UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 0, 1, 2, 3, 4, ú. 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ú.,, 0 ú. 2, 3, 5,,, ú. A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais: a) 0,3 é um decimal finito. b) 0.1666 é um decimal infinito e periódico com dízima 6. c) 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional. Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 3,1415927 representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. ê 3,1415927 é â ê 2,7182818, é. 2 1,4142135 é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais. ú. Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232... c) 1,73205... g) 4 l) 0,5 d) 25 h) - 1,4142... m) 1

RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos. -6-5 -4-3,14-3 -2-2 -1 0 1 2 2 3 3,14...... I I I I I I I I I I I I I I I I... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 á 2 logo 1 2 6 á 5 6 5 2,3 á 1,5 2,3 1,5 Em geral...4 3 2 1 0 1 2 3 4 *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: 1á 4 1 4 2 á 3,1415 2 3,1415 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: a) 2 9 11 c) (2 9 11 b) 15 10 25 d) (15 10 25 : subtraem se os números e dá se o em módulo maior algarismo. Exemplos: a) 3 5 2 5 é é. b) 15 10 5 15 é é. 7 3 4 4 10 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses, colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) 8 9 8 9 1 b) 8 9 8 9 17c) 12 15 12 15 3 O sinal negativo na frente de parênteses, colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( 4 6 4 6 10 b) 16 20 16 20 4 c) 9 10 9 10 19 2

MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) 5. 4 20 b) 3. 6 18 multiplicam se os números e á. Exemplo: a) 8. 5 40 b) 1,5. 10 15 DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação. Exemplo: 7 3 6 QUADRO DE SINAIS :. Adição Somar Subtrair Sinal do maior em módulo Subtrair Somar Sinal do maior em módulo Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) 27 20 e) 15 15 b) 65 30 f) 23 45 c) 41 39 90 90 d) 87 7 h) 1 1 Respostas a) 47 b) 35 c) 2 d) 94 e) 0 f) 22 g) 180 h) 0 3

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica: a ) 5 4 61 3 ( 2 4 1 b ) 6 4.3 5 1 9 {5 4 6 2 52 1 6 12 5 8 5 4 12 10 1 6 12 5 8 5 8 10 1 6 12 13 5 18 1 6 12 13 5 18 1 7 7 13 1 12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo: a ) 20 9 12 15 20 b ) 2 11 17 12 10 3 c ) 55 10. 4 2 6 3 2 d ) 31 40: 2 9 9 7 e) 9 + 4 4 19 1 f) 10 6 9 4. 2 5 g) 60 5 1 1 13 h) i).. j) Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h) i) 4 j) 6 4

FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b 0, quando escritos na forma representam uma fração. = ã ã. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será: 3 5 Exemplo de frações: ; ; ; ; ; ; ; ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador. Exemplo: 2 Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3-5- 2) 2 Exemplo: 3-5- 1 3 1-5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30 m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1-2- 1 2 1-1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo:... 0,42... ) =.. 5

NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador. 1 O Inverso de é O Inverso de 2 é 2 O Inverso de é O Inverso de é *O número zero não admite inverso: o inverso de é nos não existe divisão por zero. DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo: a) :... b)... c) 15.. Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas: a). :.... b) 1 2 4 1 3 2 1 2 8 2 2 2 3 2 9 2 1 2 9 2. 9 c).......... 6

EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo: a) b) 9 10. 5 3 8 3 2 1 5 c) : d) e) 7 ( 7 ) f). 18 Respostas: a 1 b 0,033 c 5 d 10 e) 45 f) 52 7

POTENCIAÇÃO: Potência de um Número Natural: Seja, chama-se Potência de base e expoente,,, o número que é o produto de iguais a. Exemplos:... onde ê a) 4 4. 4 16 b) 2 2. 2. 2 8 c). 3,14. 3,14 9,87 d) 3 3. 3. 3 27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) 3 3. 3. 3. 3 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: 6 6, pois 6. 6 6. 6 36 36 Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos: 5 1 1 1 0? çã ) 3 1 1 1 1 0,25 = 1 Qualquer número elevado ao expoente 1 á é igual ao próprio número. Exemplos: 3 3 9 9 0 0 1 1 Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 10 1 c) 10 e) 2 f) 8 g) 1 d) 3 8

Inverso da Potência: Sejam, 0, o inverso de representado por Exemplos: a) 5 b) 2 d) 3 e) 3 1 27 c) 1 1 f ) 2 PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam,,, tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.. a) 3. 3 3 3 243 b) 2. 2. 2 2 2 64 c) 10. 10. 10 10 10 d) 5. 5. 5 5 5 5 # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a) 6 6 6 6 b) c) = 4 4 16 49 = 7 7 1 7 2 1 e) = 2 2 2 32 9

# A potência do produto é igual ao produto das potências... a) 7. 7. 49 b) 2. 2. 8. # A potência do quociente é igual ao quociente das potências. a) 0,58 b). c) # A potência de uma potência é igual ao produto das potências.. a). b) 2. 2. 2. 16. Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números,,, 0,,. P 1 ) P 2 ). P 3 ). P 4 ) P 5 ).. ou 10

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência: a) 9. 9 b) 10. 10 c) 12. 12. 12 1 d) 8 e) 1 2 3 f) 3 3 2 g) h) 2 4 i) 10. 10. 10 j) 10 : 10. 10 l). m) : Respostas: a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32 e) 17 f) 9 72 g) 8 h) i) 0,1 j) 10 l) 0,01 m) 10 11

RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo e um número natural, 1, chama-se é é ú ã (b tal que, 3 4 ê ê ú ê onde radicando, raiz, í, Exemplos: a) 16?? 16, qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16? Resposta: O número é 4, pois 4 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, 16 4 b) 8?? 8 8 2 2 8, portanto 2 é ú 8. c) 1?? 1 1 1 1 1, portanto 1 é ú 1. d) 16 2 2 16 portanto 2 é 16. Índice Par : Quando í a restrição é que 0, pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja, não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo. 16 ã º 16. Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo. 3 a) 8?? 8 3 8 2 2 8, portanto 2 é ú 8. b) 243 3 3 243, portanto 3 é 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo: a) 0 3 d) 27 b) 1 e) 4 4 c) 81 4 f) 16 12

Propriedades da radiciação: a, b +,, 0,,, 2. P 1 ).. Ex.: 3 3.5. 15 P 2 ).. Ex.:.. P 3 ) 0 Ex.: P 4 ) Ex.: 3 3 P 5 ). Ex.: 3 5 3.2 5 6 5 Potência de expoente racional: Sejam os números, 0,,, 1, ê é é. Exemplos: a) 25 1 2 25 25 5 b) 8 1 3 3 8 2 c) 2 3 2 2 8 quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar. Exemplos: a) 5 5 5 5 b) 7 7 3 c) 4 4 6 d) 5 3 5 3 5 6 e) 5 3 5 3 5 7 f) 9 1 9 9 81 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais: 3 3 a) 27 8 6 b) 3 12 3 5 3 3 c) 0 1 4 4 2 Respostas a) 1 b) 4 c) 3 13

POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência. 10 10 1 000 000 000 000 000 000 10 1 000 000 000 000 000 10 1 000 000 000 000 10 1 000 000 000 10 1 000 000 10 1 000 10 100 10 10 10 0,1 10 0,01 10 0,001 10 0,000 001 10 0,000 000 001 10 0,000 000 000 001 10 0,000 000 000 000 001 10 0,000 000 000 000 000 001 Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos: a) 0,5 5 10 5 1 5. 10 10 b) 0,05 5 100 5 2 5. 10 10 c) 0,005 5 1000 5 3 5. 10 10 Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000..., o expoente da potência de 10 diminui,,, na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. º. 10 Exemplos: a) 1,7 1,7. 10 17. 10 17. 10 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 2,45. 10 245. 10 245. 10 deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84,052 84052. 10 Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais 14

Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000,..., o expoente da potência de 10 aumenta,,, na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Exemplos: º. 10 a) 17 17. 10 1,7. 10 1,7. 10 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 2,45. 10 deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.exemplos: a) 5. 10 4. 10 5 4 10 9. 10 expoentes iguais b) 29. 10 1. 10 29 110 28. 10 c) 1.10 3. 10 7. 10 1 3 7. 10 3. 10 d) 10 + 10 10 1. 10 1. 10 1. 10 1 1 110 3. 10 Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6. 10 4. 10 60. 10 4. 10 60 4 10 64. 10 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6. 10 60. 10 b) 0, 29. 10 147. 10 29. 10 147. 10 29. 10 147. 10 118. 10 expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09.10 10 3. 10 9.10 10.10 3. 10 9.10 10.10 3. 10 16. 10 expoentes diferentes expoentes iguais 15

Exercícios Propostos: a) 15. 10 13. 10 b) 21. 10 10 c) 44. 10 4. 10 8. 10 d) 666. 10 2220. 10 e) 5,9. 10 9. 10 f) 6. 10 10 40. 10 Respostas a) 28. 10 b) 20. 10 c) 40. 10 d) 888. 10 e) 50. 10 f) 9. 10 Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 4. 10. 2. 10 4. 2.10 8. 10 b) 8. 10. 3. 10 8. (-3).10 24. 10 c) 7. 10. 10. 2. 10 7.1.2.10 14. 10 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos: a)...10 2. 10 b)... 10 6. 10 c)... 10 0,56. 10 d).,.....,..,.., 10 130. 10 16

Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10: a) 23. 10 0,023. 10 b) 99. 10 89. 10 90. 10 c).,... d) 48.10 7 2.10 7, 10 6 4.10 6 e). 10. 10 f) 2 2.10 4. 10 5 2. 10 10 g). 10. 10 h) 1 4. 10. 10 10 Respostas: a) 46. 10 b) 19. 10 c) 35. 10 d) 10 e) 1,17.10 f 25. 10 g) 5,5. 10 h) 0,83... 17

POLINÔMIOS: Monômio: Na variável é uma expressão do tipo onde ô,. ô,. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo: a) 4 é um monômio na variável de 4 ô 2 ô ô é 2º b) 6 é um monômio na variável de coeficiente 6 e grau 1. c) é um monômio na variável de coeficiente 5 2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau. f) 8 não é monômio pois contraria a definição, o expoente tem que ser um número natural, e. g) 3 não é monômio pois contraria a definição, o expoente tem que ser um número natural, e. POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável. Px Os números complexos (,,,,,, ã ô de variável e. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) 3 2 1 é um polinômio de 2º grau de variável e coeficiente 3. b) 12 5 é um polinômio de 1º grau de variável e coeficiente 12. c) 9 2 3 7 é um polinômio de 3º grau de variável e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) 2 3 3 8 1 b) 4 1 c) 18

Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo a) 3 2 1 9 2 3 7 9 3 2 2 3 1 7 b) 7 5 2 1 2 4 3 trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses. 7 5 2 1 2 4 3 somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau. 8 7 6 2 Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva:..... Exemplo: a) 2 5. 1 2. 2. 1 5. 5.1 2 2 5 5 2 3 5 b). 1.. 1 c) 2 3 2. 2.3 2 6 d) ( 3 2 1). (8 7 6 2 3.8 3.7 3.6 3.2 2.8 2.7 2.6 2.2 1.8 1.7 1.6 1.2 24 21 18 6 16 14 12 4 8 7 6 2 24 21 16 18 14 8 6 12 7 4 6 2 24 5 4 13 10 2 Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo ( 0. (8 4 6 2) : ( 2 3 5 8 4 6 2 2 3 5 0 Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: 8 12 20 4 8 0 16 26 2 16 24 40 0 50 42 (Resto) a) 5 2 6 2 b) 3 7 1 19

Produtos notáveis: 1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 2.. Demonstração:. 2.. Exemplo: 5 2..5 5 10 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 2.. Demonstração:. 2.. Exemplo: 2 2 2.2. 2 4 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.. Exemplos: a) 3. 3 3 b) 4. 4 c) 2 5. 2 5 2 5 d) 6 1. 6 1 6 1 20

Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) 2 3. 2 3 b) 5 4 c) 7. 7 d) 1 1 Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos: a) Fatorar o polinômio 2 2 5 4 3 3 Podemos escrever o polinômio desta maneira:. 2.... 2 Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números... 4, 2 e as potências repetidas de menor expoente: b) Fatorar o polinômio 6 2 3 6 3 2 1,... 6, 3 menor expoente: c) Fatorar o polinômio 6 4 4 3 12 2 6 4 12 2 3 2 6... 6, 4, 12 menor expoente: d) Fatorar o polinômio 8 20 8 20 2..... 5.... 4 2 5... 8, 20 menor expoente: 21

Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( 0. Exemplos de frações algébricas: 2 2 35,, Adição e Subtração de frações algébricas: a).. m.m.c (2,, 3, 2 1,, 3, 3 1,, 1, 1,, 1, 1 1, 1, 1, 1 6 b)..... 2.. 2... Multiplicação e Divisão de frações algébricas: a)... b) :. 2 Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos. errado errado errado 22

Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo: a) 1 1 1 b) c) d) 1 e) f) 1 Respostas: a) b) c) d) e) f) 23

EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas: a) { 7 3 1 6 33 b) 3. 7 13 3.. 2 2) Resolver as operações de potências de base 10: a) 5. 10 8. 10 3. 10 b) c)..... d),.,... e)..... 3) Resolver as equações : a) 1 b) c) 2 15 5 8 d) e) f) 4 5 Respostas: 1a) 16 2a) 10 1b) 28 2b) 9. 10 8 2c) 2. 10 2d) 2. 10 2e)10 3a) 234 6 3b) 3c) 2 3d) 1 2 3e) 1,4 3f) 4 24

FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos l. Se l varia então varia. b), ê çã. c, çã. Notação de Função: : í contra-domínio ( é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento í existe em correpondência um único elemento contra-domínio( que é a sua imagem. Definição de função: Sejam variáveis, tais que para cada valor atribuído a existe em correspondência um único valor. Dizemos que é uma função de e representamos por á á PLANO CARTESIANO: O plano cartesiano é representado pelos eixos das abscissas, ordenadas,. :1º. 2º, 3º 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto 0,0, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ( contra-domínio) º 0, 0 º 0, 0 0 ( domínio da função ) º º 0, 0 0, 0 25

Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas,. ------ abscissa, ordenada 0 Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:, 2, 2 1, 2 4 3, 2 3, 3 2 3, 0 1 0, 1 4, 3-1 - 2-3... - 4-3 -2-1 0 1 2 3 4... Construindo Gráficos de Funções: Seja a função com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente, encontramos as imagens que são os valores de 2º Passo: As coordenadas, colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados., 2 2. 2 4 2, 4 1 2. 1 2 1, 2 4. 0 2. 0 0 0, 0 3 1 2. 1 2 1, 2 2. 2 2. 2 4 2, 4 1... - 4-3 -2-1 0 1 2 3 4... - 1. - 2-3. 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) 2 1 2 1 c) 2 1 d) 2 1 e) f) 26

Função Crescente: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Crescente se as imagens ) Função Decrescente: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Decrescente se as imagens ) Função Constante: Seja a função e sejam e elementos do domínio da função com, dizemos que a função é Constante se as imagens ). Exemplo: A B C A função é crescente nos intervalos: e D E F G H I J 0 A função é decrescente nos intervalos: A função é constante nos intervalos:,, Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. 4 8 1 1 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 0 0 27

Função Linear: Coeficiente Angular da reta: É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular é positivo, 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular é negativo, 0. Se a função é constante o coeficiente angular 90, 90, logo não está definido. Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto 0,. Exemplos: Sejam as funções, 2 1 Coeiciente Angular 2 2 0 Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, 1. 1 2 1 Coeiciente Angular 2 2 0 Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, 1. -1 2 1 Coeiciente Angular 2 2 0 1 Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, 1. 2 1 Coeiciente Angular 2 2 0 Coeficiente Linear 1 corta o eixo y no ponto 0, 1. -1 Coeiciente Angular 1 1 0 Coeficiente Linear 0 corta o eixo y no ponto 0, 0. 0 Coeiciente Angular 2 1 1 0 Coeficiente Linear 0 corta o eixo y no ponto 0, 0. 0 3 Coeiciente Angular ã á 3 Coeficiente Linear 3 corta o eixo y no ponto, 3. 3 Coeiciente Angular ã á Coeficiente Linear 3 corta o eixo y no ponto, 3. -3 28

Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular e coeficiente linear das funções e, nos gráficos abaixo: a) b) 4 5 0 3 6 9 0 0,1 0,2 0,3 0,4-5 c) d) 6 35 0 2 4 6 8 0 7 14 21 28 Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalo, ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) 3 0 1 2 3 9 4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 2 0,2 3 9 3 0 1 9 0 0,1 0 1 2 4 0,1 0,2 29

2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula,,, a) b) P 0 2 4 6 8 0 7 14 21 28 4 14 6 35 é, 0 é, 0 substituindo 2, 0 na fórmula substituindo 0, 0 na fórmula 0 2 0 0 3 6 0 2 5 0 7 é, 0, é, 0 substituindo 2, 0 na fórmula substituindo 14, 0 na fórmula 0 2 0 14 3 6 2 4 5 70 7 14 30

c) 10 0 5 10 15 20-10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 20 10 é, 0 é, 0 substituindo 5, 0 na fórmula substituindo 15, 0 na fórmula 0 0 15 2 10 0 10 2 30 10 20 3) Ondas Dentes de Serra: a) b) 4 5 0 3 6 9 0 0,1 0,2 0,3 0,4-5 3 0,2 4 5 é, 0, 3, 0 substituindo na fórmula 0 3 é, 0, 0, 0 substituindo na fórmula 0 0, 4 0 3 50 0 0,1 é, 0, 0 0,2,, 0,2, 0 50 10 0,1 0,3 31

