Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Recife - PE URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deoliveira.html http://www.ee.ufpe.br/codec/weblet.html 1
Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas. Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas. Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em PDS.
ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)... Pacotes de ondas acústicas sísmicas. Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada. As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis. Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997. 3
Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais. Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis. Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada). Jean Morlet. (ecce homo!) 4
Gama de aplicações: geologia sísmica visão computacional e humana radar e sonar computação gráfica predição de terremotos e maremotos turbulência distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo compressão de imagens descontaminação de sinais (denoising) detecção de rupturas e bordas 5
análise de tons musicais neurofisiologia detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica modelagem geométrica caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica 6
Telecomunicações previsão em mercados financeiros Estatística solução de eq. dif. ordinárias& parciais Jean-Baptiste-Joseph Fourier 18: "La Théorie Analytique de la Chaleur": Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo. Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência. 7
Definição (ANÁLISE DE FOURIER): A transformada de Fourier de um sinal f(t),- <t<+ é + jwt = f ( t) e dt F( w) :, denotada algumas vezes I [ f ( t)], se a integral imprópria existe. Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER): f ( t) 1 = + jwt F( w) e dw π. par transformada: f(t) F(w). 8
TEOREMA DE PARSEVAL. Seja f(t) F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia do sinal pode ser calculada em qualquer dos domínios, i.e, + f ( t) dt + = F( f ) df. Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as wavelets? Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f, mas em ambos (espaço conjunto tempo-freqüência)! 9
Conceito de estacionaridade Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local. Todo o sinal, desde o começo dos tempos (- ) até o fim dos tempos (+ ) é levado em consideração. A transformada de Fourier representa um "comportamento global médio" do sinal. 10
(a) Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal estacionário, (b) (b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário. A transformada de Fourier analisa a contribuição de cada componente harmônica no sinal como um todo. 11
O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado... Evolução na TF clássica: (STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto). Esta transformada introduz um caráter local e passa a depender fortemente do instante de tempo analisado. 1
Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local. Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local. seqüência de "fotos" do espectro:... F(w,t -1 ), F(w, t 0 ), F(w,t 1 ), F(w,t )... evoluindo temporalmente. 13
Sinais práticos "bem comportados" com relação à estacionaridade: sinais periódicos. Não é a toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente restrita a esta classe de sinais. FOTOS: Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos, 15, 0, 5 e 30 anos). 14
Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier. Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, => maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento A classe de sinais cujo espectro permanece relativamente independente no tempo é referida como aquela dos sinais estacionários. Os não-estacionários trazem variações substanciais e significativas de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo considerado. 15
É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3 4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa). Diferentes níveis de "estacionaridade": seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos; seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem); seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes; 16
seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu); seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc. Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? A resposta não é fechada. Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar". 17
A Transformada de Gabor Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem. A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial. Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT Short Time Fourier Transform) também conhecida como a Transformada de Gabor. 18
A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário. A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro. 19
Formalmente, + * jwt STFT(w,τ ) := f(t)w (t τ) e dt. Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. As próximas perguntas: Por que a STFT não é suficiente? O que seria mais apropriado, além de um transformada local (wavelets também são locais)? 0
A Guisa de uma Análise de Wavelets Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência : A análise visualizada como um banco de filtros. resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante). Q constante: as resoluções t e f mudam com a freqüência central, satisfazendo ainda o princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula básica). 1
FOTOS NOVAMENTE: Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos (0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 0 anos, 5 anos). (1 ano, anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 3 anos). O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".
Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (Matlab ). As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de qualidade constante. domínios tempo e freqüência (f t) domínios escala e deslocamento (a b). 3
Interpretação: "mapas". Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global. 1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo 1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo. 4
Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores. Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica. 5
Banda passante constante (STFT) f f 3f 4f... 0 0 0 0 Banda passante relativa (Q) constante (WT) f f f 4f 8f... 0 0 0 0 f Figura. Análise Espectral com banco de Filtros: (a) STFT e (b) WT. Todos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos, centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de qualidade Q). 6
Wavelets Contínuas Introdução a Transformada Contínua de Wavelet A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução. Fixada a janela para a STFT, as resoluções no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constantes em todo o plano t-f. CWT: Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências mais baixas. 7
Freqüência Freqüência Tempo Tempo (a) (b) Figura. Resolução no plano t-f pela análise (a) STFT (b) Transformada de Wavelet. 8
A Transformada de Wavelet Contínua CWT ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) L (R). + ψ (t)dt < + Operações: 1 t a) escalonamento ψ a ( t) = ψ, a 0. a a b) deslocamento ψ b( t) = ψ ( t b). c) deslocamento com escalonamento ψ a, b ( t) = ψ a ( t b) = 1 t b a ψ a. 9
{ ψ ( t)} { ψ a, b ( t)} ( a, a 0) ( b R). versão: Comprimida da wavelet mãe, se a<1; Dilatada da wavelet mãe, se a>1. O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes têm a mesma energia! t ψ ( t) = ψ a, b ( ). 30
Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões 1 t b a ψ a garante a mesma energia para qualquer wavelet! Define-se CWT(a,b):= + f (, * t) ψ a b( t) dt =< f(t),ψa,b>. Analogia com Fourier: F(w)= + f jwt ( t) e dt =< f(t),e jwt >. 31
Fourier F(w), em cada w: { jwt } Projeção de f(t) na direção das ondas e w R que constituem uma "base" do espaço de sinais. Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento nãolocal no tempo, mas de - a +. Wavelets: decomposição de f(t) em sinais {, b } * a R + b R novo conjunto de análise do espaço de sinais. ψ a ( t ) que constitui um Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno. 3
A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets. Critério para definir wavelets: Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo. + ψ ( t) dt = 0 Condição de admissibilidade, Dado o par transformada de Fourier: ψ ( t ) Ψ( ω), Ψ( ω) ω d ω < + 33
Ψ = + ( ζ ) C ψ dζ < + ζ => lim Ψ( ζ ) = 0 ζ 0. Ψ ( 0) = 0 => + ψ ( t) dt = 0. Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos: Ψ ( 0) = 0 (pela admissibilidade) Ψ ( ± ) = 0 (pois ψ é de energia finita). Dado ε >0 arbitrário, α, β R, 0 < α < β < + tal que 34
Ψ(w) < ε para w < α e w > β. Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser essencialmente não nulo. Figura. Comportamento de Ψ (w) tipo passa-faixa. 35
O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos. O termo a -1/ é um fator de normalização da energia do sinal e 1 t b ψ a, b( t) = ψ, a a a 0 é uma transformada afim. 36
Uma wavelet ψ a, b ( t) é definida por um mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe ψ(t). Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações. 37
Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 1 1 t f ( t) CWT( a, b) ( C + + = ψ a ψ b dadb ) a a. A Transformada Inversa (CWT -1 ) Sejam f(t) L(R) e ψ a,b (t) L(R-{0} R). Sob que condições é possível "pegar uma onda"? (catch the wave...) Escolher uma wavelet protótipo tal que = ψ(t) Ψ(w) e + Cψ Ψ( ζ ) ζ dζ < +. 38
Exemplos: Um mar de Wavelets Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe. Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 39
'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets. 'deo' de Oliveira wavelets. 'beta' beta wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'cheb' Chebyshev wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'Gegen' Gegenbauer wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. 40
41 Wavelet de Haar Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas. caso contrário 1 t 0 0 t -1 0 1 1 : ) ( ) ( < < = t H ψ. Estas são versões do tipo "wavelet digital".
Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets). Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes. 4
Wavelet Sombrero Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que ψ ( t) = ρ''( t) é a wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias. ψ ( Mhat) ( t) = ( t π 1) e 1 / 4 t 3 /. Figura. Wavelet Sombrero. Matlab. 43
Wavelet densidade Gaussiana Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por: ( fdg ) te ψ ( t ) = gaus π t 1 : = 1 / 4 /. 0.644 1 0.5 ψ ( x) 0 0.5 0.644 1 10 5 0 5 10 8 x 8 Figura. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana: gaus1 e gaus8. 44
Wavelet complexa de Morlet Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa: ψ ( Mor ) 1 t / jw0t ( t) e e 1 / 4 = π. Figura. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária). 45
Wavelet de Shannon A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon. Espectro da Wavelet real: w 3π / w + 3π / Ψ( w ) = + π π. Tomando a transformada inversa: ( Sha) πt 3πt ψ ( t) = Sa cos. 46
ψ Assumindo t=x+1, ( Sha) sen(π ( x + 1)) sen(πx) ψ ( x) = π x + 1. No caso da wavelet complexa, pode-se usar ) jπt ( t) = Sinc( t) e. ( CSha (a) (b) Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon (Matlab ). 47
48 Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é., / M tal que ψ(t) =0 t >M). Wavelet de Meyer A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como: = Ψ caso contrário. 0 /3 8 w /3 4 1 4 3 cos 1 /3 4 w /3 1 3 sen 1 ) ( / / π π π υ π π π π π υ π π jw jw e w e w w.
