Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEAN, LEGI, LEGM, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEC Justifique coveietemete todas as respostas o semestre 207/208 /0/208 09:00 2 o teste A 0 valores. Admita que o custo de retrabalho (em 0 5 Euro) associado a certo tipo de projeto de costrução civil é represetado pela variável aleatória X com fução de desidade de probabilidade dada por { λ x (λ+), x > f X (x) 0, caso cotrário, ode λ é um parâmetro positivo descohecido. Seja (X, X 2,..., X ) uma amostra aleatória de X. (a) Mostre que o estimador de máxima verosimilhaça de λ, com base a amostra aleatória referida (2.5) acima, é dado por l(x i ). V.a. de iteresse X custo de retrabalho associado ao projeto de costrução civil F.d.p. de X { λ x (λ+), x > f X (x) 0, caso cotrário Parâmetro descohecido λ, λ > 0 Amostra x (x,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de θ Passo Fução de verosimilhaça L(λ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X f X (x i ) ] λ x (λ+) i λ ( x i ) (λ+), λ > 0 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll(λ x) l(λ) (λ + ) l(x i ) Passo 3 Maximização A estimativa de MV de λ passa a ser represetada por ˆλ e d ll(λ x) dλ 0 (poto de estacioaridade) λ ˆλ ˆλ : d 2 ll(λ x) λ < 0 (poto de máximo) dλ 2 ˆλ ˆλ l(x i ) 0 ṋ λ 2 < 0 Págia de 8
ˆλ : ˆλ l(x i ) l(x i )] 2 < 0 (proposição verdadeira porque > 0 e l(x i ) 0). Passo 4 Estimador de MV de λ E MV (λ) l(x i ). (b) Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça de λ baseada a cocretização (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (.5) (.0,.34,.9, 2.67,.58) para a qual 5 l(x i ).92. Estimativa de MV de λ ˆλ l(x i ) 5.92 2.6042 Outro parâmetro descohecido h(λ) λ Estimativa de MV de h(λ) Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, tem-se que a estimativa de MV de h(λ) é dada por h(λ) h( ˆλ) ˆλ 2.6042 0.3840. (c) Tedo em cota que a variável aleatória l(x ) possui distribuição expoecial com parâmetro λ, (.0) averigúe se l(x i ) é um estimador cetrado de λ. Parâmetro descohecido λ Estimador de λ l(x i ) Valor esperado de Uma vez que E X i i.i.d. l(x i ) ] l(x i ) Coclusão Uma vez que l(x i ) X, i,..., e l(x ) expoecial(λ), segue-se: i.i.d. expoecial(λ), i,...,; El(X i )] λ. T se diz um estimador cetrado de λ caso E(T ) λ, λ > 0, podemos afirmar que l(x i ) é um estimador cetrado de λ. λ Págia 2 de 8
2. Por forma a estudar o desempeho de dois modelos de baterias de carros eléctricos, cosiderou-se a variável aleatória X (respetivamete X 2 ) que represeta a distâcia percorrida (em km) com uma bateria escolhida ao acaso do modelo (respetivamete 2). Ao selecioarem-se casualmete 40 baterias do modelo e 35 baterias do modelo 2, obtiveram-se os seguites resultados: x 242.5, s 2 56.34, x 2 238.6, s 2 2 35.85. (a) Determie um itervalo aproximado de cofiaça a 95% para a difereça dos valores esperados (2.5) das distâcias percorridas com as baterias dos modelos e 2. V.a. de iteresse X i distâcia percorrida com uma bateria do modelo i, i,2 Situação X i v.a. com dist. arbitrária possivelmete ormal], valor esperado µ i e variâcia σ 2 i, i,2 X X 2 (µ µ 2 ) DESCONHECIDO σ 2 e σ2 2 descohecidas ão ecessariamete iguais] 40 > 30 e 2 35 > 30 i.e., ambas as amostras são suficietemete grades]. Obteção do IC para µ µ 2 Passo Selecção da v.a. fulcral para µ µ 2 Z ( X X 2 ) (µ µ 2 ) S 2 + S2 2 2 a ormal(0, ) dado que se pretede determiar um IC para a difereça de valores esperados de duas populações com distribuições arbitrárias idepedetes e com variâcias descohecidas, dispodo de duas amostras suficietemete grades.] Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que ( α) 00% 95%, far-se-á uso dos quatis { a α Φ (α/2) Φ (0.025) Φ t abel a/calc. ( 0.025).96 b α Φ ( α/2) Φ t abel a/calc. (0.975).96. Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) α P P a α ( X X 2 ) (µ µ 2 ) b α α S 2 + S2 2 2 ] S ( X X 2 ) b α 2 + S2 2 S 2 µ µ 2 ( X X 2 ) a α 2 + S2 2 2 α Passo 4 Cocretização Tedo em cota que IC ( α) 00% (µ µ 2 ) ( x x 2 ) ± Φ ( α/2) s 2 + s2 2, e aos valores dos quatis acima e de i, x i, s 2 (i,2), temos i ] 56.34 IC 95% (µ µ 2 ) (242.5 238.6) ±.96 40 + 35.85 35 3.9 ±.96.559739] 0.84292, 6.957088]. 2 Págia 3 de 8
(b) Teste a hipótese de igualdade dos valores esperados das distâcias percorridas com as baterias dos (2.5) modelos e 2. Decida com base o valor-p. V.a. de iteresse e situação Ver alíea (a). Hipóteses H 0 : µ µ 2 µ 0 0 H : µ µ 2 µ 0 Estatística de teste T ( X X 2 ) µ 0 S 2 + S2 2 2 a H0 ormal(0,) uma vez que se pretede efectuar um teste de igualdade dos valores esperados de duas populações com distribuições arbitrárias idepedetes e com variâcias descohecidas, dispodo de duas amostras suficietemete grades.] Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H : µ µ 2 µ 0 ), logo a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W (, c) (c,+ ). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é igual a t ( x x 2 ) µ 0 s 2 + s2 2 2 (242.5 238.6) 0 56.34 40 + 35.85 35 2.50. Dado que a região de rejeição deste teste é a reuião de dois itervalos simétricos, temos: valor p 2 P(T > t H 0 ) Logo é suposto: 2 Φ( t )] 2 Φ(2.50)] calc/tabel a 2 ( 0.9938) 0.024. ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0.24%, pelo que H 0 ão é cotrariada pelos dados ao.u.s. de %; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 >.24%, omeadamete aos.u.s. de 5% e 0%. É curioso otar que µ 0 0 IC 95% (µ µ 2 ), dode (ivocado a aalogia etre testes de hipóteses bilaterais e IC) devemos rejeitar H 0 : µ µ 2 µ 0 0 ao.s. de 5%. Ora esta decisão coadua-se com a decisão tomada com base o valor-p do teste.] Grupo II 0 valores. Um perito de uma compahia de seguros defede a hipótese H 0 de que o úmero semestral de pedidos de reembolso de despesas de saúde por segurado possui uma distribuição de Poisso com valor esperado igual a 2. Uma amostra casual de 200 segurados um dado semestre coduziu ao seguite quadro de frequêcias: N o de pedidos 0 2 3 4 ou mais Frequêcia absoluta observada 22 53 58 39 28 Frequêcia absoluta esperada sob H 0 27.06 54.4 54.4 E 4 E 5 Págia 4 de 8
(a) Calcule os valores das frequêcias absolutas esperadas E 4 e E 5 (aproximado-os às cetésimas). (.0) V.a. de iteresse X úmero semestral de pedidos de reembolso de despesas de saúde por segurado Distribuição e f.p. cojecturadas X Poisso(2) P(X x) e 2 2 x x!, x 0,,2,... Frequêcias absolutas esperadas omissas Atededo à dimesão da amostra 200 e à f.p. cojecturada, segue-se: E 4 P(X 3) 200 e 2 2 3 36.09; 3! E 5 P 0 (X 4) 4 E i 200 (27.06 + 54.4 + 54.4 + 36.09) 28.57. (b) Teste H 0, ao ível de sigificâcia de %. (3.0) Hipóteses H 0 : X Poisso(2) H : X Poisso(2) Nível de sigificâcia α 0 % Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β ), ode: k No. de classes 5 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 dado que em H 0 se cojectura uma distribuição em particular.] Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 De acordo com a tabela facultada e a alíea (a), os valores das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 aproximados às décimas são: E 27.06; E 2 54.4; E 3 54.4; E 4 36.08; E 5 28.58. Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F ( α χ 2 0 ) teriam que ser recalculados...] (k β ) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W (c,+ ), ode c F ( α χ 2 0 ) (k β ) F ( 0.0) χ 2 (5 0 ) F (0.99) χ 2 (4) tabel a/calc. 3.28. Págia 5 de 8
Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. este i o i E i (o i E i ) 2 E i (22 27.06) {0} 22 27.06 27.06 0.946 2 {} 53 54.4 0.024 3 {2} 58 54.4 0.275 4 {3} 39 36.09 0.235 5 {4,5,...} 28 28.57 0.0 k o i k E i t k (o i E i ) 2 E i 200 200.49 Uma vez que t.49 W (3.28,+ ), ão devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 % em a qualquer outro.s. iferior a α 0 ]. 2. Supoha que o redimeto semaal de agregados familiares de uma dada população é descrito pela variável x e que a despesa semaal em bes e serviços culturais dos mesmos agregados é represetada pela variável aleatória Y, com valores em Euro. Um estudo evolvedo 0 agregados familiares coduziu aos seguites valores: 0 x i 290, 0 x2 i 98500, 0 y i 379, ] ode mi,...,0 x i, max,...,0 x i 25, 308]. 0 y 2 i 5673, 0 x i y i 6700, (a) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, calcule as estimativas de (2.5) máxima verosimilhaça dos parâmetros da reta de regressão liear simples de Y em x, bem como a estimativa de máxima verosimilhaça de E(Y x 29). Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0,σ 2 ), i,..., Estimativas de MV de β 0 e β Atededo a que 0 x i 290 x i 290 0 29 x x2 i 98500 x2 i ( x)2 98500 0 29 2 38290 y i 379 ȳ y i 379 0 37.9 y 2 i 5673 y 2 i (ȳ)2 5673 0 37.9 2 308.9 x i y i 6700 x i y i x ȳ 6700 0 29 37.9 64, as estimativas de MV de β e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆβ x i y i xȳ x2 i ( x)2 64 38 290 0.046359 Págia 6 de 8
ˆβ 0 ȳ ˆβ x 37.9 0.046359 29 24.40953. Estimativa de MV para E(Y x x 0 ) β 0 + β x 0, com x 0 29 Ê(Y x x 0 ) ˆβ 0 + ˆβ x 0 24.40953 + 0.046359 29 37.9 ȳ]. Não cometemos qualquer erro de extrapolação ao estimar potualmete E(Y x x 0 ) β 0 + β x 0 uma vez que x 0 mi,..., x i, max,..., x i ]. Note-se que, este caso x 0 x, logo Ê(Y x x 0 ) ˆβ 0 + ˆβ x (ȳ ˆβ x) + ˆβ x ȳ, como se pôde costatar acima.] (b) Deduza um itervalo de cofiaça a 95% para E(Y x 29). (2.5) Obteção do IC para E(Y x x 0 ) β 0 + β x 0, com x 0 29 Passo V.a. fulcral para E(Y x x 0 ) β 0 + β x 0 Z ( ˆβ 0 + ˆβ x 0 ) (β 0 + β x 0 ) ] t ( 2) ˆσ 2 + (x 0 x) 2 x2 i x2 Passo 2 Quatis de probabilidade Já que ( α) 00% 95%, temos α 0.05 e lidaremos com os quatis a α F t ( 2) (α/2) F t (0 2) ( 0.05/2) F b α F t (0 2) ( 0.05/2) F t (8) (0.975) t (8) (0.975) t abel a/calc. 2.306. t abel a/calc. 2.306 Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) α P a α ( ˆβ 0 + ˆβ x 0 ) (β 0 +β x 0 ) ] b α α (x 0 x)2 x i 2 x2 ˆσ 2 + P ( ˆβ 0 + ˆβ ] x 0 ) b α ˆσ 2 + (x 0 x) 2 x2 i β 0 + β x 0 x2 ( ˆβ 0 + ˆβ ] ] x 0 ) a α ˆσ 2 + (x 0 x) 2 x2 i α x2 Passo 4 Cocretização Uma vez que a estimativa de σ 2 é igual a ( ) ( )] ˆσ 2 y 2 i 2 ȳ 2 ( ˆβ ) 2 x 2 i x2 ( 308.9 0.046359 2 38290 ) 0 2 26.46637 e a expressão geral do IC pretedido é IC ( α) 00% (β 0 + β x 0 ) ( ˆβ 0 + ˆβ ] ] x 0 ) ± Ft ( 2) ( α/2) ˆσ 2 + (x 0 x) 2 x2 i, x2 Págia 7 de 8
temos IC 95% (β 0 + β 74) ] ] (24.40953 + 0.046359 29) ± 2.306 26.46637 0 + (29 29)2 38290 37.9 ± 2.306 3.55644] 37.9 ± 8.200469] 29.69953, 46.00469]. (c) Calcule e iterprete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 x i y i x ȳ ) 2 ( x2 i x2) ( y 2 i ȳ 2) 64 2 38290 308.9 0.227067. Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 22.7% da variação total da variável resposta Y é explicada pela variável x, através do modelo de regressão liear simples ajustado. Dode possamos afirmar que a recta estimada ão parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia 8 de 8