4) Ondas trapezóides 7 0 1 2 3 4 5 Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) 10 0 3 6 9 12 7 3 0 2 4 6 8 c) d) 18 6 0 3 6 9 0 2 4 6 8-6 e) f) P 0 5 10 15 20 25 0 7 14 21 28 32

Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função : dada por uma lei da forma: base, 0 1 Função Exponencial na base,. 1.. A ordenada do 0, é. 0 Para 1, 1 1. 1. a ordenada do 0,1 1.1 1 0 2.. A é. 0 Para 1, 1 1. 1. 2.1 1 é. 0 33

Equação Exponencial na base, : são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência, afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos: a) 1 sabemos que 1, então podemos escrever 2 2 0 1 encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes isolamos a incógnita encontramos valor que satisfaz a equação. b) 3. + 2. 5. 3 2 5. 8 colocamos em evidência o termo comum 5. 5. 8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes 8 8 2 8 4 c) tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação simplificamos as bases iguais restando os expoentes 2 6 3 Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo: a) b) 2 c) 1 d) 1 Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0 34

Função Exponencial do tipo:, 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. Quanto maior o mais a curva se aproxima de A A função tende a A quando tende ao infinito. A.................. 0 Tabela de valores de 3 2 1 0 1 2 3 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09 Exemplo: Esboçar o gráfico da função 2 1 ) Solução: A = 2 1 0 21 2.0 0 2............ 1 21 21 ) 1,26 0 1 2 3 4 2 21 21 2) 1,73 3 21 3 21 3) 1,9 Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) 3 1 b) 2 1 c) 1 1 d) 7 1 35

Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ). Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base real positiva e diferente de 1 é o número ao qual se deve elevar a base para se obter a potência b. log 0 b., 0 1 Exemplos: log 16 2 16 é o logaritmo de 16 na base 2 log 5 5 5 1 log 1 1 é o logaritmo de 1 em qualquer base 0 1 ã logaritmo de número negativo. Logaritmo Neperiano: Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler). log ou ln 1 ln 1 0 1 Propriedades dos logaritmos: :. Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. : Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos. çõ! ln :.. Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. : Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são. 36

Função Logarítmica na base 2,718 ln 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 e 2 ln e 2 = 2.lne = 2.1 = 2 e 3 ln e 3 = 3.lne = 3.1 = 3 e 4 lne 4 = 4.ln e= 4.1 = 4 0 P(1,0) lne. ln Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) ln 5 1 Restrição: 5 0 5 ln 5 5 5 2,72 5 2,28 sabemos que 1 ln simplificamos os ln isolamos a incógnita satisfaz a restrição: 2,28 5 Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo: ln 5 1 5 2,72 5 2,28 b ln 7 ln 3 ln 5 Restrição: 0 ln 7. 3 ln 5 7.3. 5 21 5 0,24 0,5 0,5 não convém pois, 0 37

c) ln 8 x1 0 x ln 8 1 ln 0 ln8 1 ln 8 1 8 1 7 1 Restrição: > 0 satisfaz a restrição 1 7 1 8 d) ln 2 Restrição: 0, 0 7 3 2 3 2 7 3 9 3 satisfaz a restrição 0 Exercícios: 1 Resolver as equações logarítmicas abaixo: a) ln 2 4 0 Restrição: 2 4 0 2 b) 1 ln 24 Restrição: 24 0 24 c) 1 ln 24 Restrição: 0 0 d) 1 ln 2 ln Restrição: 0 Respostas: a) 5 b) 5,2 c) 26,8. 10 e) 2 2 38

Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â 90. C é o lado oposto ao ângulo reto : são os lados opostos a cada ângulo agudo: Teorema de Pitágoras: A c B Razões Trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é o quociente, entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. b a c â Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo: 3 6 30 Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. b c a â Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. 39

Exemplos: a) 0,7071067 0,7071067 45 b) 0,8660254 0,8660254 30 c) 1,7320508 1,7320508 60 Exercícios propostos: Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) 0,8660254 d) 1 b) 0,7071067 e) 2,7474774 c) 1,7320508 f 1,7321 g) 0,5773 h) 1 Relações Fundamentais : 1) sen 2 α + cos 2 α = 1 2) Ângulos Notáveis: ÂNGULOS 30 45 60 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 40

Exercícios propostos: 1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo: 4 6 9 8 2 9 2 2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) 0,8660254 d) 1 b) 0,7071067 e) 2,7474774 c) 1,7320508 f 1,7321 g) 0,5773 h) 1 41

TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = O Ô A Unidades de medidas : Graus e radianos Grau ( ) 1 = da circunferência, então 90 180 270 da circunferência 360 1 circunferência Radiano 1 raio da circunferência 2 comprimento de uma circunferência 1 2 Conclusão: 360 2, logo 180 90 90 180 0 360 2 270 Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples 180 30 30. 180 6 Graus 30 45 60 90 180 270 360 Radianos 6 4 3 2 π 3 2 2π 42

çã : Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário com o centro coincidindo com a origem do sistema. Tomemos um arco ou o ângulo. Seno do arco ou do ângulo é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o. 1... P 1-1 0 R -1 á: ó Arco 2 0 2 π 3 2 0 1 0 1 0 1 0 2π 1 í 2............... 1................ 2 0.................-1............ 2 A çã é Í pois é simétrica a origem do sistema ( 0, 0 )., Período ( 2 é o período de tempo quando a função se repete. Amplitude 0 : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda. á í 43

çã : cos Seja o arco AP = ângulo x,denominamos Cosseno do ângulo, a abscissa do ponto P, projeção do segmento OP sobre o eixo, eixo das abscissas. 1 P 1-1 0 N R -1 Arco 0 π 1 0 1 0 1 0 1 2π á: ó 2 1.......... 1....... 2......... 2 0.................-1............ 2 A função é pois é simétrica ao eixo cos Função Tangente:, 0 ã A çã não está definida nos arcos 90, 270, A çã é Í: é simétrica a origem do sistema ( 0, 0 ). 44

