Um Modelo Híbrido para Previsão de Produção de Petróleo

Um Modelo Híbrido ara Previsão de Produção de Petróleo Francisca de Fátima do Nascimento Silva Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP fatima@ccet.ufrn.br Adrião Duarte Dória Neto Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP adriao@dca.ufrn.br Resumo: Na engenharia de etróleo uma das atividades essenciais é a estimativa de rodução de óleo existente nas reservas etrolíferas de reservatórios maduros. O cálculo dessas reservas é crucial ara a determinação da viabilidade econômica de sua exlotação. Para tanto, a indústria do etróleo faz uso de técnicas convencionais de modelagem de reservatórios como simulação numérica matemática ara revisão da rodução de etróleo. Diante deste fato, o objetivo fundamental deste trabalho é roor uma metodologia de Análise de s Temorais baseada nos tradicionais modelos estatísticos de Box & Jenkins, que em conjunto com a técnica inteligente de Redes Neurais Artificiais (RNA s), ossibilite a construção de um modelo híbrido de redição de dados de rodução de etróleo, tomando or base a caacidade que a rede tem em arender com a exeriência e artir ara generalização baseada no seu conhecimento révio. Para tanto, a Rede Neural será treinada com a finalidade de estimar e corrigir os erros associados ao modelo estatístico de Temoral, de forma a aroximar a série estimada à série de dados original. Palavras-Chaves: Modelos estatísticos de Box & Jenkins, Redes Neurais Artificiais (RNA s), Curva vazão de etróleo (m³/dia). I. INTRODUÇÃO Em diversas esquisas, é de grande interesse o estudo de métodos de revisão de s Temorais, ou seja, conseguir identificar e redizer algumas características de determinado rocesso num onto futuro. Ultimamente, as Redes Neurais Artificiais (RNA s) vem sendo sugerida or esquisadores em inteligência comutacional ara análise de s Temorais [1-3]. CHAKRABORTY et al.. [4] realizam um estudo emírico sobre revisão multivariada de séries temorais com redes neurais artificiais. POLI e JONES [5] roõem um modelo estocástico de rede neural baseado em filtro de Kalman ara revisão de séries temorais Não Paulo Sérgio Lucio Deartamento de Estatística - DEST sllod@locean-isl.umc.fr Eduardo Henrique S. de Araújo Deartamento de Estatística - DEST ehsa@ccet.ufrn.br lineares. Isto é decorrente da caacidade das RNA s ara tratar com relações não lineares de entrada-saída, destacando sua habilidade de arendizado e caacidade de generalização baseada no seu conhecimento révio [6]. No entanto, alguns outros esquisadores acreditam que em algumas situações esecíficas, onde RNA s têm um desemenho inferior aos modelos estatísticos lineares, a razão ode ser simlesmente o fato dos dados serem lineares, sem muita erturbação. Na literatura, foram roostas várias abordagens lineares ara revisão de séries temorais. O modelo Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA) é um dos modelos lineares mais oulares ara revisão de séries temorais lineares ao longo das últimas três décadas que têm alicações úteis em diversas áreas do conhecimento. Vários esquisadores fazem comarações entre RNA s e os modelos tradicionais de análises de séries temorais em suas alicações esecíficas. DE GROOT e WURTZ [7] comaram RNA s com os modelos estatísticos lineares de Box-Jenkins e modelos Não lineares Threshold (TAR) em revisões de dados de manchas solares. As RNA s e modelos ARIMA são adequados a seus domínios esecíficos Não lineares ou lineares. No entanto, nenhum deles é um modelo universal que é adequado ara todas as circunstâncias [8] [9]. Usando modelos híbridos ou a combinação de vários modelos têm tornar-se uma rática comum, a fim de suerar as limitações de comonentes modelos e melhorar a recisão das revisões. Além disso, uma vez que é difícil saber comletamente as características dos dados de um roblema real. Uma metodologia híbrida que tem tanto recursos de modelagem linear e não linear ode ser uma boa estratégia ara uso rático []. Zhang [11] aresentou um híbrido abordagens ARIMA e RNA ara revisão de séries temorais usando a técnica mencionada. De osse de tais informações, surge a roosta de uma metodologia de análise de s Temorais que faz uso da técnica de Redes Neurais como uma ferramenta de auxílio

na revisão de s Temorais baseada na Metodologia estatística de Box & Jenkins, ossibilitando a construção de um modelo híbrido de revisão de dados de rodução de etróleo. É imortante ressaltar que a metodologia roosta não visa substituir as ferramentas e métodos clássicos de estimar a rodução de reservatórios, como or exemlo, a análise de curvas de declínio de rodução, mas buscar novas metodologias de análise de s Temorais que odem aresentar vantagens em situações que os métodos clássicos (em esecial a simulação numérica) consumam mais temo e recursos comutacionais. II. MATERIAIS E MÉTODOS A. Estruturação da base de dados A base de dados em estudo é referente a dados reais de vazão de etróleo (m³/dia) de um reservatório localizado em um camo da região nordeste do Brasil. A série em estudo foi obtida no eríodo de 31 de julho do ano 1998 até 31 de dezembro de 07, com os dados (vazão (m³/dia)) sendo obtidos com intervalos mensais, totalizando 127 meses de informações. Nas redições foi considerado um número de 12 assos adiante, ou seja, ara elaboração dos modelos de redes neurais e o modelo estatístico de Temoral foi utilizado um eríodo de 115 meses de rodução de óleo ara o referido camo de estudo. Nos dados é ossível verificar que, aroximadamente no 3º ano de rodução (maio de 01) a vazão do reservatório diminui devido à exaustão da sua energia natural, consequentemente o reservatório retém grandes quantidades de hidrocarbonetos. Neste caso, é gerado um estímulo no reservatório or meio da injeção de um fluido (água), cujas funções rimárias são manter a ressão do reservatório e deslocar o óleo em direção aos oços rodutores, aumentando-se assim a vazão de óleo. Neste eríodo a rodução de óleo assa de 5.89 m³/dia ara 38.19 m³/dia. B. Metodologia Para a construção de um modelo híbrido de revisão de dados de rodução de etróleo, inicialmente será realizado o ajuste de um modelo Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA), onde estuda-se a estrutura de deendência entre os dados ara construção de um modelo que se adeque aos dados de vazão (rodução) de óleo (m³/dia), no eríodo de julho do ano 1998 até dezembro de 07, totalizando 127 meses de informações. Para que seja ossível a Rede Neural fazer a estimação e correção dos erros no asso ε (n) utiliza-se uma Rede NARX (Nonlinear Auto-Regressive model with exogenous inut) utilizando o algoritmo de treinamento de Levenberg- Marquardt. Aós uma série de simulações, variando a quantidade de camadas da rede, de neurônios em cada camada e a ordem da memória de linha de atraso, a seguinte arquitetura aresentou o melhor desemenho: Regressor de Saída: a memória de linha de atraso com ordem 2; Camadas Ocultas: três com neurônios Tangente Sigmóide; Camada de Saída: 1 neurônio do tio linear uro. O conjunto de treinamento da rede foi constituído dos 9 rimeiros anos (115 meses) da série e a validação foi feita or meio das redições a 12 assos simles (12 meses). Para constituir a entrada da rede utilizou-se os valores dos dois erros iniciais associados ao modelo ARIMA, ou seja, a rede ossui uma ordem de memória de linha de atrasos igual a 2 (=2). Em seguida, a rede é treinada e fornece a saída obtida que são os erros do modelo ARIMA estimados ela rede. Por fim, é realizada a criação de um vetor contendo zeros nas duas rimeiras osições e as osições seguintes são reenchidas elos erros estimados ela Rede Neural ( ( ), i=3,..., 115), sendo a saída desejada ( ( )) roduzida ela soma entre o vetor de dados gerados elo modelo ARIMA ( ( ) + ( ) ) e o vetor de erros estimados ela rede neural, ou seja, ( ) = { ( ) + ( ) } + ( ). A correção do modelo ARIMA ocorre ao adicionar os erros estimados ela rede neural aos erros do modelo ARIMA. A análise do erro de redição, que corresonde à diferença entre o valor dá série e o valor eserado, obtido através da redição, é utilizada ara determinar se a redição ara uma dada situação é viável ou não. Foi realizado o ajuste de uma rede neural do tio NARX ara simular e corrigir os erros associados ao modelo ARIMA. Outra etaa do estudo consiste em ajustar um novo modelo de rede NARX com a mesma arquitetura, mas ara simular a série original e não os erros associados ao modelo ARIMA, cuja entrada consiste dos atrasos no temo (ordem 2) e fazer comarações com o modelo de Temoral corrigido ela rede NARX inicial. C. Modelos de s Temorais Uma Temoral ode ser vista como um conjunto de observações, geradas sequencialmente no temo [12]. O arâmetro t refere-se ao temo e se o conjunto de instantes de temo for discreto (usualmente t = 0, ±1, ±2,... ) ou contínuo (usualmente < < ), a série será discreta ou contínua, resectivamente. Uma Temoral é uma realização ou trajetória de um rocesso estocástico que é uma família de variáveis aleatórias { ; } definidas num mesmo esaço de robabilidades, onde cada t T,, é uma variável aleatória definida sobre o esaço amostral Ω, assim,, é uma função de dois argumentos, (, ), onde Ω. Para se estudar e analisar s Temorais, esquisadores utilizam os métodos de Box & Jenkins que baseiam-se na roosição de que o valor atual da Temoral é a combinação de valores recedentes e q imactos aleatórios anteriores, mais o imacto atual. Os valores antecedentes formam o comonente auto-regressivo e os q imactos révios formam o comonente de média móvel da série. A modelagem de uma Temoral objetiva, então, a determinação dos valores de e q, seguida da estimação dos resectivos coeficientes da combinação linear.

Em Análise de séries temorais há uma classe de modelos aroriados ara descrever s Temorais nãoestacionárias homogêneas, ou seja, séries que, aesar de não evoluírem em torno de uma média constante ao longo do temo, quando diferenciadas d vezes, tornam-se estacionárias. Dentre as classes de modelos roostos or Box et al. [12], será destacado, neste artigo, o modelo Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA), que ode ser reresentando da seguinte forma: Y = φ Y + φ Y +... +φ Y + a θ a θ a... θ a, (1) que é denominada equação de diferenças, bastante útil ara o cálculo de revisões. Nesta equação, φ até φ são arâmetros que ajustam os valores assados de Y do instante imediatamente anterior até o mais distante reresentado or +d. Os valores de a, ou seja, o comonente de erro da série reresenta uma sequência de choques aleatórios e indeendentes uns dos outros, a é uma orção não controlável do modelo é chamado comumente de ruído branco, se a série em estudo é não estacionaria. Os arâmetros θ até θ ossibilitam escrever a série em função dos choques assados. Em geral, cada a é considerado como tendo distribuição normal, média zero, variância constante e não correlação D. Redes Neurais Artificiais: Redes Multilayer Percetron (MLP s) As RNA s vêm sendo alicadas em várias áreas com bastante sucesso e uma delas é a redição temoral de dados. Além disso, elas ossuem uma série de características imortantes, tais como: generalização, aralelismo, não linearidade, adatabilidade, robustez entre outras [13]. As RNA s se amliaram com o surgimento das redes Multilayer Percetron (MLP s) com unidades que odem estar conectadas às unidades da camada subseqüente, gerando uma robustez e maior desemenho comutacional. As redes com uma ou mais camadas intermediárias ou escondidas são uma extensão dos ercetrons de uma única camada, odendo ser treinadas a fim de realizar maeamentos de natureza comlexa [13]. Uma RNA do tio MLP é constituída or um conjunto de camadas, onde cada camada tem uma função esecífica. A camada de saída (outut layer) recebe os estímulos da camada intermediária e constrói o adrão que será a resosta. As camadas intermediárias funcionam como extratoras de características, seus esos são uma codificação de características aresentadas nos adrões de entrada e ermitem que a rede crie sua rória reresentação, mais rica e comlexa, do roblema. O treinamento da rede neural MLP é realizado com um conjunto de dados conhecidos (conjunto de treinamento) de onde se extrai amostras aleatórias ( x,y ); 1,2,...,P. A rede calcula um vetor de saída o com base no resultado obtido na camada anterior. O vetor saída é comarado ao vetor resosta desejado y. O critério utilizado ara avaliação da erformance da rede é a soma do erro quadrático (SSE): 1 2 F F (yk ok ) (2) 2 k onde, é o índice ara o adrão (exemlo) e k o índice da unidade de saída. O erro das camadas de saída e intermediárias são retroroagados através da rede, fazendo ajustamentos dos esos de suas resectivas camadas. O ajuste dos esos é calculado de acordo com Eq. 3 [14]: em que, w (n 1) o w (n) (3) w ij ij j i é a alteração do eso entre o nó k na camada intermediária e o neurônio i na camada de entrada; > 0, é a taxa de arendizado; j, é o erro do valor observado no neurônio j da camada intermediária; [0,1], é uma constante chamada termo momentum. No resente trabalho a escolha do número de entradas é realizada levando-se em conta estudo reliminar sobre as funções de autocorrelação e autocorrelação arcial da série. Entretanto, a escolha do número adequado de camadas ocultas e os resectivos números de neurônios são encontrados emiricamente realizando-se testes com várias congráficoções da rede e escolhendo-se aquela que aresentou menor erro ara o conjunto de treinamento. E. Rede NARX (Nonlinear Auto-Regressive model with exogenous inut) Uma rede NARX nada mais é do que uma rede MLP cuja entrada consiste da rória saída realimentada com atrasos no temo e uma entrada exógena, também com atrasos e fazer comarações com o modelo de série temoral corrigido ela rede MLP. A arquitetura de uma rede do tio NARX, as saídas estimadas da rede são introduzidas novamente as entradas, ermitindo imlementar a redição de assos múltilos [15]. Esta Rede Neural e um equivalente do modelo estatístico NARX (Nonlinear Auto-Regressive model with exogenous inut), que realiza o seguinte maeamento entrada-saída: y(n) = g(y(n 1),..., y(n l + 1), u(n),..., u(n k + 1)) (4) Onde u(n) e (n) corresondem à entrada e saída da rede no temo t e l e k são, resectivamente, as ordens da saída e da entrada. III. RESULTADOS A. Modelo Linear ajustado ara redição de curvas de rodução de etróleo via modelos de Box & Jenkins Como alicação da metodologia roosta em estudo a riori, foi construído um gráfico da série original e do modelo ajustado (Gráfico 1) com o objetivo de analisar seu ij

comortamento e de verificar visualmente o ajuste do modelo à série estudada. Porém, é ossível verificar que, aroximadamente no 3º ano de rodução (maio de 01) o modelo ARIMA erde sua eficiência e não consegue acomanhar o comortamento dos dados ao longo do temo. Isto se deve ao fato de que neste eríodo o reservatório retém grandes quantidades de hidrocarbonetos aós a exaustão da sua energia natural, ou seja, a vazão diminui. Aós realizar o ajuste de um Modelo de Temoral do tio ARIMA (0,2,1), ou seja, um modelo com duas diferenças na série com o intuito de torná-la estacionária e um comonente média móvel junto aos dados de vazão de óleo (m³/dia). Nos resultados obtidos (Gráfico 1) é ossível verificar que, de forma geral, o modelo ajustado segue os dados. Porém, existem algumas artes da referida série em que o modelo não se ajusta. Para tanto, utiliza-se a técnica de Redes Neurais Artificiais (RNA s) com a finalidade de aroximar a série estimada à série original de, or meio de uma estimação e correção do erro associado ao Modelo de Temoral. Foi construído o gráfico da curva do erro quadrático médio (EQM) de treinamento cujo resultado foi 2,4315 ara até 14 éocas de treinamento (Gráfico 2). Na Gráfico 3 é aresentada uma comaração entre os erros associados ao Modelo de Temoral e os erros estimados elo modelo de RNA, o que ode-se verificar é que aós o treinamento, a Rede Neural foi caaz de estimar os erros associados ao Modelo de Temoral, o que ossibilita utilizar os erros estimados na correção do modelo ARIMA. Este resultado se deve a duas características relevantes das Redes Neurais que é a adatação or exeriência e a caacidade de arendizado. Isto garante um bom ajuste do modelo e uma maior confiabilidade em análises como revisões temorais de dados na série. 50 45 40 35 25 15 Modelo ARIMA(0,2,1) 5 0 40 60 80 0 1 Erro Quadrático Médio (EQM) Erro absoluto Gráfico 2 - Curva do erro quadrático médio (EQM) de treinamento 35 25 15 5 0-5 Éocas Erro-RNA Erro-Modelo ARIMA (0,2,1) - 0 40 60 80 0 1 140 Gráfico 3 - Erro estimado ela RNA versus erro associado ao Modelo ARIMA (0,2,1); O Gráfico 4 aresenta a comaração entre a série original e o modelo ARIMA (0,2,1) com os erros corrigidos ela RNA ara os conjuntos de treinamento e validação. A escolha do número adequado de camadas ocultas e os resectivos números de neurônios são encontrados emiricamente realizando-se testes com várias configurações da rede e escolhendo-se aquela que aresentou menor erro quadrático médio (EQM) ara o conjunto de treinamento. Gráfico 1 - de no eríodo de julho do ano 1998 até dezembro de 07 versus modelo ARIMA (0,2,1).