Figura. Wavelet de Meyer: (a) função de escala (b) wavelet. Matlab. 49
Wavelets de Daubechies Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais. As 1 as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto. Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis. Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto. 50
Figura. Wavelets dbn de Daubechies (N=,3,4,...): As Daublets Matlab. 51
Figura. Diversas versões de uma db. Estas formas de onda são ortogonais (!). 5
Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ (t) quanto na wavelet-mãe ψ (t). Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em 1989. São também wavelets de suporte compacto. 53
Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos nulos. 54
55 Wavelet de "de Oliveira" Nova família de wavelets ortogonais complexas. Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-constante. Basta escolher ) w ( Φ (raiz de cosseno elevado). ( ) π α π α π α π α π α α π π ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 0 0 ) (1 4 1 cos 1 1 ) ( + > + < < = Φ w w w w w.
não são de suporte compacto. A característica da função φ(t) no domínio frequencial: (1+α)π (1 α)π (1 α)π (1+α)π Figura. Característica frequencial da AMR ortogonal "de Oliveira". A função pulso cossenoidal PCOS desempenha um papel importante na AMR cosseno elevado. 56
Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t 0, θ 0,w 0 e B é definida por PCOS 0 ( w; t, θ, w, B) : = cos( wt + ) 0 0 0 0 θ 0 w w B,t 0,θ 0,w 0,B R, 0<B<w 0. a sua transformada inversa é: 1 ( t t, θ, w, B) : I PCOS( w; t,, w B) pcos ; 0 0 0 = 0 θ 0 0,. 57
Separando as partes real e imaginária, denota-se pcos ( t t,, w, B) = rpc( t) j. ipc( t) ; 0 0 0 + θ em que () t : Re( pcos( t; t0, θ 0, w0 B) ) () t Im( pcos( t; t,, w B) ) rpc, = e ipc, Mostra-se que: : 0 θ 0 0 =. φ ( deo ) 1 1 4α 1 ( t) =.(1 α ). Sa[(1 α ) πt] +.. π π π 1 (4αt ) { cosπ (1 + α ) t + 4αt.sen π (1 α ) t} 58
0.435 0.5 0.4 φ( t, 0.1) φ( t, 0.) 1 φ t, 3 0.3 0. 0.1 0 0.087 0.1 5 4 0 4 alpha=0.1 alpha=0. alpha=0.3 Figura. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0, e 0,3). t 5 59
Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por ( deo) jw / ( deo) Ψ ( w) = e S ( w)., ( deo ) ( deo) em que ( w) = S ( w) Ψ. ( ) S deo ( w) 0 1 1 cos π 4α 1 = π 1 1 cos π 8α 0 ( w π (1 + α) ) ( w π (1 α) ) se w < π (1-α) se π (1-α) < w < π (1+ α) se π (1+ α) se π (1 α) se w > π (1+ α) < w < π (1 α) < w < π (1+ α) 60
Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira" 61
( deo) Figura. Wavelet ψ ( t) : Parte real 6
( deo) Figura. Wavelet ψ ( t) : parte imaginária. 63
Wavelets Discretas A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante. As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos. 64
65 Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua. = = m m o m b a a a nb t a t a b a t 0 0 0 m,n, 1 ) ( - t 1 ) ( ψ ψ ψ ψ em que m e n são inteiros, a 0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b 0 é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de dilatação.