Função do tipo: deslocamento do. á 0, é é á í í. á. í Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é. 5............... 2 2 A 3 2 2..... á 2 3 5 0 1............. í 2 3 1 2 Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é. 5............... 2 3 2... 2.... á 2 3 5 0 1............ í 2 3 1 Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função Solução: çã é. 2 6...... 0 6 4 0. á 0 6 6. í 0 6 6 6.............. 45

Exercícios: 1) Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) 1 b) 1 c) 3 22 d) 2 32 e) 4 f) 4 2) Determine a função, para um período, de cada um dos gráficos abaixo: a) á é çã 7................ á. í 3............... 0 1............ Resposta: 2 b) á é çã. á 4................ í... 0 2 4............ Resposta: 46

çã : A função á em relação a função. A função á em relação çã. Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : Solução: A função seno está defasada em 30 em relação a função seno. 30 6 çã 2 30 1 1 2.............. 1................ 30 0.................-1............ 2 O ponto máximo : 90 30 60 O ponto mínimo: 270 30 240 Corta o nos pontos :, 180 30 150 e 360 30 330 Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : O ponto máximo : 90 60 30 O ponto mínimo: 270 60 210 7 6 Corta o nos pontos :, 180 60 120 e 360 60 300 60 3 çã 2 60 1.............. 1................ 60 0 1 2.................-1............ 2 47

Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas : a) 4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 48

Arcos Simétricos : 180 - Sentido anti- horário = sentido positivo ( ). 180 360 1º Quadrante 0 90 : As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ). 2º Quadrante ( 90 180 ): Quanto falta para 180? 180... 120 180 120 60 0,866 120 180 120 60 0,5 120 180 120 60 1,732 3º Quadrante 180 270 : Quanto passou de 180? 180 210 180 30 30 0,5 210 180 30 30 0,866 210 180 30 30 0,577 4º Quadrante 270 360 : Quanto falta para 360? 360 315 360 315 45 0,707 315 360 315 45 0,707 315 360 315 45 1 49

- Sentido horário ou sentido negativo ( ). 4º Quadrante 0 90 : 30 30 0,5 é çã Í, cos30 30 0,866 é çã, 30 30 0,577 é çã Í, 3º Quadrante 90 180 : 120 120 180 60 60 0,866 cos120 120 180 60 60 0,5 120 120 180 120 60 1,732 2º Quadrante 180 270 : 210 210 180 30 30 0,5 cos 210 210 180 30 30 0,866 210 210 180 30 30 0,577 1º Quadrante 270 360 : 315 45 0,707 cos 315 45 0,707 315 45 1 50

LIMITES DE FUNÇÕES Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1. A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa 1, matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura. + + +... +... 1 16 Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1. Definição: Dizemos que o limite da função, quando tende a é o número real se e somente se, os números reais da imagem permanecem bem próximo s de para os infinitos valores de próximos de. y lim 0 lê-se: limite da função quando tende a é. Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e que esses limites sejam iguais. Lim lim lim 51

Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4 Y Lim 4 0 1 2 3 x lim 2 lim 3-3..... Exemplo1: Qual o limite da função 2 quando 0, 2. Y 2 0 1 2 3 4-2.... 2 lim 2 lim0 2 2 lim lim 2 lim 0 2 2 lim 2 lim 0 2 2 2 lim 2 2 0 lim 2 lim 2 2 0 lim 2 lim 2 2 0 Exemplo 2: Calcular o lim 1 1 lim 1 e lim 1 Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando 1 0 1, existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto lim 1 çã ã á,,. y lim 1 lim 1 1 lim 0 0 1 0 1 1 lim 1 lim 1 1 lim 0 0 0 1 x 5 2 lim 1 lim 5 1 lim 4 2 10 3 Não existe limite da função 1 quando 1 Supondo que a função 1 for contínua para todo 1 então o limite vai existir para quaisquer valores do domínio. Por exemplo: 2, 3.... 52

Símbolos e em limites lê se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número. lê se menos infinito, representa um valor muito pequeno. Exemplos 1: Seja, função exponencial decrescente y a) lim lim lim lim b) lim lim lim 0 1-0 + c) lim lim lim 1 1 Exemplos 2: Seja lim, 0, O gráfico da função é uma hipérbole. lim + 0-0 + lim 0 lim lim lim lim - 53

LIMITES FUNDAMENTAIS: 1) lim 1 2) lim 1 2,72 Exemplos : Calcular os limites a) lim 4 lim 4 4 4 lim 4. lim 4 4 4. 1 4 b) lim 1 2,72 c) lim 1 lim 1 7,4 Exercícios: a) lim 3 4 Calcular o limite das funções abaixo, caso exista: b) lim 2 7 10 c) lim d) lim e) lim f) lim 4 g) lim Respostas: a) 7 b) 0 c) 1 d) 1 e) 0 f) 3 g) h) 54

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO : A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada. Seja a função contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito) dois pontos de seu domínio. Acréscimo da variável independente é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor. Ex: 4 9 então 5 é o acréscimo. Acréscimo da variável dependente é a diferença entre o valor que a função toma em e o valor da função em.. RAZÃO INCREMENTAL acréscimo da variável independente. é a razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao.................. )... 0 Quando tende a zero ( 0 ) a razão vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em. lim lim çã Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos Símbolos da função derivada: Lê-se : çã = 55

PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos. Seja função e x um ponto fixo, pré-estabelecido 1º Passo: Damos um x à variável independente, implicando acréscimo y na função (x coloca-se ) 2º Passo Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x) Dividimos em ambos os membros da equação 3º Passo Fazendo x 0 a razão chega ao limite 4º Passo = = Esse limite é a derivada da função inicial Exemplos : Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo: a) = 1º Passo: 5 3 = 5 3 2º Passo = 5 5 3 5 3 = 5 3º Passo = 4º Passo lim = lim 5 = 5 : = 56

b) 1º Passo 2º Passo.. 3º Passo.. 4º Passo lim lim.. lim. lim. lim.. lim cos lim. lim lim.. lim cos 0 1. lim lim. 0 lim lim 0 0 lim Resposta: 57

