CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos ásicos Definição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fuzzy Propriedades, Formas de Representação e Operações Lógica Fuzzy Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado Fuzzy Control LÓGIC FUZZY LÓGIC FUZZY Um dos componentes mais importantes de um sistema fuzzy é o Módulo de Regras Regras são expressas como implicações lógicas ou Lógica Proposicional Se x é então y é LÓGIC FUZZY Regra: Se x é então y é representa um tipo especial de Relação entre e cuja função de pertinência é: (x, =? LÓGIC
Frases da forma Π é, onde é um conjunto fuzzy definido no universo X de Π Podem ser combinadas por meio de diferentes operadores: conectivos lógicos e e ou negação: não operador de implicação: se... então Podem ser descritas em termos de relações fuzzy Conectivos: e usado com variáveis em universos diferentes Ex: temperatura é alta e pressão é baixa ou conecta valores linguísticos de uma mesma variável Ex: temperatura é alta ou baixa em sentenças do tipo se... então, pode ser usado com variáveis diferentes Ex: se a pressão é alta ou a temperatura é baixa Negação: = { ( x) /x} não = {( ( x)) x } / Exemplo: pressão é não alta Considerem-se: variáveis linguísticas de nomes x e y definidas em universos X e Y conjuntos fuzzy e definidas em X e Y proposições fuzzy x é y é 2
Conexão das proposições por meio de e (interseção): Conexão das proposições por meio de ou (união): ( x é ) e ( y é ) ( x é ) ou ( y é ) relação fuzzy R e relação fuzzy R ou ( x, = ( x) ( R ( x, = ( x) ( R norma-t (geralmente o min ou o produto) co-norma-t (geralmente o max) Exemplo: Quais os membros do grupo abaixo que são ao mesmo tempo LTOS e de MEI-IDDE IDDE? Exemplo (continuação): com conjuntos crisp: Conjunto LTO Conjunto MEI-IDDE IDDE NOME IDDE LTUR bel 36.70 Marcelo 58.75 Carlos 64.65 João 32.78 Pedro 40.77 Tiago 22.60 Felipe 47.73 ndré 25.75.60.65.70.75.80.85.90 25 30 35 40 45 50 55 3
Quais os membros que são LTOS e de MEI-IDDE IDDE? Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior que.75m NOME IDDE M-I (x) LTUR LTO ( bel 36.70 0 José 58 0.75 Carlos 64 0.65 0 João 32 0.78 Pedro 40.77 Tiago 22 0.60 0 Felipe 47 0.73 0 ndré 25 0.75 Exemplo (continuação): Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior do que.75m (caso crisp): NOME IDDE f MI (x) LTUR f LTO ( R MI e LTO bel 36.70 0 0 José 58 0.75 0 Carlos 64 0.65 0 0 João 32 0.78 0 Pedro 40.77 Tiago 22 0.60 0 0 Felipe 47 0.73 0 0 ndré 25 0.75 0 Exemplo (continuação): com conjuntos fuzzy: Quais os membros que são LTOS e de MEI-IDDE IDDE? Membros com grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e lto Conjunto LTO Conjunto MEI-IDDE IDDE 0,5.50.65.80 25 30 35 40 45 50 55 4
Exemplo (continuação): Graus de pertinência da relação Meia-Idade e lto : min Quais os membros do grupo abaixo que são LTOS ou de MEI-IDDE IDDE? NOME IDDE MI (x) LTUR LTO ( R MI e LTO bel 36.92.70.67.67 José 58 0.75.83 0 Carlos 64 0.65.50 0 João 32.47.78.93.47 Pedro 40.77.90.90 Tiago 22 0.60.33 0 Felipe 47.74.73.77.74 ndré 25.0.75.83.0 NOME IDDE LTUR bel 36.70 Marcelo 58.75 Carlos 64.65 João 32.78 Pedro 40.77 Tiago 22.60 Felipe 47.73 ndré 25.75 Exemplo (continuação): Quais os membros que são LTOS ou de MEI-IDDE IDDE? Membros com idade entre 35 e 45 anos ou altura maior que.75m (caso crisp): NOME IDDE f MI (x) LTUR f LTO ( R MI ou LTO bel 36.70 0 José 58 0.75 Carlos 64 0.65 0 0 João 32 0.78 Pedro 40.77 Tiago 22 0.60 0 0 Felipe 47 0.73 0 0 ndré 25 0.75 Exemplo (continuação): Graus de pertinência da relação Meia-Idade ou lto : max NOME IDDE MI (x) LTUR LTO ( R MI ou LTO bel 36.92.70.67.92 José 58 0.75.83.83 Carlos 64 0.65.50.50 João 32.47.78.93.93 Pedro 40.77.90 Tiago 22 0.60.33.33 Felipe 47.74.73.77.77 ndré 25.0.75.83.83 5
Interseção: Zadeh (já visto) média produto $ Lukasiewicz Outros operadores min( ( x), ( ) ( ( x) + ( ) ( x) ( max $ também sugerido por Zadeh 2 [ 0,( ( x) + ( ) ] União: Zadeh (já visto) média soma probabilística (ou algébrica) soma limitada Outros operadores max ( ( x ), ( y )) { 2 min 4 [( ( x ), ( y )] + max [( ( x ), ( y )]} ( x ) + ( y ) ( x ) ( y ) min [, ( ( x ) + ( y ))] 6 Funções de Yager: Outros operadores Yager: : Interseção T família parametrizada de operadores Interseção: (, ) p x y min, ( x ) + ( União: C p p ( ) > 0 = p p [ ] > 0 p p ( x, y ) min, ( x + y ) = p 6
Yager: : União Declaração condicional fuzzy (operação se... então) (descreve a dependência do valor de uma variável linguística em relação ao valor de outra) se ( x é ) então ( y é ) relação fuzzy R = ( x, f ( ( x), ( ) operador de implicação Mais de um antecedente: Combinação de várias declarações condicionais por ou se ( 2 x é ) e ( x2 é ) e... e ( xm é m ) então ( y é ) relação fuzzy 2 R( x, x2,..., xm, = f ( fe( ( x), ( x2 ),..., ( xm )), ( ) m operador que representa o conectivo e (geralmente min ou produto) f N R [ f R R M R 2 n ( x, = f ou : se ( x é ) então ( y é ) ou 2 : se ( x é ) 2 então ( y é ) ou : se ( x é ( ( x), ( ), f ou n ) então ( y é [ ( x,, 2 ( x,,..., n ( x, ] = R R ( 2 ( x), 2 ( ),..., f R n ) ( n ( x), n ( )] operador que representa o conectivo ou (geralmente max) 7
LÓGIC FUZZY Regras são implicações lógicas se x é então y é a função de pertinência desta relação é definida por meio do operador de implicação Regras são formas de proposição declaração envolvendo termos já definidos Ex: a temperatura é alta se temperatura é alta então diminui a vazão relacionado à Proposições podem ser verdadeiras ou falsas Proposições p e q podem ser combinadas a partir de três operações básicas: conjunção disjunção implicação Conjunção p q: Estabelece a verdade simultânea de duas proposições p e q 8
Disjunção p q: Implicação p q: Estabelece a verdade de uma ou de ambas as proposições p e q verifica se a regra abaixo é verdadeira (V) SE p ENTÃO q antecedente consequente Outras operações: Equivalência: p q verifica se as duas proposições são simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Negação: ~ p para se dizer é falso que... Proposições não relacionadas entre si podem ser combinadas para formar uma implicação Não se considera nenhuma relação de causalidade 9
Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F TEL VERDDE: p q p q p q p q p q ~ p V V V V V V F V F F V F F F F V F V F V V F F F F V V V xiomas Fundamentais: Cada proposição é V ou F, mas nunca ambos; Tabela Verdade para: Conjunção Disjunção Equivalência Implicação Negação Exemplo: Considere-se a declaração condicional se eu estiver bem de saúde (p) então irei à escola (q) 0
Situações possíveis: p = V (estou bem de saúde) q = V (fui à escola) Situações possíveis: p = V (estou bem de saúde) q = F (não fui à escola) promessa cumprida declaração verdadeira promessa violada declaração falsa Situações possíveis: p = F (não estou bem de saúde) q = V (fui à escola) Situações possíveis: p = F (não estou bem de saúde) q = F (não fui à escola) promessa (de ir à escola) cumprida declaração verdadeira promessa não violada declaração verdadeira
TUTOLOGI: É uma proposição formada pela combinação de outras proposições (p, q, r,...) que é sempre verdadeira, qualquer que seja a veracidade ou falsidade de p, q, r,... Tautologias importante: (p q) ~ [ p (~q)] (p q) [(~p) q] Tautologias importante: (p q) ~[ p (~q)] (p q) [(~p) q] Permite expressar a função de pertinência de p q em termos de p e ~q ou ~p e q Comprovação: (p q) ~[ p (~q)] p q p q ~q p (~q) ~[p (~q)] V V V F F V V F F V V F F V V F F V F F V V F V 2
Comprovação: (p q) [(~p) q] p q p q ~p (~p) q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Comprovação das tautologias: (p q) ~[ p (~q)] (p q) [(~p) q] p q p q ~ q p (~ q) ~ [p (~ q)] ~ p (~ p) q V V V F F V F V V F F V V F F F F V V F F V V V F F V V F V V V Isomorfismos: O isomorfismo entre a álgebra booleana, a teoria dos conjuntos e a lógica proposicional garante que cada teorema em qualquer uma dessas teorias tem um teorema equivalente em cada uma das outras duas teorias Equivalências importantes: LÓGIC TEORI DOS CONJUNTOS ÁLGER OOLEN + ~ V F 0 = 3
Considerando as tautologias anteriores as equivalências entre lógica, teoria de conjuntos e álgebra booleana que, em conjuntos crisp, a função característica pode assumir apenas os valores 0 e obtêm-se funções características para a implicação Tautologia : (p q) ~[ p (~q)] p q (x, = - p q (x, = - mín n [[ p (x), - q (] = - p (x). [ - q (] Tradicional Tautologia : (p q) ~[ p (~q)] Tautologia 2: (p q) [(~p) q] f p q ( x, = min[ f ( x), f ( ] p q p q (x, = p q (x, = máx x [ - p (x), q (] = mín n [, - p (x) + q (] 4
Tautologia 2: f p q (p q) [(~p) q ] ( x, = max [ f ( x), f ( ] p q Demonstração: I II f f p q p q ( x, = max [ f ( x), f ( ] ( x, = min[ f ( x), f ( ] f p (x) f q ( - f p (x) - f q ( I II 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p q q Observação: existem inúmeras outras funções características para a implicação, não necessariamente fazendo uso dos operadores max e min Regras de Inferência Clássicas: MODUS PONENS MODUS TOLLENS 5
MODUS PONENS: Premissa : x é (p) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO y é Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F MODUS PONENS: Premissa : x é (p) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO y é Conclusão: y é (q) MODUS TOLLENS: Premissa : y é não- (~q) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO y é [ p (p q) ] q 6
Implicação é verdadeira quando: ntecedente é V, Consequente é V ntecedente é F, Consequente é F ntecedente é F, Consequente é V Implicação é falsa quando: ntecedente é V, Consequente é F MODUS TOLLENS: Premissa : y é não- (~q) Premissa 2: SE x é (p q) ENTÃO y é Conclusão: x é não- [ ~q (p q) ] ~p (~p) Lógica Fuzzy Lógica Fuzzy Os conceitos de Lógica Fuzzy nasceram inspirados na lógica proposicional (tradicional) extensão da lógica tradicional para a Lógica Fuzzy foi efetuada através da substituição das funções características (bivalentes) por funções de pertinência fuzzy declaração condicional se x é então y é tem uma função de pertinência ( x, mede o grau de verdade da relação de implicação entre x e y 7
Lógica Fuzzy Exemplos de funções de implicação, obtidas por simples extensão da lógica tradicional: ( x, = min[ ( x), ( ] ( x, = max[ ( x), ( ] LÓGIC FUZZY MODUS PONENS GENERLIZDO: Premissa : x é * Premissa 2: SE x é ENTÃO y é Conclusão: y é * * e * não são necessariamente iguais a e,, respectivamente Exemplo: LÓGIC FUZZY Se Homem é aixo Então Homem não é bom jogador de basquete = IXO = não é bom jogador de basquete Premissa: Homem é abaixo de.60m Conclusão: * Homem é mau jogador de basquete * Conclusão: LÓGIC FUZZY Lógica Tradicional (Crisp( Crisp) regra é disparada somente se a premissa for exatamente igual ao antecedente,, sendo que o resultado da regra é o próprio prio consequente. 8
Conclusão: LÓGIC FUZZY Lógica Fuzzy regra é disparada desde que exista um grau de similaridade diferente de zero entre a premissa e o antecedente da regra, sendo que o resultado é um consequente que tem um grau de similaridade diferente de zero com o consequente da regra. Lógica Fuzzy Interpretação do Modus Ponens Generalizado: x X x é * y é * Regra se-então então *( (x, x X z W P (x) (x) Q (x,z) P Q (z) Composição de um conjunto fuzzy com uma relação fuzzy LÓGIC FUZZY Interpretação do Modus Ponens Generalizado: O Modus Ponens Generalizado é uma composição fuzzy, onde a primeira relação fuzzy é apenas um conjunto fuzzy e a segunda relação é a relação de implicação. Interpretação do Modus Ponens Generalizado: Como LÓGIC FUZZY P Q (z) = sup [ P (x) * Q (x,z)] x U * (x) (x, * ( = sup [ * ( x) ( x, ] x 9
