Circuitos Quânticos: uma introdução

Transcrição

1 Circuitos Quânticos: uma introdução Aércio Ferreira de Lima DF/CCT/UFCG Bernardo Lula Júnior DSC/CCT/UFCG WECIQ2006

2 Roteiro Mecânica quântica (30min) dualidade onda x partícula superposição e interferência Interferômetro de Mach-Zehnder Representação da informação (30min) bit, qubit, vetor de estado estado produto direto e emaranhado registrador quântico

3 Roteiro: continuação Processamento da informação (40min) computador clássico: portas e circuitos lógicos operações quânticas: transformação unitária e medição portas e circuitos quânticos algoritmos aritméticos paralelismo quântico Algoritmo de Deutsch (20min) problema de Deutsch funções e circuitos Interpretação no interferômetro de Mach-Zehnder

4 Ferramental de apoio Texto (pdf) Apresentação (pdf) Simulador Zeno (java)

5 Abordagem Quântica... a tecnologia quântica pode oferecer muito mais que a possibilidade de abarrotar o silício de bits aumentando assim a velocidade de processamento. Ela pode dar origem a uma forma de computação completamente nova com algoritmos baseados nos princípios quânticos. Artur Ekert University of Oxford Centre for Quantum Computation

6 Computação Quântica (CQ): Pioneiros Em 1980 Benioff apresenta um modelo de computador quântico que simula a operação de uma máquina de Turing. Em 1982 Feynman afirma que : apenas um sistema quântico pode modelar eficientemente outros sistemas quânticos. computadores baseados nas leis da mecânica quântica poderiam ser usados para modelar sistemas mecânicos quânticos. e propõe (em 1985) um modelo de computador quântico mais realístico que o de Benioff. Em 1985 Deutsch estende a teoria da computação clássica, desenvolvendo uma teoria da CQ através da formulação de um modelo de circuitos quânticos ( ).

7 Até início dos anos 90 a CQ era apenas uma curiosidade acadêmica. Mudança Em 1994, Shor publicou o seu algoritmo quântico que resolve o problema de fatoração de números grandes em tempo polinomial. Algoritmo de Shor põe em cheque a segurança baseada em chave pública e abre novas perspectivas para a CQ.

8 Física Clássica Física Quântica Situação no final do século XIX: Os físicos achavam que já tinham uma imagem sólida e abrangente sobre o mundo objetivo (físico). O mundo (universo) consistia basicamente de duas coisas, matéria (partículas) e campos (ondas), regidas pelas leis de: Newton (leis do movimento) e de Maxwell (leis dos campos) A tarefa dos sucessores de Newton e Maxwell seria preencher os detalhes, estender as medições até a casa decimal seguinte.

9 Opinião dominante A física acabou, meu jovem. É uma rua sem saída. (professor de Max Planck, aconselhando-o, então, a optar pela carreira de pianista.)

10 Pequenas manchas Enigma do corpo-negro Pelas leis da física os corpos-negros deveriam ter um fulgor azul brilhante em todas as temperaturas a que fossem submetidos. Nas fundições se sabia, desde gerações, que o ferro se torna vermelho-cereja por volta dos C. Efeito fotoelétrico uma placa metálica onde é depositada carga elétrica perde essa carga se iluminada por luz ultravioleta, mas, se a luz for amarela, vermelha ou azul, nada ocorre. Pelas leis de Maxwell, a luz é uma onda. Como uma onda poderia causar o efeito observado?

11 O início da revolução quântica Em 1900, Planck propõe que átomos recebem e emitem energia em pequenos pacotes múltiplos da freqüência de vibração das partículas. A proposta inovadora de Planck explicava porque o ferro adquire um fulgor vermelho-cereja por volta dos C. Em 1905, Einstein publicou artigo intitulado Um ponto de vista heurístico sobre a produção e a transformação da luz, que utilizando a mesma restrição sobre a energia sugerida por Planck, sugeria que a luz era feita de partículas (fóton ou quantum de luz). A teoria de Einstein explicava os dados perfeitamente. Porém, criou outro problema: Afinal, a luz é onda ou partícula?