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determinar das funções abaixo, utilizando a definição de derivada. a) b) 10 4 c) 3 Respostas: a) 1 b) 10 c) 2 3 Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e demorado. Assim faremos o uso de um formulário de derivadas. 58

FÓRMULA DE DERIVAÇÃO: Sejam, çõ á. FUNÇÃO DERIVADA 1 cte. 0 2 1 3 4.. 5 6.. 7 8. 9 10. 11. 12. 13 14. 15.. 16. 17... REGRA DA CADEIA : ( derivada da função composta : Sejam as funções ã çã :. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR : são derivadas sucessivas da função é 1ª é 2ª Exemplo : Calcular a 3ª derivada da função 2 5 3 5 6 10 3 12 10 12 59

Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela: 1) a) 8 0 b) 1 0 c) 3 0 d) 0 e) 0 2). : número ou letra a) b) 1 c) 2 2 d) 3 3 e) 3).. a) 2 2. 21. 1 2 b) 2 3 2.3. 31. 1 6 c) 4 4. 41. 1 4 d) 3 3 3. 3 3.3. 3 9.9 81 e) 2.. 2.. 60

4) a) 5 3 4 5.2 3 0 10 3 b) 3 7 3 3. 3 7 c) 2 4 2. 2 4 2 5).. u. v a).. u. v 1 1... b). 5.. 2 5 5 5 2. 5. 55 2. 5 5. 5 6).. a) 8 4 8 8. 8 4 4.. 2 8.8.4 8.4 4 2 64.8 8 8 16 2 b).. 2..cosx 2 61

7) a) 2 2 2 2 2 b) c) 3x 2 3x 2 3 23 2 3x 8). a) 9. 9 9 9. 9 b).. c) 2. 2 2. 2 2. 2. 2 62

Interpretação Geométrica da Derivada: Consideramos a curva de função contínua ). Tomemos dois pontos de seu domínio: com suas respectivas imagens.,, Pontos da secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â. A â determina o. à curva determina uma inclinação de â com o,. ) curva........... 0 = coeficiente angular da reta s Se 0,,assim,, chega ao limite. Esse limite é a derivada da função. Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação no ponto P. lim Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação no seu ponto 2. Solução: O coeficiente angular é 2, que é a derivada da função dada. 2 =lim 2 lim 0 2 2 2 2 2 2 2.2 lim 0 44 2 42 8 2 = lim = lim 6 0 6 6 63

Exercícios de derivadas: 1) Dadas as funções encontre sua derivada: respostas a) 3 4 5 6 4 b) 2 2 2 c) d 3 32 7 6 e) ln2 3 4 43 2 2 34 f). 2 1 2 g) 2 2. 2 h) 5 25 i) 1 2 j) 2 64

k) l). 5 55 5 m) 2 222 2 n). o). p) 1 1 q) r) 3 s) 65

Exercícios de derivada ( 2ª lista ): 1) Calcule as derivadas das funções abaixo: Respostas a) 2 2. 2 b) 6 66 c). 3 3 33 d). e) ln f) 2 g) 2 h) y 66

i) y j) 7 7. 7 l) 5 m). n) 7. 7 71 7 o) ln. p) 67

2) Calcule a 2ª derivada das funções abaixo : respostas a) 4 4 4 4 b) 81 c) 0 d) 2 6 4 7 12 1 68

DIFERENCIAL: Seja a função A diferencial de uma função é igual a sua derivada multiplicada pela diferencial da variável independente; indica-se por e lê se: diferencial da função ou diferencial de y, sua equação é dada por :. ou:. Para achar a diferencial de uma função basta achar a derivada da função e multiplicá-la por. Exemplo: Ache a diferencial das funções abaixo: a) 2 3. 4. b) 6 5. 6 cos 6 5 5 6 6 5 5.. Exercícios: Calcular as diferenciais das funções abaixo: a) 3 7 b) 4 7 5 c) 3 69

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Interpretação Geométrica da Diferencial:. Q q tg α 0 m é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de abscissa. Assim temos; se diferencia de. razão entre as diferenciais. por quantidade muito pequena que denominamos de q. multiplicando por, ambos os membros da igualdade temos,.. quando 0. 0 0... mas, e.. temos então;.,.. 70

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 1) Cálculo Aproximado por diferenciais: Quando for muito pequeno ( 0 temos, o acréscimo da função se aproxima da diferencial da função;. temos que. Exemplo: Calcular por diferenciais o valor aproximada de,, dado 7,29. Fazendo,, 1 0, 05 Substituindo na equação.,. 0,1 1 0,05, 2,858 2) Erros Pequenos: Quando se quer computar pequenos erros nos cálculos usamos a fórmula da diferencial Exemplo: Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 polegadas se um erro de 0,02 polegadas foi feito ao medir a aresta? Solução: Da fórmula da diferencial temos,. 6. 3 12. 6 0,02.. 3. 12. 3. 6. 0,02 12.6.0,02 2,16. 1,44. 71

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: Seja a função Derivadas: Símbolos de derivação Diferencial: Símbolos de diferenciação. Integral: Símbolo de integração.. INTEGRAÇÃO: É o processo de achar a Função Primitiva = Integral, a operação inversa da função diferencial. A operação de integração é indicada pelo sinal de integração posto antes da diferencial ;. çã Lê-se:. é. é á çã. A derivação e a integração são operações inversas d.. ó çã,. EXEMPLO: Calcular a integral das funções abaixo: a). çã. çã?. b) 1. 1. a função que originou a derivada 1 tem como função primitiva c).. função primitiva é 2 2 72

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAL INDEFINIDA :. çã Integral indefinida porque não podemos definir com exatidão a função primitiva que foi diferenciada. A constante integração poderá assumir infinitos valores. Exemplos: a) 2 quando derivamos a função primitiva, a constante se anula. 2 0. 6 2 0.. o valor da constante é arbitrário, podendo ser qualquer valor. b) 7. 7 c) d) INTEGRAIS IMEDIATAS: No cálculo diferencial tem-se uma Regra Geral de Derivação, mas no cálculo integral não existe tal regra ( existe a integral mas muitas vezes não se consegue achar a função primitiva). Utilizaremos a TABELA DE INTEGRAÇÃO. Caso não tenha na tabela a expressão diferencial, teremos que usar artifícios para chegarmos a um resultado. Exemplo: 2x 4 dx 2 4 2 4 = 4 ç é ç. 73

