Hélio Magalhães de Oliveira

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1 Hélio Magalhães de Oliveira

2 Wavelets: Entrando na Onda H. Magalhães de Oliveira UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

3 Copyright 2002 Eletrônica e Sistemas, UFPE Telematica 1 a publicação em Dados de Catalogação da Publicação De Oliveira, Hélio Magalhães, Wavelets: Entrando na Onda / por Hélio Magalhães de Oliveira. -- Recife: O Autor, xxx, yy folhas: il., diagramas. Inclui Bibliografia, referências e índice. 1. Processamento Digital de Sinais 2. Análise de Sinais I. Título. Capa: Foto de HMdO: Rafaël Rodrigues de Oliveira, entrando na onda... (com autorização) Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfílmicos, fotográficos, reprográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou recuperação total ou parcial em qualquer sistema de processamento de dados e a inclusão de qualquer parte da obra em qualquer programa juscibernético. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorias é punível como crime (art. 184 e parágrafos, do Código Penal, cf. Lei n o 6.895, de ) com pena de prisão e multa, conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (artigos 122, 123, 124, 126 da Lei n o 5.988, de , Lei de Direitos Autorias). Hélio Magalhães de Oliveira Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Caixa Postal CEP Recife - PE hmo@npd.ufpe.br

4 WAVELETS: ENTRANDO NA ONDA... CONTEÚDO Prefácio Agradecimentos Notação, convenções e abreviações CAPITULO I Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais 1.1 Introdução Análise Espectral Para Sinais Não-Estacionários Princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg para Sinais Conceito de estacionaridade - Introduzindo a idéia sem formalismo A Transformada de Gabor (Transformada de Fourier de tempo curto) A Guisa de uma Análise de Wavelets CAPITULO II Wavelets Contínuas 2.1 Introdução a Transformada Contínua de Wavelet A Transformada Contínua de Wavelet CWT A Transformada Inversa (CWT -1 ) e a Condição de Admissibilidade Não-unicidade do Domínio Wavelet Exemplos: Um mar de Wavelets Wavelet de Haar Wavelet Sombrero Wavelet densidade Gaussiana Wavelet complexa de Morlet Wavelet de Shannon Wavelet Generalizada de Shannon (Wavelet Cosseno-elevado) Wavelet de Meyer Wavelet Linear por partes Wavelets de Daubechies Wavelet de Chaaris Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets Wavelet Battle-Lemarié Wavelet B-Splines Wavelets bidimensionais Ridglets

5 CAPITULO III Wavelets Discretas 3.1 Wavelets Discretas A Transformada Discreta de Wavelets: As Séries Wavelet de Tempo Contínuo (CTWS) A Transformada Discreta de Wavelets: Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS) Wavelets biortogonais, wavelets duais e wavelets diádicas Wavelets sobre Corpos Finitos FF-Wavelets Decomposição de Haar sobre Corpos Finitos CAPITULO IV A Análise de Multiresolução 4.1 Introdução a Multiresolução A Função de Escala Análise de Multiresolução Completa Ortonormal Equação Básica de Dilatação (Equação de refinamento) Conexão entre Multiresolução e Wavelets Ortogonais Análise de Multiresolução via Wavelets de Haar Análise de Multiresolução usando B-Splines Procedimento de Ortogonalização de Meyer O Algoritmo Piramidal de Laplace Algoritmo de Decomposição Piramidal Algoritmo de Reconstrução Piramidal Um Estudo de Caso: Decomposição via Wavelet de Daubechies db2 para um sinal ECG AMR para Wavelets Biortogonais CAPITULO V Relações entre Filtragem, Wavelets e Análise de Multiresolução 5.1 Filtros Suavizador e de detalhes (H e G) Construção de AMR Ortogonal - Filtros QMF Regularidade e Momentos Condições para anular momentos de uma wavelet A Relação de "de Oliveira"

6 5.4 Um Comentário sobre Wavelets de Daubechies Análise de Multiresolução de "de Oliveira" Wavelet Elíptico-Cilíndricas: Wavelets de Mathieu Codificação em Sub-Bandas O Algoritmo à trous CAPITULO VI Espectrogramas, Escalogramas e Aplicações de Wavelets 6.1 Análise por Espectrogramas e Escalogramas Algumas Aplicações de Wavelets Wavelets em Descontaminação de Sinais Wavelets na Análise de Sinais Médicos Wavelets em Compressão de Imagens Wavelets em Codificação de Imagens Wavelets em Localização de faltas em linhas de transmissão Wavelets em Telecomunicações Bibliografia Selecionada e Fontes de Referência Galeria Índice de Figuras Índice Remissivo Índice Onomástico

