Equações Parciais Em Coordenadas Esféricas

Equações Parciais Em Coordenadas Esféricas Lucas Nobrega Natã Gomes David de Mattos Pereira João Paulo Carvalho Corrêa Ricardo Wertes Motta UFF Depto. de Matemática Aplicada Métodos Matemáticos Aplicados VII, GMA04050 Campus do Valonguinho, Centro, Niterói, R.J., Brasil nobrega9@gmail.com ngomes937@gmail.com davizinhow@hotmail.com joaopauloccorrea@gmail.com pseudon_rj@yahoo.com.br wertesmotta@hotmail.com Resumo: As informações contidas neste artigo oferecem a definição da série de Fourier, partindo de um caso específico, isto é, uma função CP[ π, π] até o caso mais geral da representaçã da mesma no qual o intervalo é substituido por CP[a, b]. Palavras Chave: Séries; Série; Série Fourier; Fourier; intervalo; funções periódicas; período; função seno; seno; função cosseno; cosseno; bases; coeficientes; continuidade; continua; partes Niterói, 7 de outubro de 00

Introducao No campo científico pode se encontrar um desafio de problemas matemáticos. Esses problemas conhecidos como equações diferenciais, na qual relaciona uma função a si mesma e a suas derivadas. Equações diferenciais quando ocorre em múltiplas dimensões são chamadas de equações diferenciais, e será a discussão do trabalho. No entanto, este trabalho pretende discutir a equação de Laplace na qual pode ser resolvida por um processo conhecido como separação de variáveis.

Dedução Laplaciano (Coordenadas Esféricas): Caso Geral: Para coordenadas esféricas temos as relações: x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ e z = r cos θ. No caso geral x, y e z podem ser pensadas como funções de l m e n: x = x l, m, n y = y l, m, n z = z(l, m, n) Assumindo que em domínio D no espaço, estas funções têm derivadas contínuas e podem ser resolvidas para l m e n: l = l x, y, z m = m x, y, z n = n(x, y, z) Escolhemos um ponto M com coordenadas (ε, η, ξ), também representado por M(λ, μ, ν) em termos de l m e n. Se m = μ = constante e n n = ν = constante e variarmos l, obtemos uma curva (lisa) passando por M chamada curva l. Igualmente obtemos a curva m e a curva n. Como mostrado na figura. Podemos ainda introduzir os vetores l 0, m 0 e n 0 junto com as tangentes dessas curvas (na direção de crescimento de l m e n). Isto estabelece um sistema local de eixos. Por conveniência l m e n são escolhidos de maneira que (l 0, m 0, n 0 ) assumam a forma da mão direita. Esse sistema local possui, em geral, as seguintes características que o distingue em relação aos cartesianos i, j e k: ) Eixos podem não ser ortogonais; e os ângulos entre eles podem variar de um ponto a outro. ) A orientação de l 0, m 0 e n 0 (com respeito a i, j e k) pode variar de um ponto a outro, mesmo se os ângulos entre os eixos se mantiverem. 3) Os significados físicos de l m e n podem não ser comprimento, e dl dm e dn não precisam ser iguais aos elementos ds de arco na respectiva direção. Podemos pensar em M definido pelo vetor posição r = xi + yj + zk. Se x y e z são funções de l m e n, temos: R = x(l, m, n)i + y(l, m, n)j + z(l, m, n)k Variando r por dr é o mesmo que variar x, y e z por dx, dy e dz, o que é causado por variar l m e n por dl dm e dn. Temos as seguintes relações gerais: dx = dl + dm + dn

dy = y y y dl + dm + dn dz = z z z dl + dm + dn Se movermos no sentido da curva l, temos dm = dn = 0, e dr assume a forma: dr m, n = dx i + dy j + dz k m, n = Isto define a derivada de r com respeito ao parâmetro l: = dr m, n dl = i + y y z i + j + k z j + k dl Em seu significado, / é vetor na direção l 0. De maneira que l 0 pode ser representado como: l 0 = = y z i + j + k + y + z A quantidade hl = + y + z tem uma interpretação geométrica simples: o comprimento do arco Elemental ds produzido quando apenas l varia é dado por ds = m, n = hldl. De maneira similar são deduzidos: m 0 = = y z i + j + k + y + z ; n 0 = = y z i + j + k + y + z hm = + y + z ; hn = + y + z Supondo agora que a tríplice l 0, m 0, n 0 é uma tríplice ortogonal, temos as relações: + y y + z z = 0 Estas relações são satisfeitas pela maioria dos sistemas de coordenadas na física. Em particular, é válido para sistemas esférico e cilíndrico. Esta análise verifica a característica () dos eixos locais, variando de ponto a ponto. Sendo essa principal característica de sistemas curvilíneos. A característica (3) também é representada, já que alguns parâmetros representam ângulos.

Como regra geral, o deslocamento elementar dr decomposto ao longo do sistema local de eixos: dr = dl + dm + dn = hl dl l 0 + hm dm m 0 + hn dn n 0 Assumindo o sistema local como ortogonal, temos o elemento de arco dado por: ds = dr = h l dl + h m dm + h n dn Por exemplo, no caso de coordenadas esféricas, h r=, h θ= r, h φ= r senθ ds = dr + r dθ + r sen θ dφ Consideremos a análise de coordenadas curvilíneas, verificamos derivação das fórmulas pelos usuais operadores diferenciais. Para expressar gradφ em termos dos novos eixos e novas variáveis, podemos começar com: E depois usar: gradφ = φ φ = φ + φ φ y = φ y + φ φ z = φ z + φ φ φ i + j + y z k + φ y + φ z + φ E ainda expressar i, j, k em termos de l 0, m 0, n 0. Uma maneira mais rápida é utilizar o enunciado: E reescrever na forma: y z gradφ. dr = dφ = φ φ φ dl + dm + dn gradφ. dr = dφ = φ hl hl dl + φ hm φ hm dm + hn hn dn Que segue imediatamente: gradφ = φ hl l 0 + φ hm m 0 + φ hn n 0 Lembrando que dr é arbitrário, e que ao estabelecer dm = dn = 0 obtemos: gradφ = hl. φ, etc.

O cálculo da divergência pode ser obtido da definição geral: div u = lim V 0 (u. ds) V Sem perda de generalidade, V pode ser tirado como elemento de lados ao longo das l, m, n (fig??). Em geral o fluxo pela área Elemental orientada na direção l 0 é dada por: u l. h mdm. h ndn Ao subtrair os fluxos através das áreas M N P Q e MNPQ, não esquecer que tanto ul quanto hm e hn são funções de l, m, n. Deduzimos que fluxo externo através dessas duas faces é: (ulhmhn)dl dm dn Somando as contribuições análogas das outras quatro faces e dividindo pelo elemento de volume (que é hl dl hm dm hn dn) obtemos: div u = hl hm hn (ul hm hn) (um hl hn) (un hl hm) + + Em coordenadas esféricas encontramos l, m, n com r, θ, φ nesta ordem. Então hl = hr =, hm = hθ = r, hn = hφ = r sin θ. Finalmente, a expressão para o Laplaciano é obtida combinando as fórmulas para gradiente e divergente: φ = div grad u = hl hm hn hm hn φ hl + hl hn φ hm + hl hm φ hn No sistema esférico, após simplificação trivial: φ = r φ r + r senθ θ senθ φ θ + r sen θ φ

Emprego do Laplaciano Admitamos que a seguinte solução: φ r, θ, n = R r H θ N(n) Daí, φ = r r φ + r senθ θ φ senθ θ + r sen θ φ = 0 Porem como no caso do exemplo que estaremos resolvendo teremos uma simetria em (n), assim: r sen θ φ = 0 Logo teremos, r φ r + r senθ θ senθ φ θ = 0 Substituindo φ = R r H(θ) r r RH + r senθ θ senθ RH θ = 0 (RH) => RH r r RH R r r R RH + r senθ senθ θ θ RH RH + r senθ senθ θ θ H = 0 = 0 (r ) => R r R = senθ θ senθ RH θ H = β

