Vetores Prof. Marco Simões
Ao final dessa aula você deverá saber A diferença entre grandezas escalares e vetoriais Como representar uma grandeza vetorial O que são os componentes de um vetor Como efetuar a soma e subtração de vetores usando suas componentes
Tipos de grandezas Grandezas escalares São definidas por um único valor, ou módulo Exemplos: massa, temperatura, pressão, densidade, carga elétrica, etc Grandezas vetoriais Necessitam, além do módulo, de direção e sentido Exemplos: força, velocidade, peso, campo elétrico, etc Direção: a reta de suporte do vetor Exemplo: o corpo deslocou-se na vertical Sentido: indicado pela seta Exemplo: o corpo deslocou-se verticalmente para cima
Representação geométrica de um vetor Módulo Sentido Direção
Representação: módulo O módulo (tamanho) do vetor corresponde à intensidade da grandeza que o vetor representa. Por exemplo, seguem dois vetores indicando forças, um de 15 N e outro de 11,2 N.
Representação: direção e sentido Retangular: utiliza os componentes do vetor. Os componentes de um vetor são sua projeção nos eixos cartesianos vezes o respectivo versor Versor é um vetor unitário associado a cada eixo Ry=20 R=32 i Rx=25
Representação: direção e sentido Polar: utiliza o módulo do vetor seguido do ângulo que ele forma com o eixo x:!" R = 32N;Θ = 38,7 0
Exemplos nos quadrantes (1 o quadrante)! = 6 / + 2 1 '! = 6,32 '; Θ = 18,43
Exemplos nos quadrantes (2 o quadrante)! = 6 & + 2 ) *! = 6,32 *; Θ = 161,57
Exemplo nos quadrantes (3 o quadrante)! = 6 1 2 2 '! = 6,32 '; Θ = 198,43
Exemplo nos quadrantes (4 o quadrante)
Soma e subtração de vetores Geométrica Demonstração Algébrica Componentes unitários Lei dos cossenos
Exemplo Fazer a soma (v+u) e a subtração (v-u)
Soma Sequência Polígono
Subtração Fazer v+(-u) Polígono
Exemplo
Exemplo Indique a relação correta entre os vetores abaixo: A C B D a. A+B+C+D = 0 b. A+B=C+D c. A+C=B+D d. A-B=C-D e. A+B+C=D
Soma de vetores por componentes Somar os seguintes vetores Vb = 12;θ = 138,4 Va = 11,7;θ = 31
Soma utilizando componentes Decomposição do vetor Va
Soma utilizando componentes Decomposição do vetor Vb &' = 12;! = 138,4 &'/ = 12 0 cos 138,4 = 9 &'5 = 12 0 sen 138,4 = 8 Ou 180!=41,6!=138,4 &'/ = 12 0 cos 41,6 = 9 &'5 = 12 0 sen 41,6 = 8 O sinal vem da interpretação gráfica do vetor 9 = 9 ; + 8 =
Soma utilizando componentes Soma das componentes
Exercícios Dados os vetores na forma polar, expressar na forma retangular: Forma polar Forma retangular V1=15,3;Θ=11,3 V2=11,7;Θ=110 V3=12,7;Θ=45 V4=19,7;Θ=-59,5 V5=13,0;Θ=-147,5
Exercícios Realizar as seguintes operações Operação Resultado, forma retangular Resultado, forma polar V1+V2 V3+V4+V5 V5-V3 V2+V4-V1 V1+V2-V3+V4-V5 V2-V4+V1 V1+V2-V3+V4
Exercícios Preenchaas células vazias: Resultante Va Vb Vc Va=14i+7j Vb=5i-14j Vb=5i-14j V=-3i+13j Vb=-17i+9j Vc=5i-14j V=9i+16j Va=14j Vc=23i-13j V=16i+3j Va=-13i+12j Vb=8i+6j
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Quando necessitamos somar dois vetores, conhecendo o módulo de cada um e o ângulo que eles formam entre si, podemos usar a Lei dos Cossenos. Essa lei diz que, para qualquer triângulo, valem as seguintes regras:
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Suponhamos que dois vetores u=6,3 e v=5,0, formando um ângulo α=110 entre si devam ser somados (para o cálculo da resultante):
Soma vetorial usando a lei dos cossenos A resultante pode ser calculada por movermos um dos vetores paralelamente, de modo a formar um triângulo. No exemplo, o vetor de módulo 5,0 foi movido, resultando num triângulo com ângulo interno β=70! = 180 '
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Aplicando a lei dos cossenos, teremos! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 5,0, 6,3, cos 0! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 5,0, 6,3, cos 180 3! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 5,0, 6,3, cos 180 110! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 5,0, 6,3, cos 70! = 6,6
Soma vetorial usando a lei dos cossenos É mais conveniente utilizar diretamente o ângulo que os vetores formam entre si, neste exemplo α=110 Podemos lembrar que, para qualquer ângulo será verdade que: cos $ = cos 180 $ Ou cos 110 = cos 180 110
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Então, ao invés de:! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 4,0, cos 180 110 Podemos escrever:! " = 5,0 " + 6,3 " 2, 4,0, cos 110! " = 5,0 " + 6,3 " + 2, 4,0, cos 110
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Generalizando, na soma de dois vetores, quando usamos o ângulo entre os vetores (!), fazemos: " # = % # + ' # + 2%' ) cos! No exemplo: R 2 = u 2 + v 2 +2uvcosα R 2 = 5 2 +6,3 2 +2 5 6,3 cos110 R = 6,6 R
Soma vetorial usando a lei dos cossenos O ângulo da resultante poderá ser calculado em relação a um dos vetores dados com a lei dos senos:
Soma vetorial usando a lei dos cossenos Como já sabemos o valor de R, fazemos: 6,6 #$% 70 = 5,0 #$% * * #$% * = #$% * = 0,712 5,0 + #$% 70 6,6 * = 45,4
Exemplo Dados:! = 17,5; ( = 11,3, * = 104. Calcular o módulo da resultante e o ângulo formado por ela com ( / 0 =! 0 + ( 0 + 2!( 3 cos *! / 0 = 17,5 0 + 11,3 0 + 2 3 17,5 3 11,3 3 cos 104 / / = 18,4 8 ( * 180 * * / :;< (180 *) =! :;< 8 18,4 :;< (180 104 ) = 17,5 :;< 8 18,4 :;< 76 = 17,5 :;< 8 :;< 8 3 18,4 = 17,5 3 :;< 76 :;< 8 = 17,5 3 :;< 76 :;< 8 = 0,922 8 = 67,3 18,4