Pesquisa operacional e aplicações

Pesquisa operacional e aplicações Cristiano Arbex Valle 8 de abril de 2016

1 Introdução 2 Exemplo 3 Sub-áreas da Pesquisa Operacional 4 Aplicação em finanças Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 2 / 32

Introdução Pesquisa operacional (PO): É a representação de problemas reais através de modelos matemáticos em conjunto com o uso de métodos quantitativos (algoritmos) para resolve-los, com a intenção de auxiliar o processo de tomada de decisões. É uma área multidisciplinar, profissionais e pesquisadores na área normalmente são: Matemáticos Cientistas da computação Estatísticos Engenheiros Economistas... Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 4 / 32

Introdução É (grande) parte da matemática aplicada. Exemplos: Definição de escalas de pilotos, tripulação Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a exportação Tabela do Campeonato Brasileiro Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros Definição das rotas dos caminhões de lixo Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 5 / 32

Introdução É (grande) parte da matemática aplicada. Exemplos: Definição de escalas de pilotos, tripulação Gerenciamento de minas, desde a extração do minério até a exportação Tabela do Campeonato Brasileiro Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros Definição das rotas dos caminhões de lixo Tratamento de câncer com quimioterapia / radioterapia Otimização: em problemas onde existem inúmeras soluções possíveis, encontrar a melhor dentre elas. A solução ótima depende do critério de avaliação escolhido e das características do problema. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 5 / 32

Introdução Em inglês: Operational research, Decision science, Management sciences. Data science é outro termo que lida com as mesmas questões que consideramos em PO: Temos dados, temos decisões a tomar, como podemos analisar os dados para tomarmos as decisões apropriadas? PO pode ser considerado um ramo da Data Science. Na minha visão, PO tem muito a contribuir e fazer uma diferença real no mundo. PO pode nos ajudar a tomar decisões melhores e é bem claro que muitas pessoas e empresas não tomam decisões tão boas assim. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 6 / 32

História Ainda sem um nome formal, muitos trabalhos em PO foram desenvolvidos por indivíduos ao longo do tempo. Por exemplo, Charles Babbage (inventor do conceito de computador programável) estudou o custo do transporte e separação de cartas nos correios da Inglaterra em 1840. Este estudo contribuiu para transformar os correios no que conhecemos hoje (envelopes padronizados, selos pré-pagos, etc.). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 7 / 32

História A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a 2 a Guerra Mundial. Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, munição, remédios, etc). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 8 / 32

História A formalização do termo Operational Research ocorreu durante a 2 a Guerra Mundial. Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, munição, remédios, etc). Na Inglaterra, passou-se a estudar métodos matemáticos para gerenciamento destes recursos. O termo foi cunhado e definido como um método científico para prover decisões baseadas em critérios quantitativos sobre os processos operacionais. Após o fim da guerra, PO se expandiu e passou a tratar problemas em diversas outras áreas, além da militar. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 8 / 32

Exemplo: O problema da dieta Em uma cidade pequena com um mercado bem limitado, temos apenas os seguintes produtos: Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$3.00 3 60 Soja R$1.20 1 22 Leite R$1.50 2 34 Devemos consumir pelo menos 8g de proteína por dia e 150mg de Vitamina A (valores totalmente fictícios). O que comprar (e consumir) de forma que o nosso gasto seja o mínimo possível? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 10 / 32

Exemplo: O problema da dieta Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja e leite. Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar variáveis B, S e L. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 11 / 32

Exemplo: O problema da dieta Temos que decidir quantas porções comprar de carne de boi, soja e leite. Como ainda não sabemos quantas porções comprar, vamos criar variáveis B, S e L. Queremos gastar o mínimo possível, por isso gostaríamos de valores para as variáveis de forma que o valor da função 3B + 1.2S + 1.5L seja o menor possível. Temos que garantir que vamos consumir o mínimo recomendado de proteína e Vitamina A: 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 11 / 32

Exemplo: O problema da dieta Alimento Preço por porção Proteína (g) Vit. A (mg) Carne de boi R$3.00 3 60 Soja R$1.20 1 22 Leite R$1.50 2 34 Transformamos um problema da vida real em um modelo matemático: Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 12 / 32