12 Dualidade Onda x Partícula Por volta de 1920, a opinião dominante era a de que a luz se comporta em determinadas situações como uma onda e em outras como partícula. Bragg: Os fótons se comportam como partículas às segundas, quartas e sextas, e como ondas às terças, quintas e sábados. Aos domingos, os físicos descansariam do esforço de tentar compatibilizar os dois comportamentos.

13 Onda x Partícula Como algo pode ser partícula e onda ao mesmo tempo? Partículas e ondas parecem ter propriedades diferentes e irreconciliáveis: uma partícula é uma objeto pequeno, bem localizado no espaço, enquanto uma onda é algo que se dispersa pelo espaço. duas ondas podem se interpenetrar e emergir inalteradas, enquanto duas partículas entrariam em colisão.

14 Onda x Partícula Mais lenha na fogueira : Em 1924, de Broglie propôs em sua tese de doutorado que não apenas os fótons mas também os elétrons ou quaisquer outras partículas atômicas também têm um comportamento ondulatório. Ou seja, não só a luz mas também a matéria teria comportamento de uma onda!!!.

15 Teorias quânticas Em 1925, surgem teorias quânticas (Heisenberg, Schrödinger), desfazendo a distinção entre partícula e onda: o mundo é feito de uma só substância, a substância quântica que combina de um modo peculiar os aspectos partícula e onda ; a cada entidade quântica é associada uma função de onda simbolizada por ψ ; ψ possui amplitude e fase, satisfaz o princípio da superposição e é sujeito à interferência construtiva ou destrutiva, dependente da fase.

16 Fenômeno quântico: interferência Beamsplitter ES: espelho semi-prateado metade dos fótons é refletida e metade transmitida V H fóton ES

17 Experimento A V Emitir fótons horizontalmente em direção à ES (um por vez) e observar efeito nos detectores A e B. fóton ES H B Efeito observado: Detectores A e B registram a chegada de fótons emitidos, e como esperado, metade por A e a outra metade por B. Os fótons parecem deixar ES em uma das duas direções possíveis, V ou H, aleatoriamente Comportamento de partícula.

18 interferência A A V N ES2 B V fóton ES H B fóton ES1 H N espelho normal (reflete todos os fótons) Interferômetro de Mach-Zehnder Esperado: metade dos fótons no detector A e outra metade no detector B. Observado: Todos os fótons registrados pelo detector B, nenhum pelo detector A.

19 interferência A A N ES2 B N ES2 B V V H H fóton ES1 N espelho normal (reflete todos os fótons) fóton ES1 N Observado: Metade dos fótons em A e a outra metade em B. Conclusão: Um caminho interfere (de alguma forma) no outro. O fóton segue nas duas direções possíveis ao mesmo tempo.

20 Superposição A N ES2 B fóton ES1 V H N Assim, podemos ter um sistema que pode não apenas estar em 2 estados distintos ( 0> ou 1> ), mas também em uma superposição desses estados: ψ> = a 0> + b 1> onde a 2 indica a probabilidade do fóton ser encontrado (se medido, observado) no caminho H ( 0>), e b 2 indica a probabilidade de ser encontrado no caminho V ( 1>).

21 Superposição e Interferência N V A ES2 B H fóton ES1 N espelho normal (reflete todos os fótons) Um fóton inicialmente no estado 0> ao incidir sobre ES1 tem seu estado alterado para: ψ> = (1/ 2)( 0> + 1> ) O estado do fóton após ES2 é 0>. Ou seja, os caminhos interferem um com o outro resultando: numa interferência construtiva no caminho 0> (amplitude aumenta para 1), e numa interferência destrutiva no caminho 1> (amplitude vai a 0).

22 Onda e Partícula O fóton se comporta como uma onda, seguindo nas duas direções possíveis ao mesmo tempo: ψ> = a 0> + b 1> As possibilidades se somam, mas podem desaparecer (quando suas ondas representativas se encontram fora de fase). Se observado (medido, detectado), o fóton se comporta como uma partícula (colapso da função de onda): 0> ou 1>

23 Representação da informação A unidade básica de informação dos computadores clássicos é o bit (binary digit) que pode ser (ou tem valor) 0 ou 1. A unidade básica de informação de um computador quântico é o qubit que, além dos estados 0> e 1>, correspondentes aos estados clássicos 0 e 1, pode estar numa mistura desses dois estados simultaneamente, ou seja, em uma superposição coerente desses estados. Em termos matemáticos, o estado geral de um qubit, denotado por ψ>, é descrito por um vetor unitário (módulo igual a 1) em um espaço de Hilbert bidimensional (C 2 ) : ψ> = a 0> + b 1>, satisfazendo a 2 + b 2 = 1. (condição de normalização)

24 Notação de Dirac Os kets 0> e 1> são representações dos vetores-coluna: 0> 1 0 1> 0 1 e formam uma base para o espaço chamada de base computacional { 0>, 1>} Então, ψ> = a 0> + b 1> representa o vetor: 1 ψ> a b = 1 a b

25 Visualização de um qubit na esfera de Bloch 0> z 1> z y y x x z 0> + i 1> 0> - 1> z y y x x

26 Registrador de memória quântico Registrador de memória em um computador clássico: sequência de n bits cujo estado pode ser qualquer um de {0,..., 2 n -1}. Registrador de memória quântico: sequência de n qubits cujo estado geral ψ> é uma superposição normalizada dos 2 n estados da base computacional { 0>,..., 2 n -1>} do espaço C 2n : ψ > = n 2 1 x= 0 α x x >, onde n 2 1 x= 0 α 2 x = 1 Obs.: o estado geral de n qubits é descrito por 2 n (números complexos). amplitudes

27 Estado geral de 2 qubits O estado geral ψ> de um registrador de 2 qubits é uma superposição dos estados da base computacional { 0>, 1>, 2>, 3>} : ψ> = α 0 0> + α 1 1> + α 2!2> + α 3!3> Ou, na notação binária: ψ> = α 00 00> + α 01 01> + α 10!10> + α 11!11>

28 Estado produto-direto Um tipo especial de estado é o estado produto-direto que é definido como o produto tensorial dos estados de seus componentes. Por exemplo, se: ψ> = ψ 0 0> + ψ 1 1> estado do qubit A φ> = φ 0 0> + φ 1 1> estado do qubit B então, o estado produto-direto do sistema composto é dado por: ψ> φ> = (ψ 0 0> + ψ 1 1>) (φ 0 0> + φ 1 1>) = ψ 0 φ 0 0> 0>+ψ 0 φ 1 0> 1>+ψ 1 φ 0 1> 0>+ψ 1 φ 1 1> 1> = 1 i, j= 0 ψ i φ j i > j >

29 Estado emaranhado Note que o estado geral de 2 qubits só é um estado produto-direto dos estados dos 2 qubits se, e somente se: ou seja, α 00 α 11 = α 01 α 10. α 00 = ψ 0 φ 0, α 00 = ψ 0 φ 0, α 00 = ψ 0 φ 0, α 00 = ψ 0 φ 0, Essa relação não é geral, visto que as amplitudes são regidas apenas pela condição de normalização. Assim, o estado de um sistema composto nem sempre é um estado produto-direto dos estados dos seus componentes. Por exemplo, o estado ψ> = ( 0> 0> + 1> 1>)/ 2 de 2 qubits não pode ser descrito como um produto tensorial. Esse estado é dito ser um estado emaranhado (ou entrelaçado).

