UNIVERSIDDE DE ÉVOR DEPRTMENTO DE ENGENHRI RURL HIDRÁULIC GERL I Engenharia Ciil Engenharia dos Recursos Hídricos Maria Madalena Vitório Moreira Vasconcelos Éora, 005
Caítulo INTRODUÇÃO O ESTUDO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS. Definição de fluido O âmbito da matéria leccionada nesta discilina relaciona-se com a reresentação matemática do comortamento físico dos fluidos. Denomina-se or fluido toda a matéria que se deforma indefinidamente quando sujeita à acção de uma força tangencial. Nos fluidos a resistência à deformação é finita e or isso não têm forma rória, tomando a forma do reciiente que ocuam. Na definição anterior odem enquadrar-se os líquidos e os gases. No entanto, estes dois fluidos odem aresentar comortamentos muito diferentes.. Fluido como meio contínuo Os fluidos são constituídos or um conjunto de moléculas com esaços entre si, não sendo or isso ossíel identificar a continuidade. Não será feita a caracterização do comortamento de um fluido com base na molécula. É ossíel, a uma escala maior, definir o equialente ao onto material da física que na mecânica dos fluidos tomará o nome de artícula. Define-se artícula como o elemento mais equeno ossíel de identificar na Mecânica dos Fluidos e que garante a continuidade..3 Proriedades físicas dos fluidos.3. Isotroia É a roriedade do fluido ossuir as mesmas características indeendentemente da direcção do ersor normal a cada um dos lanos que assam numa artícula..3. Massa, eso, massa olúmica, eso olúmico e densidade
Massa, m, é a quantidade de matéria que existe num dado olume de fluido. Peso, P, a acção da força atractia exercida ela Terra (força da graidade) sobre a massa do fluido. Estas grandezas não aresentam grande interesse na Mecânica dos Fluidos se não introduzirem uma referência relatia ao olume. ssim, define-se massa olúmica, ρ, como a massa que existe or unidade de olume do fluido e eso olúmico,, como o eso da unidade de olume do fluido. Estas duas grandezas são características de cada fluido, odendo ariar mais ou menos com a temeratura e a ressão. s unidades destas grandezas no sistema internacional, são aresentadas no Quadro.. Quadro. Unidades de grandezas no SI Grandeza massa Peso massa olúmica eso olúmico Unidade kg kg m s - N kg m -3 kg m - s - N m -3 No Quadro. são aresentados os alores da massa olúmica e do eso olúmico da água e do ar ara diferentes temeraturas, à ressão atmosférica normal. Quadro. Valores da massa olúmica e do eso olúmico ara diferentes temeraturas, à ressão atmosférica normal temeratura (ºC) massa olúmica (kg m -3 ) eso olúmico (N m -3 ) água ar água ar 0 999,9,93 9809,0,68 4 000,0,74 980,0,50 0 999,7 9807, 0 998,,04 979,3,8 30 995,7 9767,8 40 99,,9 9733,5,08 50 988, 9693,3 60 983,,06 9645, 0,4 80 97,8,009 9533,4 9,90 00 958,4 0,946 940,9 9,8 Para simlificar esta caracterização física dos fluidos alica-se uma grandeza adimensional que é a densidade, d, e que relaciona a massa ou eso de um dado olume de fluido com a massa ou eso de igual olume de água à temeratura de 4ºC e à ressão atmosférica normal. densidade de um dado fluido ode ser determinada ela relação entre a
massa olúmica ou eso olúmico desse fluido e a massa olúmica ou eso olúmico da água à temeratura de 4ºC e à ressão atmosférica normal. No Quadro.3 são aresentados os alores da densidade, relatios a diferentes líquidos e gases à temeratura de 5,6ºC e à ressão atmosférica normal. Quadro.3 Densidade de alguns fluidos à temeratura de 5,6 ºC e ressão atmosférica normal fluido Gasolina ácido etílico (00%) azeite ácido sulfúrico (00%) mercúrio densidade 0,68 a 0,74 0,79 0,9-0,98,83 3,6 fluido r dióxido de carbono oxigénio hidrogénio hélio densidade, E-3,87 E-3,35 E-3 0,085 E-3 0,7 E-3 comaração dos alores da densidade dos líquidos e dos gases ermite identificar a rimeira grande diferença entre estes fluidos, a quantidade de massa or unidade de olume nos gases tem uma ordem de grandeza de cerca de 000 ezes inferior à dos líquidos..3.3 Comressibilidade comressibilidade de um fluido manifesta-se na diminuição do olume de uma dada massa de fluido quando sujeita à acção de um aumento de ressão. Neste caso erifica-se o aumento da massa olúmica do fluido. Esta roriedade ode ser reresentada atraés do coeficiente de comressibilidade, α, definido como a relação entre a diminuição relatia do olume e o aumento de ressão que lhe deu origem. α ΔV V Δ (.) É usado ainda o inerso deste coeficiente, o módulo de elasticidade olumétrico, ε: ε (.) α Tendo em conta a diferença entre o alor da massa olúmica dos líquidos e gases será fácil erceber que nos gases existirá mais esaço entre as moléculas, ermitindo uma maior diminuição do olume ara a mesma ariação de ressão..3.4 Viscosidade. Líquidos erfeitos iscosidade é uma das roriedades mais imortantes dos líquidos, que se manifesta quando estes entram em moimento. Pode, de modo geral, definir-se como a resistência à 3
deformação, ou seja, a maior ou menor caacidade do fluido tomar a forma do reciiente que ocua. comaração de duas situações bem distintas em que se deseja uma quantidade de mel ou água de um jarro ara um coo ermite-nos concluir que o mel tem uma iscosidade suerior à iscosidade da água. iscosidade de um fluido ode ser facilmente identificada elo estudo de um escoamento unidimensional desse fluido em que se define um conjunto de camadas que se deslocam na mesma direcção, mas com elocidades diferentes, Figura.. camada com maior elocidade tende a exercer uma força de arrastamento sobre a camada com menor elocidade, que or sua ez exerce uma força de atraso sobre a rimeira. Estas duas forças têm o mesmo módulo, a mesma direcção e sentidos oostos. À força de arrastamento or unidade de área chama-se tensão tangencial, τ, aresentando sinal contrário ao sentido do escoamento. Os fluidos estudados no âmbito deste curso (água, ar, óleos) são os chamados fluidos Newtonianos em que a tensão tangencial de arrastamento é directamente roorcional ao gradiente da elocidade segundo a direcção normal ao escoamento, Figura.. Figura. Moimento unidimensional de um fluido Newtoniano (escala deformada) d τ µ dy 4 Esta relação ode ser reresentada ela equação (.3) (.3) O coeficiente de roorcionalidade é a iscosidade dinâmica, µ. Por simlificação, no desenolimento de estudos hidráulicos é normalmente usado o arâmetro, designado or µ ν ρ iscosidade cinemática, ν, relacionado com a iscosidade dinâmica atraés da equação: (.4)