7 PREFÁCIO Ondinhas... Há muito ensejava redigir "A Booklet on Wavelets", dado o fascínio que o tema me imprime. A beleza da Análise de Fourier já me havia cativado a longos idos, especialmente dosando adequadamente o formalismo com as ricas interpretações em Engenharia. Os trabalhos pioneiros do Engenheiro Jean Morlet e do Físico Alex Grossmann descortinaram uma nova e rica área na Análise Funcional, as Ondelettes, cujas conseqüências práticas não param de explosivamente crescer. O fortíssimo elo entre Análise de Wavelets e a Análise de Fourier conduziu-me a um interesse natural e expontâneo sobre este novo mundo. E feliz coincidência! Ambas teorias foram criadas e substancialmente desenvolvidas na França, aonde também tive a grata satisfação de aperfeiçoar minha formação científica. Como disciplina matemática, a Análise de Wavelets atingiu a maturidade muito rapidamente. Hoje proliferam textos, notas e páginas da Web com ênfases, hora de natureza excessivamente matemática, hora aplicada, e por vezes até superficial. Apesar de constituir um texto bastante incompleto, julgo válido o esforço em contribuir um pouco com a (carente) literatura nacional sobre o tema. Esta demanda advém adicionalmente da contínua necessidade de reformulação curricular, propiciando aos engenheirandos o acesso às mais avançadas técnicas disponíveis. O estilo matemático da notação adotada em boa parte dos textos sobre wavelets tem constituído uma dificuldade suplementar à compreensão do assunto. O presente material opta por uma notação mais compatível com aquela utilizada na Engenharia. O texto é primordialmente concebido para os cursos de Engenharia de Telecomunicações, Engenharia Eletrônica, Engenharia Elétrica, Engenharia Biomédica e Engenharia de Computação, mas pode ser útil para outras Engenharias (Mecânica, Metalurgia etc.), Geofísica e em muitas outras áreas. Tenho a plena convicção consciência que o trabalho poderia ser melhor 1. Entretanto, Uma longa caminhada iniciase (sempre) com um primeiro passo... 1 Feci quod potui, faciant meliora potentes.

8 Ao Prof. Nilson Magalhães de Oliveira e A Prof a. Djanira Magalhães Florêncio. (in memoriam)

9 AGRADECIMENTOS O autor agradece a numerosos colegas do Departamento de Eletrônica e Sistemas e a estudantes do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Pernambuco. Em particular, o maior débito é com o Professor Ricardo M. Campello de Souza, do Grupo de Pesquisa em Processamento de Sinais. Mais do que compartilhar, desde os primórdios, um vívido interesse sobre o tema, acompanhar os seminários e discussões, Prof. Campello foi decisivo como agente motivador para elaboração deste documento. Seu envolvimento constante e reconhecida seriedade acadêmica vem servindo de estímulo contínuo, aos estudantes e colegas. Os comentários e a seleção de fontes bibliográficas e o estímulo propiciados por Tiago Henrique Falk foram largamente apreciados. Agradecimentos especiais a Rodrigo Gurgel Fernandes Távora, a Luciana Beltrão Espínola Silva, a Romero Guerra de Souza. Antigas discussões com Paulo Ricardo dos Santos Mendonça (tempo-freqüência) e Arquimedes José de Araújo Paschoal (distribuições de Wigner-Ville) foram estimulantes. Muitas das figuras foram extraídas do aplicativo Matlab, Caixa de Ferramentas sobre Wavelets, e de algumas notas disponibilizadas na Internet. Estes artigos, a cujos autores são endereçados agradecimentos, também serviram parcialmente na preparação destas notas. Renato José de Sobral Cintra desempenhou papel auxiliar na preparação tipográfica, possibilitando a melhoria na qualidade da apresentação. Além do pessoal diretamente envolvido com o grupo, outros interessados em aplicações de Wavelets em Sistemas de Potência e Processamento da Energia também estimularam a preparação do texto. Entre estes, Luiz Antônio Magnata da Fonte, Milde Maria da Silva Lira e Luciana Reginaldo Soares. Alguns resultados inéditos foram incluídos: Análise de Wavelet sobre corpos finitos (com Tiago Falk e Rodrigo Távora), Análise de multiresolução de "de Oliveira" (com Luciana Soares e Tiago Falk) e Wavelets de Mathieu (com Milde Lira). A estes coautores e cúmplices, um profundo reconhecimento. Finalmente, o autor registra seus agradecimentos a todos ad quem este material venha a ser de alguma utilidade, razão precípua da sua confecção. Janeiro, HMdO, hmo@npd.ufpe.br