internacional e coo fora de reduzir as eissões de gases poluentes para a atosfera. Que consequências é que esta proposta, a ser ipleentada, teria sobre a concentração desta distribuição? Justifique algebricaente a sua resposta. 2
III (35%) A epresa PinkBlue te três linhas de produção de esferográficas. Co vista a analisar a eficiência produtiva das três linhas, o gestor de produção recolheu os seguintes dados: A linha de produção 1 esteve e funcionaento durante 25 dias, produziu e édia 50 esferográficas por dia e registou ua ediana de 48 e u desvio padrão de 7 unidades. A linha de produção 2 operou durante 30 dias, produziu e édia 48 esferográficas por dia e te ua variância de 36 unidades. A linha de produção 3 esteve e funcionaento durante 28 dias, produziu e édia 62 esferográficas por dia e apresenta u desvio padrão de 8 unidades. a) (5%) E qual das três linhas de produção a dispersão é ais acentuada? Justifique. b) (5%) Qual o nível de produção diário édio da epresa PinkBlue? c) (5%) Qual o desvio padrão da produção diária de toda a epresa? d) (5%) Devido a u processo de racionalização de custos, a linha de produção 2 passou a produzir enos 6 esferográficas por dia, enquanto a linha de produção 1 cortou a sua produção diária e 3%. E consequência destas alterações, e qual das linhas passa a dispersão a ser ais acentuada? Justifique. e) (5%) Considerando a quebra de produção diária de 3% da linha de produção 1, qual passa a ser a sua ediana? f) (10%) O gestor de produção recolheu a seguinte inforação sobre a produção diária de ua linha de produção 4: a Moda da produção diária é de 45 esferográficas, o Grau de Assietria de Pearson é zero e o Desvio Absoluto Médio é igual a 7 unidades. Face a estas inforações o gestor de produção afirou: A produção diária da linha 4 apresenta enor dispersão que a linha de produção 3. Considera que a afiração está correcta? Justifique. 3
Correcção I (35%) Para u candidato presidencial entusiasta da renovação política os assessores de iage contara o núero de vezes que a palavra Mudança foi proferida, nua aostra de 52 coícios. Co base nessa recolha foi construído o seguinte quadro e polígono integral de frequências que, por desleixo dos assessores, se encontra incopletos: x n ]0,5] 6 ]5,10] 7 ]10,15] 9 ]15,25] ]25,40] F (X) 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 (25; 0,75) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 X a) (5%) A variável núero de vezes que a palavra Mudança é proferida é claraente ua variável discreta. Contudo, neste caso a variável foi classificada e classes. Trata se novaente de u caso de desleixo? Não se trata novaente de u caso de desleixo por parte dos assessores. As variáveis discretas são passíveis de sere classificadas se isso audar ao trataento e interpretação dos dados, desde que tal não iplique ua perda excessiva de inforação. No caso concreto, trata se de ua opção defensável, tendo e conta o grande núero de odalidades (40), o facto de não ser necessário distinguir perfeitaente entre elas e, principalente, o baixo rácio (diensão da aostra)/(núero de odalidades), o qual pressupõe que várias odalidades possa ter frequência zero ou u, sugerindo, portanto, que u agrupaento e classes pode peritir perceber elhor a distribuição da aostra. b) (10%) Coplete a tabela e desenhe o polígono copleto. A tabela copleta é a seguinte (as colunas adicionais serão úteis para deterinar as incógnitas, construir o polígono integral e responder à alínea c)): x n f F * d ]0,5] 6 0,115 0,115 0,023 ]5,10] 7 0,135 0,250 0,027 ]10,15] 9 0,173 0,423 0,035 ]15,25] c = 17 0,327 0,750 0,033 ]25,40] b = 13 0,250 1,000 0,017 a = 52 1 4
