Autoria: Carlos Henrique Dias Tema 04 Função Quadrática e Aplicações Função Quadrática e Aplicações Autoria: Carlos Henrique Dias Como citar esse documento: DIAS, Carlos Henrique. Matemática Aplicada: Função Quadrática e Aplicações. Caderno de Atividades. Anhnaguera Publicações: Valinhos, 2014. Índice CONVITEÀLEITURA Pág. 3 Pág. 4 ACOMPANHENAWEB Pág. 11 Pág. 12 Pág. 16 Pág. 17 Pág. 17 Pág. 18 2014 Anhanguera Educacional. Proibida a reprodução nal ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modicada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma.
CONVITEÀLEITURA Conteúdo Nesta aula, você estudará: Aplicações das funções quadráticas em modelos que envolvem custo, receita e lucro. O processo para encontrar o break-even point no modelo que envolve função quadrática. O ponto de máximo da função quadrática receita. O ponto de máximo da função quadrática lucro. Resolução de problemas aplicados. Habilidades Ao nal, você deverá ser capa de responder as seguintes questões: possível construir modelos matemáticos aplicados à gestão empresarial ou à contabilidade utiliando a função quadrática? Como encontrar o break-even point em um modelo que envolve função quadrática? Como a função receita torna-se uma função quadrática? Receita máxima signica lucro máximo? Função Quadrática e Aplicações Introdução No ema 3, você estudou a caracteriação das funções polinomiais do 2 o grau. Neste tema, você estudará a aplicação dessas funções em problemas que envolvem a área de gestão empresarial e contabilidade, por exemplo, o estudo das funções receita, custo e lucro. Para facilitar, a função polinomial do 2 o grau pode ser chamada de função quadrática, termo que será utiliado muitas vees. Exemplo Prático Em uma loja, o preço de um calçado pode variar de acordo com a demanda. Em geral, a quantidade demandada de um bem aumenta à medida que o preço por unidade diminui. Assim, o preço do calçado pode ser relacionado por uma equação, de forma a permitir que o vendedor determine um preço para uma demanda. Por exemplo, o vendedor percebe que o preço do calçado p pode ser relacionado pela quantidade demandada x do seguinte modo: p = -3x + 300 Então, para vender, por exemplo, 20 calçados x = 20, o preço por calçado será: p = -3 20+300 = -0+300 = 240 reais. Entretanto, se ele deseja aumentar suas vendas e comercialia 40 calçados x = 40, o preço será: p = -3 40+300 = -120+300 = 10 reais Observe que, para vender 20 calçados, o preço deve ser de R 240,00 para vender 40, o preço deve ser de R 10,00. Obviamente, menor o preço, maior o número de calçados vendidos. Para calcular a receita relativa à venda dos calçados, o vendedor multiplica a quantidade vendida pelo preço de cada calçado. Deste modo, a fórmula que fornece a receita relativa à venda de calçados é o preço p vees a quantidade x de
calçados vendidos, ou seja, R = p x. Porém, como o preço já é calculado pela relação p = -3x+300, substituindo p por -3x+300, tem-se: R = p x = -3x+300x R= -3x 2 +300x Perceba que, se o vendedor deseja vender 20 calçados, o preço, como vericado anteriormente, será de R 240,00, e a receita relativa desta venda será: R = p x = 240 20 = 400 reais. A receita também pode ser calculada: R = p x = -320 2 +300 20 = 3400+000 = -1200+000 = 400 reais. A função R= -3x 2 +300x que determina a receita para x sapatos vendidos é uma função quadrática. O gráco da parábola associada a essa função é representado seguindo as etapas a seguir: 1 o a função é R= -3x 2 +300x, então, a = -3, b = 300 e c = 0. 2 o Concavidade neste caso, como a 0 a=-3, a concavidade da parábola é voltada para baixo. 3 o a parábola corta o eixo y em 0, pois c = 0. 4 o deve-se resolver a equação -3x 2 +300x=0. Pela fórmula de hasara: Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x 1 = 0 e x 2 = 100. 5 o a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, x v e y v : A coordenada do vértice da parábola é 50500. o colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Em seguida, traça-se a curva que passa pelos pontos. Figura 4.1 ráco da função R= -3x 2 +300x. possível perceber pelo gráco apresentado na Figura 4.1 que a receita máxima ocorre quando a venda de calçados é igual a 50 x=50 e o valor da receita máxima correspondente é de R.500,00 y = 500. O vértice da parábola fornece
v v máximo ou mínimo de uma função quadrática, basta determinar o vértice da parábola. Figura 4.2 lucro associado será: L = -3x L= - 3x L = -3x Assim como a função receita, a função lucro L = -3x o eterminar coecientes: a função é L= -3x o Concavidade da parábola: 3 o Intercepto com o eixo : =. o Intercepto com o eixo x: deve-se resolver a equação -3x Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x 5 o Vrtice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, x v e y v :
o colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Figura 4.3 da função. do break-even point possível observar esta situação: Figura 4.4 também da função custo.
