e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP 8 Moimento do Projétei Eercício Reolido Eercício Reolido 8.1 A figura ilutra a ituação na ual em um determinado intante um projétil de maa m = kg ai da boca de um canhão. A condiçõe iniciai ão epecificada na Figura 8.5. O referencial carteiano é também apreentado nea figura. Adotaremo, ademai, o intante inicial igual a zero t =. Figura 8.5: Eemplo de condiçõe iniciai. a) Ecreer a componente da aceleraçõe a e a do projétil. b) Quai a condiçõe iniciai do moimento dete projétil? c) Ecreer a euaçõe horária da componente do etor elocidade e do etor poição. d) Qual a poição, ou eja a coordenada e, e a elocidade do projétil (ou ua componente) no intante t = 4? Reolução a) Coniderando deprezíel a reitência do ar e g = 1 m/, a componente da aceleração do projétil ão: a = e a = g = 1 m/. b) Conforme a euaçõe 8.4, coniderando-e o referencial adotado e o dado fornecido, a condiçõe iniciai ão: = ( t)= 3co( 53 ) i + 3en ( 53 ) j = 18i + 4. j ( m) r( t )= i + hj = 765 j e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP c) Adotando-e o itema internacional de unidade, a euaçõe horária do moimento do projétil para a condiçõe iniciai dada acima ão: a = = 18m/ ( t) = 18t a = g = 1m/ = 4 1t t 765 4t 5t² ()= + d) Utilizando a euaçõe horária do moimento já etabelecida no item anterior, obtemo para o alore da coordenada, no intante de tempo t = 4 : t ( = 4 )= 18 4 = 4. 3m ( t = 4 )= 765 + ( 4 4) 54 ( ) = 3. 645m e para a componente da elocidade: ( t = 4)= 18m/ ( t = 4)= 4 ( 1 4)= Obere ue, endo (t = 4 ) =, a elocidade do projétil nee intante é: = i + j = 18i Ou eja, ua elocidade é na direção horizontal, nee intante de tempo. Eercício Reolido 8.: Conidere o moimento do projétil do Eercício reolido 1. Ecrea a euação da trajetória e eboce o repectio gráfico. Reolução Conforme intetizado na euaçõe 8.4, uma forma de e obter a euação da trajetória é eliminar a ariáel t na euaçõe da abcia (t) e ubtituí-la na ordenada (t) do moimento. Aim, do item (c) do Eercício reolido 1, temo: t 18t ()= t 765 4t 5t ()= + Da primeira euação temo t = ( / 18) ue, ubtituído na egunda, reulta: ( )= + 4 1 765 3 6. 48 Para eboçar o gráfico, é intereante aber em uai ponto a trajetória do projétil cruza o eio da abcia. Io correponde a determinar a raíze de um polinômio do egundo grau. Fazendo () = na euação acima, obtemo: 1 + 4 + 765 = 6. 48 3 Leando-e em conta ue: = b 4ac =( 4 3) 4 1 ( 765)= 5, 6. 48 e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP E, lembrando a epreão da raíze de um polinômio do egundo grau, obtemo: b = ± = 4 ± = 4 5, ± 15, 3 3 a 1 1 6. 48 3. 4 = 4. 3 4. 86 Portanto, temo dua oluçõe: ' = 4. 3 4. 86 = 54m e '' = 9. 18m. Ademai, o coeficiente de ² é negatio, o ue implica ue a concaidade da parábola é oltada para baio. O conhecimento da raíze e da concaidade da parábola facilita o eboço da trajetória no plano. O reultado é apreentado na Figura 8.6. Figura 8.6: Trajetória do projétil no plano ue contem a órbita. Sabemo ue um polinômio de egundo grau tem, como nee cao, dua raíze. No entanto, em determinado problema, deemo decartar uma dela. Nee cao epecífico, a raiz = 54 m não tem ignificado fíico, poi a bola é lançada do ponto (; 765 m). Aim, a trajetória real ó lea em conta o ponto do epaço tai ue ua coordenada ão poitia, ito é: e. Eercício Reolido 8.3: Conidere o moimento do projétil do Eercício reolido 1. Determine a coordenada do ponto de altura máima alcançada pelo projétil. Reolução A altura máima pode er determinada a partir da euação 8.6. E io reuer o conhecimento do alore de e (uma ez ue g é uma grandeza conhecida). De acordo com o dado, = 3 m/ e = 53 ; logo, a componente ertical da elocidade inicial é = en( θ )= 3 8, = 4m/. A ordenada, no ato de lançamento e conforme o enunciado, é = 765 m. Logo, de acordo com 8.6, a altura máima é dada por: h ma ( ) m/ = + = m + ( ) 4 765 g 1 m/ = 765 m+. 88 m= 3.645 m Podemo determinar amba a coordenada aociada à altura máima. Para tal, deemo começar pela determinação do tempo para o ual a componente ertical da elocidade do projétil é nula. Ou eja, = gt m =. Deta condição, determinamo t m : = 4 1( t ) t = 4 Subtituindo ee alor em (t) = 765 + 4t 5t, determinamo ma = h ma. m m e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP hma = 765 + 4( 4) 5( 4) = 3. 645m. Ete alor correponde à coordenada do ponto de altura máima. Para o alor da coordenada deemo ubtituir o alor t m = 4 em (t) = 18 t; determinamo com io a abcia do ponto de altura máima, ou eja, m = 18(4) = 4.3 m. Portanto, o ponto cuja coordenada ão (4.3 m, 3.645 m) é o ponto de altura máima do projétil. A Figura 8.7 ilutra o ponto de altura máima e de outra caracterítica do moimento etudado. Atente para a caracterítica dee ponto, de ter elocidade ertical nula: =. Figura 8.7: Valore de algun parâmetro releante no moimento etudado. Eercício Reolido 8.4: Conidere o moimento do projétil do Eercício reolido 1. A partir do dado, determinar: a) O tempo de oo (ue, nee cao, é o tempo de ueda) do projétil; b) O alcance do projétil; c) O módulo da elocidade uando do impacto contra o olo. Reolução A Figura 8.1 ilutra a trajetória parabólica e o ponto de impacto do projétil contra o olo. Figura 8.1: Tempo de oo, ou de ueda, e o alcance. A euaçõe báica dete problema foram determinada no Eemplo 1. O uadro abaio apreenta um reumo da euaçõe horária para ee cao: a = = 18m/ ( t) = 18t a = g = 1m/ = 4 1t t 765 4t 5t² ()= + e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP a) Determinação do tempo de oo ou de ueda. O tempo de oo ou tempo de ueda é o intante t = t oo, no ual o projétil atinge o olo, ou eja, uando (t ) =. Portanto, recaímo no problema de determinar a raíze do polinômio de egundo grau: 765 4 t 5 = + ( ) ( t) O tempo de ueda, é uma da raíze da euação do egundo grau acima. Aim, endo: A rigor, obtemo dua raíze dada por: = b ac =( ) ( )( )= 4 4 4 5 765 7. 9 b t = = 4 7 a 1 ' '' Donde, aparentemente, temo dua poíei oluçõe: t = 3 e t = 51. No entanto, adotando-e o intante '' de tempo inicial igual a zero, a única olução poíel é auela de inal poitio. Aim, deemo ecolher t = 51. A raiz negatia não faz entido, uma ez ue etamo decreendo o moimento para tempo poteriore ao do lançamento. Deemo, poi, coniderar o tempo empre poitio. Portanto, adotando o intante inicial nulo, temo: t = t = 51. oo b) Determinação do alcance. O alcance é a ditância ue o projétil percorre, ao longo da horizontal, dede o intante de lançamento até o intante de ueda. De acordo com (8.33): Alcance = Como, nete eemplo, =, o alcance correponde à abcia do ponto de impacto do projétil contra o olo. Aim, a = = 18( 51)= 9. 