Computação Quântica: Complexidade e Algoritmos

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1 QC p.1/21 Computação Quântica: Complexidade e Algoritmos Carlos H. Cardonha Marcel K. de Carli Silva Cristina G. Fernandes (orientadora) Departamento de Ciência da Computação Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Apoio inanceiro FAPESP (03/ e 03/ )

2 QC p.2/21 Tópicos Breve histórico e descrição do trabalho O modelo quântico de computação O algoritmo de atoração de Shor Relações entre classes de complexidade

3 QC p.3/21 Breve Histórico Feynman (82): explorar eeitos quânticos Deutsch (85, 89): ormalização do modelo Shor (94): atoração eiciente de inteiros Grover (96): busca em tempo proporcional a Bernstein e Vazirani (97): complexidade computacional

4 QC p.4/21 Descrição do Trabalho Estudo básico do modelo quântico de computação. Parte do Marcel: Aspectos Algorítmicos. Algoritmos de Deutsch, Deutsch-Jozsa e Simon Shor Grover

5 QC p.4/21 Descrição do Trabalho Estudo básico do modelo quântico de computação. Parte do Marcel: Aspectos Algorítmicos. Algoritmos de Deutsch, Deutsch-Jozsa e Simon Shor Grover Parte do Carlos: Resultados de Complexidade. Máquinas de Turing quânticas Máquina de Turing quântica universal Classes quânticas de complexidade e relação com clássicas

6 QC p.5/21 Tópicos Breve histórico e descrição do trabalho O modelo quântico de computação O algoritmo de atoração de Shor Relações entre classes de complexidade

7 QC p.6/21 Bits Quânticos espaço vetorial de dimensão

8 QC p.6/21 Bits Quânticos espaço vetorial de dimensão base ortonormal de

9 QC p.6/21 Bits Quânticos e espaço vetorial de dimensão base ortonormal de : estados básicos

10 QC p.6/21 Bits Quânticos espaço vetorial de dimensão base ortonormal de : estados básicos e é um vetor unitário em bit quântico tem norma 1, pois e

11 QC p.6/21 Bits Quânticos espaço vetorial de dimensão base ortonormal de : estados básicos e é um vetor unitário em bit quântico tem norma 1, pois e é superposição de estados básicos

12 QC p.7/21 Principais Características: Superposição Um bit quântico armazena uma superposição de e

13 QC p.7/21 Principais Características: Superposição Um bit quântico armazena uma superposição de Exemplo: e

14 QC p.7/21 Principais Características: Superposição Um bit quântico armazena uma superposição de Exemplo: e Um registrador com bits quânticos armazena uma superposição de estados básicos

15 QC p.7/21 Principais Características: Superposição Um bit quântico armazena uma superposição de Exemplo: e Um registrador com bits quânticos armazena uma superposição de estados básicos Exemplo:

16 QC p.8/21 Principais Características Ao tentarmos enxergar uma superposição, modiicamos (perdemos) esta irreversivelmente (Princício da Incerteza)

17 QC p.8/21 Principais Características Ao tentarmos enxergar uma superposição, modiicamos (perdemos) esta irreversivelmente (Princício da Incerteza) No modelo clássico, portas lógicas são unções de bits em bits. No modelo quântico, as equivalentes portas lógicas são unções bijetoras de bits quânticos em bits quânticos. Exemplo: unção de negação e

18 QC p.9/21 Principais Características Facilidade de extração de propriedades globais de uma unção. Exemplo: período.

19 & ' ' ( QC p.9/21 Principais Características Facilidade de extração de propriedades globais de uma unção. Exemplo: período.! # " Exemplo: unção $% ' ' ' ( ( ( & ' período

20 QC p.10/21 Tópicos Breve histórico e descrição do trabalho O modelo quântico de computação O algoritmo de atoração de Shor Relações entre classes de complexidade

21 QC p.11/21 Algoritmo de Shor Recebe: um inteiro composto, ímpar, que não uma potência de primo ( tem pelo menos 2 divisores primos).

22 QC p.11/21 Algoritmo de Shor Recebe: um inteiro composto, ímpar, que não uma potência de primo ( tem pelo menos 2 divisores primos). Devolve: um ator de, com alta probabilidade.

23 QC p.12/21 Algoritmo de Shor Idéia: transorma problema da atoração em busca do período de uma unção.

24 ) * # QC p.12/21 Algoritmo de Shor Idéia: transorma problema da atoração em busca do período de uma unção. Consumo de tempo: polinomial em.

25 ) * # QC p.12/21 Algoritmo de Shor Idéia: transorma problema da atoração em busca do período de uma unção. Consumo de tempo: polinomial em. Observação: um único passo quântico!

26 - - 0, 3 0, $ D 4. D Algoritmo de Shor Shor /. - rand, 1. mdc 2. único passo quântico se 4. então devolva <>= ; 92: 8 tal que 7 6 menor ordem 5. E # " F. é ímpar ou 6. se 7. então FALHOU! E 8. senão devolva mdc QC p.13/21

27 $ F! $ D 4. D QC p.14/21 Algoritmo de Shor Teorema: # " com 1 menor se par e então mdc 4 E # " G F. é ator de E

28 $ F! $ D 4. D. D D D. D. D D QC p.14/21 Algoritmo de Shor Teorema: # " com 1 menor se par e então mdc 4 E # " G F. é ator de E Prova: é múltiplo de E E D. não é múltiplo de E não é múltiplo de E. E e E separados entre Fatores de

29 H J I QC p.15/21 Algoritmo de Shor Teorema: Se tem divisores primos, então probabilidade de alha KML

30 H R J I QC p.15/21 Algoritmo de Shor Teorema: Se tem divisores primos, então probabilidade de alha KML Prova: Teorema Chinês do Resto e Fato: é cíclico se primo ímpar. Q NPO

31 4 S & $ $ $ $! $ 4 QC p.16/21 Algoritmo de Shor Álgebra (Teoria dos Grupos):., módulo ordem de 4 é o período da seqüência. # " # " # " # " ' ' '. # " é o período da unção

32 ) * # $ # "! QC p.17/21 Busca do Período Algoritmo quântico encontra o período da unção em tempo polinomial em e com alta probabilidade.

33 _ ) * # X Y Y \ Z _\ $ # "! QC p.17/21 Busca do Período Algoritmo quântico encontra o período da unção em tempo polinomial em e com alta probabilidade. Utiliza versão quântica (trabalhando com superposições) da Transormada Discreta de Fourier L ' ' ' WV L ' ' ' UT onde Y[Z \^] L J e dc b `a é -ésima raiz complexa da unidade.

34 QC p.18/21 Tópicos Breve histórico e descrição do trabalho O modelo quântico de computação O algoritmo de atoração de Shor Relações entre classes de complexidade

35 QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico

36 g QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo clássico e probabilidade de alha limitada por constante

37 g ij h k QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo clássico e probabilidade de alha limitada por constante : espaço polinomial no modelo clássico

38 g ij h k k QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo clássico e probabilidade de alha limitada por constante : espaço polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo quântico

39 g ij h k g k QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo clássico e probabilidade de alha limitada por constante : espaço polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo quântico : tempo polinomial no modelo quântico e probabilidade de alha limitada por constante

40 g ij h k g l k k l l g g l ij h k QC p.19/21 Classes de Complexidade Classe dos problemas resolvidos em : tempo polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo clássico e probabilidade de alha limitada por constante : espaço polinomial no modelo clássico : tempo polinomial no modelo quântico : tempo polinomial no modelo quântico e probabilidade de alha limitada por constante Pode-se provar:

41 QC p.20/21 Direções uturas Estudo de mais algoritmos quânticos Generalização dos algoritmos exponencialmente mais rápidos (Hidden Subgroup Problem) Uso de idéias quânticas no modelo clássico Códigos resistentes a alha Mais resultados de complexidade

42 QC p.21/21 Fim Sítio: Carlos: Marcel: Cristina (orientadora):