Introdução à Computação Quântica

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1 Introdução à Computação Quântica Aula 4 Computação quântica: algoritmos Renato de Oliveira Violin José Hiroki Saito Departamento de Computação - UFSCar Conteúdo..

2 O algoritmo que será apresentado não possui aplicação prática, porém, exemplifica muito bem o paralelismo quântico. Definição do problema de Deutsch: Dado uma função f (x) : {0, } {0, }, determinar se ela é constante ou balanceada. Constante: f (0) = f () Balanceada: f (0) f () A solução para esse problema é resumido nas 3 etapas seguintes:. f (0). f () 3. f (0) f () Se f (0) f () = 0, função constante. Se f (0) f () =, função balanceada.

3 O computador clássico precisa de dois passos para realizar as etapas e. No computador quântico, poderemos executar o mesmo algoritmo com apenas um passo. Isso pode ser feito graças ao príncipio de superposição de estados e do paralelismo quântico. 3

4 ψ Os qubits x e y são iniciados como: x= 0 y= ψ Aplicando a porta H em ambos os registradores de entrada, o estado torna-se: ψ 3 A operação U f é definida por: ( ) () x y fx () Para f 0 f, ou seja, a função é balanceada, teremos como resultado: 0 0 ± 4

5 ( ) () Para f 0 = f, ou seja, a função é constante, teremos como resultado: ψ 4 O qubit x é acionado pela porta H: 0 + H 0 0 H O algoritmo é o algoritmo mais conhecido na computação quântica. Esse algoritmo fatora um número em números primos p e q : p x q = Antes de mostrar como o algoritmo funciona, é necessário introduzir outros dois algoritmos que serão utilizados no algoritmo. 5

6 Algoritmo : Busca de ordem Dado os números positivos x e, que não possuem fatores comuns e x <. A ordem de x é o menor inteiro positivo r tal que: r x =(mod N) Essa equação significa que mod é o resto da divisão. r x modn=, onde Circuito quântico para o algoritmo da busca de ordem 6

7 Algoritmo : Frações contínuas A idéia desse algoritmo é descrever números reais em termos de números inteiros, por meio da expressão: a, a,..., a a 0 M 0 + a a M Agora estamos prontos para entrar no algoritmo de fatoração. Para encontrarmos os fatores p e q de é simples, basta calcular: m.d.c.(x r / +, ) e m.d.c.(x r /, ) onde r é a ordem de x e. A grande dificuldade é encontrar a ordem r. Por esse motivo, o algoritmo se reduz ao algoritmo da busca de ordem. 7

8 . Se N é divisível por, retorne f =.. Para a e b, se N = a b, então retorne f = a 3. Escolha, aleatoriamente, um inteiro x onde < x < N. Verificamos se x e N são coprimos, isto é, m.d.c.(x, N) =. 4. Aplicamos o algoritmo de busca de ordem para encontrar a ordem r. O registrador (R) precisa ter t qubits de tamanho, onde N t. Isto é necessário para minimizar a possibilidade de erros na saída. O registrador (R) precisa de L qubits, onde L é o número de qubits necessários para armazenar N. 8

9 a) Inicializamos o registrador, que é de tamanho t, em 0 t. Inicialize o registrador, que é de tamanho L, em. L b) Criamos uma superposição no registrador : t Ψ = R t r= 0 c) Aplicamos a operação U R = x modn no registrador. t R Ψ = R x modn t r= 0 R d) Medimos o registrador. Como o registrador está emaranhado com o registrador, ao fazermos a medida, o registrador conterá um subconjunto dos valores correspondentes a o valor observado no registrador. e) Aplicamos a QFT inversa no registrador e então medimos ele. f) Aplicamos o algoritmo de frações contínuas em O tamanho da lista (número de passos necessários para decompor a fração) será a ordem r. Ψ t 9

10 5. Com o resultado r, primeiro testamos se r é r/ par e se x (mod N), então calculamos f = m.d.c.(x r/ +, N) e f = m.d.c.(x r/, N). Multiplicamos os resultados e verificamos se é igual a N. Fatoração: Clássico x Quântico 0

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