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1 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page i #1 PREFÁCIO ix 1 O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO Princípio de indução Desafio ao leitor Binómio de Newton Desafio ao leitor Bibliografia do capítulo 28 2 TEORIA DOS NÚMEROS E CRIPTOGRAFIA Máximo divisor comum Desafio ao leitor Equações diofantinas lineares Desafio ao leitor Congruências Calendários Congruências do calendário Resolução de congruências Inversos Teorema de Fermat Os conjuntos Z n Desafio ao leitor Critérios de divisibilidade Divisão por 2 epor Divisão por 3 epor Divisão por Divisão por 7 95

2 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page ii #2 ii Divisão por Divisão por Desafio ao leitor Sistemas de congruências Teorema Chinês dos Restos Desafio ao leitor Primos Primos: estudo elementar Desafio ao leitor Primos: estudo avançado Criptografia O método da autochave de Vigenère Desafio ao leitor Criptografia de chave simétrica (Hill) Desafio ao leitor Criptografia de chave pública (RSA) Desafio ao leitor Partilha de segredo com protocolo de limiar Bibliografia do capítulo ALGORITMO FFT Conceitos elementares Método de Horner Desafio ao leitor Algoritmo de Sturm Desafio ao leitor Multiplicação de polinómios Método tradicional Método de dividir para conquistar Desafio ao leitor Introdução à transformada discreta de Fourier Nota histórica Valoração e interpolação Método FFT Multiplicação de polinómios Desafio ao leitor Bibliografia do capítulo 229

3 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page iii #3 iii 4 SOMATÓRIOS Somas e produtos iterados Somas parciais dos termos de uma sucessão Verificação de formas fechadas Sucessão harmónica Método das perturbações Desafio ao leitor Bibliografia do capítulo CÁLCULO FINITO Operadores Desafio ao leitor Polinómios fatoriais Conceito e aplicação Números de Stirling Paradigma I - Do polinómio para o polinómio fatorial Desafio ao leitor Primeira aplicação ao cálculo de somatórios Paradigma II - Somatório de funções polinomiais Funções exponenciais Frações racionais Desafio ao leitor Segunda aplicação ao cálculo de somatórios Integração finita por partes fórmula de Abel Outros exemplos Fórmula de Euler-MacLaurin Casos particulares Desafio ao leitor Nota sobre o princípio da inclusão exclusão Motivação Teoremas de exclusão e inclusão Desarranjos Desafio ao leitor Bibliografia do capítulo FUNÇÕES GERADORAS E APLICAÇÕES Séries formais 343

4 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page iv #4 iv 6.2 Funções geradoras Motivação Conceito Desafio ao leitor Operadores notáveis sobre funções geradoras Desafio ao leitor Aplicação a problemas de contagem Desafio ao leitor Aplicação ao cálculo de somatórios Decomposição de frações racionais O polinómio t(z) tem raízes reais distintas O polinómio t(z) tem raízes reais múltiplas O polinómio t(z) tem raízes imaginárias Desafio ao leitor Paradigma Desafio ao leitor Resolução de equações às diferenças finitas Paradigma Torre de Hanoi e sucessão de Fibonacci Dinâmica de populações Leis físicas Desafio ao leitor Função geradora geral da solução Fórmula resolvente Paradigma Desafio ao leitor Reversão da função geradora Primeiro caso Segundo caso Terceiro caso Funções geradoras dos momentos Aplicação à complexidade computacional Bibliografia do capítulo GRAFOS Conceitos elementares Desafio ao leitor Grafos bipartidos e o relacionamento estável 435

5 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page v #5 v 7.3 Atalhos eulerianos Grafos aleatoriamente eulerianos Desafio ao leitor Labirintos Ciclo hamiltoniano Desafio ao leitor Árvores Desafio ao leitor Grafos planares Desafio ao leitor Conectividade Problema da conexão mínima Como aplicar uma lei física Desafio ao leitor Trajetória mínima numa rede Desafio ao leitor Transportes: redes de estradas Desafio ao leitor Fluxos em redes Algoritmo de Ford e Fulkerson Desafio ao leitor Fluxo em redes sobre grafos planares Paradigma Teorema Bibliografia do capítulo AUTÓMATOS FINITOS E DE PILHA Autómatos Autómatos finitos determinísticos Desafio ao leitor Classe das linguagens regulares Lema de pumping Desafio ao leitor Autómatos finitos não determinísticos Autómato determinístico equivalente Do autómato à expressão regular e vice-versa Gramáticas regulares Desafio ao leitor 582

6 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page vi #6 vi 8.4 Autómatos de pilha Desafio ao leitor Gramáticas livres de contexto Funções geradoras de linguagens Números de Catalan Ainda sobre a linguagem de Dyck Desafio ao leitor Bibliografia do capítulo MÁQUINAS DE TURING A máquina de Turing de k fitas A ideia de um computador abstrato Configurações Definição formal de máquina de Turing Computações Exemplos Desafio ao leitor Indecidibilidades O problema da aceitação O problema da paragem Exemplos de conjuntos indecidíveis HALT TM EMPTY TM EQ TM REGULAR TM DOM a TM CODOM a TM Teorema de Rice Conjetura de Collatz e predicados Π Mais sobre o problema da paragem A máquina acelerada A eficiência de uma máquina de Turing Aceleração Máquina de Turing não determinística Máquinas de Turing enumeradoras Busy beaver Bibliografia do capítulo 664

7 livro_mat_disc 2018/11/30 9:20 page vii #7 vii A ORDENS DE MAGNITUDE 667 B CODIFICAÇÃO 673 B.1 Cardinalidade e equipotência de conjuntos 675 B.2 Cardinalidade da classe das linguagens 681 B.3 Codificação de sequências 682 B.4 Codificação linear 685 B.5 Bibliografia 686 BIBLIOGRAFIA 687 REMISSIVO 693 CRÉDITOS FOTOGRÁFICOS 709