ACOMPANHENAWEB Acesse o site Mundo Educação. Contém uma breve explicação sobre as funções custo, receita e lucro, juntamente a exemplos Acesse o site Brasil Escola. Contém uma breve explicação teórica e exemplos sobre as funções custo, receita e lucro.. Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera. funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções polinomiais. Assista ao vdeo: Função Lucro. Este vídeo mostra a resolução de um exercício que envolve a aplicação de funções quadráticas na formulação da receita, custo e lucro. Instruções: AGORAÉASUAVEZ Questão 1 x1 x2 Determine a média aritmética das duas soluções encontradas, ou seja, x. 2 b Determine a coordenada x v da parábola, ou seja, resolva: x v. Lembre-se de que x a v mo ou mínimo da parábola. Compare o resultado encontrado pela média aritmética e o vértice da parábola. O que se pode concluir? Atenção: As uestões de 2 a devem ser respondidas com base no enunciado a seguir: da função receita e da função custo.
AGORAÉASUAVEZ Questão 2 a) b) c) d) e) AGORAÉASUAVEZ Questão 3 a) b) c) d) 300. e) Questão 4 break-even point são: a) b) c) d) e)
AGORAÉASUAVEZ Os valores de receita que representam os dois pontos break-even point são: a) R 24.000,00 e R 2.00,00. b) R 24.000,00 e R 0.000,00. c) R 24.000,00 e R 0.000,00. d) R 2.00,00 e R 0.000,00. e) R 0.000,00 e R 0.000,00. Observação: neste caso, os dois valores de receita são iguais aos dois valores de custo, pois se trata do break-even point. Questão 6 Encontre a função lucro de um produto que é comercialiado segundo a função receita R = -2x 2 +00x e fabricado segundo a função custo C = 120x+24000. m feirante nota que o preço do quilo do tomate varia de acordo com a relação p = -2x+1. O gasto total do feirante com os tomates gasto da compra do tomate com o produtor e o transporte é dado pela relação C = 4x+10. Nos dois casos, x representa a quantidade em quilogramas de tomates. Sabendo que a função receita R é dada pela relação R = p. x preço vees a quantidade de tomate comercialiada, obtenha a função receita e esboce o gráco dessa função com o gráco da função custo. Indique o break-even point. AGORAÉASUAVEZ Questão 8 A partir da função receita e do gráco obtido na questão anterior, responda: a Qual a quantidade em quilogramas de tomate a ser comercialiada para que a receita seja máxima? b Qual a receita máxima? Questão 9 Obtenha a função lucro e determine: a Qual a quantidade em quilogramas de tomate a ser comercialiada para que o lucro seja máximo? b Qual o lucro máximo? Esboce o gráco da função lucro indicando os principais pontos, inclusive o break-even even point. FINALIZANDO Neste tema, você aprendeu sobre as aplicações das funções quadráticas em modelos que envolvem receita e lucro. Além isso, você aprendeu a montar o gráco dessas funções, possibilitando a localiação dos pontos de máximo da receita e do lucro, vericando as diferenças teóricas entre ambos. Você também aprendeu a encontrar o ponto de equilíbrio entre as funções custo e receita, o break-even point, permitindo a localiação do intervalo de lucro.
REFERÊNCIAS Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade Matemática Aplicada à Administração e Economia GLOSSÁRIO Break-Even Point mercado, durante uma unidade de tempo. no sistema cartesiano, o eixo das ordenadas é o eixo y, aquele comumente representado na vertical. Questão 1 GABARITO A solução da equação x 0 x. ( 12) O ponto que representa X 6 v. 2 2 Portanto, a coordenada do vértice da parábola pode ser calculada por meio da média aritmética dos interceptos da Questão 2 Alternativa D.
GABARITO Questão 3 esposta: Alternativa C. Observe o gráco: Questão 4 esposta: Alternativa C. Observe o gráco: Questão esposta: Alternativa D. GABARITO Observe o gráco: Questão 6 esposta: L = R-C = -2x 2 +00x 120x+24000 L = -2x 2 +00x-120x-24000 L = -2x 2 +0x-24000 Questão esposta: a R = -2x+1. x R = -2x 2 + 1x. b A partir dos pontos importantes da parábola, o gráco cará:
GABARITO Questão 8 esposta: v v Questão 9 esposta: b x v a x v x v x v 3 Questão 1 GABARITO esposta: