Aula 6 Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Março de 2012.
Resumo 1 Introdução Espaço de Estado 2
Existem duas modelagens para analisar e projetar sistemas de controle: -Análise na frequência, utiliza-se a transformada de Laplace. - Análise no tempo, no qual descreve-se o sistema na forma de espaço de estado. A primeira desvantagem da modelagem na frequência é sua limitação de aplicabilidade. Neste caso só podemos utilizar a modelagem na frequência em sistemas lineares, invariante no tempo ou em sistemas que podem ser aproximados a estas características. A maior vantagem da análise no domínio da frequência é que podemos facilmente obter informações sobre a resposta transitória e resposta de regime.
A modelagem em espaço de estado, também referida como modelagem moderna, é um método unificado para análise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema analisado e posteriormente organizá-las na forma matricial. Considere o seguinte circuito elétrico,
A modelagem em espaço de estado, também referida como modelagem moderna, é um método unificado para análise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema analisado e posteriormente organizá-las na forma matricial. Considere o seguinte circuito elétrico,
Então, realizando-se o somatório de tensão na malha do circuito elétrico ilustrado anteriormente temos, e v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) + VC (t ) (3) i (t ) = C VC (t ) Reorganizando (3) e (4), obtém-se: (4) di(t ) VC (t ) = R +v(t) (5) L L = i(t) C
Então, realizando-se o somatório de tensão na malha do circuito elétrico ilustrado anteriormente temos, e v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) + VC (t ) (3) i (t ) = C VC (t ) Reorganizando (3) e (4), obtém-se: (4) di(t ) VC (t ) = R +v(t) (5) L L = i(t) C
A equação (5) ainda pode ser organizada na forma matricial, conforme descrito posteriormente, [ ] di(t ) VC (t ) [ ][ L L i (t ) = 1 0 VC (t ) C Considerando-se que o sinal de saída deste sistema é a tensão no capacitor, então podemos fazer, [ y (t ) = 0 1 ] [ ] 1 + L v (t ) (6) 0 ] ][ i(t) VC (t ) (7) As equações (6) e (7) proporcionam a descrição em espaço de estado do circuito elétrico RLC série.
O estado de um sistema é o conjunto de variáveis tais que o conhecimento do valor destas variáveis e das funções de entrada, com as equações que descrevem a dinâmica, fornece os estados futuros e as saídas futuras do sistema. Um exemplo simples de variável de estado é a situação de um interruptor de luz liga-desliga. O interruptor pode estar na posição ligado ou na posição desligado e, por conseguinte, a posição da chave pode assumir um dos dois valores. Assim, se for conhecido o estado presente do interruptor em t0 e se for aplicado uma entrada, será possível determinar o valor futuro do estado do elemento.
Equações de Estado
Equações de Saída
Modelamento da Equação de Estado
Exemplo de um sistema dinâmico: Para ilustrar a modelagem em espaço de estado vamos considerar o sistema massa-mola ilustrado a seguir:
No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variáveis de estado que inclui a posição e a velocidade da massa. Portanto define-se: x1(t ) = y(t) x2(t ) = dy (t ) A equação diferencial que descreve o sistema massa-mola ilustrado anteriormente é mostrada a seguir: Md2y(t) (8) +bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) Então, utilizando a padronização descrita em (8) temos, M dx2(t ) + bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)
No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variáveis de estado que inclui a posição e a velocidade da massa. Portanto define-se: x1(t ) = y(t) x2(t ) = dy (t ) A equação diferencial que descreve o sistema massa-mola ilustrado anteriormente é mostrada a seguir: Md2y(t) (8) +bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) Então, utilizando a padronização descrita em (8) temos, M dx2(t ) + bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)
Portanto a dinâmica do sistema massa-mola abordado pode ser descrita por duas equações diferenciais, dx1(t ) dx2(t ) = x2(t ) (11) = b (12) M x2(t ) M x1(t ) + M u(t ) Assim, de (11) e (12), temos [ ] [ ][ dx1(t ) 0 1 x1(t ) dx2(t ) = M M x2(t ) ] [ ] 0 + 1 u(t ) (13) M
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ESTADO Na forma matricial temos,
VETOR DE ESTADO Introdução Espaço de Estado A notação compacta de um sistema descrito na forma de espaço de estado é: x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (14) E a equação de saída do sistema é dada por, y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) (15)
Implementação via AMP OP Introdução Espaço de Estado
A função de transferência para um sistema descrito na forma de espaço de estado é dado por: (16) Exercício: Encontre a descrição em espaço de estado do sistema abaixo:
Exercício: Encontre a descrição em espaço de estado do sistema abaixo:
Informações Professor Conteúdo do Curso Conteúdo Bibliografia Sistema de Avaliação APS O Projeto ENADE Compreender, analisar e projetar sistemas de controle contínuos utilizando métodos clássicos e modernos. UTFPR - DAELT Sistemas de Controle
APS: Determinar a representação em espaço de estado para o seguinte circuito elétrico dado como, como sugestão adote x1=v1, x2=v2 e x3 igual a corrente no indutor L Resposta: