3 Análise de Wavelets

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1 6 3 Análise de Wavelets 3.1. História A palavra wavelet tem como gênese a palavra rancesa Ondalette, que signiica onda pequena. Também é conhecida como Ondaleta. Nós usaremos simplesmente a palavra wavelet. As wavelets oram pela primeira vez mencionadas no apêndice da tese de (Haar, 199). As wavelets de Haar icaram no anonimato por vários anos, até que nos anos 3 vários grupos trabalhando independentemente, pesquisaram a representação de unções usando uma base variando com a escala. Naquela ocasião, usando a base de wavelets de Haar, Paul Levy investigou o movimento Browniano. Ele mostrou que as unções da base de Haar eram melhores do que as da base de Fourier para estudar os pequenos e complicados detalhes do movimento Browniano. Por um período longo, as wavelets de Haar continuaram a ser a única base ortonormal de wavelets conhecida. Em 1985, Mallat deu às wavelets um grande impulso através de seu trabalho em processamento digital de imagens. Meyer (1989) inspirado nos resultados de Mallat, construiu a primeira wavelet não-trivial (suave). Ao contrário das wavelets de Haar, as wavelets de Meyer são continuamente dierenciáveis, mas não têm suportes compactos 1. Em 1988, Mallat desenvolveu uma teoria denominada análise de multirresolução. No ano seguinte ele mostrou que a análise de multirresolução pode ser vista simplesmente como uma orma de algoritmos de pirâmide que é usado para calcular a transormada de wavelets. (Mallat, 1989). Em 199, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat, para construir um conunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes compactos. Os trabalhos de Daubechies são os alicerces das aplicações atuais das Wavelets. Mais sob a história das wavelets podem ser achadas em (Paulo C.L, ), no livro de (Yves Meyer 1993), e os trabalhos de (Barbara B, 1998) que descreve o nascimento, história e os conceitos das wavelets de orma clara. 1 As unções bases são não zero em um intervalo de tempo inito. Algoritmos de pirâmide são vistos com mais detalhes na seção

2 Algumas aplicações Nas últimas duas décadas, a transormada de wavelets tem sido satisatoriamente aplicada a sinais de características não-estacionárias. Sua aplicação se destaca em dierentes áreas como Engenharia, Física, Matemática, Estatística, Economia, etc. Podemos ressaltar a sua utilização em estatística, como um procedimento auxiliar na iltragem (de-noising), regressão não paramétrica e estimação de densidades de probabilidade. A seguir são mostrados algumas aplicações. Uma aplicação teve como inalidade o alisamento dos dados e a inspeção do sinal, para prever os terremotos. Usou-se a água dos poços, localizados na Caliórnia, que oi monitorada para se obter as medidas de seus níveis, tomados a cada hora por aproximadamente seis anos. (Vidaovic, 1999). Uma outra aplicação muito conhecida oi dado em compressão de imagens, no Federal Bureau o Investigation (FBI) para amostras de impressões digitais, cuo problema principal era o armazenamento de dados devido ao tamanho de inormação proveniente de muitos anos. Com a aplicação das wavelets, cada impressão digital ocupou menos espaço de armazenamento para representar adequadamente os dados originais. Praticamente realizou-se uma compressão em uma proporção de :1. (Graps, 1995). Nos últimos dez anos as aplicações voltadas à área de sistemas de potência no setor elétrico têm crescido radicalmente. Entre as aplicações mais conhecidas podemos mencionar as seguintes: - Proteção de sistemas de potência - Qualidade de potência - Previsão de carga - Medidas de um sistema de potência - Transientes de sistemas de potência. No trabalho de (Rosa C.F. e Horacio D.R., ), apresenta-se a descrição das aplicações das wavelets na área do sistema de potência para cada um dos itens citados acima. Também se proporciona uma abundante bibliograia, alguns tutorais e site interessantes.

3 8 3.. Analise de Fourier versus análise de Wavelets Para um bom entendimento da análise de wavelets, é necessário começar com a análise de técnicas mais simples. Na prática muitos sinais (assumimos contínuos para a explicação) vêm representados no domínio do tempo, com uma determinada amplitude. Estes mesmos sinais podem ser representados de outra orma, isto é, no domínio da reqüência. Quando nós estivermos nos reerindo ao domínio da reqüência, é introduzido o conceito de espectro de reqüência, o qual representa basicamente as componentes de reqüência do sinal. A representação do sinal no domínio da reqüência é obtida aplicando a transormada de Fourier (TF) à série original, expressa no domino do tempo. O resultado desta transormação é um conunto de reqüências as quais caracterizam o sinal original. Mas, surge a pergunta: Por que precisamos de inormação de reqüência? Muitas vezes a inormação que se precisa não pode ser vista no domínio do tempo, e sim, no domínio da reqüência. Em outros casos a parte mais importante da inormação do sinal está escondida nas suas reqüências. Esta transormação pode ser aplicada a sinais não estacionários, desde que, somente se estea interessado em saber as componentes de reqüência que contém o sinal. A TF apenas nos indica o conteúdo espectral do sinal, mas não ornece o instante ou intervalo de tempo em que essas componentes espectrais aparecem. Em muitas aplicações, é muito importante saber quando ou em que intervalo de tempo as reqüências ocorrem. Para essa análise a TF á não é a mais adequada, salvo se a série or estacionária, pois as reqüências pelas quais, as sinais estacionárias estão compostas, ocorrem no tempo de existência do sinal. Como alternativa para resolver este problema, surgiu a Transormada por Janelas de Fourier (TPJF), que é uma generalização da TF. A sua aplicação permitirá obter a inormação do sinal em tempo e reqüência. A metodologia da TPJF têm alguns problemas, como por exemplo, a escolha da largura da anela, como veremos na seção (3.4). Em geral, muitas das séries temporais, como séries econômicas e inanceiras, exibem comportamentos não estacionários, tais como mudanças nas tendências, quebres estruturais, desde o começo até o im do evento. Estas

4 9 características são reqüentemente as partes mais importantes do sinal e aplicando a TF ou TPJF não se poderá capturar eicientemente esses eventos. Assim, a Transormada de wavelets surge como uma erramenta muito útil para analisar estas séries do tipo não estacionária. Na seção (3.5) veremos mais detalhes sobre transormada de wavelets. As boas propriedades das wavelets azem que as mesmas seam muito úteis na análise de sinais com características não estacionárias, das quais azem parte muitas séries econômicas e inanceiras Transormada de Fourier Esta é uma erramenta principal para explorar os enômenos em tempo reqüência. A transormada de Fourier de uma unção ( t) (pelo momento vamos assumir que t é uma variável contínua), é deinido no espaço L ( R) (i.e. () t dt, ( t ) < L ( R ) ). por: 1 1 ( TF )( w) ( t ) = e i wt dt R π (1) Se TF 1 ( R) L, é a transormada de Fourier de ( t) L ( R) transormada inversa de Fourier será: 1, então a F 1 1 i wt [ TF ( w) ] ( TF )( w) e dw = ( t ) = π () onde w é a reqüência angular. Esta transormada inversa de Fourier vai ser usada para reproduzir a unção original.

5 Transormadas por anelas de Fourier Introdução Como mencionado na seção (3.), a aplicação da TF não é adequada para sinais não estacionários, quando se desea a inormação das reqüências no tempo. Num esorço por corrigir essas deiciências, Dennis Gabor (1946), desenvolveu uma técnica chamada transormada de Gabor, mais conhecida como transormada por anelas de Fourier (TPJF), para se conseguir assim, um balanço entre tempo e reqüência. Esta técnica, consiste em analisar uma parte do sinal, eito pela escolha de uma unção anela W ( t) em uma escala 1 determinada, transladando a anela através de toda a série de tempo, e logo, tomando a TF de todas as pequenas séries. O resultado da expansão é uma unção de dois parâmetros; reqüência e tempo. A propriedade chave, é que o tamanho da anela é ixado com respeito à reqüência, isto produz um plano de divisão retangular de temporeqüência como se mostra na Figura 8. Amplitude Janela Freqüência TPJF Tempo Tempo Figura 8 Transormada por Janelas de Fourier A TPJF ornece alguma inormação a respeito de quando, e em quais reqüências o evento do sinal ocorre, mas só obtemos esta inormação com uma precisão limitada. Na prática a escolha da anela é muito importante com respeito ao desempenho da TPJF. Embora bons resultados tenham sido obtidos, estes não são completamente satisatórios. Muitos sinais requerem uma aproximação mais lexível, onde necessitam alterar o tamanho da anela, e assim, determinar eventos com uma melhor aproximação tanto no tempo como na reqüência. 1 A deinição de escala é vista na seção (3.5.3).

6 Escala Relação matemática A TPJF está dada pela relação: ' ' wt ( TPJF )( w t ) ( t) g( t t ) e i, = (3) É mais amiliar e prático analisar esta técnica numa versão discreta, onde ' ' t e w, são atribuídos como valores regularmente distanciados: t t =, w = w, e onde e Z, e w o, t são valores ixos maiores que zero. Então nova versão da TPJF é: i w t ( TPJF )( ) ( t) g( t t ) e, = (4) o valor de se reere as reqüências e as translações no tempo Transormada de Wavelets Introdução A transormada de wavelets tem qualidades atraentes que a azem um método muito útil para séries temporais, exibindo características que poderiam variar tanto em tempo como em reqüência (ou escala). Ver Figura 9. Amplitude Transormada de Wavelets Tempo Tempo Figura 9 Transormada de wavelets proporciona uma representação em tempo e escala A transormada de wavelets nos permite decompor o sinal num conunto de bases de unções, em dierentes níveis de resolução (escalas) e tempos de

7 3 localização. A partir desses níveis é possível reconstruir ou representar uma unção, usando as bases wavelets e coeicientes desses níveis apropriadamente. As wavelets são simplesmente ondas de curta duração com energia concentrada num intervalo de tempo curto, (Graps, 1995), com certas propriedades matemáticas e que são deinidas no espaço uncional de quadrado integrável L (R). As amílias de unções ψ ( t) a,b, são deinidas por dilatações (ou compressões) e translações de uma única unção ψ ( t) chamada wavelet mãe 1, deinida por: 1/ t b ψ a, b () t = a ψ, a, b R, a, (5) a onde o termo 1/ a serve para normalizar a unção a,b ( t) ψ (ver para mais detalhes). A transormada de wavelets nos ornece uma descrição em tempo-escala. De orma análoga a mostrado em (3) e (4) temos: e TW t b ( a, b) = a 1/ () t ψ a b dt = a 1/, () t ψ dt (6) a TW / ( t) ψ ( a t b ) dt (7) (, ) = a onde., Z, a a =, b b a =, além a >1 e b >1, são ixos. Está se assumindo que a unção ψ satisaz a condição, ψ ( t) dt =, de admissibilidade (ver relação (1)). Mais detalhes podem ser encontradas em (Daubechies, 199) Tipos dierentes de transormação wavelets Existem vários tipos de transormada de wavelet, as quais partem das órmulas básicas (6) e (7). Assim, podemos distinguir. 1 Mais na rente (seção 3.6.) é mostrado que existe outro tipo de unções wavelets chamado wavelets pai, e que é representado pela unção φ ( t).

8 33 A. Transormada de wavelets contínua - dado pela relação (6) - B. Transormada de wavelets discreta - dado pela relação (7) - Dentro da transormada de wavelets discreta distinguem-se duas abordagens: b.1 Representação por Frames b. Representação por bases de wavelets ortonormais e outras bases Na seqüência será descrito cada uma destas alternativas, centrando nosso interesse, nas bases de wavelets ortonormais (b.) Transormada de wavelets contínua Entender a transormada continua de wavelets é muito importante pelo ato de ter propriedades similares quando é analisado o caso discreto. A transormada continua de wavelets, é dada pela seguinte relação: (ver equações (5) e (6). TCW ( a, b) ( t) ψ ( t) dt = (8) a, b a unção ψ a,b () t é uma amília de unções deinida como translações e ψ, chamada wavelet mãe. A unção ψ () t tem dilatações de uma única unção ( t) que satisazer a condição de admissibilidade, ( w) Ψ Cψ = dw <, ( 9) R w onde Ψ ( w) é a transormada de Fourier de ψ ( t) admissibilidade implica: ( t) dt = Ψ( ) =. Esta condição de ψ (1)

9 Propriedades básicas Mostramos algumas propriedades básicas. Resolução de identidade Quando a condição de admissibilidade é satiseita, i.e. achar a transormada inversa contínua, assim uma unção ( t) de ( R) reconstruída de sua transormação wavelets. C ψ <, é possível L pode ser 1 = a, b Cψ a () t TWC ( a, b) ψ ( t) da db (11) Escalonamento Escalonamento de uma wavelet simples signiica alongar ou comprimir uma wavelet. Para compreender melhor isto mostraremos um exemplo de senóides escalonadas, onde o eeito do ator de escala é dado por a. Ver Figura 1. ( t ) = sen ( t) ; a = 1 ( t ) = sen ( t) ; a = 1/ ( t ) = sen ( 4t) ; a = 1/ 4 Figura 1 Eeito do ator de escala a na unção senoidal É ácil ver que o ator de escala trabalha exatamente da mesma orma com wavelets. O menor ator de escala mostrado na Figura 11, corresponde à wavelet mais comprimida.

10 35 ( t ) = ψ ( t ) ; a = 1 ( t ) = ψ ( t ) ; a = 1/ ( t ) = ψ ( 4 t ) ; a = 1/ 4 Figura 11 Eeito da do ator de escala a na wavelet Translação Translações de uma wavelet simples signiica deslocamento no mesmo conunto. Matematicamente, o deslocamento de uma unção ψ ( t) por é representado por ψ ( t ) : Função wavelet ψ () t Traslação da Função wavelet ψ ( t ) Figura 1 Translação de uma wavelet em unidades Assim, há uma correspondência entre escalas e reqüências das wavelets, isto é: Para baixos a wavelets curtas rápidas mudanças altas reqüências w Para altos a wavelets longas mudanças lentas baixas reqüências w Estas duas últimas propriedades são muito importantes para poder entender a transormada de wavelets no espaço de três dimensões como se mostra na Figura 13.

11 36 Amplitude =TCW(,) Tempo Escala Figura 13 Espaço tridimensional das amplitudes dos coeicientes wavelets em cada nível de resolução e tempo de deslocação. = parâmetro de translação = parâmetro de escalonamento Representação de wavelet discreta por Frames Quando não se pode estabelecer a condição de ortonormalidade é melhor pensar no caso mais geral, que são as rames onde o alvo é obter coleções de unções que não são ortogonais, nem linearmente independentes, mas que ainda podem ser utilizadas para deinir um operador de representação. Da equação (7), os valores escolhidos para o parâmetro de dilatação a e b são discretos. O parâmetro a a =, onde a >, a é ixo e corresponde às dierentes larguras das wavelets. O parâmetro b b a =, b >, b é ixo e corresponde as translações das wavelets através do tempo. Substituindo esses valores em (5) tem-se uma expressão para as wavelets ψ / () = t b a t a a a, ψ = a ( a t ) / ψ b (1)

12 Representação por bases de wavelets ortonormais. Se, de orma particular e especial, or eita uma escolha de ψ ( t), a e b ; a unção () t ψ vai ormar uma base ortonormal de L ( R),. Em particular para a equação (1) são escolhidos a =, b = 1. Então existe uma unção ψ () t, tal que: / ( t ) = ( t ) ψ, ψ (13) Aqui pode-se ver que ψ ( t ) é obtido de ( t) e uma translação diádica base ortonormal num espaço ( = ixo) L ( R), ψ por uma dilatação binária. Para estabelecer que, ( t ), precisamos mostrar: ψ constitua uma Ortogonalidade : < ψ () t, ( t), ψ > = para ˆ, ˆ Normalização: ψ 1 se Z, = Alguma unção () t L ( R) combinação linear inita de unções ψ ( t) mais uma condição: Completeza: Para todo () t L ( R) > pode ser arbitrariamente aproximada por uma, e todo ε >, () t ˆ () t < ε, mas para isso, tem que se satisazer onde ˆ() t = < () t, ψ, ψ, é a estimação da unção ( t) interno () t > <,, e o produto,ψ representa a transormada de wavelets, que vem a ser os coeicientes da unção base. Completeza airma que as combinações lineares do conunto podem ser utilizadas para se obter aproximações de qualquer unção () t do espaço ( R) L usando as bases de wavelets. É ácil ver que a condição de ortogonalidade implica que os elementos ( t) ψ seam linearmente,

13 38 independentes. Os conuntos de bases ortonormais do espaço também são chamados conuntos ortonormais completos. A unção Haar ( ψ () t ) é a unção mais simples e conhecida, para ( t ) deinido em (13), constitui uma base ortonormal para L ( R) encontrada em (Daubechies, 199. p.1). ψ,. A demonstração é Transormada de wavelets discreta para uma unção discreta No caso anterior oi alado que, a transormada de wavelets era contínua quando a unção wavelet, or também continua, e a sua correspondente transormada era discreta quando a unção wavelet osse discreta. Além disso, assumimos inicialmente que a unção ( t) era contínua. Nesta parte a transormada discreta de wavelets vai ser aplicada para um conunto de dados discretos. A saída desta transormação será também discreta. Existem muitas ormas de expressar a transormada discreta de wavelets de um vetor de observações. Sea uma unção discreta do tempo ( t) [ x x, x ] a relação da equação (8) torna-se discreta para este caso, e dada por: TWD X N 1 / (, ) = X ( t) ( t ) t= X, =, 1... N 1 ψ (14) A relação inversa desta unção utilizada para as sínteses ou reconstrução do sinal é dada pela relação: X [ ] ( t ) / X () t = TWD (, ) ψ (15) Ζ Z

14 Análise multirresolução de bases ortonormais de wavelets Propriedades da análise de multirresolução A análise de multirresolução consiste de uma seqüência de aproximações sucessivas de espaços V (seguindo a convenção de Daubechies) V V1 V V 1 V... (16) Na Figura 14 pode-se observar como é a distribuição destes espaços.... V V1 V V Figura 14 Distribuição dos espaços A união desses espaços echados é ( R) ( R) L, U V = L (17) Z A interseção contém somente à unção zero I V Z = { } (18) Existem muitos espaços que satisazem as relações (16)-(18). O aspecto de multirresolução é uma conseqüência de outros requisitos adicionais, descritas a seguir. Dada uma unção () t de L ( R), tem-se que, 1 Esta convenção diz que os subespaços denotados com os menores subíndices estarão dentro dos subespaços de maiores subíndices. Esta convenção é oposta à convenção de Mallat.

15 4 () t V ( t) V 1 (19) de A relação (19) diz que numa análise multirresolução, o espaço V 1 é obtido V escalando-se as unções aproximadas, pela razão dos respectivos níveis de resolução. Outra característica requerida na análise multirresolução, é a invariância de V sob translações inteiras. () t V ( t ) V () O princípio básico da análise de multirresolução consiste que uma coleção qualquer de unções de um conunto echado, satisaz às relações (16) e () Bases ortogonais As wavelets são bases de unções que permitem a extração de inormação disponível do sinal no domínio do tempo e escala (ou reqüência). Os dierentes tipos de amílias de wavelets quase sempre vem em pares. Assim, temos as wavelets pai e mãe representados por φ ( t) e ( t) do tipo pai 1, φ () t, do tipo mãe, ψ ( t) ψ respectivamente. As wavelets, capturam as partes do sinal de baixa reqüência, e as wavelets,, capturam os detalhes ou componentes de alta reqüência, em um nível de resolução dado. Utilizando as bases ortonormais φ () t e () t vai se poder usadas para representar uma unção ( t) em ( R) Deinimos o espaço conunto de wavelets do tipo mãe ( t) L., ψ, W, chamado também espaço das wavelets para o ψ,, e o espaço de escalonamento para o conunto de wavelet do tipo pai ( t) V chamado também espaço φ. Para cada Ζ,, 1 As wavelets da orma φ, () t são ditos wavelets do tipo pai, devido a que oram gerados a partir φ t. de uma única unção ( ) De orma similar as wavelets da orma ( t) gerados a partir de uma única unção ψ () t. ψ são ditos wavelets do tipo mãe devido a que oram,

16 41 deinimos W como o complemento ortogonal de V em V 1, e assim, temos a relação entre os espaços V e W : V 1 = V W (1) W V A Figura 15 mostra como é a distribuição dos espaços W e V... V V W... W 1 Figura 15 Distribuição dos espaços W e V Construção de ψ(t) e φ (t) a partir de uma escala de maior resolução Pela propriedade (19), tem-se que unções de um espaço são simplesmente versões escaladas de elementos do próximo espaço. Se a unção φ ( t) V, e por (16) o espaço V está contido no espaço V 1 (ver Figura 15), então, φ () t V 1. Portanto a unção φ ( t) pode ser expressa em (), como uma combinação linear deste último espaço 1 V, que é um espaço escalado suportado por ( t) φ. φ ( t) = l ( ) φ( t ), Ζ, () Por outro lado, oi mencionado na seção anterior e mostrado na Figura 15 que W1 W, então a wavelet mãe ψ ( t) também pode ser expressa em (3), como uma combinação linear de unções escala φ ( t) deslocadas, similar à equação anterior.

17 4 () t = h( ) φ( t ), ψ (3) Os coeicientes l ( ) e ( ) h são conhecidos também como iltros passa baixo e passa alto respetivamente, e estão relacionados por: h ( ) l ( ) = 1 1 (4) ou também da orma, para sinais de comprimento inito e ordem N. h ( 1 ) l ( 1 + N ) =, (5) Estas relações são dadas pela própria ortogonalidade entre a unção do tipo pai e a unção wavelet do tipo mãe. As unções l ( ) e ( ) h são iltros de quadratura em espelho-fqe (Quadrature Mirror Filter-QMF). (Oppenheim, 1989). Será visto mais do FQE na seção Algoritmo piramidal Na prática a transormada de wavelets discreta é implementada via o algoritmo piramidal, (Mallat, 1989), sendo preciso para cada iteração do algoritmo piramidal três dados; 1) o vetor de entrada, ) o iltro wavelets do tipo mãe h ( ), 3) e o iltro de escala l ( ) da wavelet do tipo pai. Como sabemos a transormada discreta das unções wavelets do tipo pai e mãe, matematicamente,são calculadas usando as relações de a = x() t () t e d x() t () t,,,φ,, =,ψ respetivamente. O algoritmo piramidal eetua estes cálculos de outra orma, usando os iltros passa baixo e passa alto das unções wavelets usadas na análise. Para o -ésimo passo, o algoritmo calcula esta transormada discreta a partir dos coeicientes suaves a 1,, do nível 1, dado por:

18 43 ( n ) a n a, l 1, n = (6) ( n ) a n d, h 1, n = (7) A transormada de wavelets pode ser interpretada como uma iltragem seguida de uma decimação (ou downsampling). O número de coeicientes para a, que está no nível, será a metade do número de coeicientes a 1, do nível 1, da mesma orma para, de tal orma que ao inal se terá a mesma d, quantidade de dados que ao início. Os iltros L e H são escritos como ( l ) ) Z e H = ( h( ) Z L = ( ). De orma similar para os iltros de reconstrução ' ' ( l ( ) ) Z e H = ( h'( ) Z ' L = ). Estes tipos de iltros são especiais e estão relacionados uns com os outros, com propriedades importantes para assim conseguir a pereita reconstrução do sinal (ver ). A seleção das wavelets determinam os iltros. a, L ( ) d1, W1 ( V ) H L ( ) a1, V1 H ( ) d, W L ( ) a, V d 3, ( W ) 3 Figura 16 Decomposição do sinal com downsampling H a3, ( V ) 3 Da Figura 16 mostra a decomposição do sinal, o símbolo signiica que cada amostra de entrada é removido (downsampling de ) com o im de manter constante a amostra inicial. Vamos analisar esta Figura, considerando um sinal X ( ) que pertença ao espaço de unções V. Tomando a transormada de wavelets discreta, e aplicando em seguida downsampling de, resulta em coeicientes e a 1, que pertencem ao espaços W 1 e V 1 respectivamente, que são, por deinição, d 1,

19 44 versões escaladas de elementos do espaço V. Os coeicientes de V 1 são chamados de aproximação e os coeicientes de W chamados de detalhes. Novamente aplicamos a transormada aos coeicientes de aproximação de V, utilizando o mesmo procedimento até se conseguir a escala deseada (no caso V 3). Portanto o sinal original oi subdividido em outros sinais com bandas dierentes de reqüência, onde cada coeiciente da transormada possui uma banda de reqüência única, podendo ser analisada da maneira mais conveniente ao obetivo que se desea. (Costa e Silva. M, 1999) Reconstrução ou sínteses Até agora vimos como a transormada discreta de wavelets pode ser usada para analisar ou decompor sinais. Resta saber como aqueles componentes podem ser novamente unidos para ormar o sinal original sem perda de inormação. Este processo é chamado reconstrução ou sínteses. d 3, ( W ) 3 ( ) d1, W1 L ( ) a1, V1 ( ) d, W L ( ) a, V H L H a, ( V ) a3, ( V ) 3 H Figura 17 Reconstrução do sinal via coeicientes de wavelets A Figura 17 mostra como é eita a reconstrução do sinal a partir dos coeiciente das wavelets. O símbolo indica upsampling, que é o processo de alongamento dos componentes do sinal, por inserção (introdução) de zeros entre as amostras. O procedimento da transormada inversa discreta de wavelets resulta de aplicar upsampling seguido de iltragem. Como no caso de decomposição o procedimento se repete até obter o sinal reconstruído.

20 Importância da escolha do iltro A parte de iltragem do processo de reconstrução também traz algumas discussões, como conseqüência da escolha do iltro que será crucial para se obter uma pereita reconstrução do sinal original. Essa pereita reconstrução é realmente possível e signiicativa. É sabido que o downsampling das componentes do sinal executado durante a ase de decomposição introduz uma distorção chamada aliasing, (Strang, 1996; Oppenheim, 1989). Se escolhermos adequadamente e cuidadosamente os iltros para as ases de descomposição e reconstrução (que são muito parecidas, mas não idênticas), podemos cancelar os eeitos de aliasing. Descomposição Reconstrução Figura 18 Processo de decomposição e reconstrução A Figura 18 mostra a decomposição dos iltros de baixa e alta (L e H), unto com seus associados iltros de reconstruções (L e H ) de um sistema, e são chamados iltros de quadratura em espelho á mencionados. De ato, a escolha dos iltros não somente determina se será possível a pereita reconstrução (com perda o sem perda de inormação) 1, como também determina a orma da wavelet que será usada, para realizar a análise. Na verdade não são selecionados os iltros, e sim, as wavelets, determinando-se dessa orma os iltros a usar. Como veremos mais adiante, nosso problema basicamente estará na seleção do tipo de wavelets a usar na análise. 1 É dito com perda de inormação quando o alguns coeicientes de alta reqüência, relativo a cada nível, do sinal decomposto são eliminados a partir de um parâmetro escolhido adequadamente.

21 Alguns tipos de wavelets Com respeito à escolha das wavelets, tem-se muitas alternativas. A seguir são mostrados algumas características das wavelets biortogonais, Daubechies, Symlet e Coilet usadas na análise no capítulo Wavelets tipo Biortogonais A amília de wavelets biortogonais exibe a propriedade de ase linear, a qual é necessária para a reconstrução do sinal. Usa duas wavelets, uma para a decomposição e outra para a reconstrução, em lugar de uma só. Esta wavelet tem suporte compacto e é simétrica. As wavelets biortogonais são deinidas como pares de bases mutuamente ortogonais, mais nenhum desses pares é ortogonal. Figura 19 Wavelet ψ de tipo Biortogonais Wavelets tipo Daubechies As wavelets ortogonais de Daubechies, dbn, são pereitamente compactas no tempo, mas no domínio da reqüência, tem um alto grau de superposição espectral entre as escalas. Sua maior vantagem é serem ortogonais, o que signiica que um erro no sinal de entrada não cresce com a transormação e a estabilidade

22 47 numérica computacional é assegurada. Por outro lado não possuem ase linear Wavelets tipo Symlets Figura Wavelet ψ do tipo Daubechies Este tipo de wavelet oi proposto por Daubechies como uma modiicação à amília dbn, com possuem propriedades similares, e tendem a ser simétricas. Figura 1 Wavelet ψ do tipo Symlet Wavelets tipo Coilets Este tipo de wavelets é mais simétrico do que o tipo Symlets. Foi construído por Daubechies como requerimento de Coiman.

23 48 Figura Wavelet ψ do tipo Coilet As ilustrações destes quatro tipos wavelets oram obtidas do Toolbox de wavelets do MATLAB, (Misiti M, 1996), onde também podem-se encontrar importantes inormações e ilustrações de outros tipos de wavelets.