Sub-áreas PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas das áreas são mais antigas que a própria PO. Alguns exemplos: Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 14 / 32

Sub-áreas PO é uma área extensa e que possui várias subáreas, algumas das áreas são mais antigas que a própria PO. Alguns exemplos: Controle de inventário Também conhecido como controle de estoque Manter itens em estoques custa caro Não ter os itens na hora da venda significa perder o cliente Quando fazer compras para preencher o estoque? Quantos produtos comprar por vez? Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 14 / 32

Sub-áreas Teoria de Filas Estudo da formação de filas O que vale mais a pena? Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 15 / 32

Sub-áreas Teoria de Filas Estudo da formação de filas O que vale mais a pena? Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores. Exemplo de aplicação: Canal de Suez. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 15 / 32

Sub-áreas Processos de Markov Estudo de processos estocásticos com certas características: Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudanças de um estado para o outro. Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing. Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 16 / 32

Sub-áreas Processos de Markov Estudo de processos estocásticos com certas características: Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudanças de um estado para o outro. Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing. Ex.: Divisão de mercado entre Apple x Android x Windows Outras aplicações: Identificação de mudanças no humor do mercado (ex.: crises como a de 2008) Reconhecimento automático de voz É base do algoritmo PageRank do Google, utilizado para definir quais páginas aparecem primeiro na busca. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 16 / 32

Sub-áreas Teoria de jogos Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre tomadores de decisão racionais. Aplicações em ciência poĺıtica, economia, biologia, filosofia, etc. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 17 / 32

Sub-áreas Teoria de jogos Modelos matemáticos que estudam conflito e cooperação entre tomadores de decisão racionais. Aplicações em ciência poĺıtica, economia, biologia, filosofia, etc. Dilema do prisioneiro: dois prisioneiros, A e B, são interrogados separadamente, e são dadas a ambos as seguintes opções: A fica em silêncio A entrega B B fica em silêncio B entrega A 1 ano de prisão para ambos B fica livre, A pega 10 anos A fica livre, B pega 10 anos Ambos pegam 5 anos Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 17 / 32

Sub-áreas Programação linear Modela matematicamente problemas através de equações e variáveis lineares Possui um número enorme de aplicações práticas. Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e restrições. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 18 / 32

Sub-áreas Programação linear Modela matematicamente problemas através de equações e variáveis lineares Possui um número enorme de aplicações práticas. Modelos possuem uma função objetivo, variáveis lineares e restrições. Exemplo: O problema da dieta Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a 3B + 1S + 2L 8 (Proteína) 60B + 22S + 34L 150 (Vitamina A) Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 18 / 32

Sub-áreas Programação inteira Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis têm que ser necessariamente inteiras. Muito mais difíceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 19 / 32

Sub-áreas Programação inteira Semelhante à Prog, Linear, mas algumas (ou todas) variáveis têm que ser necessariamente inteiras. Muito mais difíceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear. Modelam inúmeros problemas da vida real: Onde construir antenas de celulares Escala de trabalho de pilotos, médicos, etc. Planejamento de produção de uma fábrica Menor rota para veículos que devem fazer várias entregas Problemas de otimização combinatória são normalmente tratados com Prog. Inteira. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 19 / 32

Perspectiva histórica O problema de seleção de portfolios: Como distribuir o seu dinheiro em diferentes ações? Até os anos 50 (no mundo) e até hoje (no Brasil), investidores analisavam cada ação individualmente para a tomada de decisões. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 21 / 32

Perspectiva histórica O problema de seleção de portfolios: Como distribuir o seu dinheiro em diferentes ações? Até os anos 50 (no mundo) e até hoje (no Brasil), investidores analisavam cada ação individualmente para a tomada de decisões. Harry Markowitz observou que esta abordagem é de alto risco pois não leva em consideração o risco de mercado: Ex. Algumas ações tendem a se mover em conjunto. Markowitz propôs um modelo de Prog. Quadrática que minimiza o risco e que possua retorno esperado desejável. O risco de um portfolio é definido pela sua volatilidade. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 21 / 32

Perspectiva histórica Muitos outros modelos já foram propostos desde então (CAPM, Arbitragem, etc.) Um problema do modelo de Markowitz: A volatilidade como medida de risco captura tanto o risco de queda quanto o risco de alta. Pesquisadores inventaram novas medidas de risco, como VaR e CVaR, que tratam apenas do risco de queda. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 22 / 32