A Transformada Discreta de Wavelets: As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS) Formas discretas são atraentes do ponto de vista: i) implementação e ii) computacional. A discretização da WT 1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação), ) não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço). 66
Retículado D no plano escala-translação: A grade é indexada por dois inteiros m e n: m => passos na escala discreta n => passos das translações discretas. Fixam-se dois valores dos passos, a 0 e b 0. Escala discreta (logarítmica): a=a 0 m m=1,,3,... Translações discretas: b=nb 0 a 0 m n=1,,3,... dado m. 67
Assim + m 1 t nb 0a0 WT( a, b) = CTWS( m, n) : = f ( t) ψ dt m m a a0 0. Note que: f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo, coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos. 68
Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas para valores positivos de escala (a 0 >0), porém esta restrição não é severa. Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo CTWS: L(R) l(ζ + -{0} Ζ) f(t) CTWS(m,n) Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet. 69
Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT: Série + discretos n= F 0 ne jnw t representação de tempo contínuo, com coeficientes N 1 DFT k = discreto. 0 f ( k) e πnk j N representação em tempo discreto, com espectro 70
Reticulado: A escolha da grade. Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação. A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado. O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por: {( ma0, nb0 } m n Z a, b = ), 0 0. 71
Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico { } m m ( a0, na0 b0 m n Z a, b = ), 0 0 m m =, n ), Caso diádico: a 0 = e b 0 =1 e,1 { } m n Z m (escala) (. 7
n (deslocamento) Figura. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala. 73
A Transformada Discreta de Wavelets: Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS) Além da discretização do plano escala-translação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada. Neste caso, define-se: 1 + k WT( a, b) = DTWS( m, n) : = f ( k) ψ m a k = 0 nb a a 0 m 0 m 0. 74
Assim, as DTWS consistem em um mapeamento do tipo DTWS: l(ζ) l(ζ + -{0} Ζ) f(k) DTWS(m,n). Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes. Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma representação do tipo DFT que em série de Fourier. 75
O menor passo inteiro para a escala é a 0 =. Usa-se então este fator de escalonamento, o que é referido como escalonamento diádico. O menor passo inteiro de translação temporal é b 0 =1. Wavelets diádicas: m / + k = DTWS( m, n) = f ( k) ψ ( m k n). 76
Em resumo: + 1/ CWT(a,b)= t b a f ( t) ψ *( ) dt a CTWS( m, n) m / + m ( t n) = f ( t) ψ dt m / + k= DTWS( m, n) = f ( k) ψ m ( k n). 77
A Análise de Multirresolução Introdução à Multirresolução A Função de Escala A função de escala (LPF), denotada aqui por φ (t) por Mallat em 1989., foi introduzida O princípio fundamental é analisar o sinal através de uma combinação de uma função de escala φ (t) e wavelets (t) ψ. 78
Análise de Multirresolução Ortonormal Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a análise de multirresolução. Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais. Notação: clos U m A m os pontos limites em L (R). denota a união dos conjuntos A m, incluindo todos ( m Z), cria-se um subespaço fechado V m L (R) formado por sinais aproximados na escala m. Formalmente: Definição (AMR). 79
Uma análise de multirresolução em L (R) consiste numa seqüência de subespaços fechados V m L (R), m Z, satisfazendo as relações: (AMR1) V m V m-1 ( m). (AMR) f(t) V m L(R) f(t) V m-1. (AMR3) clos U m Z V m = L (R). (AMR4) I m Z V m = { 0}. (AMR5) (t) φ V 0 tal que { ( t n) } n Z φ é uma base ortonormal para V 0. 80
Equação Básica de Dilatação (refinamento) Considerando como espaço de referência V 0 V -1, qualquer sinal nele contido pode ser decomposto em termos das funções de uma base de V -1. Em particular, isto deve ser válido para a função de escala φ(t) V 0. Subespaço Base φ ( t n) V 0 { } n Z φ (t n). { } V -1 n Z Assim, existe uma seqüência {h n } tal que 81
φ( t ) = h φ(t n) n Z n com n Z h n < +. Esta é a principal equação da AMR. Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {h n } podem ser usados para determinar univocamente a função de escala φ (t). Os coeficientes {h n } são chamados de "coeficientes do filtro passabaixa", ou coeficientes do filtro de escala. 8
Um Estudo de Caso: Decomposição via db para ECG ECG 83
A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db. Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não perpétuas). Uma característica diferente: A 6 =S 6 (versão grosseira ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para compor a aproximação. 84
Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o mesmo sinal pode ser decomposto via um grande número de diferentes wavelets, ao invés de sempre ser decomposto em componentes senoidais. 85
Filtragem, Wavelets e Análise de Multirresolução Filtros suavizador e de detalhes (H e G) As seqüências { hn} n Z e gn} n Z {, ( n Z h n < +, g n < + ) podem ser exploradas como definindo um processo de filtragem. Condições de normalização: n Z + + φ ( t) dt = 1 ψ ( t) dt = 0 h n n Z n Z g n = = 0. ; 86
{h n } Filtro suavizador ou filtro de escala {g n } Filtro de detalhe ou filtro wavelet. Condições sobre os coeficientes que resultam em MRA ortogonal: (aide mémoire). h = C1. n n Z (condição passa-baixa) C. g n n Z = 0 (condição passa-faixa) C3. g n =(-1) n h 1-n. (condição QMF) h m m C4. nh n = δ 0, n Z +. 87
A relação de escala dupla estabelece que φ( t ) = h φ(t n) n Z n., tem- Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com φ ( t) Φ( w) se: Φ( w ) = hniφ (t n) = n Z n Z h n 1 Φ( w/ ) e jwn /. Assim, 1 jwn / Φ (w) = h e n Φ( w/ ) n Z. Definindo o "espectro" do filtro {h n } pela relação: 88
89 = jwn Z n h n e w H : ) (. Φ = Φ 1 ) ( w w H w. De modo análogo, partindo-se de: = Z n n n t g t ) ( ) ψ ( φ, Definindo o "espectro" do filtro {g n } pela relação: = jwn Z n g n e w G : ) (, chega-se a
90 Φ = Ψ 1 ) ( w w G w. As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são portanto (Equações de escala dupla): Φ = Φ. 1 ) ( w w H w, Φ = Ψ 1 ) ( w w G w.
