NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS - 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA 1. Introdução. - TÓPICOS DAS AULAS - 2. Equações de Laplace e de Poisson. 3. Teorema da unicidade. 4. Procedimento geral para resolver a equação de Laplace ou de Poisson. 5. Aplicação da equação de Laplace em duas dimensões. 6. Resistência, capacitância e energia armazenada. 7. Método das imagens.

Introdução Na maioria das situações práticas, nem a distribuição de cargas, nem a distribuição de potencial são conhecidas. Neste capítulo, consideraremos problemas práticos de eletrostática onde somente as condições eletrostáticas (carga e potencial), em algumas fronteiras de uma determinada região, são conhecidas, e é desejável determinar tanto o campo elétrico quanto o potencial escalar elétrico ao longo de toda a região. Esses problemas são usualmente referidos como problemas de valor de fronteira.

Equações de Laplace e de Poisson Considerando um meio linear, temos que Ñ D = Ñ e E = r v e Portanto, E = -ÑV Ñ æ ç è - ö e ÑV = r ø v Equação de Poisson Para um meio não-homogêneo

2 Ñ V = - r v e Equação de Poisson Para um meio homogêneo Para uma região livre de cargas (ρ v =0), temos que 2 Ñ V = 0 Equação de Laplace Para um meio homogêneo A equação de Laplace é de fundamental importância na solução de problemas de eletrostática envolvendo um conjunto de condutores mantidos em diferentes potenciais. Exemplos de tais problemas envolvem capacitores e válvulas eletrônicas.

1. Laplaciano de um escalar Laplaciano de um escalar O Laplaciano de um campo escalar V representa a operação do divergente do gradiente de V [div ( grad V )]. Dessa forma, em coordenadas cartesianas, obtemos 2 Ñ V = 2 x V 2 + 2 y V 2 + 2 z V 2

Em coordenadas cilíndricas, Em coordenadas esféricas, 2 2 2 2 2 2 1 1 z V V V V + + ø ö çç è æ = Ñ f r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1 f q q q q q + ø ö ç è æ + ø ö ç è æ = Ñ V r V r r V r r r V

Teorema da unicidade Já que existem vários métodos (analíticos, gráficos, numéricos, experimentais, etc.) para resolver um determinado problema, pdoeríamos questionar se resolver a equação de Laplace de diferentes maneiras resultaria em diferentes soluções. Anter de começarmos a resolver a equação de Laplace, precisamos responder à seguinte pergunta: se a solução da equação de Laplace satisfaz um dado conjunto de condições de fronteira, será essa a única solução? A resposta é sim, existe apenas uma única solução. Dizemos que a solução é única. Portanto, qualquer solução da equação de Laplace que satisfaça as mesmas condições de fronteira deve ser a única solução, independentemente do método escolhido para determiná-la.

Esse é conhecido como o teorema da unicidade e se aplica a qualquer solução da equação de Laplace, ou da equação de Poisson, em uma dada região, ou superfície fechada. TEOREMA DA UNICIDADE: se uma solução da equação de Laplace, que satisfaça as condições de fronteira, pode ser encontrada, então a solução é única. Antes de começarmos a resolver problemas de valor de fronteira, devemos ter em mente três características que descrevem univocamente um problema: 1. A equação diferencial apropriada. 2. A região de interesse para a solução. 3. As condições de fronteira.

Um problema não tem solução única, e não pode ser resolvido completamente se não for considerado algum desses três itens.

Procedimento geral para resolver a equação de Laplace ou de Poisson O seguinte procedimento geral pode ser adotado ao resolver um dado problema de valor de fronteira envolvendo a equação de Laplace ou de Poisson: 1. Resolver a equação diferencial de Laplace, ou de Poisson, utilizando a integração direta, quando o potencial escalar for função de uma variável, ou separação de variáveis, quando o potencial escalar for função de mais de uma variável. A solução, nesta etapa, não é única, mas sim expressa em termos de constantes de integração a serem determinadas.

2. Aplicar as condições de fronteira para determinar uma solução única do potencial escalar elétrico, partindo do pressuposto de que para determinadas condições de fronteira existe uma única solução. 3. Tendo obtido o potencial escalar elétrico, obter o campo elétrico (E = V ), a densidade de fluxo elétrico ( D = εe ) e a densidade de corrente de condução (J = σe). 4. Se desejado, encontrar a carga Q, induzida em um condutor, fazendo Q = ρ. ds, em que ρ 2 = D 3 e D 3 é a componente de D normal ao condutor. 5. Se necessário, a capacitância entre dois condutores pode ser encontrada fazendo C = 5 6, ou a resistência de um objeto pode ser encontrada fazendo R = 6 8, em que I = J : ds.

Exercícios 1. Em um dispositivo unidimensional, a densidade de carga é dada x por r. Se em x=0 e V=0 V em x=a, determine v = r 0 E = 0V/m a V e E. 2. Dois cones condutores (θ=π/10 e θ=π/6), de extensão infinita, estão separados por um espaçamento infinitesimal em r=0. Se V(θ=π/10)=0 V e V(θ=π/6)=50 V, determine V e E entre os cones.

Aplicação da Equação de Laplace em Duas Dimensões Determinar a função potencial para a região dentro de uma calha de seção reta retangular e de comprimento infinito, cuja seção reta está mostrada na figura 1. y a 4 1: V=0 V 2: V=0 V 3: V=0 V 4: V=V 0 V 1 3 0 2 b x Figura 1

Equação de Laplace em três dimensões no sistema de coordenadas cartesianas:! 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 Como o potencial escalar elétrico varia apenas nas direções x e y, tem-se que:! 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0

Condições de fronteira para o potencial escalar elétrico: V ( x = 0; 0 y a) = 0 V V ( 0 x b; y = 0) = 0 V V ( x = 0; 0 y a) = 0 V V ( 0 x b; y = a) = V V 0

Método da separação de variáveis: V ( x, y) = X ( x)y ( y) 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0 Equação de Laplace em duas dimensões X ''( x) X ( x) + Y '' ( y ) Y ( y) = 0 X '' ( x ) X ( x) = Y '' ( y ) Y ( y) = λ

Método da separação de variáveis: V ( x, y) = X ( x)y ( y) 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0 X ''( x) X ( x) + Y '' ( y ) Y ( y) = 0 Substituição de V(x,y) na equação de Laplace. X '' ( x ) X ( x) = Y '' ( y ) Y ( y) = λ

Método da separação de variáveis: V ( x, y) = X ( x)y ( y) 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0 X ''( x) X ( x) + Y '' ( y ) Y ( y) = 0 X '' ( x ) X ( x) = Y '' ( y ) Para satisfazer a Y ( y) = λ igualdade, ambos os lados devem ser iguais a uma constante.

Método da separação de variáveis: V ( x, y) = X ( x)y ( y) 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0 X ''( x) X ( x) + Y '' ( y ) Y ( y) = 0 X '' ( x ) X ( x) = Y '' ( y ) Y ( y) = λ Constante de separação.

Método da separação de variáveis: X ''( x) + λx ( x) = 0 Y ''( y) λy ( y) = 0 Equações separadas.

Separação das condições de fronteira: 1. V ( 0,y) = X ( 0)Y ( y) = 0 V X ( 0) = 0 2. V ( x, 0) = X ( x)y ( 0) = 0 V Y ( 0) = 0 3. V ( b,y) = X ( b)y ( y) = 0 V X ( b) = 0 4. V ( x, a) = X ( x)y ( a) = V V Inseparável 0

Caso 1 (λ=0): X ''( x) + λx ( x) = 0 X ''( x) = 0 X ( x) = Ax + B Substituindo pelas condições de fronteira (1 e 3): X ( 0) = B = 0 X ( b) = A.b = 0 A = 0

X ( 0) = B = 0 X ( b) = A.b = 0 A = 0 X ( x) = 0 Solução Trivial.

X ( 0) = B = 0 X ( b) = A.b = 0 A = 0 X ( x) = 0 Solução Trivial. λ 0 para que X(x) satisfaça V(x,a)=V 0 V.

Caso 2 (λ<0): λ<0 è λ=-α 2, logo: X ''( x) + λx ( x) = 0 X ''( x) α 2 X ( x) = 0 X ( x) = A e αx + A e αx 1 2 X ( x) = k cosh( αx)+ k senh( αx) 1 2

Substituindo pelas condições de fronteira (1 e 3): X ( 0) = k cosh( 0)+ k senh( 0) = 0 k = 0 1 2 1 X ( b) = k senh( αb) = 0 k = 0 2 2 X ( x) = 0 Solução Trivial.

Substituindo pelas condições de fronteira (1 e 3): X ( 0) = k cosh( 0)+ k senh( 0) = 0 k = 0 1 2 1 X ( b) = k senh( αb) = 0 k = 0 2 2 X ( x) = 0 Solução Trivial. λ não pode ser menor que zero para que X(x) satisfaça V(x,a)=V 0 V.

Caso 3 (λ>0): λ>0 è λ=β 2, logo: X ''( x) + λx ( x) = 0 X ''( x) + β 2 X ( x) = 0 X ( x) = A e jβx + A e jβx 1 2 X ( x) = k cos( βx)+ k sen( βx) 1 2

Substituindo pelas condições de fronteira (1 e 3): X ( 0) = k cos( 0)+ k sen( 0) = 0 k = 0 1 2 1 X ( b) = k sen( βb) = 0 sen( βb) = 0 2 sen( βb) = sen( nπ ) = 0 β = nπ b n =1, 2,3,...

Para um dado n, tem-se que: X n! ( x) = g sen nπ n # " b x $ & %

Sabendo-se que λ>0, tem-se que: Y ''( y) β 2 Y ( y) = 0

Sabendo-se que λ>0, tem-se que: Y ''( y) β 2 Y ( y) = 0 Termo menor que zero (-β 2 <0).

Sabendo-se que λ>0, tem-se que: Y ''( y) β 2 Y ( y) = 0 Similar ao Caso 2, onde λ<0 è λ=-α 2. Termo menor que zero (-β 2 <0).

Sabendo-se que λ>0, tem-se que: Y ''( y) β 2 Y ( y) = 0 Similar ao Caso 2, onde λ<0 è λ=-α 2, logo: Termo menor que zero (-β 2 <0). Y ( y) = k cosh( βy)+ k senh( βy) 1 2

Substituindo pela condição de fronteira (2): Y ( 0) = k cosh( βy)+ k senh( βy) = 0 k = 0 1 2 1 Y ( y) = k senh( βy) 2 Para um dado n, tem-se que: Y n! ( y) = h senh nπ n # " b y $ & %

Substituindo X n (x) e Y n (y) na expressão do potencial escalar elétrico de variáveis separadas, tem-se que: V n ( x, y) = X ( x)y ( y) n n

Substituindo X n (x) e Y n (y) na expressão do potencial escalar elétrico de variáveis separadas, tem-se que: V n ( x, y) = X ( x)y ( y) n n V n! ( x, y) = g sen nπ n # " b x $! &h senh nπ % n # " b y $ & %

Substituindo X n (x) e Y n (y) na expressão do potencial escalar elétrico de variáveis separadas, tem-se que: V n ( x, y) = X ( x)y ( y) n n V n! ( x, y) = g sen nπ n # " b x $! &h senh nπ % n # " b y $ & % Para cada valor de n, tem-se uma solução da equação de Laplace.