Value-at-Risk (VaR) O VaR depende de como modelamos o retorno esperado de nosso portfolio: VaR 95 significa dizer que com 95% de probabilidade, seu portfolio não vai gerar um prejuízo maior que X. O VaR não captura bem casos extremos. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 23 / 32

Conditional Value-at-Risk (CVaR) o CVaR foi proposto por Rockafeller e Uryasev em 2000 como alternativa: É definido como a média ponderada entre o VaR e todas as perdas que excedem o VaR. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 24 / 32

Minimização de CVaR O estudo matemático do comportamento do mercado financeiro se chama Análise Quantitativa ou Quantitative Finance. Uma vantagem do CVaR: Existe um modelo de Programação Inteira que minimiza o CVaR: Ele busca a combinação de ações que possui o menor risco esperado possível; Muitos fundos de investimento utilizam modelos como este e o de Markowitz na prática. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 25 / 32

Pesquisa Em parceria com cientistas ingleses, estamos trabalhando em um modelo de seleção de portfolios que busca ser melhor que o modelo que minimiza o CVaR. Este modelo é baseado em um conceito chamado dominância estocástica. A dominância estocástica tem potencial para não apenas controlar o risco de queda (como o CVaR) mas também tirar proveito do potencial de alta (ao contrário do CVaR). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 26 / 32

Pesquisa A dominância estocástica é uma forma de dizer que uma variável aleatória é superior a outra. Um portfolio é uma variável aleatória (não sabemos ao certo o que vai acontecer amanhã). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 27 / 32

Pesquisa A dominância estocástica é uma forma de dizer que uma variável aleatória é superior a outra. Um portfolio é uma variável aleatória (não sabemos ao certo o que vai acontecer amanhã). Sejam X e Y dois portfolios diferentes (duas variáveis aleatórias). No gráfico abaixo, X domina Y estocasticamente: Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 27 / 32

Pesquisa Em um modelo que usa dominância estocástica, precisamos dominar alguma coisa (benchmark). No mercado financeiro é bem comum escolhermos um índice como benchmark. Ex.: ibovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 28 / 32

Pesquisa Em um modelo que usa dominância estocástica, precisamos dominar alguma coisa (benchmark). No mercado financeiro é bem comum escolhermos um índice como benchmark. Ex.: ibovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc. Construímos um modelo de Prog. Inteira que procura dominar o índice escolhido. Para ser justo, comparamos um portfolio de ações brasileiras apenas com o índice ibov. O modelo permite venda a descoberto (shorting). Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 28 / 32

Pesquisa sujeito a: max V i N i N x L i x S i = 1 + α = α z L i + z S i 1 i N x L i (1 + α)z L i i N x S i αz S i i N V + ˆτ s 1 S j J s i N r ij (x L i x S i ) J s {1,..., S}, J s = s, s S V R, x L i 0, x S i 0 i N Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 29 / 32

Pesquisa - Resultados Para fazer testes, é necessário desenvolver um ambiente de simulação (backtesting). Este ambiente simula o que teria acontecido caso tivéssemos investido no passado. Inclui custos de transação e outros detalhes para tornar o problema realista. Simulação é outra área da PO: Muito usada quando o problema é muito difícil de ser modelado. Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 30 / 32

Resultados, Inglaterra Valor Ret. anualizado Máximo Max dias Final em excesso (%) drawdown (%) recuperação FTSE100 0.99-2.10 47.83 1517 Equal Weights 1.98 5.81 27.62 662 Estratégia 1 3.33 12.14 17.98 446 Estratégia 2 3.00 10.82 13.14 430 Estratégia 3 4.38 15.60 18.09 616 Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 31 / 32

Resultados, Brasil Valor Ret. anualizado Máximo Max dias Final em excesso (%) drawdown (%) recuperação ibovespa 0.71-16.35 38.40 1029 100/100 s/ 1.75 2.38 8.46 454 Long only 1.90 4.22 19.64 399 100/100 c/ 2.33 9.08 10.43 365 Cristiano Arbex Valle Pesquisa operacional e aplicações 32 / 32