Construção de AMR Ortogonal - QMF A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida impondo as condições de ortogonalidade: { ( t) } n Z φ { ( t n) } n Z { ( t n) } n Z φ { } n Z { ( t) } n Z ( t n) ψ { } n Z φ < φ ( t ), φ( t n) >= δ 0, n ψ ( t) < φ ( t n), ψ ( t) >= δ 0, n ψ < ψ ( t ), ψ ( t n) >= δ 0, n em que δ 0, n representa o símbolo de Kronecker. 91
Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier, permitindo estabelecer: Proposição 1. A Função de Transferência H(w) verifica a relação ( w) H ( w) + H ( w + π ) =. Proposição. A Função de Transferência G(w) verifica a relação ( w) G ( w) + G( w + π ) =. Proposição 3. As Funções de Transferência H(w) e G(w) verificam a relação * * ( w) H( w ).G ( w ) + H( w + π ).G ( w + π ) = 0. 9
Note que em w=0, tem-se: H (0) + H ( π ) = G (0) + G( π ) =. Como H ( 0) = segue-se H ( π ) = 0; e G ( 0) = 0 implica em ( π ) = G. 93
Lema (AMR). Uma condição (necessária) sobre a função de escala de uma AMR ortogonal, obtida como passo intermediária na demonstração das proposições acima corresponde a: + n= Φ( w + πn) = 1 π. Proposição. (Escolha QMF): H( w ) = e jw.g * ( w + π ) G( w) * = jw e. H ( w π ). 94
Um par de filtros G(w) e H(w) verificando condições acima (filtros espelhados em quadratura Quadrature Mirror Filters) => ortogonalidade. 95
96 Tabela. Relações Básicas Wavelets e Funções Escala. Escala Wavelet φ(t) ψ(t) ) ( ) ( w t Φ φ ) ( ) ( w t Ψ ψ 1 ) ( = + dt t φ 0 ) ( = + dt t ψ Φ = Φ. 1 ) ( w w H w Φ = Ψ. 1 ) ( w w G w = Φ = m m w H w 1 ) ( 1 = Ψ = m m w H w G w 1. 1 ) ( 1 ) ( ) ( = + + π w H w H ) ( ) ( = + + π w G w G 0 ) ( 0) ( = = π H H ) ( 0 0) ( = = π G G = 0 + + + ) w ).G( w ( H w ) w ).G( ( H * * π π
As condições de ortogonalidade sobre os filtros correspondem a: H ( 0) = 0 e H ( π ) = H ( w) + H ( w + π ) =, H ( w) = e jw G * ( w + π ). Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo, obtendo as relações sobre os coeficientes { hn} n Z e { gn} n Z. n Z n Z h h = δ * m+ n n m,0. g g = δ * m+ n n m,0 g n =(-1) n h 1-n. 97
A wavelet-mãe pode ser determinada empregando: Ψ( w) = e 1. H jw / * w w. π. Φ. 98
Codificação em Sub-Bandas wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também chamada de Série de Decomposição de Wavelet. É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as wavelets! As translações são limitadas à duração do sinal, logo existe um limite superior. Resta então analisar o escalonamento. "Quantas escalas serão necessárias para se analisar um sinal?" - Infinitas! 99
A solução para este obstáculo é simplesmente não cobrir o espectro até a origem! Com este valor calcula-se o limite inferior para o escalonamento, único parâmetro restante. Figura. Compressão no tempo gera uma expansão do espectro da wavelet. A idéia de se analisar um sinal via um banco de filtros é conhecida como Codificação em Sub-bandas (Subband Coding). 100
O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que particione o espectro do sinal exatamente ao meio. Figura. Banco de filtros / Codificação em Sub-bandas. A Codificação em sub-bandas. 101
Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital) d m [n]:=d m,n e c m [n]:=c m,n ; h[l]:=h l. Avaliação dos coeficientes de escala c m [n] c N + 1 [ n] = h[ k n].c N [ k ]. k Z Os coeficientes da decomposição (versão aproximada) podem ser obtidos iterativamente uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para φ(.). 10
Apenas os coeficientes do filtro suavizador {h k } são requeridos. Avaliação dos coeficientes de escala d m [n]. Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via: d N + 1 [ n] = g[ k n].c N [ k ]. k Z Assim, os coeficientes da decomposição (versão detalhada) podem ser obtidos iterativamente uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para ψ(.). 103
Apenas os coeficientes do filtro de detalhes {g k } são requeridos. A expressão de filtragem de sub-banda requer uma sub-amostragem por (down-sampling), processo conhecido por Dizimação (ou decimação). O tamanho da seqüência cai para metade! 104