No Quadro.4 são aresentados os alores da iscosidade cinemática ara diferentes fluidos, a 38ºC. Quadro.4 Viscosidade cinemática ara diferentes fluidos a 38ºC fluido mercúrio gasolina azeite Mel bruto iscosidade cinemática (0-6 m /s) 0, 0,40-0,7 43 74 iscosidade dos fluidos Newtonianos aria com a temeratura, no entanto de modo diferente nos líquidos e nos gases. iscosidade nos líquidos diminui com o aumento da temeratura or diminuição das forças tangenciais de arrastamento. iscosidade nos gases aumenta com o aumento da temeratura or se manifestar atraés do moimento das artículas. No Quadro.5 e no Quadro.6 são aresentados os alores da iscosidade cinemática ara diferentes temeraturas no caso da água e do ar, resectiamente. É ossíel identificar a diminuição da iscosidade na água e o aumento da iscosidade no ar, com o aumento da temeratura. Para ariações de temeratura entre os 0ºC e os 0ºC a ariação da iscosidade cinemática é de cerca de -43.3% e 8.5% ara a água e ara o ar, resectiamente. ariação da iscosidade cinemática com a temeratura na água é de ordem de grandeza suerior à ariação no ar. Quadro.5 Viscosidade cinemática da água a diferentes temeraturas e à ressão atmosférica normal temeratura 0 4 0 0 30 40 50 80 00 (ºC) iscosidade cinemática (0-6 m /s),78,57,3,0 0,80 0,66 0,56 0,37 0,30 Quadro.6 Viscosidade cinemática do ar a diferentes temeraturas e à ressão atmosférica normal temeratura 0 0 40 60 80 00 0 50 (ºC) iscosidade cinemática (0-6 m /s),7,7 3,6 4,7 5,7 6,6 7,5 9,3 5
Sendo a iscosidade cinemática uma medida da resistência entre artículas do fluido em moimento, dee ser tomada em consideração a sua ariação com a temeratura no estudo do escoamento. Na figura. reresenta-se a ariação da iscosidade cinemática da água com a temeratura. É ossíel isualizar a ariação da iscosidade cinemática dentro da gama de temeraturas da água dos escoamentos em estudo, no âmbito desta discilina. É ainda aresentada a cura de ajustamento calculada elo Método dos Mínimos Quadrados, a que corresonde um coeficiente de determinação igual à unidade. υ (0-6 m s - ).8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 υ 3E-4T 4-9E-T 3 E-09T - 5,5E-08T.7765E-06 R 0 0 40 60 80 00 T (ºC) Figura. Variação da iscosidade cinemática da água com a temeratura Define-se como fluido erfeito ou ideal aquele que, sendo homogéneo e isotróico, se aresenta sem iscosidade. Naturalmente que este fluido não existe na natureza, tornando-se um conceito teórico. Existem, no entanto fluidos que em certas circunstâncias se comortam como erfeitos, é o caso de fluidos altamente acelerados. À medida que a elocidade de escoamento do fluido aumenta, diminui a influência da iscosidade. 6
.3.5 Coesão e tensão suerficial coesão manifesta-se atraés da acção atractia entre moléculas no interior de um líquido, que se considera desrezáel fora da esfera de actiidade molecular (zona de influência de uma célula sobre as outras). s moléculas estão em equilíbrio quando as suas esferas de actiidade molecular se encontram totalmente dentro do olume líquido. Quando uma molécula está muito erto da suerfície lire do líquido, a sua esfera de actiidade molecular inclui um dado olume de gás que, or ter um número de moléculas inferior a igual olume de líquido, desequilibra o sistema de forças. Isto acontece com todas as moléculas que estão a uma distância da suerfície lire inferior ao raio da esfera de actiidade molecular, Figura.3. força resultante é máxima quando a molécula está à suerfície do líquido. O mesmo efeito se erifica no caso de dois líquidos não miscíeis. Esta força or unidade de suerfície chama-se tensão suerficial e está directamente relacionada com a maior ou menor caacidade de eaoração de um líquido. tensão suerficial é quantificada elo coeficiente de tensão suerficial, δ, que reresenta a energia corresondente ao trabalho efectuado ela molécula ara atingir a suerfície, or unidade de área. Figura.3 Reresentação esquemática da força suerficial No Quadro.7 são aresentados os alores do coeficiente de tensão suerficial ara diferentes líquidos, à temeratura de 0ºC. Quadro.7 Coeficiente de tensão suerficial ara diferentes líquidos à temeratura de 0 ºC líquido em contacto com coef. de tensão suerficial (N/m) álcool etílico ar,37 E-3 óleo lubrificante ar 35,3 E-3 a 38,3 E-3 água ar 7,89 E-3 mercúrio ar 53,85 E-3 7
mercúrio água 39,69 E-3.3.6 Solubilidade dos gases nos líquidos Coeficiente de solubilidade de um gás é a relação entre o olume de gás dissolido e o olume de líquido dissolente, em condições de saturação do gás. s leis que regem a solubilidade dos gases nos líquidos são a Lei de Henry e a Lei de Dalton. Segundo a lei de Henry o coeficiente de solubilidade de um gás num líquido é constante se a temeratura se mantier constante. Segundo a Lei de Dalton, no caso de ários gases dissolidos num líquido, cada um dos gases se comorta como se fosse o único. No âmbito desta discilina só serão estudados fluidos gasosos com comortamento de gás erfeito, erificando-se a constância do roduto do olume ela ressão, equação.5. V const (.5) Se o coeficiente de solubilidade do gás for constante, quando ocorre um aumento da ressão do líquido os gases dissolidos, reseitando a relação (.5) dos gases erfeitos, diminuirão de olume ermitindo aumentar a massa de gás dissolida. No caso de diminuição de ressão no líquido, diminui a quantidade de massa do gás com ossibilidade de dissolução, ocorrendo a libertação de arte do gás dissolido. No Quadro.8 são aresentados alores do coeficiente de solubilidade de gases na água, à ressão atmosférica normal. Quadro.8 Coeficiente de solubilidade de gases na água à ressão atmosférica normal gás temeratura coef. de solubilidade do gás (ºC) hidrogénio 0 0,03 0 0,00 azoto 0 0,06 0 0,07 oxigénio 0 0,053 0 0,033 dióxido de 0,87 carbono 0 0,94.3.7 Tensão de saturação do aor de um líquido Define-se como tensão de saturação do aor de um líquido a ressão absoluta ara a qual o líquido assa ao estado gasoso. Neste caso, quando num dado líquido existem regiões 8
em que a ressão toma alores baixos ocorre a libertação de gases como foi aresentado no sub-caítulo anterior. Se a ressão continuar a diminuir e atingir o alor da tensão de aorização o líquido assa ao estado gasoso. tensão de saturação aria com a temeratura atingindo o alor da ressão atmosfera normal à temeratura de 00ºC e ao níel da água do mar. No Quadro.9 são aresentados os alores desta grandeza ara diferentes temeraturas. Quadro.9 Tensão de saturação do aor da água a diferentes temeraturas Temeratura (ºC) Tensão de saturação do aor da água (N/m ) 0 4 0 0 30 40 50 80 00 608 84 6 345 448 7387 34 4739 0367 ariação da tensão de saturação do aor de água (N/m ) com a temeratura (ºC) ajusta a um olinómio de 3º grau, equação.6, calculado elo Método dos Mínimos Quadrados, a que corresonde um coeficiente de determinação igual a 0,997. T 0,595T 3-8,356T 5,43T -3,466 (.6).4 Forças exteriores Sobre um dado olume de fluido odem actuar dois tios de forças exteriores; as forças de massa ou olume e as forças de contacto ou de suerfície. No âmbito desta discilina aenas são consideradas as forças de massa ou olume relatias à acção da graidade - eso rório. s forças de contacto ou suerfície são as forças que actuam no olume de fluido atraés da suerfície limítrofe. Estas forças odem decomor-se na comonente normal e comonente tangencial à suerfície. comonente normal da força de contacto or unidade de suerfície é designada or ressão,. Esta é uma grandeza escalar e isotróica, ou seja toma o mesmo alor numa artícula qualquer que seja a orientação do lano que assa nessa artícula. comonente tangencial or unidade de suerfície é designada or tensão tangencial, τ. 9
tensão tangencial só se manifesta quando os fluidos estão em moimento. elocidade das artículas numa secção transersal do escoamento aria orque existe resistência na interface entre o fluido e a fronteira sólida e orque os fluidos têm iscosidade..5 Variáeis a considerar na Mecânica dos Fluidos e sua reresentação.5. Variáeis enolidas no estudo do comortamento de um fluido Qualquer roblema de dinâmica dos fluidos ode ser estudado a artir do conhecimento das seguintes grandezas em cada artícula, P, e ao longo do temo: - ressão (P,t) - massa olúmica ρ ρ (P,t) - temeratura T T(P,t) - ector elocidade iˆ ˆj kˆ x y Na maioria dos roblemas ráticos de Engenharia Hidráulica, no entanto, os rocessos são considerados isotérmicos, ou seja rocessos em que a ariação de temeratura é desrezáel em termos de resultados obtidos. Neste caso o número de ariáeis reduz-se ara cinco. No escoamento de fluidos incomressíeis a massa olúmica é constante, reduzindo o número de ariáeis a quatro. água é um fluido moderadamente comressíel que, em determinadas condições, ode ser considerado incomressíel. z.6 Equações Gerais da Mecânica dos Fluidos s equações que reresentam o comortamento do fluido odem aresentar-se na forma local ou na forma global. s equações locais reresentam o que se assa com cada artícula ou com cada osição do domínio fluido; as equações globais reresentam regiões do domínio fluido. Nos roblemas gerais de Dinâmica dos Fluidos é necessário determinar seis ariáeis, er sub-caítulo.5., sendo necessário, ara tal, definir seis relações entre as ariáeis: - Equação da continuidade que reresenta o rincíio da conseração da massa; - Equação do equilíbrio dinâmico alicado a um dado olume de fluido. Sendo uma equação ectorial será reresentada elas suas três comonentes num sistema de eixos cartesianos; 0
- Equação de estado de um fluido que reresenta a relação entre a ressão, a massa olúmica e a temeratura; - Equação do balanço de energia que reresenta o rincíio da conseração da energia. No caso de ser desrezáel a ariação da temeratura o número de ariáeis reduz-se a cinco, a equação de balanço de energia não será alicada e a equação de estado do fluido reduz-se a uma relação entre a ressão e a massa olúmica. Se for desrezáel a ariação de temeratura e o fluido for considerado como incomressíel, a equação de estado do fluido deixa de ter significado or não existir ariação da massa olúmica com a ressão e o roblema de dinâmica dos fluidos fica reduzido a quatro ariáeis: a ressão e as três comonentes da elocidade, que são determinadas ela resolução das quatro equações: a equação da continuidade e as três comonentes da equação de equilíbrio dinâmico. alicação dos rincíios da conseração a uma dada região do domínio fluido ermite obter as equações globais do comortamento do fluido: - Equação da continuidade na forma global que reresenta o rincíio da conseração da massa; - Teorema de Euler ou Teorema da Quantidade de Moimento que reresenta o equilíbrio de forças alicado a uma dado olume de fluido; - Teorema de Bernoulli que reresenta um balanço energético No âmbito da Engenharia Hidráulica a maioria das alicações retende determinar as grandezas globais. Por essa razão serão deduzidas no âmbito da Mecânica dos Fluidos as equações básicas na forma local e no âmbito da hidráulica as equações básicas na forma global..7 Noções e arâmetros de carácter hidrocinemático.7. Reresentação do ector elocidade.7.. Variáeis de Lagrange reresentação do ector elocidade em Variáeis de Lagrange significa o estudo do comortamento de cada artícula ao longo do temo. É registada a história de cada artícula.
nomenclatura usada é ( M,t), que significa a elocidade da artícula M no instante t. Interessa conhecer a elocidade de cada artícula em diferentes instantes, figura.4. Figura.4 Reresentação da elocidade em Variáeis de Lagrange elocidade é determinada como a ariação do ector de osição, r, da artícula M, no temo: dr (.7) ( ) ( M, t) M, t dt Esta reresentação torna-se, em Mecânica dos Fluidos, de difícil reresentação or não ser ossíel seguir cada artícula no seio do olume fluido.7.. Variáeis de Euler Neste caso são estudadas as características das artículas que assam numa dada osição do domínio fluido, ao longo do temo. Em cada instante, é determinada a elocidade das artículas que nesse instante se encontram nas árias osições do domínio fluido. cada osição do domínio fluido corresonde um ector elocidade e um alor da ressão (relatios à artícula que se encontra naquela osição), constituindo um camo de ectores e um camo escalar. nomenclatura alicada (P,t) é que significa a elocidade da artícula que está na osição P no instante t, figura.5.
Figura.5 Reresentação da elocidade em Variáeis de Euler Euler. No âmbito da Engenharia Hidráulica será alicada a reresentação elas ariáeis de.7. Trajectórias e linhas de corrente Designa-se or trajectória de uma artícula o lugar geométrico da osição dessa artícula ao longo do temo. s trajectórias são definidas ara as artículas e a sua reresentação é no temo e no esaço, figura.6. Figura.6 Trajectória de uma artícula s linhas de corrente definem-se no domínio fluido, ara um dado instante. São as curas que têm em cada onto, como tangente o ector elocidade de cada artícula localizada nesse onto em cada instante, figura.7. Figura.7 Linha de corrente ara o instante t Tendo em conta as características das trajectórias e das linhas de corrente ode concluirse que: - Em cada instante as linhas de corrente são tangentes às trajectórias das artículas no onto onde está localizada a artícula nesse instante 3
- Se a elocidade das artículas que ocuam uma osição do domínio fluido for constante no temo, as linhas de corrente em cada instante coincidem com a trajectória das artículas que se localizam nessa osição..7.3 Tubo de fluxo Seja uma linha fechada, não coincidente com uma linha de corrente, e faça-se assar or cada onto dessa linha fechada uma linha de corrente. À suerfície geométrica definida elas linhas de corrente aoiadas no contorno fechado chama-se tubo de fluxo, figura.8. roriedade rincial do tubo de fluxo é que as suas aredes não são atraessadas elo fluido, já que a elocidade de todas as artículas de fluido localizadas na arede só têm comonente tangencial. Figura.8 Tubo de fluxo ara um dado instante antagem da definição do tubo de fluxo está em que qualquer conduta de qualquer material se comortar como um tubo de fluxo, ois atraés das suas aredes também não se erifica escoamento..7.4 Caudal e elocidade média de escoamento Caudal, Q, é o olume de fluido que atraessa uma dada suerfície or unidade de temo. Seja S uma suerfície e ds a suerfície elementar onde a elocidade é considerada constante e igual a. Só a comonente da elocidade, normal à suerfície, contribui ara o caudal atraés dessa suerfície. O comrimento ercorrido elas artículas, localizadas na suerfície no instante inicial, durante um interalo de temo dt é n dt em que n cos α é a comonente da elocidade segundo a direcção normal à suerfície, figura.9. 4
Figura.9 Caudal elementar temo dt é: O olume do fluido que atraessa a suerfície ds com a elocidade no interalo de Vol n dt ds (.8) O caudal elementar que atraessa a área elementar ds é: dq n ds n ds (.9) Na equação.9 o termo n reresenta o roduto interno entre o ector elocidade e o ersor normal à suerfície. O caudal atraés de uma dada suerfície S é igual ao integral, do caudal elementar, a toda a suerfície: Q dq n ds S S S n ds (.0) Usualmente, o diagrama de elocidades na secção transersal de um tubo de fluxo não está disoníel, tornando imossíel o cálculo do caudal nessa secção. Para ultraassar esta dificuldade foi definida uma grandeza designada or elocidade média e que é a elocidade fictícia, constante na secção, que transorta o mesmo caudal num tubo com iguais características geométricas: U Q S S n ds S 5
(.).8 Classificação do moimento dos fluidos.8. Nota introdutória classificação dos escoamentos ode ser feita de acordo com diferentes critérios sendo cada um deles indeendente dos outros. Classifica-se o escoamento quanto à ariação das grandezas no temo; quanto à ariação das grandezas no esaço; quanto ao comortamento relatio das artículas e quanto à osição relatia entre o fluido e a fronteira sólida..8. Classificação quanto à ariação das grandezas no temo e no esaço Os escoamentos em que todas as grandezas enolidas não ariam com o temo designam-se or ermanentes. Se alguma das grandezas é deendente do temo o escoamento chama-se ariáel. No caso de um escoamento ermanente as grandezas enolidas são aenas função da osição em que as artículas se encontram, não ariando de instante ara instante. s deriadas arciais em ordem ao temo anulam-se: t 0 (.) s linhas de correntes mantêm-se ao longo do temo, coincidindo com as trajectórias das diferentes artículas, uma ez que a elocidade em cada osição se mantém qualquer que seja a artícula nessa osição e qualquer que seja o instante. Relatiamente à ariação das grandezas no esaço odem os escoamentos ser classificados como uniformes ou ariados. Escoamento uniforme é aquele em que as grandezas não ariam de osição ara osição no domínio fluido, ou seja a deriada das grandezas em ordem ao esaço (sendo s medido ao longo da linha de corrente definida ara um dado instante) anula-se: s 0 (.3) No moimento ariado as grandezas ariam de osição ara osição em que as artículas se encontrem, ou seja: 6
s 0 (.4) Na rática, teremos um escoamento ermanente no caso do abastecido a artir de um reseratório de grandes dimensões, em que a entrada e/ou saída de caudal desse reseratório não se faz sentir na cota da suerfície lire no reseratório. Mantendo-se constante ao longo do temo a energia no reseratório, o caudal e a elocidade média na secção transersal da conduta que sai do reseratório também são constantes. Por outro lado, se o reseratório for de equenas dimensões o abastecimento rooca a diminuição da cota da suerfície lire dentro do reseratório e consequentemente a energia disoníel no reseratório, ariando o caudal e a elocidade média na secção transersal da conduta abastecida. Se as características geométricas de uma dada conduta de transorte de um líquido se mantierem constantes ao longo do seu comrimento o escoamento é uniforme. Caso contrário será ariado..8.3 Classificação quanto ao comortamento relatio das artículas análise do comortamento relatio das artículas ermite identificar o escoamento laminar e o escoamento turbulento. O escoamento laminar caracteriza-se or um deslocamento regular de todas as artículas, mantendo, estas, uma osição bem definida entre si. O moimento turbulento caracteriza-se or uma deslocamento desordenado das artículas, as trajectórias de cada artícula cruzam-se ariando a direcção da elocidade das artículas de modo muito irregular. Nos moimentos turbulentos só faz sentido falar no alor médio das grandezas, ois os alores instantâneos ariam de instante ara instante. s artículas têm trajectórias que se intercruzam sem ordem. elocidade em cada instante e em cada osição é igual a: ' (.5) i i Em que: i é a elocidade instantânea, é a elocidade média e ' i a flutuação em tornoda média elocidade instantânea de flutuação considera-se aleatória aresentando como média o alor zero. 7
isualização do escoamento laminar e do escoamento turbulento ode ser feita atraés da Exeriência de Reynolds que se caracteriza ela injecção de um líquido corado no escoamento de um líquido transarente (ex: água). Para elocidades baixas de escoamento erifica-se que o fluido corado se desloca segundo uma linha recta, estamos erante um regime laminar. À medida que a elocidade da água aumenta a linha corresondente ao escoamento do líquido corado começa a aresentar curatura e ara certo alor da elocidade a linha rome e o escoamento do líquido corado confunde-se com o escoamento da água, não ermitindo distinguir os dois fluidos. Neste caso estamos em regime turbulento. O escoamento entre o regime laminar e o regime turbulento designa-se or escoamento de transição..8.4 Classificação quanto à osição relatia do fluido e da fronteira sólida Quanto à osição relatia do fluido e da fronteira sólida classifica-se o escoamento como exterior ou interior. O escoamento exterior caracteriza-se or o fluido enoler comletamente a fronteira sólida. Como exemlo refere-se o escoamento do ar em torno da asa de um aião, ara um sistema de referência colocado na asa do aião. Escoamentos interiores são aqueles em que o escoamento é enolido totalmente ou arcialmente ela fronteira sólida. Este é o tio de escoamento que iremos estudar e refere-se a: - escoamento em canais: escoamento em suerfície lire - escoamento em tubos fechados: ocuando a totalidade da secção (escoamento em ressão) ou arte da secção (escoamento em suerfície lire). Problemas resolidos - que ressão ode eserar a ocorrência de caitação na entrada de uma bomba que elea água à temeratura de 0ºC? Qual ensa ser o alor suerior: a tensão de saturação do aor da água ou a tensão de saturação do aor do mercúrio? Resolução: Consultando a tabela.9, conclui-se que a água, à temeratura de 0ºC, assa ao estado de aor ara a ressão absoluta de 345 Nm -. 8
Tendo em conta que o coeficiente de tensão suerficial é muito suerior no mercúrio em contacto com o ar do que na água em contacto com o ar, é necessário ocorrer uma diminuição maior nas forças de coesão entre as moléculas no mercúrio o que se consegue com uma maior diminuição da ressão no fluido. ssim, concluí-se que a tensão de saturação do aor do mercúrio é inferior à tensão de saturação do aor da água. Os alores da tensão de saturação do mercúrio e da água à temeratura de 0ºC são resectiamente 345 Nm - e 0,73 Nm -. - Determine o olume libertado de gases dissolidos (hidrogénio, oxigénio e dióxido de carbono) em m 3 de água à ressão absoluta de 5 bar, ara uma diminuição de ressão de 4 m c. a., sabendo que a temeratura se mantee constante e igual a 0ºC durante a ocorrência do fenómeno. Gás coeficiente de solubilidade na água à temeratura de 0ºC coeficiente de solubilidade na água à temeratura de 0ºC Hidrogénio 0,00 0,03 Oxigénio 0,033 0,053 dióxido de carbono 0,94,870 Resolução: Neste roblema retende-se determinar o olume de gás libertado, ara tal será alicada a Lei de Dalton que defende o comortamento de cada gás ser indeendente dos outros gases existentes num dado líquido; a Lei de Henry que admite o coeficiente de solubilidade manter-se constante ara a mesma temeratura; e a Lei de gases erfeitos em que é constante o roduto da ressão absoluta elo olume ocuado elo gás. a ressão inicial é 5 bar 5. 0 5 Nm - a diminuição da ressão é 4 m c.a. 4. 9800 Nm - 4600 Nm - a ressão final é 5. 0 5 Nm - - 4600 Nm - 88400 Nm - hidrogénio O olume ocuado ela massa de hidrogénio no instante inicial é: V V i H H O 0,00 V i H 0,00. 0,00 m 3 O alor da constante do gás erfeito, com base nos dados fornecidos ara o instante inicial é: i i VH H const const 0,00.5.0 0 no instante final a ressão diminuiu e o olume ocuado elo hidrogénio aumentou ara: f H 4 f H V.88400 0 V 0,3 m 3 5 4 Nm O olume de hidrogénio libertado foi: 9
f i VH VH 0,3 0,00 0,093m 93 3 oxigénio O olume ocuado ela massa de oxigénio no instante inicial é: V V i O H O 0,033 V i H 0,033. 0,033m O alor da constante do gás erfeito, com base nos dados fornecidos ara o instante inicial é: 3 i i VO O const const 0,033.5.0,65.0 5 4 Nm no instante final a ressão diminuiu e o olume ocuado elo oxigénio aumentou ara: f O 4 V.88400,65.0 V 0,87 m f O 3 O olume de oxigénio libertado foi: f i V V 0,87 0,033 0,54 m 3 O O 54 dióxido de carbono O olume ocuado ela massa de dióxido de carbono no instante inicial é: V V i CO H O 0,94 i CO O alor da constante do gás erfeito, com base nos dados fornecidos ara o instante inicial é: V no instante final a ressão diminuiu e o olume ocuado elo dióxido de carbono aumentou ara: O olume de dióxido de carbono libertado foi: V i i CO CO V f CO f CO V const.88400 4,6.0 i CO 5 V 5,6 0,94 4,30 m 0,94. 0,94 m const 0,94.5.0 V f CO 3 5 5,6 m 3 4,6.0 3 5 Nm 0
Caítulo EQUÇÕES GERIS DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS. Introdução Neste caítulo serão deduzidas as equações básicas locais que reresentam o comortamento das artículas fluidas. Considera-se que a ariação da temeratura não afecta os resultados obtidos no estudo e que os fluidos são incomressíeis. Pelo que, o sistema de equações fica reduzido às equações da continuidade e de equilíbrio dinâmico e as ariáeis a determinar são a ressão e o ector elocidade. É alicada a reresentação de Euler na dedução das equações locais, ou seja é estudado o que se assa em cada osição do domínio fluido, rocurando reresentar o escoamento das artículas de fluido que assam nessas osições.. Equação da continuidade.. Nota introdutória Esta equação reresenta o rincíio da conseração da massa alicado a um dado olume do domínio fluido, denominado or olume de controlo, V, e limitado or uma suerfície de controlo, S, considerada indeformáel relatiamente a um sistema de eixos de referência, figura.. equação do balanço de massa reresenta a igualdade entre o fluxo de massa atraés da suerfície de controlo e a ariação de massa dentro do olume de controlo, na unidade de temo e ode ser reresentada or: m m Δ m (.) s e int
Figura. Reresentação do olume de controlo e da suerfície de controlo massa que sai menos a massa que entra no olume de controlo, atraés da suerfície de controlo, na unidade de temo, é igual à ariação da massa no interior do olume de controlo, na mesma unidade de temo. Conenciona-se como ositio o sentido de saída de massa do olume de controlo, atraés da suerfície de controlo... Dedução da exressão geral e local da Equação da Continuidade Se dq é o caudal elementar, ou seja o olume de fluido que atraessa uma área elementar da suerfície de controlo, or unidade de temo, então a massa que atraessa a área elementar da suerfície de controlo, or unidade de temo é determinada atraés de: dm ρ dq (.) Substituindo a equação do caudal elementar, equação.9, obtém-se: dm ρ n ds (.3) De acordo com a conenção referida n é o ersor normal à suerfície de controlo, com o sentido ositio ara o exterior e a exressão (.3) é ositia quando o fluido sai da suerfície de controlo e negatia quando o fluido entra na suerfície de controlo. massa que atraessa a suerfície de controlo, or unidade de temo, é determinada elo integral da equação anterior à suerfície de controlo: m s m e ρ n ds (.4) S Relatiamente à reresentação da ariação da massa dentro do olume de controlo começamos or definir a massa de um olume elementar que é reresentada or:
ρ dv (.5) massa total contida no interior da suerfície de controlo, no instante inicial é reresentada or: mint ρ dv (.6) V ariação da massa dentro do olume de controlo, na unidade de temo, é determinada ela equação.7, em que o sinal negatio reresenta a diminuição da massa existente no olume de controlo quando o fluxo de massa atraés da suerfície de controlo, na unidade de temo, é ositio, ou seja a massa que sai é suerior à massa que entra na suerfície de controlo, or unidade de temo. Δm int ρ dv (.7) t modo: S V equação do balanço de massa, na forma integral, ode ser reresentada do seguinte ρ n ds dv 0 t ρ V (.8) Para simlificar a equação anterior alica-se o Teorema da Diergência de Gauss que iguala o fluxo de um ector atraés de uma suerfície fechada ao integral no olume, limitado ela suerfície referida, da diergência desse ector: ( r n ) ds S V di r dv (.9) Na equação anterior S é a suerfície fechada que limita o olume V e em que o ector r e a sua diergência estão definidos. em: V Substituindo a equação.9 alicada ao ector r ρ na equação.8, esta transforma-se di ρ dv dv 0 t ρ (.0) V dmitindo que, o olume de controlo não aria no temo, a deriada em ordem ao temo do segundo termo da equação (.0) ode assar ara dentro do integral: 3
V ρ di ρ dv dv 0 (.) t V Substituindo a soma de integrais elo integral da soma, em: V & ρ # $ di ρ dv 0 (.) % t " Como não foi considerada qualquer restrição na definição do olume de controlo, a anulação do integral ressuõe a anulação do argumento do mesmo integral. exressão geral e local da Equação da Continuidade, sob a forma ectorial, reresenta-se or: ρ di ρ 0 (.3) t Em notação tensorial cartesiana, a exressão geral e local da Equação da Continuidade reresenta-se do seguinte modo: ( ρ ) ( ρ y ) ( ρ ) x y z ρ t x z 0 (.4)..3 Casos articulares da exressão geral e local da Equação da Continuidade No caso articular de fluidos incomressíeis, a massa olúmica é constante no esaço e no temo. O segundo termo anula e no rimeiro termo a massa olúmica sai da deriada. Equação da Continuidade, na forma ectorial, fica reduzida a: di 0 (.5) Em notação tensorial cartesiana a Equação da Continuidade alicada a fluidos incomressíeis é: y z x y z x 0 (.6) No caso articular de escoamento ermanente não existe ariação no temo, anulandose o segundo termo da equação (.3). 4
Equação da Continuidade alicada a escoamento ermaanente, na forma ectorial, fica reduzida a: di ρ 0 (.7) Em notação tensorial cartesiana: ( ρ ) ( ρ y ) ( ρ ) x x y z z 0 (.8)..4 Equação da continuidade alicada a um tubo de fluxo No caso de um tubo de fluxo, o olume de controlo a que será alicado o rincíio da conseração da massa ode ser definido de um modo geral, como reresentado na figura., em que a secção transersal ode ariar ao longo do eixo do tubo. Figura. Volume de controlo reresentado or um tubo de fluxo O fluxo de massa dá-se atraés das secções transersais do escoamento, e. suerfície lateral do olume de controlo é formada or um feixe de linhas de corrente, não haendo assagem de artículas fluidas atraés dele. O rincíio da conseração da massa ode, neste caso, ser enunciado do seguinte modo; a massa que sai, or unidade de temo, do olume de controlo atraés da secção ( ) ds ρq ( ρ Q s ) menos a massa que entra, or unidade de temo, no mesmo olume de controlo atraés da secção ( ρ Q ) é igual à ariação, na mesma unidade de temo, da massa que existe dentro do olume de controlo, equação.9. 5
m m Δ m (.9) int massa que existe dentro do olume de controlo no instante inicial, admitindo um olume tronco-cónico, é: ρ V ρ ds ρ ds (.0) ariação da massa dentro do olume de controlo, na unidade de temo, é determinada or: Δ m int t ( ρ ds) (.) Substituindo na equação do balanço, obtém-se: ( ρq) ) & ' ρ Q ds ρq ( ρ ds) s $ (.) ( % t ( ρq) s ds t ( ρ ds) 0 (.3) dmitindo que não existe ariação da forma ou dimensão do olume de controlo, o comrimento do troço em estudo, ds, é finito e constante no temo, odendo sair da deriada no segundo termo, obtendo-se: ( ρq) s ds t ( ρ ) ds 0 (.4) Diidindo a equação.4 or ds, a exressão da Equação da Continuidade, alicada a um tubo de fluxo, reduz-se a: ( ρq) ( ρ) s t 0 (.5) 6
..5 Casos articulares da exressão da Equação da Continuidade, alicada a um tubo de fluxo No caso articular de fluidos incomressíeis a massa olúmica é constante no esaço e no temo. Nos dois termos a massa olúmica sai da deriada, odendo ser diidida a equação ela massa olúmica. Equação da Continuidade, alicada ao longo de um tubo de fluxo e escoamento de um fluido incomressíel, escree-se: Q s t 0 (.6) No caso articular de escoamento ermanente não existem ariações no temo, anulando-se o segundo termo da equação (.5). Equação da Continuidade, alicada ao longo de um tubo de fluxo e escoamento ermanente, escree-se: ( ρ ) Q 0 s ρq const. (.7) (.8) Introduzindo na equação.8 a definição de elocidade média do escoamento, obtémse: ρ U const. (.9) reduz-se a: Se escoamento de um fluido incomressíel é ermanente, a Equação da Continuidade U const. (.30) Como exemlo de alicação da equação (.30) refere-se a determinação da elocidade média de escoamento de um fluido incomressíel na secção em função da elocidade média na secção, figura.3. 7
