Gráfcos de Controle para Processos Autocorrelaconados
Gráfco de controle de Shewhart: observações ndependentes e normalmente dstrbuídas. Shewhart ao crar os gráfcos de controle não exgu que os dados fossem normalmente dstrbuídos (ver as dstrbuções das estatístcas R, S, as contagens de defetos e de undades defetuosas. A volação da hpótese de ndependênca reduz a aplcabldade dos gráfcos de controle convenconas. Na presença de autocorrelação, o rsco α, probabldade de uma observação car fora dos lmtes do gráfco, com o processo sob controle, aumenta e o com sso o número de Alarmes Falsos se eleva muto. Em geral, os processos contínuos e por batelada são frequentes na ndústra. Esses processos raramente produzem observações ndependentes.
Para avalar a assocação (lnear) entre duas varáves quanttatvas, dspomos do dagrama de dspersão e do coefcente de correlação lnear de Pearson. Y 240 Dagrama de Dspersão 230 220 210 210 220 230 240 Fgura 6.1. Exemplo de Dagrama de Dspersão com r Y =0,9
= = = = n n n Y Y y x Y y x r 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) )( ( = + = = n n k k k x x x r 1 2 1 ) ( ) )( ( Coefcente de autocorrelação amostral O coefcente de correlação lnear de Pearson entre e Y Para avalar a correlação entre observações sucessvas de uma característca da qualdade, sto é a correlação entre e -k, temos:
Com os coefcentes de autocorrelação amostras, avalamos o grau de autocorrelação dos dados de um processo. Temperatura 250 240 230 220 210 200 Número da Medda 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Fgura 6.2. Sére de Meddas da Temperatura do Banho Químco
Tabela 6.1: Sére de Meddas da Temperatura de um Banho Químco x x +1 x +2 x +3 1 237,59 234,40 233,66 237,42 2 234,40 233,66 237,42 232,54 3 233,66 237,42 232,54 233,70 4 237,42 232,54 233,70 235,20 5 232,54 233,70 235,20 232,36 6 233,70 235,20 232,36 229,21 7 235,20 232,36 229,21 231,97 8 232,36 229,21 231,97 227,02 9 229,21 231,97 227,02 229,42 10 231,97 227,02 229,42 227,65
Tabela 6.2: Cálculos Intermedáros para a Obtenção de r 1 Número 2 da + 1 + 1 ( )( + 1 ) ( ) Medda () 1 237,59 234,40 12,27 9,09 111,547 150,635 2 234,40 233,66 9,09 8,35 75,852 82,601 3 233,66 237,42 8,35 12,11 101,083 69,655 4 237,42 232,54 12,11 7,22 87,485 146,691 5 232,54 233,70 7,22 8,38 60,547 52,175 148 229,09 229,95 3,78 4,64 17,530 14,301 149 229,95 223,64 4,64-1,67-7,737 21,487 150 223,64-1,67 2,786 = 225,31 = 6196,093 6937,056 Tabela 6.3: Coefcentes de autocorrelação amostras k r k k r k 1 0,893 7 0,465 2 0,793 M M 3 0,714 15 0,217 4 0,638 16 0,194
Para lustrar o problema de Alarmes Falsos, vamos construr os gráfcos usuas de e R. A cada 30 mnutos, regstram-se 3 temperaturas do banho, espaçadas de 3 mnutos. Cada 3 temperaturas formam uma amostra. Seleconamos 20 amostras. Tabela 6.4: As 20 Prmeras Amostras da Temperatura do Banho Químco Amostra x1 x2 x3 R x 1 237,59 234,40 233,66 3,93 235,22 2 227,02 229,42 227,65 2,40 228,03 3 225,68 225,70 226,29 0,61 225,89 4 225,17 228,29 227,44 3,12 226,97 5 221,34 214,47 213,71 7,64 216,51 19 215,55 221,28 219,07 5,73 218,63 20 229,25 226,23 226,85 3,02 227,44 R = 3,7103 x = 222, 085 R d 2 = 3,703/1,693 = 2,187
LIC R = 0; LM R = 3,703; LSC R = 9,531. Todos os pontos dentro dos lmtes. LIC Méda = 222,298; LM Méda = 226,085; LSC Méda = 229,873. Vnte pontos fora dos lmtes. Gráfco de Médas 240,00 235,00 230,00 225,00 220,00 215,00 210,00 0 5 10 15 20 Fgura 6.3: Gráfcos de Controle para o Montoramento da Temperatura de um Banho Químco, com város alarmes falsos
Serão esses pontos snas de causas especas? A temperatura não vara muto entre meddas muto próxmas no tempo. Assm, a dspersão dentro da amostra deve ser muto menor que a dspersão do processo. Em outras palavras, o estmador R / d 2 usado no cálculo dos lmtes do gráfco produz lmtes muto estretos (muto próxmos da lnha méda do gráfco.) No exemplo, enquanto R / d 2 = 2,187, a estmatva do desvo padrão do processo calculada com base em 60 observações é gual a 6,823, muto maor do que 2,187.
Para controlar um processo autocorrelaconado devemos espaçar as meddas por um ntervalo de tempo sufcentemente longo. Nesse caso, devemos tomar amostras de tamanho n = 1. Os gráfcos de e de R são substtuídos pelos gráfcos de Observações Indvduas e Ampltude Móvel, ou gráfcos de e MR. Perodcamente se toma apenas uma medda de (característca da qualdade). LSC LM = µ ˆ LIC = µ ˆ 0 + 3σˆ 0 0 = µ ˆ 0 3ˆ σ0 MR = máx{x, x -1 } - mín{x, x -1 } 1 m µ ˆ 0 = = x m = 1 MR ˆ 0 = SD = d m 2 MR = = 2 σ MR m 1 Observar que d 2 é obtdo da tabela aproprada com base em (n = 2).
Para o gráfco MR, os lmtes e a lnha méda são dados pelas expressões usuas para o gráfco R, consderando n = 2. Portanto: LSC MR = LM MR = LIC MR = ˆ µ MR + 3 ˆ σ MR µˆ MR max{ 0,( ˆ µ 3 ˆ σ MR MR )} com ˆ µ d σ, ˆ σ d σ e com d 2 e d 3 calculados para = MR 2 ˆ0 = ˆ MR 3 0 ˆ σ 0 = MR / n = 2, sendo. d 2
Exemplo 1 Tabela 6.5. Valores de e de MR do processo (com ntervalo de tempo de 1 hora) Amostra MR 1 227,02 2 225,17 1,84 3 213,88 11,30 4 215,31 1,43 5 227,67 12,36 18 225,93 3,25 19 216,49 9,43 20 227,74 11,25 = 225,016 MR = 7,102
Gráfco de Ampltude Móvel (MR) 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0 5 10 15 20 Fgura 6.4: Gráfcos de Ampltude Móvel (MR) e Observações Indvduas ()
Gráfco de Observações Indvduas () 250,00 245,00 240,00 235,00 230,00 225,00 220,00 215,00 210,00 205,00 200,00 0 5 10 15 20 Fgura 6.4: Gráfcos de Ampltude Móvel (MR) e Observações Indvduas ()
No Exemplo 1 consderamos amostras de tamanho n = 1 e aumentamos o ntervalo de tempo entre amostras com o objetvo de elmnar a autocorrelação. Como determnar o menor ntervalo de tempo entre amostras? Calcular a função de autocorrelação das observações {r 1, r 2, r 3,...} para dversos espaçamentos de tempo. Verfcar o menor valor de k a partr do qual r k <2/ N, onde N é o número de observações ndvduas usadas no cálculo dos coefcentes de correlação amostras r k. Recomenda-se usar N maor ou gual a 80. O ntervalo de tempo mínmo h será gual a k vezes o espaçamento entre observações consecutvas utlzadas no cálculo dos r k s.
Para N = 150, temos 2/ N = 0,163. Para um espaçamento ncal da sére de 3 mnutos, k = 10 corresponde a h = 30 mnutos, k = 20 corresponde a h = 60 mnutos, k = 40 corresponde a h = 2 horas, etc. Para os dados do banho químco, r 19 = 0,155 < 0,163. Logo, h = 19 x 3 = 57 mnutos devem ser sufcentes para dsspar a autocorrelação. Notar que adotamos k = 20 (h = 1 hora) para garantr a ndependênca com maor margem de segurança. E se o tempo adotado não for sufcentemente longo para dsspar a autocorrelação?
Exemplo 2 Gráfco de Observações Indvduas () 240 238 236 234 232 230 228 226 224 222 220 0 5 10 15 20 25 Fgura 6.5: Gráfcos de Observações Indvduas com h=3mn
Dstrbução da característca da qualdade é a soma de duas parcelas: nível médo de que vara ao longo do tempo (sére autocorrelaconada), e ruído ou varação aleatóra de curto prazo, peça a peça, de méda zero e ndependente no tempo. T1 T2 T3 T4 Tempo Fgura 6.6: Flutuações da Dstrbução de ao Longo do Tempo
Solução: Alargar os lmtes do gráfco de. σ ˆ = S c4 S = m = 1 ( ) m 1 2 m: número de amostras ncas de tamanho n; c 4 determnado por meo de m; ˆµ 0 =. O gráfco de R é o usual, não precsa ser alargado. LSC = µ ˆ 0 + 3σˆ LM = µ ˆ 0 LIC = µ ˆ 0 3σˆ
Exemplo 3 da Volume (ml) 1015 1010 1005 1000 995 990 985 0 10 20 30 40 50 60 70 Número da garrafa Fgura 6.7: Gráfco do Volume de Refrgerante Versus Número da Garrafa
Tabela 6.6: Volume de Refrgerante em Garrafas de 1000,00 ml. Número da Garrafa () Volume + 1 + 2 + 3 + 4 1 1004,38 1009,72 1010,09 1006,77 1006,54 2 1009,72 1010,09 1006,77 1006,54 1001,35 3 1010,09 1006,77 1006,54 1001,35 1000,92 4 1006,77 1006,54 1001,35 1000,92 1004,46 5 1006,54 1001,35 1000,92 1004,46 1002,58 Tabela 6.8: Coefcentes de autocorrelação amostras k r k 1 0,654 2 0,414 3 0,287 4 0,154
Para controlar o processo com gráfcos de (com lmtes alargados) e de R, foram coletadas m = 20 amostras ncas, espaçadas de uma hora, com n = 3 observações cada uma. S m = = 1 ( ) m 1 2 σˆ = S Tabela 6.9: As 20 prmeras amostras do processo Amostra x1 x2 x3 R x 1 1001,47 1001,60 999,53 2,07 1000,87 2 1001,93 994,95 997,46 6,97 998,11 3 1000,74 1003,44 998,54 4,90 1000,91 4 1005,94 1002,98 998,89 7,06 1002,60 c 4 19 1004,45 1008,44 1004,59 3,99 1005,82 20 999,92 997,63 1002,02 4,39 999,86 R = 3,827 x = 999,685 ˆ = 3,314 σ x
Gráfco de Médas 1015,00 1010,00 1005,00 1000,00 995,00 990,00 985,00 0 5 10 15 20 Fgura 6.8: Gráfcos da méda com lmtes alargados e de R: lmtes defntvos
Gráfco de R 10,00 5,00 0,00 0 5 10 15 20 Fgura 6.8: Gráfcos da méda com lmtes alargados e de R: lmtes defntvos