Figura. Procedimento de codificação em sub-banda: Decomposição de uma escala para a próxima. 105
Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada Discreta de Wavelet por filtragem e sub-amostragem. 106
Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente. Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n] implementada com IIR. Já wavelets de suporte finito (e.g., Haar, Daubechies) só possuem um número finito de coeficientes de filtros não nulos implementada com FIR. 107
Aplicações de Wavelets Provocações... (!) Wavelets em Descontaminação de Sinais Infelizmente, descontaminação é um problema difícil não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído. Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação. 108
As wavelets tem se mostrado como ferramentas importantes no combate e remoção de ruído. sinal original f k ruído aditivo n k v.a. - ruído branco gaussiano. observações Matricialmente, y=f+σn. y k = fk + σnk, k=0,1,,...,k-1, Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se DWT( y) DWT( f ) + σdwt( n) =. Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal. 109
SNR alta: Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets onde a contribuição do sinal é "importante". É comum o uso de um limiar abrupto (hard threshold), C( x) = 0 x se x T caso contrário. 110
Algoritmo Waveshrink P1. Fixe um nível m 1 e normalize as observações via ~ y = k yk / Km. P. Calcule a DWT da observações normalizadas. P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos. O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por: C( x ) = Sgn( em que T m é um limiar. x ). x Tm se x > Tm caso contrário 0, P4. Efetue a transformada inversa de wavelet para obter uma estimativa descontaminada do sinal original. 111
Figura. Waveshrink: descontaminação de sinais usando wavelets. 11
Compressão via wavelets A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão: Inclusão no padrão internacional JPEG 000. padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamento de impressões digitais. 113
114
Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção (e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo). A implementação de algoritmos de identificação ou localização de faltas em linhas de transmissão está baseada na configuração do sistema de monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na linha de transmissão, através do uso de registradores digitais de perturbação. 115
Identificação de Faltas Um Método Baseado nos Sinais de Fase Solanki e colaboradores apresentaram um método para detectar e classificar faltas em linhas de transmissão de extra-alta tensão, para aplicação em relés de proteção de alta velocidade. Tempo real => MRA foi considerada. Escolha da wavelet mãe: Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym. 116
Um Método Baseado nas Componentes Modais Magnago e Abur propuseram o uso da teoria das ondas viajantes e da transformada de wavelet na localizar faltas em linhas de transmissão. Silveira et al. também considera a decomposição dos sinais de fase em suas componentes modais, porém faz uso de redes neurais para promover a identificação das faltas. 117
LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs Os algoritmos utilizados para localizar faltas em LTs podem ser classificados: 1) aqueles baseados nas componentes na freqüência fundamental; ) aqueles que fazem uso das componentes de alta freqüência dos sinais transitórios relacionados à falta. Determinação da reatância aparente da linha de transmissão durante a falta. Determinação do tempo de viagem da onda e da velocidade de propagação da onda viajante na linha de transmissão. 118
Yibin e colaboradores apresentaram um método que faz uso das componentes da faixa de freqüência incluindo a freqüência fundamental do sistema de potência, 60 Hz, para prover a localização da falta. 119