50 45 40 35 25 15 Modelo ARIMA (0,2,1) corrigido ela RNA Previsão a 12 assos Validação: Previsão a 12 assos associados ao modelo ARIMA, cuja entrada consiste dos atrasos no temo (ordem 2) e fazer comarações com o modelo de Temoral corrigido ela rede NARX inicial O Gráfico 6 ilustra a curva de treinamento da rede neural com a curva da série de vazão (rodução) de etróleo. O algoritmo de Levenberg-Marquardt foi utilizado ara o rocesso de arendizado e a rede foi treinada com 2 sinais de atrasos. O sinal azul reresenta a série real de vazão de óleo, enquanto que a rede neural e reresentada elo sinal verde. O conjunto de treinamento tem os dados de aroximadamente 9 rimeiros anos de rodução, ou seja, 115 meses. 5 0 0 40 60 80 0 1 140 50 40 Modelo RNA Gráfico 4 - original versus Modelo ARIMA (0,2,1) com os erros corrigidos ela RNA NARX. O Gráfico 5 é aresentado com o objetivo de analisar a redição de asso simles com 12 assos adiante, realizada ela rede neural ara a série de de etróleo. Este gráfico mostra os sinais de saída do modelo ARIMA corrigido ela RNA utilizados como reditor de asso simles. O sinal do reditor e reresentado ela linha reta, enquanto série original é reresentada ela linha azul. 0 0 40 60 80 0 1 Gráfico 6 - Treinamento ara a curva de vazão 8.6 8.4 8.2 8 7.8 7.6 7.4 Previsão a 12 assos O Gráfico 7 é aresentado ara analisar a redição de asso simles com 12 assos adiante, realizada ela rede neural ara a vazão de etróleo. Este gráfico mostra os sinais de saída do simulador e da rede NARX utilizada como reditor de asso simles. O sinal do reditor e reresentado ela linha verde, enquanto o sinal gerado ela saída do simulador reresentado ela linha azul. 8.6 8.4 Previsão a 12 assos 7.2 7 0 2 4 6 8 12 Gráfico 5 - Sinal da obtido ela redição de 12 assos B. Predição Não linear de curvas de rodução de Petróleo via Redes Neurais Nesta seção é feito o ajuste de um modelo ara redição Não linear de curvas de rodução de Petróleo. O modelo de rede neural ajustado foi o de Redes NARX com a mesma arquitetura, mas ara simular a série original e não os erros 8.2 8 7.8 7.6 7.4 7.2 0 2 4 6 8 12 Gráfico 7- Sinal da vazão obtido ela redição de 12 assos

Nas Tabelas 1 e 2 são aresentados os erros médios quadráticos encontrados. Fazendo-se uma comaração entre os erros gerados elos dois modelos, foi constatado que, ara o eríodo de treinamento que corresonde a aroximadamente 9 anos e 5 meses iniciais da série, o modelo ARIMA (0,2,1) aresentou um erro quadrático médio (EQM) suerior (12.26) ao erro do modelo ARIMA (0,2,1) corrigido ela RNA NARX (.72), o que confirma o bom desemenho da rede em estimar e corrigir os erros associados ao modelo ARIMA, aroximando a série estimada à série original. Por outro lado, é ossível verificar que a Rede NARX utilizada ara simular a série original aresentou um EQM bem inferior aos dois modelos citados (2,23). Para o eríodo de redição, o modelo ARIMA (0,2,1) aresentou um erro quadrático médio (EQM) inferior (0.0017) ao erro do modelo ARIMA (0,2,1) corrigido ela RNA NARX (2,,,,1) (0.0119) e ao erro da rede NARX (2,,,,1) (0,56). Este resultado se deve ao fato de que nos extremos o modelo ARIMA se adequou muito bem a série, ou seja, quase não aresentou erro, logo a rede neural não tem tanta eficiência em corrigir o erro associado ao modelo ARIMA quando a série não aresenta muitas variações ou erturbações, o que corrobora o fato do modelo ARIMA ser bem ajustado a dados que se distribuem de forma linear ao longo do temo. A Rede NARX (2,,,,1) or sua vez, aresentou nas redições a 12 assos um EQM bem inferior ao erro do modelo ARIMA (0,2,1) corrigido ela RNA NARX (2,,,,1) dois modelos citados (0,56). Porém, o modelo ARIMA foi o que aresentou o menor erro de redição em relação aos dois modelos citados. Models Erros de Treinamento Erro Quadrático Médio (EQM) Model ARIMA (0,2,1) 12.26 Modelo ARIMA (0,2,1) corrigido.72 ela RNA NARX (2,,,,1) Rede NARX (2,,,,1) 2,23 Tabela 1- Erros observados no eríodo de treinamento e de redição ara os modelos ajustados. Models Erros de Predição Erro Quadrático Médio (EQM) Modelo ARIMA (0,2,1) 0.0017 Modelo ARIMA (0,2,1) corrigido ela RNA NARX (2,,,,1) 0.0119 Rede NARX (2,,,,1) 0,56 Tabela 2 - Erros observados no eríodo de redição ara os modelos ajustados IV. CONSIDERAÇÕES FINAIS As considerações finais deste trabalho são as de que, em relação à modelagem or meio do ajuste de um modelo linear, técnica sugerida or Box & Jenkins, concluiu-se que o melhor modelo foi o ARIMA (0,2,1). Os resultados das análises mostraram que a metodologia utilizada fornece informações imortantes sobre o adrão comortamental de s Temorais. Informações tais que auxiliam na elaboração de modelos eficientes referentes à Temoral em questão. Referente à modelagem Não linear da curva de rodução de etróleo or Redes Neurais Artificiais, as várias simulações realizadas (não aresentadas neste texto) ermitiram testar várias arquiteturas de rede, escolhendo a arquitetura adequada às variações da série. Concluiu-se que a melhor arquitetura ara rede é a NARX (2,,,,1), onde foi ossível desenvolver uma RNA caaz de modelar, de forma satisfatória, o comortamento aleatório da série de vazão de óleo, tornando ossível a estimação e correção dos erros associados ao modelo de Box & Jenkins. Também foi ossível generalizar os resultados or meio de redição dos dados da série em estudo. Os resultados aresentados neste trabalho odem sugerir o uso de modelos lineares estatísticos como uma ferramenta adicional às já atualmente utilizadas, como as curvas de declínio e simulação numérica ou ainda em situações que essas ferramentas são de difícil utilização, uma vez que demandam grande temo comutacional. Ressaltando a redução da comlexidade durante as simulações, daí a roosta da elaboração de um modelo híbrido ara redizer dados de rodução de etróleo. Como trabalhos futuros, esta metodologia ode ser emregada na imlementação de roblemas de inteligência artificial, como tomadas de decisão, além de situações ráticas e de grande orte. V. REFERÊNCIAS [1] Y. Chen, B. Yang, J. Dong, A. Abraham, Time-series forecasting using flexible neural tree model, Information Sciences 174 (3 4) (05) 219 235. [2] F. Giordano, M. La Rocca, C. Perna, Forecasting nonlinear time series with neural network sieve bootstra, Comutational Statistics and Data Analysis 51 (07) 3871 3884. [3] A. Jain, A.M. Kumar, Hybrid neural network models for hydrologic time series forecasting, Alied Soft Comuting 7 (07) 585 592. [4] K. Chakraborty, K. Mehrotra, C.K. Mohan, S. Ranka, Forecasting the behavior of multivariate time series using neural networks, Neural Networks 5 (1992) 961 970. [5] I. Poli, R.D. Jones, A neural net model for rediction, Journal of American Statistical Association 89 (1994) 117 121. [6] V. Ediger, S. 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