U U U U U U U U Figura.3 licação da Equação da Continuidade alicada ao longo de um tubo de fluxo.3 Equação de equilíbrio dinâmico.3. Introdução 8 Esta equação resulta da alicação da equação fundamental da dinâmica a um dado olume de fluido em moimento que, no instante t, ocua a osição definida ela suerfície de controlo, suerfície fronteira do olume de controlo. Partindo da equação fundamental da dinâmica, equação.3, em que F e é a resultante das forças exteriores que actuam sobre o olume de fluido contido na suerfície de controlo e ma é a força de inércia da massa contida no olume de fluido. F e m a 0 (.3) s forças exteriores a considerar são: - Força de massa ou olume: - eso rório massa contida num olume elementar de fluido dentro do olume de controlo é dm ρ dv e o eso dessa massa dg ρ g dv. O eso rório da massa contida ela suerfície de controlo é: G ρ g dv (.3) V - Força de contacto ou suerfície: O fluido circundante exerce sobre o fluido contido no interior do olume de controlo, atraés da suerfície de controlo, acções distribuídas ao longo desta. Designando or T a
tensão em cada onto da suerfície de controlo, ara uma dada orientação da suerfície de controlo (estado de tensão num onto) com a normal à suerfície n e ara um dado instante. resultante das forças de suerfície será determinada elo integral: S T ( P, n, t) ds (.33) tensão deende do onto da suerfície de controlo, P; da orientação da suerfície de controlo nesse onto definida atraés da normal à suerfície n, e do temo. força de inércia é determinada ara uma massa elementar, dentro da suerfície de controlo, or: - dm a ρ a dv (.34) Integrando a equação (.34) no olume de controlo, a força de inércia é: F - I V ρ a dv (.35) Substituindo na equação fundamental da dinâmica, equação.3, as equações.3,.3 e.35 obtém-se a equação de equilíbrio dinâmico na forma integral: V ρ g dv S T ds - V ρ a dv 0 (.36).3. Reresentação de Euler do ector aceleração aceleração mede a ariação da elocidade no temo e no esaço. Em reresentação de Euler, a caracterização é feita relatiamente a cada osição contida no olume de controlo, ou seja, relatiamente às artículas fluidas que se encontram localizadas em osições dentro do olume de controlo. Na reresentação de Euler, a aceleração é caracterizada elo gradiente de elocidade das artículas localizadas em osições diferentes do olume de controlo, num dado instante, e elo gradiente de elocidade ao longo do temo, em cada osição do olume de controlo, figura.4. 9
Figura.4 Caracterização da aceleração em Reresentação de Euler No caso geral, o ector elocidade é deendente das ariáeis indeendentes temo e osição no meio fluido. $ x # y " z ( t, x, y,z) x ( t, x, y,z) y ( t, x, y,z) ( t, x, y,z) z Com base na definição de ariáel, a aceleração é determinada or: d ( Q, t Δt) ( P, t) a lim (.37) d t Δt 0 Δ t Se à equação.37 somarmos e subtrairmos no numerador o alor da elocidade na osição P e instante t Δ t, em: a lim Δ t 0 a lim Δt 0 [ ( Q, t Δt) - ( P, t Δt) ] [ ( P, t Δt) ( P, t) ] Δ t [ ( Q, t Δt) - ( P, t Δt) ] [ ( P, t Δt) ( P, t) ] Δ t lim Δt 0 Δ t (.38) (.39) 30
3 rimeira arcela do membro da direita reresenta a ariação da elocidade no esaço, ara um dado instante, e a segunda arcela reresenta a ariação da elocidade no temo, ara uma dada osição. ariação no esaço ode ser decomosta nas três direcções do sistema de coordenadas ortogonais. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] t t P, t t P, lim t z z t t P, - t t Q, lim t y y t t P, - t t Q, lim t x x t t P, - t t Q, lim a 0 t o z 0 t o y 0 t o x 0 t Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ (.40) Os limites da equação anterior corresondem a deriadas arciais do ector elocidade em ordem às ariáeis indeendentes; temo e osição no meio fluido. t dt dz z dt dy y dt dx x a (.4) ariação das comonentes, num sistema de eixos cartesianos, da ariáel indeendente osição no meio fluido com a ariáel indeendente temo é igual à resectia comonente da elocidade e a equação ectorial da aceleração é reresentada or: t z y x a z y x (.4) s comonentes da equação.4, segundo os três eixos cartesianos são: " # $ t z y x a t z y x a t z y x a z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x (.43) Introduzindo a definição de d a gr a equação (.4) é reresentada do seguinte modo:
a ( grad) (.44) t rimeira arcela do segundo membro da equação.44 corresonde à ariação da elocidade no temo, denomina-se or aceleração local; o segundo termo, corresondente à ariação da elocidade no esaço, denomina-se or aceleração conectia..3.3 Equação de Euler Substituindo a aceleração, equação.44, na equação de equilíbrio dinâmico, equação.36, obtém-se: & ρ g dv T ds - ρ $ V S V % t # " ( grad) dv 0 (.45) No caso articular de um líquido erfeito, ou seja um líquido homogéneo, isotróico e sem iscosidade, as forças tangenciais são nulas e as forças de suerfície ficam reduzidas às forças normais. tensão em qualquer onto da suerfície de controlo é reresentada ela ressão com sinal negatio de acordo com a conenção definida, or ter o sentido de comressão da suerfície de controlo: S T ( P, n, t) ds S n ds (.46) Substituída a equação.46 na equação de equilíbrio dinâmico, equação.45, obtém-se: & ρ g dv n ds - ρ $ V S V % t # " ( grad) dv 0 (.47) alicação do Teorema da Diergência de Gauss, ermite substituir o integral em suerfície em integral no olume limitado ela suerfície referida, ou seja: φ n ds grad φdv S V (.48) 3
33 Na equação anterior S é a suerfície fechada que limita o olume de controlo V e em que o escalar φ e o seu gradiente estão definidos. alicação do Teorema da Diergência de Gauss à grandeza escalar ressão,, ermite obter a seguinte relação: grad dv - nds V S (.49) equação anterior substituída na equação de equilíbrio dinâmico, equação.47, ermite obter: ( ) 0 dv grad t grad dv - g dv V V V " # $ % & ρ ρ (.50) soma dos integrais é igual ao integral da soma dos três argumentos: ( ) 0 dv grad t grad g V " # $ % & ' ( ) *, ρ ρ (.5) Não tendo sido referido nenhuma condição na definição do olume de controlo, sendo or arbitrário, a anulação do integral ressuõe a anulação do argumento do mesmo integral. ( ) 0 grad t grad g " # $ % & ' ( ) *, ρ ρ (.5) Equação de Equilíbrio Dinâmico alicada ao caso articular de um fluido erfeito reduz-se à seguinte equação e denomina-se or Equação de Euler. ( ) 0 grad t grad g ρ (.53) Por ser uma equação ectorial, as comonentes da Equação de Euler, segundo os três eixos cartesianos, são reresentadas or: " # $ ρ ρ ρ 0 z y x t z g 0 z y x t y 0 z y x t x z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x (.54).3.4 Casos articulares da Equação de Euler No caso articular de um escoamento ermanente não existe ariação no temo, anulando-se o terceiro termo da equação.53.
Equação de Euler ara escoamento ermanente, na forma ectorial, fica reduzida a: g grad ( grad) 0 (.55) ρ No caso articular do fluido em reouso, a estudar no caítulo seguinte, situação em que não se manifesta a iscosidade, ou seja o fluido se comorta como erfeito, a elocidade é nula e a Equação de Euler reduz-se a: g grad 0 (.56) ρ.3.3 Equações de Naier-Stokes dedução das equações de equilíbrio dinâmico ao caso de fluidos reais, em que se manifestam as forças tangenciais de arrastamento, ermite obter as equações gerais do moimento. No caso de fluidos Newtonianos serão acrescentados à equação.53 os dois termos: ν grad( di ) ν (.57) 3 O rimeiro termo reresenta a influência da comressibilidade e o segundo termo reresenta a influência da iscosidade. s Equações de Equilíbrio Dinâmico, na forma ectorial, ara o caso de fluidos reais e Newtonianos denominam-se or Equações de Naier-Stokes e reresentam-se do seguinte modo: g grad ν grad ρ 3 t ( di ) ν ( grad) 0 (.58) Problemas resolidos - Verifique a equação da continuidade dos escoamentos de um líquido incomressíel com os seguintes camos de elocidades: a) y i b) x i y j k 3 3 3 Resolução: Equação da Continuidade alicada ao caso articular do escoamento de um líquido incomressíel é: di 0 a) Trata-se de um escoamento unidimensional, ou seja em que a elocidade aenas tem comonente segundo a direcção xx. 34
licando a definição de diergente de um ector, em: x di x y y z z x ( y) ( 0) ( 0) y z anulação do diergente da elocidade erifica a equação da continuidade. b) Trata-se de um escoamento tridimensional em que o ector elocidade aresenta comonente segundo os três eixos do sistema de coordenadas cartesianas. licando a definição de diergente ao ector elocidade: x di x y y z z ( % & x# 3 ' $ x ( & ' 0 % ( % y# & # 3 $ ' 3 $ y z 3 0 0 3 anulação do diergente do ector elocidade erifica a equação da continuidade. - Considere o escoamento de um líquido incomressíel entre dois lanos, reresentado elo seguinte camo de elocidades: z i zĵ a) Verifique a equação da continuidade b) Calcule o caudal atraés de uma secção rectangular, cujo ector normal coincide com o eixo dos xx, ara a coordenada z entre 0 e m e a coordenada y entre 0 e 5m. c) Deduza a equação que reresenta as linhas de corrente d) Deduza a equação que reresenta as trajectórias e) Conclua acerca da ermanência do escoamento Resolução: a) equação da continuidade, ara o caso articular do escoamento de um líquido incomressíel, é: di 0 alicando a definição de diergente ao ector elocidade, obtém-se: ( z) ( z) ( 0) di 0 x y z anulação do diergente da elocidade erifica a equação da continuidade. b) licando a definição de caudal: Q e tendo em conta que: em: Q n ds S S S n ds n ˆ i 0 ˆj 0kˆ n (z) ( z) 0 0 0 z z ds como a secção de escoamento se define no lano yoz, a sua área é determinada or: S y.z ds dy.dz que substituído na equação anterior ermite determinar o caudal transortado: S z y 5 z 0 y 0 z Q z ds z dy dz z.5 dz 5 m s z 0 3 35
c) s linhas de corrente são definidas elo sistema de equações diferenciais: x y z dx dy dz a alicação ao camo de elocidades aresentado neste roblema ermite obter: z dx - z dy 0 dz # z - z & dx dy " &- z 0 & dy dz # dy -dx " zdz 0 # y x C " z C Para cada alor das constantes de integração é definido o sistema de equações que reresenta uma linha de corrente. d) s trajectórias são definidas elo sistema de equações diferenciais: $ dx dt dy # dt dz " dt x y z a alicação ao camo de elocidades actual ermite determinar as equações das trajectórias: $ dx z dt dy # -z dt dz 0 " dt $ dx z dt # dy - z dt " dz 0 $ dx -dy # " z C $ x -y C # " z 3 Para cada alor das constantes de integração C 3 e C 4 é definido o sistema de equações que reresenta uma trajectória. e) Como as equações das linhas de corrente e as equações das trajectórias coincidem, o escoamento é ermanente. 3 C 4 36
Caítulo 3 HIDROSTÁTIC 3. Introdução Hidrostática é o caítulo da Hidráulica que estuda o comortamento dos fluidos em reouso. Num fenómeno hidráulico em que a temeratura é constante, o fluido incomressíel e a elocidade das artículas nula, existe uma incógnita que é a ressão. equação da continuidade deixa de ter significado, ficando o sistema de equações reduzido à equação de equilíbrio dinâmico que ermite determinar a relação entre os alores de ressão nas artículas que ocuam as diferentes osições do domínio fluido. Se a elocidade relatia entre artículas é igual a zero, não se manifesta o efeito da iscosidade, comortando-se o fluido como erfeito. lica-se assim, à hidrostática, a equação de Euler simlificada ara elocidade de escoamento nula, equação (.56): g grad 0 (.56) ρ O rimeiro termo reresenta o efeito das forças de massa ou olume (eso rório) e o segundo termo reresenta o efeito das forças de contacto normais. 3. Lei hidrostática de ressões s comonentes, da equação.56, segundo os três eixos cartesianos, oxyz, reresentamse or: $ $ 0 0 ρ x x # 0 # 0 ρ y y g 0 " ρ z " z (3.) 37
integração da ª equação ao longo do eixo ox, ermite obter a relação da ressão entre dois ontos localizados ao longo da direcção definida or ox: x x ( x ) x 0 x x dx 0 (3.) x ariação da ressão ao longo do eixo ox é reresentada ela equação 3.3 e ermite concluir que a ressão é constante ara qualquer osição em ox: (x) const. (3.3) integração da ª equação ao longo do eixo oy ermite concluir que a ressão também é constante ara qualquer osição do eixo oy: y y ( y ) y 0 y y dx 0 (3.4) y (y) const. (3.5) Z Z Integrando a 3ª equação ao longo do eixo oz, ermite obter: dz z Z Z dz Z ( Z Z ) dz ( Z Z ) ( Z Z) Z Z Z Z (3.6) Z ariação de ressão ao longo do eixo oz é reresentada ela equação: Z ( z) ( z) const (3.7) em que: Z é a cota toográfica; / é a altura iezométrica de uma artícula de fluido com ressão. Cota toográfica é a distância, medida na ertical, entre a osição que a artícula ocua e um lano horizontal de referência. ltura iezométrica de uma artícula é a altura a que sobe o fluido num tubo iezométrico quando instalado nessa osição (er ág. 45). soma dos dois arâmetros designa-se or cota iezométrica que, em Hidrostática, é constante ara qualquer alor de z. Da dedução anterior ode concluir-se que, no caso de um fluido incomressíel, ara o sistema de eixos cartesiano considerado: 38