Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Resolvendo Equações Matriciais no Excel O que o aluno poderá aprender com esta aula Escrever um sistema linear que corresponda a uma situação-problema. Interpretar um sistema linear como uma equação matricial. Resolver uma equação matricial com a ajuda do Excel. Duração das atividades 04 aulas de 50 minutos Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno Operações com matrizes. Sistemas de equações de 1º grau. Estratégias e recursos da aula Que professor de Matemática, mesmo sabendo fazer todas as contas que possa imaginar, não lança mão de uma calculadora ao precisar realizar cálculos complexos? Da mesma forma, mesmo que os jovens estudantes saibam operar com matrizes podem lançar mão do Excel para realizar algumas operações com matrizes e assim poder resolver sistemas rapidamente. Essa habilidade pode lhes ser útil algum dia. Assim como muitos desconhecem as funções das teclas MRC, M- ou M+ na calculadora, muitos desconhecem os recursos disponíveis nos softwares que lidam diariamente. O objetivo desta aula é colocar essas ferramentas à disposição dos estudantes, para o dia que venham a precisar delas. Vamos lá?
Considere as questões propostas no vestibular da Universidade Estadual do Rio de Janeiro: 1) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 Essa questão pode ser expressa pelo sistema linear. (Q representa a quantidade de mesas ocupadas por quatro pessoas e D representa a quantidade de mesas ocupadas por duas pessoas.) Esse sistema pode ser facilmente resolvido por um dos métodos estudados ainda no ensino fundamental (adição ou substituição). Por exemplo, por substituição: Q 12 D 4(12 D) + 2D 48 4D + 2D 10 2D D 5 Apesar de já termos resolvido o sistema, vamos ilustrar com essa mesma situação a resolução do sistema visto como uma equação matricial que pode ser resolvida com o auxilio do Excel. O sistema pode ser escrito como a seguinte equação matricial: 1 1 4 2 D 12 1 1 ou AX B, em que A, X 4 2 D 12 e B. Para resolver a equação matricial AX B, temos que fazer X A 1 B. Portanto, D 1 1 4 2 1 12. O cálculo da inversa de uma matriz e de um produto de matrizes pode ser feito no Excel.
O objetivo desta aula não é treinar as operações com matrizes. As operações já devem ter sido ensinadas anteriormente. Aqui, queremos mostrar possíveis situações em que as operações com matrizes podem ser úteis e como utilizá-las de forma prática com os recursos que temos à nossa disposição. Começamos digitando os dados da matriz A e delimitando os campos relativos às outras matrizes envolvidas na questão. Para o cálculo da matriz A -1, você deve proceder da seguinte forma: 1º - Selecione os campos relativos à matriz A -1.
2º - Clique em Inserir/Função, ou diretamente no ícone de Inserir Função, se já aparecer na barra de ferramentas. 3º - Na janela que aparecerá, digite matriz no campo indicado e clique em Ir.
4º - Escolha a opção MATRIZ.INVERSO e clique em OK. 5º - Aparecerá esta janela, com o cursor piscando no campo em branco. 6º - Selecione as células correspondentes à matriz A. Os dados devem ficar conforme a figura a seguir.
7º - Clique em OK e logo em seguida pressione F2 e depois Ctrl+Shift+Enter. Só então aparecerá a matriz A -1. 8º - Em seguida digite os dados da matriz B para que possamos calcular o produto entre as matrizes A -1 e B.
9º - Selecione as células relativas à matriz X e novamente clique em Inserir/Função, só que dessa vez clique em MATRIZ.MULT. Clique em OK. 10º - Com o cursor em Matriz 1, selecione as células da primeira matriz que você deseja multiplicar (no nosso caso, a matriz A -1 ). Depois, com o cursor em Matriz 2, selecione as células da segunda matriz que você deseja multiplicar (no nosso caso, a matriz B).
11º - Clique em OK e digite F2 seguido de Ctrl+Shift+Enter. Aparecerá então a matriz X, que é matriz com a solução do sistema. Resumindo as operações matriciais que foram feitas, temos: 1 1 4 2 D 12 1 1 ou AX B, em que A, X 4 2 D 12 e B D 1 1 4 2 1 12 ou X A 1 B 1 0;5 12 D 2 0; 5 ou X A 1 B D 7 5 ou X 7 5 Q 7 e D 5
2) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a: a) 12 b) 28 c) 40 d) 92 Essa questão pode ser expressa pelo sistema linear ou que pode ser expresso pela seguinte equação matricial: 2 3 2 3 2 3 1 1 1 u 92 41 5 105 4c5 45005. 1 0 1 d 0 Com a ajuda do Excel, 2 3 2 3 u 40 chegamos à solução 4c5 4125. d 40 Avaliação A avaliação dever ser feita durante as aulas, observando as atividades realizadas em sala de aula e/ou laboratório de informática. Pode ser feita uma avaliação escrita com o objetivo de verificar se os alunos compreenderam as estratégias de resolução de uma situação problema a partir de um sistema linear envolvendo equações matriciais, sem a preocupação de realizar as operações matriciais.