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS: Sejam,, çõ á. 1) 2) 1... 3)... 4).. 5). 1 1 1 6) 7) 8). 2,718 constante de Euler 9)... 10). 11).. cos. 12). 13).. sen. 14). 2 15) 2. 1 1 2 2 2 16).. 17) ln... ln. 74

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exemplos: Calcularemos integrais com expressões diferenciais iguais a da tabela de integração: 1) 2) 1. 3) 4. 4. 4. 4) 5). 6) 21 1 1 21 1 7),. 8). 9)... 10).. 11) 3.. 12).. 13) 4.. se4 4 = 15). 16).. 2 c 17) ln7... ln 7. 75

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios Resolvido: Calcular as integrais abaixo: a) 2 3 2. 3.... b) 9 2 9. 2. 9. 2. 9. 2 2 2. 3 3 c) 1 1.. 2 2 d).... é a função diferencial que será integrada.. + c e). 1 2 2 1 2. 2. dx dx 1 2. 2. dx C 76

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia f). 1 2 2 1 2. 2. dx dx 1 2. 2. dx c g) x --2 dx 21 21 1 1 1 h).. i ) 2 2 Sabemos que 1 1 77

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAÇÃO POR PARTES: Sejam u e v funções de uma única variável. A diferencial do produto dessas funções é:...... isolando. na equação..... aplicando a em ambos os membros da igualdade FÓRMULA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES.. OBSERVAÇÃO: Para aplicar a fórmula, a expressão sob o sinal de integração deve ser separada em dois fatores : (. ã á, é çã í ã é çõ, é. Exemplos: a)....... 1.. +c..... ) +... + + b)..... 1 +...... ) +. + 78

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios: Calcular as integrais por partes: a).. ) ln ) 1) c). 1) ) 4. 21) e) 1) ) ln 4 ) 41) 79

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia INTEGRAL DEFINIDA: É a integral definida por um intervalo [a,b] onde a e b são valores definidos e finitos a é o limite inferior e b é o limite superior. A representação da integral definida é ). Lê-se: integral de a de ). A operação é chamada de integração entre o limite superior b e o limite inferior a. A integral definida ). y 0 a c b S ) ). será S é a área sob a curva de função ) á. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA: P 1 ). ).. ). é P 2 ) ) + ). ). + ). P 3 ) ). ). P 4 ) ). ). + ). os limites inferior e superior foram trocados, a integral troca de sinal., TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: b a Se ) é çã çã )é á ó. ). ) ) ) Se a integração for por partes: Exemplos: 1). = 4 1... 4 1 1 3 b a 63 63 3 á. ) S 0 1 4 80

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 2).. 0 0 1 1) á. S 0 3) 3. 3 3 3[ 3 1, 0 1 2 Exercícios resolvido: Dado o gráfico, determine a área da função para um período, utilizando integral definida. a) 6 0 5 10 15 Solução : ). + ) 6. + 0. 6 + 0 6. 65 0 65 A área do retângulo.. 81

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia b) 10 S 0 10 2025 30 Solução :. + + 20). +. + 20.. + 20 10 0 + 20 + 2020 10 A área de um triângulo. 20.10 2 2 50 20 10 + 2010 50 400 100 + 200 50 + 200 50 150 + 200 100 c) y Solução 1:. + 2. + + 6) 2 + 2 + 2. + 6. + 6 2 0 + 24 2 + 66 4 0 2 4 6 8 x + 2.2 6 4 + 6.2 2 + 4 36 16 + 12 18 = 18 10 8 Solução 2 : A área do trapézio S = ). ). d) y Solução:. 2 0 1 1 7 S á çõ é é,. 0 2 + -7 0 0 82

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA: Utilizada em circuitos elétricos, para o cálculos de Valor Médio e Valor Eficaz de funções periódicas. 1) VALOR MÉDIO: É a média aritmética de todos os valores instantâneos num período. como são infinitos valores, a soma de infinitos valores é a integral, logo 1. ). 1) Para funções formadas por Retas, pode-se calcular o Valor Médio como área da figura geométrica. á í çã S 0 1 2 á â í... As çõ ( ) possuem valor médio 2) Se é çã Í é é 0 A soma das áreas será nula, já que as áreas são iguais ( e a função é simétrica ao eixo x. Para calcular o valor médio usaremos somente a metade do período, ou seja, o valor médio de. Exemplo: Calcular o valor médio da função. ciclo ou seja.... 0 1 1.. As funções seno e cosseno: de período 2, o valor médio para ciclo 83

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia 2) VALOR EFICAZ: É a média quadrática de todos os valores instantâneos da função num período. Como são infinitos valores a soma de infinitos valores é a integral, logo. ). tirando o radical facilitará os cálculos, teremos 1 ). Exemplo: Determine o valor eficaz da função. para um período 2. ).... 2.. 2. 2 0 2. sen2(2) 20 ) Funções seno, cosseno e funções constantes no período. Funções triangulares e dente de serra para um período. 84

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia EXERCÍCIOS: Calcular o valor médio e o valor eficaz das funções nos gráficos abaixo: a) b) c) Y y y 4 9 8 0 3 6 0 9 18 27 0 6 12 18 d) e) f) g) 1 7 1 4 0 0 0 3 6-1 - 7-4 Respostas: a) b) c) d) e) f) g) 2 4,5 4 0,64 4,5 0,64 2 2,84 5,2 4,6 0,71 4,96 0,71 2,84 85

