Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Profª Luciana Vasconcellos Contato: lucianacvasconcellos@gmail.com Site: https://sites.google.com/site/profalucianavasconcellos/ Lista de Exercícios Lista individual, valendo nota no º bimestre Manuscrita, RESOLVER NOS DEVIDOS ESPAÇOS Atividades INDIVIDUAIS do º bim de Cálculo Diferencial e Integral 1 Nome completo: Dados de identificação Curso: Marque qual é a sua Engenharia Mecânica Computação Civil Produção Elétrica Contr.Automação Semestre: º RA: Ex 1) Usando a notação de Leibniz, obtenha a derivada a primeira. Simplifique antes e depois sempre que necessário. Mostre os cálculos passo-a-passo. a) V(T) = T 4 3T 3 60 T b) a(x) = x 3/4 + x 5 e X c) F(G) = 5.log (G) 18G + 43 G 9 9 6 Turno (manhã ou noite): Dia da aula: Segunda - feira d) T(w) = R 5/3 3(4R 5) 7 + 9R 9 d) R(v) = 5ln( v) 3 7 v 4v + 18v + 7e Ex ) Multiplique os fatores passo-a-passo para obter a função polinomial. É necessário mostrar seu raciocínio passo a passo. a) y = x.(x ).(x + 4) b) y = x 3.(x + 3)(x )
c) y = x.(x + 5) 3.(x 3) d) y = x 3.(x 1).(4x + 7) Ex 3) Esboce o gráfico das funções abaixo. a) y = x.(x ).(x + 4) b) y = x 3.(x + 3)(x ) c) y = x.(x + 5) 3.(x 3) d) y = x 3.(x 1).(4x + 7) Ex 4) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 9 km, qual a altura atingida pelo avião (em metros)? Cálculos e resposta na forma exata. Ex 5) Uma rampa plana, de 38 m de comprimento, faz ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente em quantos metros? Cálculos e resposta na forma exata. Ex 6) Obtenha o valor de x. Cálculos e resposta na forma exata.: b) a)
Ex 7) A figura a seguir é um esquema que representa uma parte de uma peça de uma determinada máquina da empresa Y. A peça é composta por um apoio geral escuro (horizontal e vertical) e um apoio específíco B para o circulo superior. No esquema, aparecem dois círculos (um inferior e um superior, com 3 cm e 4 cm de raio, respectivamente. Além disso, a barra diagonal entre os círculos tem 4 cm. De acordo com os dados escritos e a geometria dada na figura, qual a altura do suporte B? Ex 8) Um novo jogador de futebol, habilidoso, foi descoberto e está participando da seleção para entrar no time que disputará, caso competente o suficiente, a próxima copa. Ao observar a trajetória da bola chutada em um determinado momento do jogo de seleção, verificou-se que a bola percorreu uma trajetória dada por H(x) = x + 110x 800, em que H é a altura alcançada pela bola e x é a distância percorrida. Quais os valores de x quando a bola toca o chão? Usando derivadas, mostre qual o valor de x em que a bola alcança a altura máxima? Resp: A bola toca o chão em e em e alcança a altura máxima em. Ex 9) Uma empresa descobriu que a quantia de receita obtida para um produto, em que R seja a receita diária (em milhares de reais) e que x é o número de unidades (considere que o número produzido seja igual ao número vendido), é dada por R (x) = x + 58x 645. Sabendo que a empresa deseja uma receita positiva e que, com o maquinário atual, tem capacidade de produzir 7 unidades por dia, mostre, usando os conceitos de derivada, que a receita total máxima que se consegue obter em 0 dias de trabalho com o atual maquinário é de R$ 3.840.000.
Ex 10) Obtenha a função derivada a primeira, a segunda e a terceira de B (x) = 3x 4 5 ln(x) 5.sen(x) 6 usando a notação de Leibniz. Ex 11) Dada a função A(x) = 3.ln (x) 5.(4 x) 3 4, faça todos os cálculos e assinale a alternativa correta. a) x = é um ponto crítico. b) A taxa no ponto x = 1 vale 33. c) A taxa no ponto x = 1/ vale 13/. d) A taxa no ponto x = /3 vale 347/6. e) Nenhuma das anteriores f) Mais de uma alternativa está correta.
Ex 1) Esboce um gráfico que satisfaça as seguintes condições. a) (Exercício 40 do PLT) b) (Exercício 41 do PLT) c) (Exercício modificado do PLT) Ex 13) Se y (x) = 9 x + 3.ln(x), mostre que o valor da derivada a segunda no ponto x = 5/3 resulta em 198/5. Ex 14) Obtenha a equação da reta tangente à parábola y(x) = x² 3x 10 em x = 4.
Ex 15) Qual o valor de T quando A(T) = 0 (sabendo que A é a aceleração em função do tempo), dada que a função 81 7 d S espaço é dada por S( T) T 51. T e sabendo que A( T)? Mostre seus cálculos Passo a Passo e 14 dt depois assinale a alternativa com o valor de T. a) 510/43 b) 104/43 c) 4/43 d) 43 e) 4/3 f) Nenhuma das anteriores 6 686 3 Ex 16) Onde ocorre o ponto crítico da função y ( x) 43x x 4 considerando x > 0? Mostre seus 3 cálculos Passo a Passo e depois assinale a alternativa correta. a) 7/9 b) 7/100 c) 7/343 d) 79/343 e) 686/1458 f) Nenhuma das anteriores
Ex 17) Uma fábrica de pequeno porte tem condições para produzir até 5 unidades (unidades q) de seu produto por hora de produção. Sua função lucro (dada em milhares de reais) é dada por L(q) = q 3 + 6q 104q 30. a) Determine a quantia que deve ser produzida por hora de produção para maximizar o lucro dessa fábrica. b) Determine também qual é o lucro máximo dentro do limite estabelecido. Considere q 0. 16 4 119. Ex 18) Onde ocorre o ponto de inflexão dada a função y ( x) 18ln( x) x x 5x 1. Mostre 3 seus cálculos Passo a Passo, considerando o domínio x R/ x 0 e depois assinale a alternativa com o valor de x. a) 64/119 b) 9/64 c) 3/8 d) 18 e) f) Nenhuma das anteriores
Ex 19) Mostre que a derivada da função composta y(x) = f[g(x)] em que f(x) = 3.ln(x) e g(x) = 9x 4, ao ser simplificada gera 7 4x 9x Ex 0) Sabendo que a derivada a primeira aplicada à um ponto nos fornece a taxa de crescimento (ou decrescimento), encontre essa taxa para cada caso. Alguns dos exercícios abaixo podem precisar do uso da regra extras, como da cadeia, produto ou quociente. a) y(x) = 3x 4 x 3 + 5e x quando x = 3 R: A taxa é do tipo e tem o valor de. b) A(x) = 3.log 4 (x) 5.(3x+) 4 quando x = R: A taxa é do tipo e tem o valor de. c) L(t) = 7.ln (t) + 6.log 5 (t) quando t = R: A taxa é do tipo e tem o valor de.
d) y(h).ln H 9 5 7 H quando H = 11 3 R: A taxa é do tipo e tem o valor de. Ex 1) Obtenha a equação da reta tangente de y( x) 4 3x 4 7x em x =. Ex ) Realize a integral das funções abaixo (integral indefinida) passo a passo. Use a notação corretamente. a) F(x) = 4x 3 9. x 3/4 + 3e x b) F(R) = R 6 + 5R 5/4 85 7 c) F(t) = t + 5t + 3 d) V(x) = 5x 3 + 8x 4e x 3
Ex 3) Encontre a área (em m ) formada pela integral das funções abaixo. Use a notação corretamente. a) F(t) = 6t 4 + com tf = 6 e ti = 5 3 b) F(x) = 3x 3 + com xf = 3 e xi = c) F(x) = 9x 3 +15 com xf = /3 e xi = d) F(t) = 3t + t + 10 com tf = 3 e ti = 1/