30 Processamento da informação Um computador clássico pode ser visto como um sistema físico que processa a informação codificada em bits, convertendo univocamente uma sequência de n bits (entrada) em outra sequência de m bits (saída): calcula uma função f : {0,..., 2 n -1} {0,..., 2 m -1} O processamento é realizado por dispositivos chamados circuitos lógicos. Um circuito lógico é uma coleção de portas lógicas (gates) conectadas umas às outras por fios. As portas lógicas realizam operações lógicas (AND, OR, NOT, por exemplo) sobre as informações (bits). Os fios transmitem as informações (bits).

31 Porta lógica NOT a NOT(a) Essa porta tem como entrada um simples bit a e sua saída é o bit invertido, ou seja, a porta realiza a operação lógica NOT sobre o bit: NOT(0) = 1 e NOT(1) = 0 Os fios antes e depois da porta servem para transportar a informação (bit) para a porta e da porta, respectivamente.

32 Circuitos e funções computáveis Uma porta lógica realiza (implementa) uma função f:{0,1} n [0,1} m, para algum no. n de bits de entrada e algum no. m de bits de saída. Um circuito lógico pode envolver vários bits de entrada e de saída, muitos fios e muitas portas lógicas encadeadas, sem loops. Qualquer função computável pode ser realizada através de um circuito composto apenas das seguintes portas :

33 Portas lógicas básicas a NOT(a) NOT: {0,1} {0,1} a a AND b AND:{0,1} 2 {0,1} b a a OR b OR:{0,1} 2 {0,1} b a a XOR b XOR:{0,1} 2 {0,1} b a a NAND b NAND:{0,1} 2 {0,1} b

34 Circuito somador Podemos construir circuitos com múltiplas saídas que computam funções do tipo f : {0,1} n {0,1} m. Por exemplo, o circuito Half-Adder (HA) que computa x + y mod 2 (XOR de x e y) com o vai um (carry): x y c x y x y c x y

35 Transformação unitária A mecânica quântica diz que a evolução no tempo de qualquer sistema quântico isolado é descrita matematicamente por uma transformação linear. Como os vetores de estados quânticos são unitários (módulo igual a 1), as transformações devem preservar o módulo dos vetores. Uma transformação linear U que preserva o módulo é uma transformação unitária: U t.u = U.U t = I

36 Transformação reversível Uma consequência imediata da evolução do processo evolutivo de um sistema quântico isolado como um processo unitário é que ele reversível: U t.u = U.U t = I ou seja, U tem inversa U -1 = U t. As operações quânticas são reversíveis. As operações lógicas (booleanas) em geral não são reversíveis.

37 Portas quânticas simples Em um computador quântico o processamento da informação é realizado por dispositivos chamados circuitos quânticos que são agrupamentos de dispositivos mais simples chamados portas quânticas. Uma porta quântica simples (1-qubit) implementa uma operação unitária U que pode ser aplicada a um qubit no estado ψ> fazendo-o evoluir para o estado U( ψ>): ψ> U ψ>

38 Portas quânticas básicas X a> X a> a> Y Y a> 0 0 i i a> Z Z a> H a> H a> a> φ e iaφ a> iφ l 0 0 1

39 H (Hadamard) como uma rotação A porta H provoca uma rotação de π/2 do vetor de estado em torno do eixo y seguida de uma reflexão sobre o plano xy: z z z 0> x y x y x y 0>+ 1> 2 1>

40 Estados produto-direto x estados emaranhados Em geral, podemos usar as portas quânticas de 1-qubit para transformar o estado 0> 0>... 0> de n qubits em qualquer estado do tipo ψ 1 > ψ 2 >... ψ n > onde cada ψ i > é uma superposição arbitrária a 0>+b 1>. Porém, apenas estados produto-direto (ou separáveis) podem ser obtidos dessa forma. Para se obter estados emaranhados, precisamos de portas aplicáveis a múltiplos qubits.

