Consequências Interessantes da Continuidade

Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando alguns exemplos interessantes de consequências desse conceito. Um tipo de problema capaz de chamar a atenção de qualquer aluno de cálculo é Um monge tibetano deixa o monastério às 7:00 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 19:00. No dia seguinte, ele acorda cedo e às 7:00 desce do topo do monte pelo mesmo caminho que usou na ida, chegando ao monastério às 19:00. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge passará exatamente na mesma hora do dia na ida e na volta. O que esse problema poderia ter de cálculo? A resposta está, precisamente, na noção de continuidade e em uma de suas aplicações mais elementares. Ao final da leitura deste o problema do monge será de fácil solução. Neste artigo [a, b] representará o intervalo fechado {x R ; a x b} não degenerado, isto é, b > a. Já (a, b) denotará o correspondente intervalo aberto. Das várias definições equivalentes de continuidade talvez a mais intuitiva seja a seguinte: Mestre em Matemática e Professor do departamento de Matemática da FAFISETE - Sete Lagoas ( fredericor@hotmail.com ). 1

Definição 1. Uma função f : [a, b] R é contínua no ponto x 0 (a, b) se lim f(x) = f(x 0 ) x x0 x 0 = a se lim f(x) = f(a) x a + x 0 = b se lim f(x) = f(b) x b Dizemos que f é contínua se f é contínua em cada ponto x 0 [a, b]. Caso contrário, a função é dita descontínua. São exemplos de funções contínuas algumas das funções mais usuais: os polinômios, como f(x) = x 2 7x + 10, e as funções exponencial, logaritmo, seno e cosseno. Também somas, diferenças, produtos e compostas de funções contínuas são contínuas. O quociente de funções contínuas é contínua nos pontos em que o denominador não se anula. Todas essas propriedades decorrem das dos limites. As funções descontínuas podem ser muito mal comportadas, por exemplo, a clássica função de Dirichlet, { 1, se x Q χ : R R ; χ(x) = 0, se x (R Q) é descontínua em todos os pontos da reta real. A propriedade mais importante das funções contínuas é expressa pelo Teorema do Valor Intermediário. Teorema 2. ( TVI ) Se f : [a, b] R é contínua e f(a) f(b) então dado y entre f(a) e f(b), existe x (a, b) de forma que f(x) = y. A demonstração desse teorema é um tanto técnica e preferimos omití-la. O leitor interessado poderá encontrá-la em [1]. Intuitivamente o TVI assegura que quando uma função é contínua e assume dois valores distintos ela assume também todos os valores intermediários. Assim, se I R é um intervalo e f : I R é uma função contínua então f(i) também é um intervalo. O Teorema do Valor Intermediário é também conhecido como Teorema de Bolzano, em homenagem ao matemático tcheco Bernhard Bolzano ( 1781-1848 ), que o demonstrou analiticamente. Embora já há muito conhecido e utilizado, só no início do século 2

XIX, o TVI foi demonstrado, antes disso todos se apoiavam numa justificativa geométrica. Bolzano nasceu e morreu na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da igreja. Lastimavelmente, suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos. Uma das aplicações mais pitorescasa do TVI é no problema de existência de raízes reais para uma equação. Por exemplo, podemos mostrar que o polinômio q(x) = x 6 7x 3 5 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [0, 2], usando simplesmente o fato de que q(0) = 5 < 0 e q(2) = 3 > 0. Esse mesmo raciocínio pode ser usado para provar, analiticamente, que todo polinômio p(x) a coeficientes reais de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. De fato, podemos supor: p(x) = a 0 + a 1 x + + a 2n+1 x 2n+1, com a 2n+1 > 0, e, neste caso, lim p(x) = + e lim p(x) =. Como toda função x + x polinomial é contínua, naturalmente existem números reais a e b tais que p(a) < 0 e p(b) > 0. Daí, pelo TVI, existe x 0 (a, b) tal que p(x 0 ) = 0. uma outra aplicação elementar é dada pelo resultado seguinte: Teorema 3. Se f : I R contínua e injetiva definida num intervalo I da reta ou é estritamente crescente ou é estritamente decrescente. Demonstração : Vamos fazer por redução ao absurdo. Suponha que f não seja nem estritamente crescente nem decrescente. Então, certamente, existem a, b, c R com a < b < c e tais que: ou f(a) < f(b) e f(b) > f(c) f(a) > f(b) e f(b) < f(c). Por exemplo, no primeiro caso, f(a) < f(b) > f(c) se f(c) < f(a) existiria um ponto x 1 (b, c), tal que f(x 1 ) = f(a), veja as figuras 1 e 2. contrariando a hipótese de injetividade de f. Se f(c) > f(a) então existe x 2 (a, b) tal que f(x 2 ) = f(c), levando a igual contradição. Da mesma forma se dá com o segundo caso. Um teorema tão útil quanto conhecido é o Teorema do Ponto Fixo de Brower, pelo qual toda função contínua f : B n B n, em que 3

Figura 1: Função contínua injetiva Figura 2: Função contínua injetiva B n = {x R n+1 ; x 1} representa a bola unitária n-dimensional, tem um ponto fixo, isto é, existe z B n tal que f(z) = z. Por exemplo, toda função contínua de um disco fechado plano nele mesmo tem um ponto fixo. No caso geral a demonstração desse resultado requer técnicas mais avançadas, mas no caso particular em que n = 1, o teorema segue do Teorema de Bolzanno. Teorema 4. Se f : [a, b] [a, b] é uma função contínua então existe x 0 [a, b] tal que f(x 0 ) = x 0. Demonstração : Defina a função g : [a, b] R por g(x) = f(x) x. Como f(x) é contínua, g também o é. Se f(a) = a ou f(b) = b já temos um ponto fixo e nada nos resta a provar. Portanto, podemos supor f(a) > a e f(b) < b. Assim, g(a) > 0 e g(b) < 0 e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe a < x 0 < b tal que g(x 0 ) = 0, ou seja, f(x 0 ) = x 0. 4

Figura 3: Teorema do Ponto Fixo Geometricamente podemos pensar da seguinte forma: o gráfico de uma função contínua f : [a, b] [a, b] é uma curva contínua inteiramente contida no quadrado [a, b] [a, b], como ilustra a figura 3. Os extremos dessa curva estão necessariamente um na reta x = a e outro na reta x = b. Assim, ou essa curva passa por um dos vértices V a = (a, a) ou V b = (b, b), ou cruza a diagonal := {(x, y) [a, b] [a, b] ; x = y} do quadrado. Em qualquer caso garantimos que f tem um ponto fixo z [a, b]. Exemplo 5. Admitindo que a temperatura T de um ponto qualquer do Equador da terra seja uma função contínua, podemos garantir que, em qualquer instante, existem pontos antípodas 1 do Equador que estão à mesma temperatura. Com efeito, cada ponto do equador pode ser indicado por um ângulo θ R, que representa a longitude desse ponto, em radianos. Note que θ e θ + 2π representam sempre um mesmo ponto e que o ponto antípoda de um ponto de longitude θ tem longitude θ+π. Se T (θ) = T (θ+π) para todo θ então nada temos a provar. Caso contrário, defina G(θ) = T (θ) T (θ + π). Essa função é não-identicamente nula e claramente se G(θ) > 0 então 1 diametralmente opostos 5

G(θ + π) < 0 e vice-versa. Decorre do TVI que existe um θ 0 [0, 2π] tal que G(θ 0 ) = 0, ou seja, T (θ 0 ) = T (θ 0 + π). Na realidade provamos agora um fato mais geral, se S(r) = {p R 2 ; p = r} representa a circunferência de raio r > 0 e centro na origem, temos: Teorema 6. Se f : S(r) R é contínua, então existe f(x) = f( x). x S(r) tal que Com esse fato podemos demonstrar um resultado surpreendente: Teorema 7. Se A e B são regiões limitadas e com áreas finitas de um mesmo plano, então existe uma reta l que as divide simultaneamente ao meio. Demonstração : Como estamos supondo que A e B são limitadas, existe um raio r suficientemente grande para que A e B estejam contidos na região limitada por S(r). Dado x S(r), construímos o diâmetro D x que passa por x ( note que D x = D x ). Por sua vez, cada ponto q de D x pode ser representado, de forma única, por uma coordenada t [0, 2r] que representa a distância de q até x. Vamos agora fixar o ponto x. Para cada t [0, 2r] seja L x t a reta perpendicular ao diâmetro D x passando pelo ponto de D x de coordenada t, como indica a figura 4 a seguir. Podemos então definir duas funções contínuas: a 1 (t), que representa a área da porção de A que situa-se no mesmo plano determinado por L x t que contém x e a 2 (t) que representa a área da porção restante de A. Consideremos agora: f : [0, 2r] R ; f(t) = a 1 (t) a 2 (t). Necessariamente f(0) = f(2r) 0 e, pelo TVI, existe t(x) [0, 2r] tal que f(t(x)) = 0, o que significa que L x t divide A exatamente ao meio. Entretanto não podemos garantir que essa mesma reta também bisseccione B. Ora, mas para cada ponto x S(r) temos uma reta, doravante denotada por l x que parte A ao meio e l x = l x. Defina então b 1, b 2 : S(r) R, de formas a que b 1 (x) represente a área da parte de B contida no mesmo semi-plano determinado por l x que contém x e por b 2 (x) a área da parte restante de B. Pode-se mostrar, com auxílio de alguma geometria, 6

Figura 4: Uma reta que bissecciona duas regiões que essas funções são contínuas, e nesse caso, também será contínua a função g : S(r) R dada por g(x) = b 1 (x) b 2 (x). Note que para cada x S(r), g( x) = g(x), pois x e x estão em semi-planos opostos determinados por l x, l x = l x e, por isso, quando trocamos x por x trocamos entre si B 1 e B 2, isto é, B 1 (x) = B 2 ( x) e B 2 (x) = B 1 ( x). Por outro lado, pelo teorema 6, existe x 0 S(r) tal que g(x 0 ) = g( x 0 ). Mas neste caso, obrigatoriamente g(x 0 ) = 0 e, portanto divide simultaneamente A e B ao meio. l x0 Encerramos propondo alguns probleminhas para diversão do leitor. Exercício 8. Resolva o problema do monge, proposto no início desse artigo. Exercício 9. Mostre que f : R R, dada por { ( sen 1 ) f(x) = x, se x 0 0, se x = 0 satisfaz ao TVI embora não seja contínua. 7

Exercício 10. Seja f : [0, 2] R uma função contínua e suponha que f(0) = f(2). Mostre que existe x 0 [0, 1] tal que f(x 0 ) = f(x 0 + 1). Exercício 11. Seja f : [0, 1] R uma função contínua e suponha que f(0) = f(1). Mostre que, dado um n N qualquer, existe x [0, 1] tal que f(x) = f ( x + 1 n). Exercício 12. Seja f : [a, b] R uma função que só assume valores racionais. Mostre que f é uma função constante. Referências [1] ÁVILA, Geraldo S. de Souza, Análise Matemática para a Licenciatura. São paulo: Edgard Blücher, 2001. [2] Yu A., Cláudio. Fixed Points. Providence: American Math. Soc., 1991. 8