d(r dr dr ) R dr d Hsenθ dθ = β senθ dh dθ = β Assim, pela primeira sequência teremos uma equação de Cauchy, ou de Euler, que podemos resolver do seguinte modo: Se, Substituindo na equação anterior, temos: Então, r d R dr + r dr dr + β R = 0 R = r p => R = pr p => R = p(p )r p r p p r p + rpr p + β r p = 0 r p p p + p + β = 0 p p + p + β = 0 => p + p + β = 0 p = ± 4 β Logo, se usarmos: n = + 4 β n + = + 4 β Obtendo a seguinte solução: R r = Ar n + B r n+ Assim, podemos dizer que: β = n n + Utilizando este autovalor para determinar a segunda equação do sistema: d Hsenθ dθ senθ dh dθ = β

d(senθ( dh dθ ) + n n + senθ H = 0 dθ Façamos agora ε = cosθ nesta equação, então: Assim, Sabe-se que: dh dθ = dh dε dε dθ = senθd dε dθ senθd dε dθ = sen θ dε dθ = cos θ dε dθ = (ε ) dε dθ d(senθ( dh dθ ) = d dθ dε ε dh dε dε dθ = d dε ε dh dε senθ => d ( ε ) dh dε dε + n n + H = 0 Logo, seu substituirmos H por y e ε por x, teremos a equação de Legendre: x y xy + n n + y = 0 Esta equação pode ser resolvida usando Frobenius onde serão encontradas soluções em forma de series. Admitindo uma solução da forma y = c k x k+β onde o somatório k vai de - a e c k = 0 para k < 0, temos: n(n + )y = n(n + )c k x k+β xy = (k + β)c k x k+β x y = k + β (k + β ) c k x k+β (k + β)(k + β )c k x k+β Então, por adição, = k + β + k + β + c k+ x k+β (k + β)(k + β )c k x (k+β)

0 k + β + k + β + c k+ k + β k + β c k k + β c k + n(n + )c k x (k+β) = e como o coeficiente de x (k+β) deve ser zero, vem k + β + k + β + c k+ + n n + (k + β)(k + β + ) c k = 0 () Fazendo k = obtemos (pois c = 0), a equação indicial β β c 0 = 0 ou, supondo c 0 0, β = 0 ou Caso : β=0 Neste caso, () se torna k + k + c k+ + n n + k(k + ) c k = 0 () Fazendo k=-, 0,,, 3,..., sucessivamente, constatamos que c é arbitrária, enquanto que c = n(n+) c! 0 c 3 = n(n+) c 3! c 4 = 3 n(n + ) 4! c Obtemos, assim, y = c 0 n(n+) x + c x! n (n+) 3! n n n+ (n+3) x 3 + x 4 + 4! (n ) n 3 n+ (n+4) 5! x 5 (3) Como temos uma solução com duas constantes arbitrárias, não precisamos levar em conta o Caso : β= Para um inteiro par n 0, a primeira série acima tem número finito de termos e dá um polinômio como solução. Para um inteiro ímpar, n > 0, a segunda série tem número finito de termos e dá um polinômio como solução. Assim parar qualquer inteiro n 0, a equação admite soluções sob forma de polinômios. Se n = 0,,, 3,, por exemplo, obtemos de (3) os polinômios c 0, c x, c 0 3x, c 3x 5x3 Que são, a menos de constante multiplicativa, os polinômios de Legendre P n x. Escolhe-se esta constante multiplicativa de modo que P n =. A solução em série em (3), que não tem número finito de termos, diverge se x = ±. Esta segunda solução, que é não-limitada para x = ± ou, equivalentemente, para θ = 0, π, é chamada função de Legendre de segunda espécie e é denotada por Q n x. Segue-se que a solução geral da equação diferencial de Legendre pode ser escrita y = c P n x + c Q n x

Se n não é inteiro, ambas as séries são não-limitadas para x = ± A solução da equação de Laplace u = 0 independente de é dada por u = A r n + B r n+ A P n ξ + B Q n (ξ), onde ξ=cosθ. u = RΘ, onde R = A r n + B r n+ E a solução geral da equação em Θ(equação de Legendre) se escreve em termos de duas soluções linearmente independentes P n ξ e Q n ξ como Θ = A P n ξ + B Q n (ξ) As funções P n ξ e Q n (ξ) são as funções de Legendre ª e ª, respectivamente. Assim sendo: u = A r n + B r n+ A P n ξ Pois como u esta limitado em θ=0 a π isto é ξ = ±, devemos dizer que B = 0. Emprego da Solução Determinada )Para o caso de uma esfera homogenia com as seguintes condições: A função de Legendre: P n x = n n! d n dx n (x )

Potencial no interior da esfera, 0 r < a v(a, ϴ) = V, se 0 < Θ < π i. e, 0 < ξ < V, se π < Θ < π i. e, < ξ < 0 Donde A n = n + a n v(a, ϴ) P n (ξ)dξ = n + 0 a n ( V) P n (ξ)dξ + n + a n V P n (ξ)dξ 0 Assim A 0 = 0, A = 3 a V, A = 0, A 3 = 7 8a³ V, A 4 = 0, A 5 = 6a 5 V v(r, ϴ) = V a 3rP (cosθ) 7 4a² r³p 3(cosϴ) + 8a 4 r5 P 5 (cosθ) + Potencial no exterior da esfera, a < r < v(a, ϴ) = V, se 0 < Θ < π i. e, 0 < ξ < V, se π < Θ < π i. e, < ξ < 0 Donde Assim B n = (n + )(an+ ) v(a, ϴ) P n (ξ)dξ = (n + )(an+ ) ( V) 0 P n (ξ)dξ B 0 = 0, B = 3a² V, B = 0, + (n + )(an + ) V B 3 = 7a4 8 V, B 4 = 0, B 5 = a6 6 V P n (ξ)dξ 0

v(r, ϴ) = a²v r 3 r P (cosθ) 7a² 4r³ P 3(cosϴ) + a4 8r 5 P 5(cosϴ) + ) Para o caso de uma esfera homogenia com as seguintes condições: v(a, ϴ) = V, se 0 < Θ < π i. e, 0 < ξ < 0, se π < Θ < π i. e, < ξ < 0 Potencial no interior da esfera, 0 r < a Como v é limitada em r = 0, escolhamos B = 0. Então uma solução é: Ar n P n (ξ) = Ar n P n (cosθ) Por superposição, Quando r = a, Então Donde v(r, ϴ) = A n r n P n (ξ) n=0 v(a, ϴ) = A n a n P n (ξ) n=0 A n = n + a n v(a, ϴ) P n (ξ)dξ = n + a n V P n (ξ)dξ 0

A 0 = V, A = 3 4a V, A = 0, A 3 = 7 6a³ V, A 4 = 0, A 5 = 3a 5 V Assim v(r, ϴ) = V + 3 a rp (cosθ) 7 8a³ r³p 3(cosϴ) + 6a 5 r5 P 5 (cosθ) + Potencial no exterior da esfera, a < r < Como v é limitada quando r, escolhamos A = 0. Então uma solução é: Por superposição Quando r = a B r n+ P n(ξ) = B r n+ P n(cosθ) v(r, ϴ) = n=0 B n r n+ P n(ξ) Então Donde Assim B n = (n + )(an+ ) v(a, ϴ) = n=0 v(a, ϴ) P n (ξ)dξ = (n + )(an+ ) ( V) B n a n+ P n(ξ) 0 P n (ξ)dξ B 0 = 0, B = 3a² V, B = 0, + (n + )(an + ) V B 3 = 7a4 8 V, B 4 = 0, B 5 = a6 6 V P n (ξ)dξ 0 v(r, ϴ) = a²v r 3 r P (cosθ) 7a² 4r³ P 3(cosϴ) + a4 8r 5 P 5(cosϴ) +

Conclusão Tendo em vista tudo que foi abordado aqui podemos perceber que a equação de Laplace é um tema interessante de ser estudado no ponto de vista matemático teórico, pois há uma variedade impressionante de matemática e sistemas físicos, que vão através de uma mecânica de fluidos, eletromagnetismo, potencial, mecânica dos sólidos, condução de calor, na qual se torna indispensável o domínio desse assunto para o profissional dessas áreas.