Hélio Magalhães de Oliveira,

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1 Hélio Magalhães de Oliveira, Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária -- Recife PE. URL: 1

2 Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas. Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas... Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em PDS. 2

3 A onda. Manuel Bandeira, in: Estrela da Tarde. A ONDA a onda anda aonde anda a onda? a onda ainda ainda onda ainda anda aonde? aonde? a onda a onda. Em Boa Viagem, boa onda a todos os visitantes do Recife. 3

4 ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)... Pacotes de ondas acústicas sísmicas. Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada. As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis. 4

5 Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets. Morlet recebeu: prêmio Reginald Fessenden Award Prix Chreau-Lavet Jean Morlet ( ) (ecce homo!) ( crédito de foto da Association Marius LAVET, cortesia). 5

6 Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais. Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis. Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada). 6

7 Gama de aplicações: geologia sísmica visão computacional e humana radar e sonar computação gráfica predição de terremotos e maremotos turbulência distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo compressão de imagens 7

8 descontaminação de sinais (denoising) detecção de rupturas e bordas análise de tons musicais neurofisiologia detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica e microscopia modelagem geométrica 8

9 caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica Telecomunicações previsão em mercados financeiros Estatística solução de equações diferenciais ordinárias& parciais 9

10 Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822: "La Théorie Analytique de la Chaleur" Jean Fourier ( ). <<Fourier descobriu que as ondas senoidais constituem os elementos irredutíveis de vibrações e ondas periódicas verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.>> Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência. 10

11 Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as wavelets? Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f, mas em ambos (espaço conjunto tempofreqüência)! 11

12 Conceito de estacionaridade Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local. Todo o sinal, desde o começo dos tempos (- ) até o fim dos tempos (+ ) é levado em consideração. A transformada de Fourier representa um "comportamento global médio" do sinal. 12

13 Figura Ilustração de um trecho de um sinal (possivelmente) estacionário, Figura. Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário. 13

14 O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado... Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local. Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local. seqüência de "fotos" do espectro:... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2)... evoluindo temporalmente. 14

15 Sinais práticos "bem comportados" com relação à estacionaridade: sinais periódicos. Não é à toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente restrita a esta classe de sinais. 15

16 FOTOS: Os não-estacionários trazem variações substanciais e significativas de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo considerado. 16

17 É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3 4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa). 17

18 Diferentes níveis de "estacionaridade": Seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos; Seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem); Seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes; Seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu); Seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc. Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? A resposta não é fechada. 18

19 A Transformada de Gabor Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem. Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT Short Time Fourier Transform) também conhecida como a Transformada de Gabor. A idéia da STFT: introduzir parâmetro local como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" na qual o sinal permanece aproximadamente estacionário. 19

20 A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro. Formalmente, STFT(w + * jwt,τ ) := f(t)w (t τ) e dt. Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. Janela: a mais comum é janela Gaussiana. 20

21 Figura. Análise com Transformada de Fourier clássica e em tempo curto. As próximas perguntas: Por que a STFT não é suficiente? O que seria mais apropriado, além de uma transformada local (wavelets também são locais)? 21

22 A Guisa de uma Análise de Wavelets A análise visualizada como um banco de filtros. Resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou f/f=cte (ou fator Q constante). Figura. Análise Espectral com banco de Filtros: (a) STFT e (b) WT. 22

23 O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas". Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (Matlab ). As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de qualidade constante. 23

24 domínios tempo e freqüência (f t) domínios escala e deslocamento (a b). Interpretação: "mapas". Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global. 1: idéia do Brasil como um todo 1: , analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo. 24

25 Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto às árvores. Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de wavelet básica. Assim, CWT( 1 t b a, b ) : + * = f ( t ) ψ ( )d a a t. 25

26 É claro que ao focalizar num nível mais detalhado, perde-se a noção do todo. Esse é exatamente o mecanismo comum nas análises (geografia física ou humana, mapas, telescópios, microscópios etc.) Ver-se-á que a análise moderna de sinais, com base em decomposição de wavelets, permite esta abordagem de modo natural. Uma das fraquezas da análise de Fourier vem do fato de ela não explorar a noção de resolução e multiescala. A análise de wavelets veio exatamente suprir essa lacuna... 26

27 Introdução a Transformada Contínua de Wavelet A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução. Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante em todo o plano t-f. CWT: Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências mais baixas. 27

28 Freqüência Freqüência Tempo Tempo Figura. Resolução no plano t-f pela análise: STFT e Wavelet. 28

29 A Transformada de Wavelet Contínua CWT ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) L2(R). + 2 ψ (t)dt < + Operações: a) escalonamento ψ a ( t ) = ψ 1 a t a, a 0. b) deslocamento ψ b ( t ) = ψ ( t b ). c) deslocamento com escalonamento ψ ( ) = ( t ) = a, b t ψ a b { ψ ( t )} { ψ a, b ( t )} ( a, a 0) ( b R). 1 a ψ t a b. 29

30 O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes têm a mesma energia! t a ψ a Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões 1 b garante a mesma energia para qualquer wavelet! Define-se CWT(a,b):= + * f ( t ) ψ a, b ( t ) dt =< f(t),ψ a,b >. Analogia com Fourier: F(w)= + f jwt ( t ) e dt =< f(t),e jwt >. 30

31 Fourier F(w), em cada w: { jwt } Projeção de f(t) na direção das ondas e w R que constituem uma "base" do espaço de sinais. Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento nãolocal no tempo, mas de - a +. Wavelets: decomposição de f(t) em sinais { }, b * a R + b R novo conjunto de análise do espaço de sinais. ψ a ( t ) que constitui um 31

32 Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab æterno. A combinação de oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo ondinhas, ondaletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets. Um critério para definir wavelets: Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo. + ) ( dt t ψ = 0 32

33 Condição de admissibilidade, ψ ( Ψ ω Dado o par transformada de Fourier: t ) ( ), Ψ = + 2 ( ζ ) C ψ : d ζ ζ < + => lim Ψ ( ζ ) = 0 ζ 0. Ψ ( 0) = 0 => + ψ ( t ) dt = 0. Caráter passa-faixa das wavelets: Ψ ( 0) = 0 (pela admissibilidade) Ψ ( ± ) = 0 (pois ψ é de energia finita). 33

34 Dado ε >0 arbitrário, α, β R, 0 < α < β < + tal que Ψ(w) < ε para w < α e w > β. Existe uma banda passa-faixa na qual Ψ é essencialmente não nula. Figura. Comportamento de Ψ (w ) tipo passa-faixa. 34

35 Uma wavelet ψ a, b ( t ) é definida por um mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe ψ(t). Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações. 35

36 Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 1 1 t f ( t ) CWT ( a, b ) ( C + + = ψ ψ a a b ) dadb a 2. A Transformada Inversa (CWT -1 ) e a Condição de Admissibilidade Sejam f(t) L2(R) e ψa,b(t) L2(R-{0} R). Sob que condições é possível "pegar uma onda"? (catch the wave...) Escolher uma wavelet protótipo tal que ψ(t) Ψ(w) e C Ψ ζ ζ = + 2 d ψ ( ) ζ < +. 36

37 Fórmula de inversão sob condições menos restritivas. Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) L2(R), ψ(t) Ψ(w), é dita ser uma wavelet diádica se e somente se satisfaz a condição de estabilidade, i.e., A,B R 0<A B<+ m A Ψ (2 w ) B. m Z tais que Estas wavelets não obedecem à condição de admissibilidade (porém obedecem as condições de estabilidade, menos restringentes) e não são wavelets ortogonais. 37

38 Exemplos: Um mar de Wavelets Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 38

39 'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'Mal' Malvar wavelets. 'shan' Shannon wavelets. 'deo' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'cheb' Chebyshev wavelts. 'beta' Beta wavelets. 'geg' Gegenbaur wavelets. 'hart' Hartley-like wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. 39

40 Wavelet de Haar Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas. ( ψ H ) ( t ) : = < < t 1 0 caso contrário t. Estas são versões do tipo "wavelet digital". 40

41 Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets). 41

42 Wavelet Sombrero ψ t ρ Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que ( ) = ''( t ) é a wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias. 2 2 t / 2 ( Mhat ) 2( t 1) e ψ ( t ) = 1 / 4 π 3. Figura. Wavelet Sombrero. Matlab. 42

43 Wavelet complexa de Morlet Morlet propôs uma das primeiras wavelet na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa: ψ 2 ( Mor ) 1 t / 2 jw 0 ( t ) e e 1 / 4 = π t. Figura. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária). 43

44 Wavelet de Shannon A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon. Espectro da Wavelet real: Ψ ( w 3 π / 2 w + 3 π / 2 w ) = + π π. Tomando a transformada inversa: ( ) π t 3 t ψ ( t ) = Sa cos π Sha

45 No caso da wavelet complexa, pode-se usar ( ψ CSha ) ( t ) j 2 π t = Sinc ( t ) e. (a) (b) Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon. Suporte infinito: M tal que ψ(t) =0 t >M). 45

46 Wavelet de Meyer A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como: Ψ ( w ) = π sen cos π 0 π 2 π 2 υ υ 3 w 2 π 3 w 4 π 1 e 1 e jw / 2 jw / 2 2 π /3 4 π /3 w w caso contrário. 4 π /3 8 π /3. Figura. Wavelet de Meyer: (a) função de escala (b) wavelet. Matlab. 46

47 Wavelets de Daubechies Detentora dos prêmios: IEEE Info. Theory Soc. Jubilee Medal, Steele-Prize from Am. Math. Soc., National Academy of Science Medal, Basic Reasearch Award from Eduard-Rhein Foundation. As 1 as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto. Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis. 47

48 Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto. Figura. Wavelets dbn de Daubechies (N=2,3,4,...): As Daublets Matlab. 48

49 Figura. Versões de uma db2. Estas formas de onda são ortogonais (!). db2 é conhecida com barbatana de tubarão (cuidado se você se banha nas praias do Recife!) 49

50 Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ (t ) quanto na wavelet-mãe ψ (t ). (Função de escala?) (momentos nulos?) Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em São também wavelets de suporte compacto. 50

51 Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos nulos. 51

52 Wavelet de "de Oliveira" Família de wavelets ortogonais complexas: não são de suporte compacto. Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, mantendo a filosofia da análise a Q-constante. Basta escolher Φ ( w ) (raiz de cosseno elevado). Φ ( w ) = 1 2 π cos 4 1 α 1 2 π ( w (1 α ) π ) 0 0 (1 w w α ) > < π (1 (1 + w α ) α ) < π π (1 + α ) π. 52

53 Mostra-se que: ( deo ) α 1 φ ( t ) =.(1 α ). Sa [(1 α ) π t ] π 2 π π 1 (4 α t ) { cos π (1 + α ) t + 4 α t.sen π (1 α ) t } φ ( t, 0.1 ) 0.3 φ ( t, 0.2 ) 1 φ t, t alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3 Figura. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3). 5 53

54 Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira" 54

55 ( deo ) Figura. Wavelet ψ ( t ) : Parte real e parte imaginária. 55

56 Wavelets com ritmo: as Wavelets de Malvar Um sinal de variações não estacionárias deve ser examinado em janelas de tempo curto, tal como acontece na transformada janelada de Fourier ou em wavelets. O sinal, cuja dinâmica é reveladora, pode ser segmentado de um modo não uniforme no tempo. Esta técnica constitui o principio de Malvar (Henrique Malvar, UnB). Y. Meyer redescobriu e generalizou-a através de wavelets com envelope que começa por um ataque, segue em forma de platô e termina num decrescendo e cunhou o termo wavelets de Malvar. 56

57 Wavelets Discretas A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante. Nas palavras de Yves Meyer: Uma transformada contínua é ciceroniana, onde tudo é dito e redito aproximadamente dez vezes. As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos. 57

58 ψ a, b 1 t - b 1 t ( t ) ψ ψ t = m,n ( ) ψ a m a a nb o = m a 0 0 em que m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, a m 0 b0 é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de dilatação. A Transformada Discreta de Wavelets: As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS) Formas discretas são atraentes do ponto de vista: i) implementação e ii) computacional. 58

59 A discretização da WT 1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação), 2) não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço). Retículado 2D no plano escala-translação: A grade é indexada por dois inteiros m e n: m => passos na escala discreta n => passos das translações discretas. 59

60 Fixam-se dois valores dos passos, a0 e b0. Escala discreta (logarítmica): a=a0 m m=1,2,3,... Translações discretas: b=nb0a0 m n=1,2,3,... dado m. Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas para valores positivos de escala (a0>0), porém esta restrição não é severa. Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo CTWS: L 2 (R) l2(ζ + -{0} Ζ) f(t) a CTWS(m,n) 60

61 Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet. Interessante observar que a DWT é mais análoga a uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT: Série + discretos n= F e 0 n jnw t representação de tempo contínuo, com coeficientes N DFT k = discreto. 1 0 f ( k ) e 2 j π nk N representação em tempo discreto, com espectro 61

62 Reticulado: A escolha da grade. Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação. O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por: { ( ma 0, 0 } m n Z a, b = nb ), 0 0. Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico { } m m ( a 0, na 0 0 m n Z a, b = b ),

63 m m 2 = 2, n 2 ), (. { } Caso diádico: a0=2 e b0=1 e,1 m n Z m (escala) n (deslocamento) Figura. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala. 63

64 A Transformada Discreta de Wavelets: Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS) Além da discretização do plano escala-translação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada. Neste caso, define-se: WT ( a, b ) = DTWS ( m, n ) : = 1 ψ k a + f ( k ) m k = a 0 nb m 0 0 a m 0. 64

65 Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo DTWS: l 2 (Ζ) l 2 (Ζ + -{0} Ζ) f(k) a DTWS(m,n). A DTWS é mais análoga a uma representação DFT que em série de Fourier. Wavelets diádicas: + DTWS ( m, n ) = 2 m / 2 + f ( k ) ψ 2 k = ( m k n ). 65

66 Em resumo: + 1/ 2 CWT(a,b)= t b a f ( t ) ψ *( ) dt a CTWS ( m, n ) + ( m 2 t n ) m / 2 = 2 f ( t ) ψ dt + DTWS ( m, n ) = 2 m / 2 + f ( k ) ψ 2 k = ( m k n ). 66

67 A Análise de Multirresolução de Mallat A Função de Escala A função de escala (LPF), denotada aqui por φ (t ), foi introduzida por Mallat em O princípio fundamental é analisar o sinal através de uma combinação de uma função de escala φ (t ) e wavelets ψ (t ). 67

68 1990 IEEE Best paper Processamento Digital de Sinais 1997 Outstanding Achievement Award da SPIE Optical Engineering Society 1993 Alfred Sloan fellowship em Matemática o concurso nacional de ajuda a criação de empresas de tecnologias inovadoras na França Prêmio ISI-CNRS: pesquisador Francês mais citado em Ciências, Engenharia e Informática nos últimos 20 anos Prêmio Blaise Pascal em Matemática (academia de ciências) 2007 Prêmio EADS (ciência da informação). 68

69 Análise de Multirresolução Ortonormal Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a análise de multirresolução. Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais. clos Notação: U A m m os pontos limites em L 2 (R). denota a união dos conjuntos Am, incluindo todos ( m Z), cria-se um subespaço fechado Vm L 2 (R) formado por sinais aproximados na escala 2 m. 69

70 Definição (AMR). Uma análise de multirresolução em L 2 (R) consiste numa seqüência de subespaços fechados Vm L 2 (R), m Z, satisfazendo as seguintes relações: (AMR1) Vm Vm-1 ( m). (AMR2) f(t) Vm L2(R) f(2t) Vm-1. clos V = (AMR3) L 2 (R). V m m (AMR4) I Z (AMR5) (t ) U m m Z = {0 }. φ V0 tal que { ( t n ) } n Z φ é uma base ortonormal para V0. 70

71 Equação Básica de Dilatação (refinamento) Considerando como espaço de referência V0 V-1, qualquer sinal nele contido pode ser decomposto em termos das funções de uma base de V-1. Em particular, isto deve ser válido para a função de escala φ (t ) V0. Subespaço Base ( φ t n ) { } V0 n Z 2φ (2 t n ). { } V-1 n Z 71

72 Assim, existe uma seqüência {hn} tal que φ( t ) = 2 h n φ (2 t n ) n Z com n n Z h 2 < +. Esta é a principal equação da AMR. Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {hn} podem ser usados para determinar univocamente a função de escala φ (t ). Os coeficientes {hn} são chamados de "coeficientes do filtro passabaixa", ou coeficientes do filtro de escala. 72

73 Análise de multirresolução de Haar aplicada à imagem "Lena" (Matlab ) Em 1988, Lena concedeu entrevistas para Revistas Suecas em Computação e teve o prazer de descobrir o que acontecera com sua foto capa da Playboy, que tornou-se padrão de referência para imagens em todo o mundo. Foi quando ela soube do uso da foto em Processamento de Imagens. 73

74 Lena (The First Lady of Internet) durante a 50 th Anual Conference of the Society for Imaging Science in Technology. 74

75 Estudo de Caso: Decomposição via Daubechies db2 para ECG ECG Figura. AMR usando db2 para ECG, com seis níveis de decomposição. 75

76 A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2. Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não perpétuas). Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a qual deve ser adicionada aos detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para compor a aproximação. 76

77 D1 D2 D3 D4 D5 D6 nos subespaços W A1 A2 A3 A4 A5 S6 nos subespaços V. Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o mesmo sinal pode ser decomposto via um grande número de diferentes wavelets, ao invés de sempre ser decomposto em componentes senoidais. 77

78 Filtros suavizador e de detalhes (H e G) As seqüências { h n } n Z e { g n } n Z, ( n n Z h 2 < + n n Z, g 2 < + ) podem ser exploradas como definindo um processo de filtragem. Condições de normalização: + + φ ( t ) dt = 1 ψ ( t ) dt = 0 {hn} Filtro suavizador ou filtro de escala {gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet. h n n Z g n n Z = 2 = 0. ; 78

79 φ( t ) = 2 A relação de escala dupla estabelece que h n φ (2 t n ) n Z. Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com φ ( t ) Φ ( w ), temse: Assim, Φ ( w ) = 2 h n I φ (2 t n ) = n Z / 2 ( w jwn h n Φ / 2) e. n Z jwn / Φ (w ) = h n e Φ ( w / 2 ) 2. n Z Definindo o "espectro" do filtro {hn} pela relação: H ( w ) : = h e jwn n. n Z 79

80 1 w w Φ ( w ) = H Φ ψ ( t ) = 2 g n φ (2 t n ) De modo análogo, partindo-se de: n Z, Definindo o "espectro" do filtro {gn} pela relação: chega-se a Ψ ( 1 w w w ) = G Φ G ( w ) : = g e jwn n, n Z As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são, portanto, (Equações de escala dupla): 80

81 1 w w 1 w w Φ ( w ) = H. Φ 2 2 2, Ψ ( w ) = G Φ Construção de AMR Ortogonal - QMF A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida impondo as condições de ortogonalidade: { φ ( t ) } n Z { ( t n ) } n Z { φ ( t n ) } { } n Z t n Z { ψ ( t ) } n Z { ( t n ) } n Z φ < φ ( t ), φ ( t n ) >= δ 0, n ψ ( ) < φ ( t n ), ψ ( t ) >= δ 0, n ψ < ψ ( t ), ψ ( t n ) >= δ 0, n 81

82 em que δ 0, n representa o símbolo de Kronecker. Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier: Proposição. (Escolha QMF): H( w ) = e jw.g * ( w + π ) * ( ) = jw G w e. H ( w π ). 82

83 Um par de filtros G(w) e H(w) verificando condições acima (filtros espelhados em quadratura Quadrature Mirror Filters) => ortogonalidade. As condições de ortogonalidade sobre os filtros correspondem a: H ( 0) = 0 e H ( π ) = 2 H 2 2 H ( w ) + H ( w + π ) = 2, ( w ) = e jw G * ( w + π ). 83

84 Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo, obtendo as relações sobre os coeficientes { h n } n Z e { g n } n Z. h h * = δ 2 m + n n m,0 n. g g * 2 n n = δ m m, 0 Z n Z + gn=(-1) n h1-n. Codificação em Sub-Bandas wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também chamada de Série de Decomposição de Wavelet. É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as wavelets! 84

85 O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que particione o espectro do sinal exatamente ao meio. Figura. Banco de filtros / Codificação em Sub-bandas. 85

86 A Codificação em sub-bandas. Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital) dm[n]:=dm,n e cm[n]:=cm,n; h[l]:=hl. ❶ Avaliação dos coeficientes de escala cm[n] N + 1 [ n] = h[ k n].c N [ k ] k Z. c 2 Os coeficientes da decomposição (versão aproximada) podem ser obtidos iterativamente uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para φ(.). Apenas os coeficientes do filtro suavizador {hk} são requeridos. 86

87 ❷ Avaliação dos coeficientes de escala dm[n]. Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via: N + 1 [ n] = g[ k n].c N [ k ] k Z. d 2 Assim, os coeficientes da decomposição (versão detalhada) podem ser obtidos iterativamente uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para ψ(.). Apenas os coeficientes do filtro de detalhes {gk} são requeridos. 87

88 Figura. Procedimento de codificação em sub-banda: Decomposição de uma escala para a próxima. 88

89 Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada de Wavelet por filtragem e sub-amostragem. 89

90 Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente. Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n] implementada com IIR. Já wavelets de suporte finito (e.g., Haar, Daubechies) só possuem um número finito de coeficientes de filtros não nulos implementada com FIR. 90

91 Algoritmo cascata Aproximações numéricas para uma função de escala ϕ(t) e para a função wavelet ψ(t), podem ser construídas com base em h e g. ( k ) A idéia é calcular ϕ ( t ) como a iteração de ordem k, determinada a partir de uma versão anterior da iteração de acordo com: ( k + 1) ( k ) ( t ) = + ( k + 1) ( k ) ϕ h [ n ] 2 ϕ (2 t n ) e ( t ) = + ψ g [ n ] 2 ϕ (2 t n ). k = k = Se o algoritmo converge para um ponto fixo, esta é a solução da equação de dupla escala, a qual é independente da solução inicial (0) (0) arbitrada ϕ ( t ) (ou ψ ( t ) ). 91

92 IMPORTÂNCIA PRÁTICA No caso de seqüências finitas (de comprimento N), a complexidade multiplicativa para o cálculo de uma DFT usando a força bruta é O(N 2 ). Algoritmos rápidos (FFT) resultam numa complexidade multiplicativa O(N.log2N). O algoritmo piramidal (1983) para o cálculo da DWT é ainda mais rápido que as FFTs: A transformada pode ser calculada usando apenas O(N) multiplicações. NOTA: desconfio, escreveu um dos revisores do artigo, que ninguém jamais utilizará este algoritmo. 92

93 Aplicações de Wavelets Provocações... (!) Wavelets em Descontaminação de Sinais Infelizmente, descontaminação é um problema difícil não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído. Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação. 93

94 ENGENHARIA DA DESCONTAMINAÇÃO PARA RUÍDOS ADITIVOS OU DE COMO CEIFAR AS ERVAS DANINHAS POUPANDO AS MARGARIDAS A breve discussão que se segue elucida, sem maior rigor, porém de modo intuitivo, os alicerces da maioria das técnicas adotadas na descontaminação de sinais. Embora grosseira, a ilustração é suficiente para propósitos de compreensão do mecanismo. David Donoho 94

95 Sinal f(t) contaminado por ruído aditivo n(t). O sinal contaminado é f(t)+n(t). Para uma transformada linear, o espectro do sinal é superposto, de forma aditiva, ao espectro do ruído. Há trechos da banda em que o sinal domina largamente o ruído, enquanto que há partes em que o ruído é praticamente de mesma ordem do sinal. A idéia central da descontaminação consiste em estabelecer um limiar sobre o espectro contaminado. Trechos do espectro abaixo do limiar são eliminados (assassinados). 95

96 Nas zonas abaixo do limiar, pode haver algum sinal presente (provavelmente haverá), porém a intensidade do ruído é comparável ao sinal e a informação encontra-se comprometida um espectro sujo. O mecanismo lembra de como tratar maçãs bichadas: para aproveitá-las, extirparem-se as partes que se encontram podres. A eliminação de trechos substancialmente ruidosos do sinal fornece um espectro descontaminado, o qual é então usado para obter uma versão mais limpa do sinal, via a transformada inversa. 96

97 Isso pode ser realizado em qualquer domínio de transformação, desde que o ruído seja aditivo e a transformada seja linear. Razão do sucesso frente a outras transformadas: As transformadas de wavelet permitem um maior grau de liberdade na decomposição. w F ( w ) 1 ( Nw ( ) ) 1 S ( w ) 1 B w w B1 w 12 (a) Sinal original; (b) ruído aditivo; (c) sinal contaminado. 97

98 As wavelets têm se mostrado ferramentas importantes na remoção de ruído. sinal original fk ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano. observações y k = f k + σ n k, k=0,1,2,...,k-1, Matricialmente, y=f+σn. Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se DWT ( y ) = DWT ( f ) + σ DWT ( n ). Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal. 98

99 Ilustração (Matlab ) da descontaminação de um sinal com ruído gaussiano. Efeito do waveshrink nos coeficientes da decomposição e no sinal recuperado. 99

100 Domínio wavelet Domínio tempo (a) (c) (b) (d) Figura. (a) Coeficientes wavelet para o sinal contaminado (b) Coeficientes wavelet após waveshrink (c) sinal contaminado e (d) sinal descontaminado. 100

101 Análise de Turbulência Marie Farge (Ecole Normale Supérieure)

102 Compressão via wavelets A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão: Inclusão no padrão internacional JPEG padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamento de impressões digitais. 102

103 Figura. Demonstrativo do JPEG 2000 [Fonte: Wavelets biortogonais de Cohen-Daubechies-Feauveau. 103

104 Em 1993, o FBI desenvolveu padrões para digitalização e compressão de impressões digitais. O padrão de compressão de imagens adotado pelo FBI (US Federal Bureau of Investigations) para a digitalização de imagens em níveis de cinza de impressões digitais é chamado de WSQ, "Padrão de Compressão Wavelet/Quantização escalar" (do Inglês: Wavelet/Scalar Quantization standard). O método de compressão envolve três passos principais: i) Uma decomposição DWT da imagem fonte da impressão digital; ii) Uma quantização escalar (quantizador uniforme) dos coeficientes DWT; iii) Codificador de fonte sem perdas dos índices quantizados. 104

105 O WSQ adota uma quantização para uma decomposição da imagem em 64 sub-bandas usando a DWT. As imagens são produzidas com qualidade de arquivamento e com taxas de compressão em torno de 20:1 As imagens de impressão digital são digitalizadas via scanner com resolução de 500 pixel/polegada e com 8 bits (256 níveis de cinza). Uma impressão digital adquirida com esta qualidade requer pixels e necessita 0,6 Mbytes para armazenagem. Duas mãos, requerem quase 6 Mbytes, sem compressão. 105

106 (a) (b) Figura. Diagrama simplificado do Sistema WSQ (Padrão FBI) para Impressões Digitais (a) Compressão de Impressões com codificação em 64-subbandas (b) Reconstrutor da imagem a partir da seqüência binária comprimida. 106

107 Wavelets em Compressão de Imagens A compressão de imagens com base em transformadas vem sendo usada a longo tempo com sucesso. A compressão com wavelets consiste essencialmente em três etapas: 1 A transformada, 2 a Quantização e 3 a Codificação. Trata-se de um esquema similar ao clássico PCM (Pulse Code Modulation). 107

108 Figura. Princípio da codificação de imagens com base em transformadas de wavelet: Transformada wavelet direta, quantização e codificação binária. 1 As wavelets normalmente adotadas nestes esquemas são as de Daubechies com N=3 momentos nulos e as Biortogonais com N=2 momentos nulos. 2 A etapa de codificação pode envolver uma codificação binária de comprimento fixo ou de comprimento variável. 3 No esquema de quantização, o grau de perda é controlado escolhendo o número de níveis de quantização e a geometria das células de Voronoi. 108

109 Imagem original 100% dos coeficientes, 19% dos coeficientes wavelets retidos, 3% dos coeficientes wavelets retidos, 1% dos coeficientes wavelets retidos. (a) (b) (c) (d) Figura. Efeito progressivo da Compressão Wavelets. qualidade da imagem. 109 elimina-se um grande número de coeficientes wavelets sem grande perda na A forma mais usual de compressão é a "compressão com perdas", na qual Simpósio Brasileiro de Telecomunicações SBrT 2007 RECIFE

110 Potencial das wavelets na compressão de imagens [D. Lemire e A. Béliveau]. Original 261 kb JEPG 28 kb wavelet CIRA 5kB 110

111 Wavelets na Análise de Sinais Médicos As wavelets constituem uma ferramenta extremamente valiosa na (Engenharia) Biomédica. análise de sinais fisiológicos tradicionais (eletrocardiogramas ECG, eletroencefalogramas EEG, etc.) imagens biomédicas (Biomedical Imaging) modelos de percepção (sistema visual, sistema auditivo etc.). redução de ruído, realce de imagens para diagnóstico (radiografias, mamografias, ultrassom etc.), detecção de microcalcificações em mamografias, Imagens de Ressonância Magnética MRI, Tomografia computadorizada 111

112 Wavelets de Daubechies na detecção de arritmias, p.ex., VLP (ventricular late potential). Figura. Análise de um eletrocardiograma via wavelets dbn. A energia associada com a contração ventricular prematura é explicitada nas escalas 6, 7 e 8 (D6, D7 e D8). 112

113 Mamografia e radiologia. Microcalcificações sempre refletem alguma patologia nos seios, seja benigna ou maligna. Em muitos casos elas não são visíveis devido ao ruído e blur que ocorrem em sistemas de raios-x e na câmera digitalizadora. Técnicas baseadas em wavelets tem sido usadas com sucesso na detecção de microcalcificações. Figura. Realce em Mamografia digital com wavelets: Imagem original e Imagem com Realce e descontaminação. 113

114 RMN - Compressão 10:1 114

115 2D-Wavelet via Análise de Multiresolução para Imagens A implementação bidimensional da transformada discreta de wavelet (2D- DWT) pode ser realizada pela aplicação de 1-D-DWT para a imagem, primeiro na direção horizontal e então na direção vertical. sub-imagens: Low-Low, Low-High, High-Low e High-High na escala 1. 2D-DWT é aplicada apenas nas sub-imagens Low-Low gerando Low-Low, Low-High, High-Low e High-High na escala Original Decomposição 2D- Wavelet Mascara de iteração Figura. Decomposição Diádica da imagem "de Oliveira" e máscara de iteração empregada para a decomposição em níveis mais elevados. 115

116 Wavelets em Telecomunicações Óptica Sincronização Modulação Identificação de modulações digitais Combate a ruído intencional (anti-jamming) Codificação de voz e na quantização (linear ou vetorial) Radar Modelos para o sistema auditivo Sistemas com diversidade em canais com desvanecimento Multiplex e CDMA Sistemas Multiportadoras Ortogonais (multitom tipo OFDM). 116

117 Seqüências de espalhamento espectral utilizando wavelets FF-Haar sobre GF(7) Wavelets Ortogonais podem ser usadas como as seqüências de espalhamento espectral. Projeto de seqüências ortogonais de espalhamento espectral de comprimento N=8. A Wavelets FF-Haar sobre GF(p) pode ser usada para derivar as seqüências. Cada usuário tem uma seqüência que corresponderá a uma versão escalonada/transladada de uma mesma wavelet-mãe. 117

118 Figura: Sistema Multiplex utilizando wavelets FF-Haar. 118

119 Modulação por Chaveamento de Wavelets WSK Sinalização M-ária WSK para transmissão de dados. A modulação WSK é definida escolhendo-se o número M de escalas. Versões escalonadas da wavelet mãe são transmitidas em cada intervalosímbolo. O fator de escala em cada slot depende dos dados binários da entrada. O sinal modulado sem superposição (n-wsk) baseado em wavelet ψ ( t ) é m ) n( m ) ( ( t m ) ) + n ϕ WSK (t ) = m = n( em que m determina a índice do símbolo a uma taxa de 1 baud e n(m) {0,1,2,...,M-1}. 2 ψ 119

120 Duração efetiva de ( t ) ψ é unitária. Versões escalonadas ψ ( 2 t ), n(m) 0 são mais curtas que ψ ( t ) e ϕ WSK ( t ) é uma seqüência de wavelets não superpostas. n( m ) Dados são segmentados em blocos de log2m bits. O bloco especifica o fator de escala n da wavelet que será transmitida no slot particular. Figura. Modulador WSK. A notação 1, 2,..., M especifica o fator de escala da wavelet. 120

121 Outro caso consiste em WSK superpostas (o-wsk) sobre uma wavelet: n( m ) ( (t m ) ) ϕ o WSK (t ) = 2 2. m + = n( m ) 2 ψ φnon ( t ) 0 φover ( t ) t t Figura. Formas de onda típicas (normalizadas a 1 baud) com M=4 escalas: 15 Esquema WSK deo-wsk (de Oliveira wavelet com α=0.2) sem superposição e com superposição. 121

122 Multiplexação por Divisão em Multirresolução MRDM De acordo com a decomposição heterogênea de Mallat, dado um ϕ k,ψ k, j, um sinal f (t ) pode ser escrito como sistema wavelet { } f J k Jk ( t ) + d j, k jk ( t ) k j = 1 ( t ) c ϕ ψ, k em que c k e d jk são os coeficientes de aproximação e de detalhes. Ao invés de usar a decomposição de Mallat na análise de um único sinal, esta abordagem gera o sinal multiplexado de diferentes usuários. A idéia é usar a AMR para sintetizar o sinal muxed. 122

123 Seja f i (t ) o sinal analógico do usuário i. Se as amostras de cada sinal são atribuídas a uma dada escala, p.ex. c = f 0 [ k k ] e d = jk f j [k ], um sinal contínuo muxed pode ser gerado de acordo com ϕ J MUX ( t ) f 0 [ k ] ϕ Jk ( t ) + f j [ k ] ψ jk ( t ) k k j = 1. Nesta expressão, diferentemente da AMR padrão, cada coeficiente vem de um usuário diferente. 123

124 CONCLUSÕES AS APLICAÇÕES NÃO PARAM POR AI... IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS ENTREM NA onda E BOM USO (espero!) Obrigado!! 124