18m c) Determinação do módulo da elocidade de impacto. A componente da elocidade do projétil, em ualuer ponto de ua trajetória, em função do tempo, ão: = 18m/ = 4 1t Logo, para t = 51 (intante em ue o projétil impacta o olo), a componente têm o alore: = 18m/ = 4 1( 51)= 7m/ O inal negatio de indica ue o entido do moimento ao atingir o olo, e ao longo do eio, é para baio. O módulo da elocidade nee intante de tempo t = 51,é: = ( ) + ( ) 18 7 34, 5 m. Eercício Reolido 8.5: Um jogador lança uma bola diretamente para cima (ide Figura 8.1), a partir de uma altura h = 1,55 m, com elocidade inicial de 15 m/. Coniderando-e o intante inicial t =, e adotando-e o referencial de acordo com a Figura 8.1, determinar: a) A euaçõe horária e gerai do moimento; b) O intante em ue a bola atinge a altura máima; c) A altura máima (h ma ); d) O tempo de oo da bola. e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP Figura 8.1: Lançamento ertical para cima. Reolução a) Trata-e de um lançamento ertical para cima, ou eja, o ângulo de tiro é. = 9 A ua caracterítica é =. O moimento da bola, em relação ao referencial adotado, é unidimenional, ertical e para cima. Note ue, nete cao, h = = 1,55 m. A euaçõe horária, nea circuntância, ão: a = = co9 = = ( t) = = a = g = 1m/ = 15 1t t 155, 15t 5t² ()= + b) No intante (t m ) em ue a bola atinge a altura máima, ua elocidade é nula. Impondo =, determinamo o alor dee intante t m. Aim, = 15 1t t = 15 m m, c) Tendo em ita ue a bola atinge a altura máima no intante t = t m = 1,5, bata ubtituir ete alor na euação da coordenada, e obtemo: hma = 155, + 1515 (, ) 5( 15, ) = 1, 8m d) O tempo de oo é o interalo de tempo em ue a bola fica no ar dede o eu lançamento até atingir o olo. Logo, impondo a condição (t oo ) =, e reolendo a euação reultante, determinamo t = t oo. Aim, 1, 55 15t 5 t = + ( ) cuja olução pode lear a doi reultado: t' oo = 31, e t'' oo = 1,. Fiicamente, a repota certa é t' oo = 31,. A olução t'' oo = 1, dee er decartada, poi, a partir do lançamento, o tempo é empre poitio. Portanto, a bola colide com o olo 3,1 apó o eu lançamento. oo oo Eercício Reolido 8.6: Um macaco lança um coco do alto de uma palmeira com elocidade = 5 m/, erticalmente para baio, de uma altura h = 5, m. Coniderando o itema de referência adotado na figura (8.14), determinar: e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP a) O tempo de ueda do fruto; b) A elocidade com ue o fruto atinge o olo. Figura 8.14: Eemplo de lançamento ertical para baio Reolução A condiçõe iniciai do moimento (admitindo-e t = ) ão: = h= 5, m e = = 5m/ e Nea circuntância, a euaçõe do moimento ão: a = = co9 = = ( t) = = = a = g = 1m/ = 5 1t t 5, 5t 5t² ()= a) O tempo de ueda é determinado impondo a condição (t ) =. Io no lea a determinar a raíze do polinômio reultante. Tal polinômio do egundo grau é: uma ez ue D é poitio, ou eja; 5, 5( t ) 5( t ) = = b 4ac = 5 4 5 5, 5 54 59 Obtemo dua raíze reai e dada por: 8 Donde, t = = = 8 t = 1, e 18 1 18,. ( ) ( )( )= + = t = ( 5 )± 59 5 = ± 3 5 1 ( ) Como o tempo de ueda é contado a partir do lançamento, endo, portanto, empre poitio, a olução procurada é t'' = 1,8, o ue no lea a concluir ue o fruto atinge o olo 1,8 apó er lançado. b) A componente ertical da elocidade pode er determinada ubtituindo-e o tempo de ueda t = 1,8, na euação horária da elocidade. Obtemo: = 5 118 (, )= 3m / 83km / h ( ) e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP Eercício reolido 8.7: Conta ue Galileu Galilei abandonou dua bala de canhão de maa diferente, da acada de um do último andare da Torre de Pia (Itália), para demontrar ue a elocidade de ueda era independente da maa da bola. Se a bola foram abandonada de uma altura h = 45 metro, determinar: a) O tempo de ueda; b) A elocidade uando do impacto da bola contra o olo. Reolução Figura 8.16: Queda lire da torre de Pia. Adotando-e o eio carteiano, conforme ilutra a Figura 8.16, coniderando nula a reitência do ar, uando g = 1 m/, e coniderando t =, a euaçõe fundamentai podem er aim ecrita: a = 1 m/ t 1t m/ ()= ( ) ()= ( ) t 45 5t m a) O tempo de ueda t pode er obtido por meio da euação (t ) =, poi, uando a bola atinge o olo, a coordenada é nula. Aim, = 45 5( t ) t =± 9 =± 3 Sendo t, decartamo a olução aociada ao tempo negatio. Portanto, em ueda lire, a bola atinge o olo depoi de 3 egundo. b) Para a preião da elocidade de impacto contra o olo, uamo a euação da elocidade. Nela ubtituímo t = t = 3. Aim: = 1( 3)= 3m / 18km / h ( ) O inal negatio indica ue o moimento é no entido opoto ao da orientação do eio. Para baio, como era de e eperar. Eercício reolido 8.8: Conidere o cao em ue a bola da Figura 8.17 ecapa do tampo da mea de uma altura h = 1,8 m do pio com elocidade horizontal = m/. Determinar: e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP a) O tempo de ueda; b) A componente e da elocidade no ponto de impacto; c) O alcance. Reolução Primeiramente, amo adotar um itema de referência carteiano e identificar a condiçõe iniciai do moimento da bola. Conideraremo nula a reitência do ar e g = 1 m/. Figura 8.18: Lançamento horizontal com condiçõe iniciai epecificada. A Figura 8.18 ilutra a ituação em ue, no intante t =, a bola ecapa da mea. A condiçõe iniciai ão: = m/ o = = = h= 18, m Nee cao, adotando-e o itema SI, a euaçõe horária ão: = = m/ = 1t = t = 18, 5t a) No intante t = t a bola atinge o olo. Tal intante é determinado pela condição (t ) =. Igualando a zero a euação da coordenada e coniderando apena a raiz poitia, obtemo: 18, 5 18, t t 36,, 6 5 = ( ) = = = b) Para determinar a componente e da elocidade, deemo ubtituir t = t =,6 na repectia euaçõe horária. Obtemo: = m/ = 1( 6, )= 6m/ O inal negatio indica ue o moimento é no entido decendente, já ue foi adotado o referencial no ual o eio é orientado para cima. c) O alcance é a ditância ue a bola percorre na direção horizontal. Conhecendo-e a abcia do ponto de ueda e do ponto inicial, o alcance é dado pela diferença: a = ueda A abcia do ponto de ueda é obtida ubtituindo-e t = t =,6 na euação para a abcia = t. Aim, = (,6) = 1, m. Portanto, como =, o alcance aume o memo alor: 1, m. e-fíica Intituto de Fìica USP
e-fíica Enino de Fíica Online Inituto de Fíica da USP Eercício reolido 8.9: Uma bola de futebol, em repouo no gramado a uma grande ditância do gol, é chutada de forma a aduirir uma elocidade de lançamento = 5 m/ e ângulo de tiro = 37. Coniderando nula a influência do ar e a aceleração da graidade g = 1 m/. Determine, a partir do dado: a) O alcance da bola; b) A altura máima ue ela atinge. Dado: co 37º = 8, e en 37º =, 6. Reolução Primeiramente, amo adotar um referencial carteiano com o eio horizontal acompanhando o gramado e o eio no ponto onde a bola e encontra em repouo (ide Figura 8.19). Figura 8.19: Lançamento a partir do olo. Aim, a condiçõe iniciai (t = ) e a euaçõe fundamentai ão: t = = 5co θ = 5 8, = m/ ()= t = 5enθ = 5 6, = 15m/ () t = 15t 5t² = t 15 1t ()= Conhecida a euaçõe horária, podemo reponder facilmente ao ueito olicitado. a) Como nee cao =, alcance é o alor de para t = t. O tempo de ueda é obtido impondo a condição (t ) =. Portanto: 15t 5 = ( t) Donde inferimo ue eitem dua oluçõe, a aber: t' = e t'' = 3. A primeira raiz refere-e à poição da bola no intante t = ; a egunda é o tempo de ueda, ue etamo procurando. Aim, o alcance é: = t = ( 3)= 6m b) No ponto de altura máima ( ma = h ma ), a componente da elocidade na direção é nula. Aim, fazendo =, determinamo t m, ou eja, = 15 1tm tm = 15, Subtituindo ee alor do tempo na euação horária para (t), obtemo: ma = hma = 15( 15, ) 515 (, ) = 115, m e-fíica Intituto de Fìica USP