As incógnitas pode ser deterinadas do seguinte odo: a = diensão da aostra = 52 bf 25,40 521F25 6010,75 5213 c52n 1 n 2 n 3 n 5 526791317 O polígono integral de frequências é construído co base na inforação da coluna F * e dános a representação gráfica da função cuulativa de frequências (relativas), a qual se encontra definida e : F(x) 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 Polígono Integral 0,423 0,250 0,115 0,750 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x 1 c) (5%) Deterine a oda pela fórula de King. Ua vez que estaos na presença de classes co aplitudes desiguais, o cálculo da oda utilizará a variável d, densidade de frequência. A classe odal é a classe co aior densidade de frequência. Consultando a tabela e a), teos: Classe Modal = ]10, 15] Dentro da classe odal, a oda é deterinada pela fórula de King: d 01 odl 0 h 0 d 01 d 01 Onde l 0 = liite inferior da classe odal, h 0 = aplitude da classe odal, d 0+1 = densidade de frequência da classe posterior à odal, d 0 1 = densidade de frequência da classe anterior à odal. Substituindo os valores, teos 0,033 odx105 0,0270,033 12,742 5
d) (5%) Considere agora que a aostra é coposta apenas pelas três prieiras classes. U analista político fez o seguinte coentário o candidato segue ua estratégia de counicação coicial que passa por proferir sepre a palavra Mudança e últiplos de 5. Toe coo verdadeiras as palavras do analista e construa o diagraa de barras e a função cuulativa associada. Se as palavras do analista são verdadeiras, então o candidato profere a palavra udança apenas 5, 10 ou 15 vezes por coício (de notar que dado o intervalo aberto à esquerda na prieira classe, o candidato nunca profere zero vezes a palavra udança). Logo, estaos na presença de ua variável aleatória discreta que assue apenas 3 odalidades (os liites superiores das classes). A nova tabela é dada por: x n f S F * 5 6 0,273 6 0,273 10 7 0,318 13 0,591 15 9 0,409 22 1 22 1 - - O diagraa de barras é ua representação gráfica típica de variáveis discretas. Pode ser desenhado quer para frequências absolutas, quer para relativas (só era necessária ua representação): 10 8 6 6 7 9 0,500 0,400 0,300 0,273 0,318 0,409 n 4 f 0,200 2 0,100 0 5 10 15 0,000 5 10 15 X X As funções cuulativas, de freq uências absolutas e relativas, são as seguintes: 0, x5 6, 5 x10 Sx 13, 10 x15 22, x 15 Fx 0, x5 0,273, 5 x10 0,591, 10 x15 1, x 15 6
E possue a seguinte representação gráfica: F(x) 25 20 15 10 5 0 6 13 5 5 15 x 22 F(x) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,273 0,591 5 5 15 x e) (10%) Considere agora duas situações distintas: Situação A: a aostra é coposta pelas três prieiras classes untaente co ua quarta classe, ]15, 40], co frequência absoluta siples igual a 5. Situação B: a aostra é coposta pelas três prieiras classes untaente co u quarta classe, a classe x > 15, co frequência absoluta siples 10. i. (5%) Calcule a édia aostral para abas as situações. Na situação A, a nova tabela é: A édia pode ser calculada coo: 4 x x ' n f ]0,5] 2,5 6 0,222 ]5,10] 7,5 7 0,259 ]10,15] 12,5 9 0,333 ]15,40] 27,5 5 0,185-25 1,000 x x' f 2,50,2227,50,25912,50,33327,50,18511,75926 Na situação B a édia não pode ser calculada. A édia é ua edida sensível a valores extreos, pelo que se conhecer u liite superior para o valor áxio de x não é possível calculá la, ne sequer fornecer ua estiativa aproxiada, coo foi feito na situação A. 7
ii. (5%) Sabendo que a aplitude total da aostra é igual a 40, forneça ua estiativa da aplitude inter quartis para a situação B. Usando a inforação sobre a aplitude total da aostra vaos definir o liite superior da últia classe coo sendo 40 (ou, e alternativa e ais correctaente, 41, ua vez que a palavra udança é pronunciada no ínio ua vez). A nova tabela fica então: x x ' n f F * ]0,5] 2,5 6 0,188 0,188 ]5,10] 7,5 7 0,219 0,406 ]10,15] 12,5 9 0,281 0,688 ]15,40] 27,5 10 0,313 1,000-32 1 - Observando a últia coluna veos que o prieiro quartil, Q 1/4, pertence à classe ]5,10]. Para estiar o seu valor dentro da classe, recorreos à interpolação linear: F10F5 105 FQ 1/4F5 Q 1/4 5 0,4060,188 5 0,250,188 Q Q 1/4 6,42857 1/4 De igual fora, consultando a coluna dos F *, veos que o terceiro quartil, Q 3/4, pertence à classe ]15,40]. Estiando o seu valor por interpolação linear, teos: F40F15 4015 F40FQ 3/4 40Q 3/4 A aplitude ou intervalo inter quartis é a diferença: AIQQ 3/4 Q 1/4 20,031956,4285913,60338 10,688 10,75 Q 25 40Q 3/4 20,03195 3/4 II (30%) A Organização Internacional de Aviação Civil (OIAC) realizou u inquérito a várias copanhias aéreas sobre o núero de aviões que cada ua dessas copanhias deté actualente. Fora apurados os seguintes resultados: Nº de aviões Copanhias e % do total Aviões e % do total 0 5 5 5 5 10 15 10 10 20 55 40 20 30 20 35 30 50 5 10 8
a) (10%) O Presidente da OIAC afirou: Nesta indústria existe u claro descontrolo e teros de poder de ercado: ua elevada percentage do núero total de aviões actualente activos é detida por ua percentage relativaente pequena do conunto das copanhias que integra a OIAC, o que evidencia altos níveis de concentração. Coente a afiração, quantificando. Para veros se de facto o Presiente da OIAC te ou não razão, teos que calcular o índice de Gini, que ede a concentração da distribuição. O índice de Gini é dado pela seguinte expressão: G 1 p q 1 1 p 1 q 1 p Onde p, a proporção de copanhias aéreas que possue o eso núero de aviões até o liite superior da ésia classe, e q, a proporção da totalidade dos aviões possuída pelas esas copanhias até à ésia classe são dadas por: s=1 p =F * = f s q = s=1 s=1 t s = t t s r s s=1 (1) (2) (3) Ora, no enunciado teos dados relativos à variável e estudo x, que representa o núero de aviões que cada ua das copanhias da OIAC deté actualente; teos tabé dados relativos às copanhias e percentage do total, que corresponde às frequências relativas da distribuição, f, ou sea, às frequências relativas dos eleentos; e teos tabé inforação acerca dos aviões e percentage do total, que corresponde ao valor das frequências relativas do atributo, ou sea, aos t r.assi, para calcularos os valores de p e q, apenas precisaos acuular o valor de f e t r, respectivaente, tal coo as equações (2) e (3) nos indica: x f F p r t q 0-5 0,05 0,05 0,05 0,05 5-10 0,15 0,2 0,1 0,15 10-20 0,55 0,75 0,4 0,55 20-30 0,2 0,95 0,35 0,9 30-50 0,05 1 0,1 1 Assi send o, torna se uito fácil calcular o valor do índi ce de Gini: G 4 p q 4 1 p 4 q 4 p 0,05 0,15 0,55 0,9 1 0,05 0,2 0,75 0,95 1 1,65 1,95 0,15385 9
Logo, sabendo que o grau de concentração auenta co o valor do índice de Gini e que este varia sepre entre 0 (grau de concentração ínia) e 1 (grau de concentração áxia), podeos concluir que o Presidente da OIAC não te razão, ua vez que u índice de Gini de 0,20513 indica u baixo grau de concentração desta distribuição, ou sea, indica nos que a aior parte dos aviões da OIAC está distribuída por u núero relativaente elevado de copanhias. Conclui se, portanto, que a concentração efectivaente existe, as é oderada, o que não indicia u descontrolo no poder de ercado desta indústria. b) (5%) Sabendo que este inquérito incidiu sobre 400 copanhias aéreas, classifique esta distribuição quanto à assietria através do grau de assietria de Pearson. O grau de assietria de Pearson é dado por: g xodx s Assi, teos que calcular a édia, oda e desvio padrão desta aostra, e para tal, dado que agora sabeos que N=400, podeos copletar a tabela de frequências: x x ' n S f F h d 0-5 2,5 20 20 0,05 0,05 5 0,01 5-10 7,5 60 80 0,15 0,2 5 0,03 10-20 15 220 300 0,55 0,75 10 0,055 20-30 25 80 380 0,2 0,95 10 0,02 30-50 40 20 400 0,05 1 20 0,0025 Σ - 400-1 - - -. Média: Par a dados classificados, a édia aritética é dada por: x n x ' f N x ' 0,05 2,50,15 7,50,55 150,2 250,05 4016,5. Moda: Dado que as classes tê aplitudes diferentes, a classe odal é a classe co aior densidade de frequência: Classe odal ]10;20]. Podeos então deterinar a oda pela Fórula de King: d20; 30 odx l10; 20 h10; 20. d5; 10 d20; 30 0,02 10 10. 0,03 0,02 14. Desvio padrão: Para dados classificados, o desvio padrão é dado por: s n x ' x 2 N f x ' x 2 10
0,05 2,5 16,5 2 0,15 7,5 16,5 2 0,55 15 16,5 2 0,2 25 16,5 2 0,05 40 16,5 2 65,258,078 Log o, o grau de assietria de Pearson será: g xodx 16,514 s 8,078 0,30950 Assi, ua vez que g0, estaos perante ua distribuição assiétrica positiva ou enviesada à direita. c) (5%) Coo é que classifica esta distribuição e relação ao achataento? Para classificaros esta distribuição quanto ao achataento, teos que calcular o coeficiente de achataento a 4 de Fisher ou o excesso de kustosis, cuas fórulas são dadas, respectivaente, por: Coeficiente de achataento a 4 de Fisher: a 4 4 s4 4 s 2 2 4 19200,75 2 4,5098 3 2 65,25 Onde 4 representa o oento de orde 4 centrado na édia: 4 f x ' x 4 0,05 2,5 16,5 4 0,15 7,5 16,5 4 0,55 15 16,5 4 0,2 25 16,5 4 0,05 40 16,5 4 19200,75 Excesso de kustosis: g 2 a 4 34,509831,50980 Assi, ua vez que a 4 3 e g 2 0, podeos classificar a distribuição coo leptocúrtica, ou sea, é ua distribuição enos achatada e co ua cauda ais pesada do que a Noral. d) (10%) Suponha que a OIAC propôs que todas as copanhias aéreas reduza a diensão das suas frotas e 3%, coo fora de evitar a saturação do espaço aéreo internacional e coo fora de reduzir as eissões de gases poluentes para a atosfera. Que consequências é que esta proposta, a ser ipleentada, teria sobre a concentração desta distribuição? Justifique algebricaente a sua resposta. Vaos ter que calcular o ipacto que a redução relativa de 5% nas frotas de todas as copanhias aéreas da OIAC terá sobre o índice de Gini. O índice de Gini antes do auento é dado pela seguinte expressão: G 1 p q 1 1 q 1p 1p 11
Onde p, a proporção de copanhias que possue o eso núero de aviões nas suas frotas até o liite superior da ésia classe, e q, a proporção da totalidade dos aviões da OIAC possuída pelas esas copanhias aéreas até à ésia classe são dadas por: p F q t t n n N n n x n x Assi, se consideraros ua redução relativa de 3% para todas as observações, de tal odo que x D 1 0,03x 0,97x, as novas expressões para p e q serão, respectivaente, onde D refere se aos valores depois do auento: p D q D s1 s1 s1 s1 n s p n s t s D t sd s1 s1 n s x D s n s x sd s1 s1 n s 0,97x s n s 0,97x s s1 s1 0,97 n s x s 0,97 n s x s s1 s1 n s x s q n s x s Assuindo que o núero total de copanhias pertencentes à OIAC irá peranecer inalterado após a introdução desta edida, então as frequências absolutas e relativas, tanto siples coo acuuladas, tabé não se irão alterar de u ano para o outro, pelo que consequenteente os valores de p antes da redução relativa das frotas serão exactaente iguais aos valores após essa redução. E relação aos valores de q, tabé peranecerão inalterados, ua vez que estes são calculados co base nos valores de t (ou sea, o valor total de aviões acuulado na classe ), e estes, por sua vez, depende directaente dos valores da variável x, que diinui 3% e todas as observações. Consequenteente, os valores de t irão diinuir tabé 3% para todas as observações, e tanto o nuerador coo o denoinador de q vêe ultiplicados por 0,97 e cada ua das classes. Isso fará co que o novo valo r de q sea igual ao inicial. Assi sendo, is to iplica que: 1 q D q q D q 1 qd 1 q 1 1 qd 1 1 q G D G 1p 1p 1p 1p 1 Logo, o índice de Gini irá peranecer exactaente igual e consequência de ua redução relativa de 3% para todas as observações, o que significa que o grau de concentração desta distribuição irá peranecer inalterado face a esta redução. Intuitivaente, este resultado faz todo o sentido, porque se todas as categorias de aviões irão sofrer a esa redução e teros relativos, isso significa que e teros percentuais a diferença entre as copanhias que possue ais aviões e as que possue enos não se irá alterar. Ou sea, as copanhias aiores irão anter a sua distância relativa e relação às copanhias ais pequenas, ou sea, a percentage de aviões e relação ao total detida por cada ua das copanhias será exactaente a esa antes e depois da introdução desta edida, ou sea, o poder de ercado nesta indústria irá peranecer inalterado após esta redução relativa, assi coo o nível de concentração desta distribuição. 12
Logo, face a ua redução relativa de 3% igual para todas as observações, o grau de concentração de ua distribuição não se altera. III (35%) A epresa PinkBlue te três linhas de produção de esferográficas. Co vista a analisar a eficiência produtiva das três linhas, o gestor de produção recolheu os seguintes dados: A linha de produção 1 esteve e funcionaento durante 25 dias, produziu e édia 50 esferográficas por dia e registou ua ediana de 48 e u desvio padrão de 7 unidades. A linha de produção 2 operou durante 30 dias, produziu e édia 48 esferográficas por dia e te ua variância de 36 unidades. A linha de produção 3 esteve e funcionaento durante 28 dias, produziu e édia 62 esferográficas por dia e apresenta u desvio padrão de 8 unidades. a) (5%) E qual das três linhas de produção a dispersão é ais acentuada? Justifique. CV nha1 s li x 7 50 0,14 CV nha2 s li x 6 48 0,125 CV linha3 s x 8 62 0,13 A dispersão é ais acentuada na linha de produção 1. b) (5%) Qual o nível de produção diário édio da epresa PinkBlue? x x 1N 1 x 2 N 2 x 3 N 3 N 25 5030 4828 62 53,3 83 c ) ( 5 %) Qual o desvio padrão da produção diária de toda a epresa? k N s 2 s 2 k N x x 2 N 25 4930 3628 6425 5053,3 2 30 4853,3 2 28 6253,3 2 88,32 83 s88,329,398 d) (5%) Devido a u processo de racionalização de custos, a linha de produção 2 passou a produzir enos 6 esferográficas por dia, enquanto a linha de produção 1 13
cortou a sua produção diária e 3%. E consequência destas alterações, e qual das linha s passa a dispersão a ser ais acentuada? Justifique. Novo CV linha1 0,97s inicial 0,97x ini cial s inicial x inicial 7 50 0,14 Novo CV linha2 s inicial x inicial 6 6 486 0,143 A dispersão passa a ser ais acentuada na linha 2. e) (5%) Considerando a quebra de produção diária de 3% da linha de produção 1, qual passa a ser a sua ediana? A Mediana passa a ser igual a 0.97*48=46.56 f) (10%) O gestor de produção recolheu a seguinte inforação sobre a produção diária de ua linha de produção 4: a Moda da produção diária é de 45 esferográficas, o Grau de Assietria de Pearson é zero e o Desvio Absoluto Médio é igual a 7 unidades. Face a estas inforações o gestor de produção afirou: A produção diária da linha 4 apresenta enor dispersão que a linha de produção 3. Considera que a afiração está correcta? Justifique. E relaçã o à linha 3: CV linha3 s 8 x 62 0,13 E relação à linha 4: Sendo o Grau de Assietria de Pearson igual a zero, então a Moda=Média=45. Por outro lado, sendo o desvio absoluto édio inferior ao desvio padrão, sabeos que este ter á u valor superior a 7, ou sea: CV linha4 s x 7 45 0,146 Coo o coeficiente de variação da linha 4 é superior a 0,146, a afiração é falsa, pois a dispersão é ais acentuada na linha 4. 14