Exemplo: Lógica Fuzzy dada a relação de implicação: ( x, = max [ ( x), ( ] obtém-se: e dois conjuntos e, em universos discretos e finitos X e Y, com funções de pertinência: ( x) = ( = 0,8 0,3 ( x, = 0,3 0,6 Lógica Fuzzy { 0; 0,2; 0,7;; 0,4; 0} { 0,3; 0,8; ; 0,5; 0} 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,5 0,5 0,6 0,8 0,3 0 0,6 Lógica Fuzzy dado um conjunto * definido por: ( x) = { 0; 0,3; 0,8;; 0,7; 0,2} e utilizando o min para a norma-t em: * ( = max [ * ( x) ( x, ] x (universos discretos e finitos: sup max) tem-se ( x) = { 0; 0,3; 0,8;; 0,7; 0,2} Lógica Fuzzy max (0 ; 0,3 0,8; 0,8 0,3; 0,3; 0,7 0,6; 0,2 ); (0 ; 0,3 0,8; 0,8 0,8; 0,8; 0,7 0,8; 0,2 ); max ( = max (0 ; 0,3 ; 0,8 ; ; 0,7 ; 0,2 ); max (0 ; 0,3 0,8; 0,8 0,5; 0,5; 0,7 0,6; 0,2 ); max (0 ; 0,3 0,8; 0,8 0,3; 0; 0,7 0,6; 0,2 ); = { 0,6; 0,8; ; 0,6; 0,6} 0,8 0,3 ( x, = 0,3 0,6 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,5 0,5 0,6 0,8 0,3 0 0,6 20
LÓGIC FUZZY Interpretação do Modus Ponens Generalizado: Supondo que a entrada ( * ) do sistema é precisa: * é um conjunto SINGLETON * ( x) = 0 para x = x' para todo outro x X LÓGIC FUZZY Usando a fórmula do Modus Ponens Generalizado * ( = sup [ * ( x) ( x, ] x = [ ( x') * ( * = [ ( x', ] = ( x', Substituindo *(x)(x) =, x=x = 0, x x x ( x', ] Implicações Fuzzy: Estendendo a Lógica Crisp: LÓGIC FUZZY p q (x, = - mín n [[ p (x), - q (] = - p (x). [ - q (] = máx m x [ - p (x), q (] (ZDEH) = mín m n [, - p (x) + q (] não são adequadas para problemas onde se tem relação de causa e efeito LÓGIC FUZZY Exemplo: considere-se a implicação ( x, = min[ ( x), ( ] e conjuntos e representados por funções de pertinência triangulares, em universos contínuos 2
LÓGIC FUZZY Lógica Fuzzy Para uma entrada singleton x, o consequente * será dado por: * ( = min[ ( x'), ( ] * Graficamente, o procedimento consiste em: x' x Lógica Fuzzy LÓGIC FUZZY Regra (implicação): se então Comprovação: (x, = - mín n [[ (x ), - (] (x) ( ( (x ) - ( mín n [ ] - mín n [ ] x y y y y 22
LÓGIC FUZZY Comprovação: (x, = mín m n [, - (x ) ) + (] (Zadeh) ( - (x ) - (x ) ) + ( mín n [ ] y y y Da mesma forma, dada uma certa entrada x=x, o resultado de uma regra específica, cujo consequente é associado com um conjunto fuzzy com suporte finito, é um conjunto fuzzy com suporte infinito NÃO FZ SENTIDO!!! Lógica Fuzzy Observa-se que o resultado de uma regra específica, cujo consequente é associado a um conjunto fuzzy com suporte finito, é um conjunto fuzzy com suporte infinito Este comportamento, que é observado também para outras implicações, viola o senso comum, de importância em aplicações em engenharia foram definidas implicações que não violassem o senso comum : min e produto [Mamdani e Larsen Controle], mesmo rompendo o vínculo com a lógica proposicional Implicações Fuzzy: LÓGIC FUZZY Implicação Mínimo Implicação Produto propostas por MNDNI. p q (x, = mín n [[ p (x), q (] p q (x, = p (x). q ( Lógica Fuzzy Refazendo o exemplo com essas implicações: (x) grau de ativação da regra x' x min produto ( ( * ( y * ( y y 23
Lógica Fuzzy Com estas implicações, chamadas de implicações de engenharia [Mendel], observa-se que: o conjunto fuzzy resultante está diretamente associado ao consequente da regra. não existe mais o patamar (suporte infinito) Lógica Fuzzy Quanto aos demais operadores, utilizam-se, geralmente: conectivo e ( f e ) normas-t conectivo ou ( f ou ) co-normas normas-t norma-t no modus ponens generalizado min Outros operadores também são usados para implicação geralmente normas-t regra de inferência max-min min y y LÓGIC FUZZY Em resumo: : x é * (valor preciso) 2: SE x é ENTÃO y é Conclusão: y é * * ( = (x, (x, = mín m n [[ (x ), (] (x ) ). ( 24