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia VETORES: O conceito de vetor surgiu na Mecânica onde envolviam problemas com soma de forças atuando no mesmo ponto ( regra do paralelogramo). GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS: GRANDEZAS ESCALARES: São grandezas que ficam determinadas por um número real acompanhado pela unidade correspondente. Ex: 5 kg de massa, 2 m 2 de área, 15 cm de comprimento etc. GRANDEZAS VETORIAIS: São grandezas que necessitam além de um número real,também de uma direção e de um sentido. Ex: Velocidade, aceleração, peso, campo magnético, força e outras. DEFINIÇÃO DE VETOR: É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido,e de mesmo comprimento. IMAGEM GEOMÉTRICA DE UM VETOR: Na figura abaixo, tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor, esses 4 segmentos orientados ou 4 imagens geométricas de um mesmo vetor. Um vetor possui infinitos segmentos orientados. Representa um único vetor NOTAÇÃO DE UM VETOR: Letra minúscula encimada por uma seta. Exemplo:,,,,,, VETOR significa levado, transportado. O ponto A é levado até o ponto B. B (extremidade do vetor) A (origem do vetor) MÓDULO: COMPRIMENTO é o número não negativo que indica o do vetor. I I I I I 4 86

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia VETOR NULO: 0, sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. VETOR UNITÁRIO: 1 é ó 1. : ) possui o sentido contrário do vetor. ADIÇÃO DE VETORES: Sejam vetores a Soma será o vetor Resultante. A soma de n vetores é feita de modo que a extremidade de cada vetor coincide com a origem do vetor seguinte, o vetor resultante é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do 1º vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. Exemplo: propriedade comutativa. 0 oposto. 87

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia SUBTRAÇÃO DE VETORES: Sejam vetores, a subtração será o vetor Resultante. A subtração ou diferença de dois vetores é obtida fazendo com que os vetores tenham a mesma origem. O vetor diferença é o vetor que fecha a poligonal, tendo por origem, a extremidade do 2º vetor e por extremidade a extremidade do 1º vetor Exemplo: não comutativa REGRA DO PARALELOGRAMO: Exercícios: Dados os vetores obter graficamente: a) b) c) d) 88

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia ÂNGULO DE DOIS VETORES: O ângulo,, dois vetores é o ângulo formado entre sua direções, levando em conta os sentidos dos vetores. 0 90 90 180 90 180 ) 0 ) Multiplicação Interna ou Escalar: O produto interno ou escalar de dois vetores é o número ( escalar ) tal que.... 0 cos 0 1º 4º, é. se. 0 cos 0 2º 3º, é.. 0 0 90 Módulo de um Vetor:...0 0 1.. 1 extraindo a raiz quadrada,. Lei dos Cossenos: b multiplicando por... 2... 2.. cos... 89

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Co-Senos Diretores: Sejam os vetores b ortogonais, 90, respectivamente paralelos aos eixos no plano cartesiano. é a medida algébrica da projeção do vetor sobre a direção do vetor é a medida algébrica da projeção do vetor sobre a direção do vetor b. = argumento 0y. 0. proj //b 0 //.... θ arc tg Exemplos: Calcule o módulo e o argumento do vetor resultante abaixo: a) 5 R 0 5 b) 0 3-1...R... 90

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia NÚMEROS COMPLEXOS Introdução: Por volta de 1500 dc, a impressão é que, com a criação dos números Reais não seria mais necessária a ampliação de nenhum campo numérico. O conjunto dos Nº s Reais é formado pela união dos conjuntos Racionais e Irracionais, os quais fazem parte da reta real. Já os radicais de números negativos não pertencem ao conjunto do nº s Reais, pois não existe raiz quadrada de um número negativo, ou, não existe um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Porém quando o matemático Cardano descobriu a fórmula para a equação de 3º grau, que fornecia raízes reais mediante expressões onde apareciam raízes quadradas de números negativos, fez se a necessidade de criar um novo número, que denominaram de Unidade Imaginária devido a desconfiança deste novo número. Obs.:Para os estudos de circuitos utilizaremos o símbolo j como unidade imaginária para não confundir com o símbolo i de corrente elétrica. UNIDADE IMAGINÁRIA ( ): á, O expoente é um número múltiplo de 4............. Exemplos: )? Dividimos 215 4 o resto da divisão, no caso 3, será o novo expoente 3 53 b)? 46 4 então 1 2 11 Exercícios: a) b) c) d) 91

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ( ) Podem ser representados em um eixo imaginário... - j3 - j2 - j1 0 j1 j2 j3... j (eixo imaginário) Pode ser escrito de várias formas : Retangular, polar, trigonométrica e exponencial. A forma Polar e a Retangular são as mais utilizadas em circuitos elétricos. ã ú FORMA RETANGULAR: ( ou algébrica ) + á ) Parte Real de Z ) Parte imaginária de Z Se 0 ) 0 0 + º á, ) Se 0 ImZ 0. 0 º Exercícios: Identifique a parte real e a imaginária dos nº s complexos: a) 2 3 b) 4 6 7 d) 1 e) 6 2,7 2 2 g) 15 h) 6,2 i) 10 92

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia REPRESENTAÇÃO CARTESIANA ( PLANO ARGAND GAUSS): Utilizaram o plano cartesiano para representar o número complexo. Se cada ponto de uma reta corresponde a um número real, assim cada ponto do plano podia ser associado a um número complexo. Convencionou-se associar o nº complexo + ao ponto, ),., ) + á 3-1,3 2-1-...-2-1 0 1 2... 1 2 3 Quadrantes: Posições do ponto P, ). Seja o número complexo + associado ao ponto P, ). 0 P, 1º. 0 0 P, 4º. 0 P,. 0 P, 2º. 0 0 P, 3º. 0 P,. 0 P,. 0 0 P,. 0 P,. Exemplos: a) 2 3 2 0 P 2, 3 4º. 0 93

Fatec - PR Matemática Profª.: Rita de Cássia Exercícios: Representar os números complexos no plano cartesiano e identificar o quadrante ao qual pertence: a) 3 + 4 b) 2 + 2 c) 3 d) 4 e) 1 f) 22 g) 4 h) 2 94