Substituindo X n (x) e Y n (y) na expressão do potencial escalar elétrico de variáveis separadas, tem-se que: V n ( x, y) = X ( x)y ( y) n n V n! ( x, y) = g sen nπ n # " b x $! &h senh nπ % n # " b y $ & % Para cada valor de n, tem-se uma solução da equação de Laplace. Pelo teorema da superposição, tem-se que:! ( ) = c sen nπ n # " b x V x, y n=1 $! &senh# nπ % " b y $ & %

Substituindo pela condição de fronteira (4), tem-se que:! ( ) = c sen nπ n # " b x V x, a $! &senh# nπ % " b a $ & = V % 0 n=1

Substituindo pela condição de fronteira (4), tem-se que:! ( ) = c sen nπ n # " b x V x, a $! &senh# nπ % " b a $ & = V % 0 n=1 Representando uma expansão em série de Fourier de V 0.

Multiplicando-se ambos os lados da equação de V n (x,a) por sen(mπx/b) e integrando x de 0 a b. Sabendo-se que, pela propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno: π sen( nx)sen( mx)dx = 0 # 0; m n % $ % & π 2 ; m = n

Tem-se que: c m = ( * ) 4V 0 " m π senh$ mπ # b a % ' & * + * 0; m par ; m ímpar

Substituindo c m na equação de V(x,y), tem-se que: V ( x, y) = 4V 0 π n=1,3,5,...! sen# nπ " b x $! &senh# nπ % " b y $ & %! n senh# nπ " b a $ & %

Substituindo c m na equação de V(x,y), tem-se que: V ( x, y) = 4V 0 π n=1,3,5,...! sen# nπ " b x $! &senh# nπ % " b y $ & %! n senh# nπ " b a $ & % Observando a distribuição de potencial na calha, pode-se tirar algumas conclusões: Ao longo de x, o potencial varia de forma senoidal. Ao longo de y, o potencial varia de forma exponencial. Para se determinar o potencial em algum ponto da calha, toma-se alguns termos da série infinita convergente.

Resistência, capacitância e energia armazenada Considerando um condutor, temos R R = = V I ò ò E d l s E d S Seção reta uniforme Seção reta não-uniforme O problema de determinar a resistência em um condutor de seção reta não-uniforme pode ser tratado como um problema de valor de fronteira.

Utilizando a equação R = E : dl σe : ds, a resistência R, ou condutância G = @, de um dado material A condutor, pode ser encontrada conforme os seguintes passos: 1. Escolher um sistema de coordenadas apropriado. 2. Considerar V como a diferença de potencial entre os terminais condutores. 3. Resolver a equação de Laplace para obter o potencial escalar elétrico.

4. Determinar o campo elétrico (E = V ) e a corrente BI = σe : ds C. 5. Finalmente, obter a resistência como R = 6 8. Essencialmente, assumimos um valor V, determinamos I e, a partir desses, determinamos R. De maneira alternativa, podemos assumir um valor de corrente I, determinar a diferença de potencial V e determinar R, a partir de 6 8.

De modo geral, para termos um capacitor, precisamos ter dois (ou mais) condutores carregados com cargas iguais e de sinais contrários. Os condutores são, por vezes, referidos como as placas do capacitor, podendo estar separados pelo espaço livre ou por um dielétrico. As placas podem estar separadas por espaço livre ou por um dielétrico. Considere o capacitor de dois condutores ilustrado na figura 2. Figura 2

Os condutores são mantidos sob uma diferença de potencial V dada por V onde se assume o campo elétrico existente entre os condutores e que o condutor 1 está carregado positivamente. E = V - V = - ò d l 1 2 1 2 Definimos a capacitância (C) do capacitor como a razão entre o valor da carga, em uma das placas, e a diferença de potencial entre elas, ou seja, C = Q V = e ò ò E d E d S l

O sinal negativo foi desconsiderado pois estamos interessados no valor absoluto de V. A capacitância é uma propriedade física do capacitor e é medida em farads (F).

Utilizando a equação C = Q V = e ò ò E d E d S l C pode ser obtida, para qualquer capacitor de dois condutores, seguindo um desses dois métodos: 1. Assumindo um valor de Q e determinando V em termos de Q (utilizando a lei de Gauss). 2. Assumindo um valor de V e determinando Q em termos de V (utilizando a solução da equação de Laplace).

Considerando o primeiro método, precisamos: Escolher um sistema de coordenadas apropriado. Atribuir, às duas placas condutoras, as cargas de +Q e Q. Determinar o campo elétrico usando a lei de Coulomb, ou de Gauss, e encontrar o potencial escalar elétrico, a partir de V = E : dl. O sinal negativo pode ser ignorado, nesse caso, porque estamos interessados no valor absoluto de V. Finalmente, obter a capacitância a partir de C = 5 6.

O produto entre as expressões da resistência e da capacitância R = E d l σ E d S C = Q V = e ò ò E d E d S l fornece a seguinte relação RC = ε σ Válida somente quando o meio é homogêneo. A resistência se refere às perdas entre os condutores, logo a condutividade é do meio dielétrico que separa os condutores.

Sabendo-se que a energia armazenada em um campo eletrostático é dada por W E 1 1 = ò D E dv = òe 0 E dv 2 2 2 A energia armazenada por um capacitor é dada por W E = 1 2 CV 2 = 1 2 QV = Q2 2C

Exercício 3. Obter as expressões da capacitância, da resistência e da energia eletrostática armazenada considerando os seguintes casos: a) Capacitor de placas paralelas. b) Capacitor coaxial. c) Capacitor esférico.

De acordo com a teoria de circuitos, se dois capacitores com capacitância C 1 e C 2 estão em série (possuem a mesma carga), a capacitância total é dada por: 1 1 1 C 1 = + C T C 1 C 2 C 2 Figura 3

Se dois capacitores com capacitância C 1 e C 2 estão em paralelo (possuem a mesma voltagem aplicada entre as suas placas), a capacitância total é dada por: C + T = C C C 1 2 1 C 2 Figura 4

Exercício 4. Se a figura 5 representa as seções retas de dois capacitores esféricos, determine suas capacitâncias. Sejam a=1 mm, b=3 mm, c=2 mm, ε r1 =2,5 e ε r2 =3,5. Figura 5

Exercício 5. Determine a capacitância de cada um dos capacitores da figura 6. Considere ε r1 =4, ε r2 =6, d=5 mm e S=30 cm². Figura 6

Método das imagens Introduzido por Lord Kelvin em 1848, é comumente utilizado para determinar V, E, D e ρ 2 associados a cargas na presença de condutores. Por esse método, evitamos resolver a equação de Laplace, ou de Poisson, ao considerar o fato de que uma superfície condutora é equipotencial. Embora o método não se aplique a todos os problemas de eletrostática, ele pode reduzir a complexidade de solução de alguns deles.

A teoria das imagens estabelece que uma dada configuração de carga próxima a um plano infinito condutor perfeito aterrado pode ser substituída pela própria configuração de carga, por sua imagem, e por uma superfície equipotencial no lugar do plano condutor. Exemplos típicos de configurações de carga, tais como a carga pontual, a linha de cargas, e um volume de cargas, bem como suas correspondentes configurações de imagem estão ilustrados na figura 7. Figura 7

Ao aplicar o método das imagens, duas condições devem ser satisfeitas: A(s) carga(s) imagem deve(m) estar localizada(s) no interior da região condutora. A(s) carga(s) imagem deve(m) estar localizada(s) de tal modo que o potencial na superfície condutora seja zero ou constante. A primeira condição é necessária para satisfazer a equação de Poisson, e a segunda garante que as condições de fronteira sejam satisfeitas.

Exercício 6. Carga pontual próxima de um plano aterrado, conforme ilustrado na figura 8. Figura 8

Exercício 7. Linha de carga próxima de um plano condutor aterrado.

Referências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição 2012. Editora Bookman.

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS - 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017