41 Porta NOT-Controlado (CNOT) A porta CNOT pode ser aplicada ao estado de 2 qubits (controle e alvo) e sua ação pode ser definida pelas transformações operadas nos estados da base computacional: 00> 00> 01> 01> 10> 11> 11> 10> a> b> a> b a> U CNOT =

42 Porta U-controlada Podemos generalizar a porta NOT-controlada para a porta U- controlada, onde U é uma transformação unitária qualquer sobre 1- qubit : x> y> U x>u x y> Obs.: o conjunto das portas quânticas sobre 1-qubit mais a porta CNOT formam um conjunto universal, ou seja, qualquer transformação unitária pode ser representada por um circuito composto apenas por portas desse conjunto.

43 Portas quânticas de n qubits Uma porta quântica de n qubits é representada por uma transformação unitária U aplicada a um vetor de dimensão 2 n : ψ> U U ψ> Se ψ > = 2 n 1 x = 0 c x x > n, então U ψ > = 2 n 1 x = 0 c x U x > n

44 Circuitos quânticos Aplicando Hadamard ao estado 0>: 0> H (1/ 2) ( 0> + 1>) Com 2 qubits e 2 Hadamard: 0> H (1/ 2)( 0> + 1>) 0> H (1/ 2) ( 0> + 1>) (H H)( 0> 0>) = H 0> H 0> = (1/ 2).( 0>+ 1>) 1/ 2 ( 0>+ 1>) = (1/2).( 0> 0>+ 0> 1>+ 1> 0>+ 1> 1>) = (1/2).( 00>+ 01>+ 10>+ 11>)

45 Circuitos quânticos A aplicação de n portas Hadamard a um registrador de n qubits: 0> H (1/ 2) ( 0> + 1>) 0>... H (1/ 2) ( 0> + 1>) 0> H (1/ 2) ( 0> + 1>) produz o estado: Η n 0 > n = n 2 ( ) 1 n/2 2 1 x = 0 x > n

46 Computação reversível Se existe um circuito lógico irreversível que computa uma dada função f : {0,1} n {0,1} m, então existe uma simulação (eficiente) desse circuito por um outro circuito reversível com ação descrita por: (x, y) (x, y f(x))

47 Computação Quântica: protocolo Protocolo padrão para a Computação Quântica: U f ( x> n y> m ) = x> n y f(x)> m onde U f é uma transformação linear que implementa a função f agindo sobre estados x> n y> m dos n+m qubits dos registradores de entrada e de saida. x> y> U f x> y f(x)>

48 Computação Quântica Se o registrador de saída é inicializado com o estado 0>, então temos: U f ( x> n 0> m ) = x> n f(x)> m e o seu estado após aplicação de U f será f(x)>: x> 0> U f x> f(x)>

49 Paralelismo Quântico Se o estado inicial do registrador de entrada é 0> n e aplicarmos n transformações H aos qubits do registrador, o estado do registrador de entrada se torna uma superposição igualmente distribuída de todos os 2 n estados da base: 0> n 0> 0> H (1/ 2).( 0> + 1>) H (1/ 2).( 0> + 1>) 0> H (1/ 2).( 0> + 1>) 0> m (H n I n ).( 0 > 0> m ( n 2 = 1 ν/2 ) 1 n 0 > m) x > n 0 2n x = 0 > m

50 Paralelismo Quântico Se aplicarmos agora U f aos dois registradores segundo o protocolo: 0> H 0> n 0> H U f 0> H 1 2 n/2 0 x< 2 n -1 x > n f( x) > m 0> m A aplicação de U f leva o sistema de n+m qubits a um estado de superposição de todos os pares x> f(x)> para todos os x entre 0 e 2 n -1. Ou seja, computamos todos os 2 n valores f(0), f(1),..., f(2 n -1) ao mesmo tempo com uma única aplicação de U f.

51 Extrair Informação de Qubits Seja ψ> = a 0> + b 1> o estado de um qubit. Não existe maneira de se obter o valor de a ou de b. Existe apenas uma maneira de se extrair informação dos qubits: fazendo uma medição. Fazer uma medição consiste na realização de um determinado teste sobre o qubit cujo resultado é 0 ou 1. O valor 0 ou 1 obtido pelo teste não é determinado pelo estado ψ> do qubit. O estado ψ> determina apenas a probabilidade dos possíveis resultados, de acordo com a regra enunciada por Max Born, conhecida como a regra de Born.

52 Regra de Born Seja ψ> = a 0> + b 1> o estado de um qubit. Então, a probabilidade que o resultado de uma medição do qubit seja 0 : p(0) = a 2 e a probabilidade que o resultado seja 1 p(1) = b 2 ou seja, a probabilidade de se obter um resultado particular é dada pelo quadrado do módulo da amplitude associada ao resultado. Obs.: O estado do qubit após a medição será 0> ou 1>, de acordo com que o resultado seja 0 ou 1, respectivamente.

53 Regra de Born A regra de Born estabelece a relação entre as amplitudes e as probabilidades dos resultados da medição. A condição de normalização a 2 + b 2 = 1 é justamente o requisito que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis seja igual a 1.

54 Regra de Born generalizada Se o estado ψ> de n qubits é: ψ > = α x x > n, onde α x 0 x< 2 n 0 x< 2 n 2 = 1 então, a probabilidade que a sequência de 0 s e 1 s resultante da medição de todos os n qubits seja a expansão binária do inteiro x é dada por: p(x) = α x 2 ou seja, a probabilidade de se obter um resultado particular é dada pelo quadrado do módulo da amplitude associada ao resultado na expansão do estado ψ> nos 2 n estados da base computacional.

55 Extração de resultado Com o circuito abaixo podemos computar todos os 2 n valores f(0), f(1),..., f(2 n -1) ao mesmo tempo com uma única aplicação de U f. Como tirar partido disso se a medição do registrador de entrada nos dá um valor aleatório k e uma medição subseqüente do registrador de saída nos dará apenas o valor associado f(k), e nada mais? Obs.: o estado do sistema após as medições mencionadas seria k> f(k)>. 0> H 0> n 0> H U f 0> H 1 2 n/2 0 x< 2 n -1 x > n f( x) > m 0> m

56 Informação global x Informação local Questão: Como tirar partido do paralelismo quântico (superposição)? Resposta: Aplicando algumas transformações ao estado do sistema antes de efetuarmos a medição. Podemos extrair informação útil acerca das relações entre os valores de f para diversos valores de x que só obteríamos no caso clássico com a execução diversas vezes de f. Para obtermos esse tipo de informação, temos de abdicar da possibilidade de obtermos informação sobre o valor de f(x) para um dado x (aleatório).

57 Problema de Deutsch David Deutsch foi o primeiro a mostrar que era possível extrair informação interessante de uma computação quântica. Problema: Como saber se uma dada função f : {0,1} {0,1} é constante ou balanceada executando o algoritmo que computa a função o mínimo possível? Existem 4 dessas funções: x = 0 x = 1 f f f f 3 1 1

58 Solução clássica Classicamente, para responder com 100% de certeza, precisaríamos executar 2 vezes o algoritmo que computa f para calcular os valores f(0) e f(1) e comparar então os resultados usando, por exemplo, o fato que: f (0) f (1) = 0 se f 1 se f é constante é balanceada x = 0 x = 1 f f f f 3 1 1

59 Solução quântica Suponhamos que temos uma caixa-preta (oráculo) que implementa uma dessas funções (desconhecida) executando uma transformação unitária U f : U f ( x > y > ) = x > y f(x) > x> y> U f x> y f(x)>

60 Circuitos para U f f(0) f(1) U f f 0 U f 1 U f 2 X X X X 0 1 f f 2 U f 3 X 1 1 f 3

61 Oráculo quântico Oráculo clássico Determinar se a função computada pelo oráculo é constante ou balanceada: x> 0> U f x> f(x)> Se medirmos o estado do sistema na base computacional vamos obter como resultado 0> f(0)> ou 1> f(1)>. Não vamos obter mais informação sobre o estado do sistema do que poderíamos obter utilizando um oráculo clássico.

62 Algoritmo de Deutsch Adicionando algumas transformações e medindo o 1o. registrador ao final: 0> H H M 1> H U f

63 0> H H M 1> H U f ψ 0 > ψ 1 > ψ 2 > ψ 0 > = 0> 1> ψ 1 > = (½). ( 0> + 1>). ( 0> - 1>) ψ 2 > = (½).(-1) f(0 ( 0> + (-1) f(0) f(1) 1>). ( 0> - 1>) Comparando ψ 2 >com ψ 1 > e lembrando que ψ 2 > = U f ψ 1 >, podemos observar que: U f deixa inalterado o estado do segundo qubit U f introduz um fator de fase global (que podemos desprezar) U f introduz no estado do primeiro qubit um fator de fase relativo (-1) f(0) f(1) que contém a informação desejada (f(0) f(1)).

64 0> H H M 1> H U f ψ 2 > ψ 2 > = (½). ( 0> + (-1) f(0) f(1) 1>) Se a função f é constante, f(0) f(1) = 0 e o estado do primeiro qubit é (1/ 2)( 0> + 1>), que após uma aplicação de H resulta no estado 0>. Uma medição posterior indicaria esse fato. Se a função é balanceada, f(0) f(1) = 1 e o estado do primeiro qubit é (1/ 2)( 0> - 1>), que após uma aplicação de H resulta no estado 1>. Uma medição posterior indicaria esse fato.

65 0> H H M 1> H U f Se a função implementada pelo oráculo (U f ) for constante, a medição no primeiro qubit dará o valor 0. Se a função for balanceada, a medição dará o valor 1. O papel de U f no circuito é gerar o fator de fase relativa no primeiro qubit de acordo com o tipo de f implementada pelo oráculo. O segundo qubit tem a função de auxiliar a geração da fase relativa. Com uma única aplicação (ou consulta) de U f podemos determinar com certeza o tipo de função (constante ou balanceada) que o oráculo implementa.

66 Interferômetro x Algoritmo de Deutsch 0> H H M 1> H U f passos φ = ( φ0 φ1) = π para o caso f(0) = f(1) para o caso f(0) f(1) 3

67 Ingredientes chaves O acesso à informação desejada que relaciona os possíveis valores da função f implementada só é possivel graças: Superposição: possibilita cálculo simultâneo de todos os valores de f. Interferência: permite ação construtiva ou destrutiva através de manipulação de fase. Emaranhamento: permite o estabelecimento de correlações entre estados.

68 Quântico x Clássico Ganho não-exponencial: alguns algoritmos quânticos são comprovadamente mais rápidos que os melhores algoritmos clássicos para determinadas tarefas. Ex.: o algoritmo de Grover para pesquisa em banco de dados nãoestruturado - de O(n) para O( n). Ganho relativamente exponencial: oráculos quânticos podem ser exponencialmente mais rápidos que oráculos clássicos. Ex.: o algoritmo de Simon para encontrar o período de um função periódica. Ganho exponencial: alguns problemas aparentemente intratáveis podem ser resolvidos em tempo polinomial. Ex.: o algoritmo para transformada discreta de Fourier (QFT) e o algoritmo de Shor para fatoração de números compostos.

69 Perspectivas Hardware quântico: de 3 a 7 qubits algumas portas básicas e porta CNOT simuladores Teoria, algoritmos e linguagens: Lambda-calculo quântico Lógica quântica Teoria dos grupos Linguagem de programação