Resoluções de Exercícios

Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA V Capítulo 0 Conhecimentos Numéricos Análise Combinatória Parte I Princípios de Contagem E) Esta quantidade será calculada escolhendo as posições para colocar as consoantes. Este número será dado por: A 8,5 0. Ao colocar as 5 consoantes, restarão posições que serão preenchidas com as vogais em ordem alfabética. F) a parte: Anagramas com F, L e A juntas + 5 F L A T P. P 0 BLOCO 0 0 E Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de modos será igual a: T. 5. 8. 90. 0 0 a parte: Anagramas com F, L e A juntos e G e O juntas (Não convém). + + F L A G O T P 5. P. P 0 a parte: Anagramas que convém: T 0 0 T 880 0 B T 00. 00. 00. 00 T 0 8 BLOCO 0 Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 0 Pelo Princípio Multiplicativo, existem maneiras de ir de A para C, passando por B, e 5 0 maneiras de ir de A para C, passando por D. Em consequência, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é + 0. 0 E ou ou 5 U {,, 5,, 9} T.... ou T.... BLOCO 0 5.... ou 5 9 + 89 BLOCO 0 0 A) P 8 8! B) Vogal Vogal T. P. T.! C) + MENGO T P! D) + M E N G O T P. P 5 0 B Números primos do teclado:,, 5 e. Número de senhas:.... 0 B HUI T... 0 000 placas 0 0 0 0 A polícia terá que investigar, no máximo, 0 000 placas. 0 D a a a a parede T. 5.. 0 0 C a a a lata. 5. 0 MATEMÁTICA V MATEMÁTICA Volume 0

05 C U {,,,, 5, } a parte: n o de clientes atendidos até 5. ou T. 5.. 0 ou T... ou T... _ 5 b 5 ` números 5 b a Total 5 números a parte: Após 5 até 5, teremos: 5 ou ou ou T 5... números Observando que 5 é o maior número entre eles, então serei atendido após pessoas, contando com o cliente 5. BLOCO 05 0 C 8! Há C 8, 8 modos de escolher duas substâncias, dentre!! as 8 disponíveis. Por outro lado, C, dessas escolhas recaem em duas das três substâncias S, S e S. Portanto, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano, é 8 5. 0 B Considere os quadriláteros que podemos formar tomando quaisquer quatro vértices do pentadecágono. Como as diagonais desses quadriláteros são diagonais do pentadecágono, e a cada quadrilátero corresponde um ponto de interseção das diagonais, segue que o resultado pedido é igual ao número de quadriláteros que podemos formar com os vértices do polígono, ou seja, 5! C5, 5.! $! 0 C! Há C, modos de selecionar químicos, C!!, modos de! selecionar engenheiro ambiental e C, modos de selecionar!! engenheiros de produção. Portanto, pelo PFC, podemos formar uma equipe de!! $ $! $! $ 0 maneiras.!!!! $ $ 8 BLOCO 0 0 A) o modo:,, 0! P 0!!! o modo: Escolhas de posições para colocarasletras A?? T C,. C, T fixo B) T M 0!!! 0.!!5! MATEAICAM, 9! T P9!!, 9! T P9!!. o n demodode escolher posições entreasposiçõesrestantes 5!!!! 0!!!! o n demodosdeescolher posições entre5 restantes 8. C 5,,! S permutaçãosimples de letras Logo: T. P, 9 + P, 9, 9!.!! + 9!!!! 5. 9!!!! 0 o modo: coluna um coluna do meio T C,. C,. C T!!!! coluna dois!!.!!!!, o modo: Seja U M e D, uma marcação, respectivamente, de uma coluna um, do meio e coluna dois. São exemplos de um jogo (aposta): UUUUMUMUUDDDD UDUUUMDMUUUDD Então, o total de modos para marcar os cartões será:! T P,,!!! 0 N andar quarteirão em direção Norte (para cima) L andar quarteirão em direção Leste (à direita) Exemplos: N N N N L L L L L N L N L N L N L L A diferença entre os caminhos está na mudança de posição (ordem) das letras com repetições N e 5 repetições de L. Logo, o total será:,!....! A) P 5 9 9 8 5 9 5!!.. 5..! 0 B),!!!. 5.! T P x P x x 5!!!.!!!! 5! 5,,! T P!! 5! BLOCO 0 0 Para calcular o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra- -Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item: 0 0 0 0 Para calcular o total geral de possibilidades de placas com letras (incluindo repetição) e algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a posição das letras, ou seja, C 5. Assim, há 5 possíveis combinações de letras e algarismos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, para cada letra há possibilidades e cada algarismo 0 possibilidades. Logo, o total geral de possibilidades de placas com letras (incluindo repetição) e algarismos (incluindo repetição) é de 5 0. 0 B O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é! igual ao arranjo de, a, ou seja, A $ $ " A ( - )! BLOCO 0 C,, 9! T P9!!! 0! -!!! -.!!!(-)! MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA V

0 C ( n+ ). n.( n )! ( n+ ).( n )! n + Yn Yn n n.( n )! + n.( n )! n+ n + ( n+ ) ( n ) n ( n+ ) Para n 99, temos n 995. BLOCO 0 0 C Pelo PFC, o total de modos será: T 0. 0 00 0 D Cálculo do C Soma + + 8 + 5 + 8 + 8 + 8 + + 0 5 Observação: 5 9 x +. Como falta 5 para completar, o o dígito verificador é 5. Cálculo do C Soma 0 + 9 + 8 + 5 + 0 + + + 5 + 0 + Observação: x + 8. Como falta para completar, o o dígito verificador é. O CPF será: 5-5 BLOCO 0 Convertendo o código de barras para o sistema binário, obtemos 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 e 000, ou seja, 805-980. BLOCO 0 0 B 0! T C 0, 5!! 0.59.58.5.5.55.5!. 5.....5! T 50.0. 80 0 E 0! Total de apostas simples C 0,!! 0.9.8..!!.... 0 apostas simples. Logo, o valor a ser pago no jogo pelo apostador será igual a: V 0. 0 reais. BLOCO 05 o modo: Escolher posições para colocar os pontos destacados..5 T C,. 5 o modo: Considerando D um buraco destacado e P um buraco sem destaque, a sequência DPDPPP seria um exemplo. Então, o total de!.5.!, símbolos será igual a: T P 5!!!.. 0 A Há f p modos de escolher um espécime do grupo Cetáceos, 0 f p 0 modos de escolher um espécime do grupo Primatas e f p modos de escolher um espécime do grupo Roedores. Portanto, pelo PFC, podemos formar 0 0 conjuntos distintos. 0 B Devemos escolher uma cor para o fundo, a casa e a palmeira. Apresentamos todas as possibilidades: Fundo Casa Palmeira Fundo Casa Palmeira Azul Azul Azul Amarela Amarela Das possibilidades apresentadas, não podemos escolher aquelas em que o fundo e a casa são azuis ou seja, opções nem aquelas em que o fundo é cinza e a palmeira também é cinza ou seja, opções. Logo, sobraram 5 possibilidades de escolha. 0 D Princípio Fundamental da Contagem # 5 0 S S entrar sair 05 D A) Falsa, pois existe 5! 0 maneiras distintas de escolha das rotas. B) Falsa. Neste caso o número de rotas será dado por:. C) Falsa. O número de rotas será dado por. D) Verdadeira. O número de rotas será dado por 8. E) Falsa. O número de rotas será dado por. 0 D A) Falsa. 00. B) Falsa. 8. C) Falsa. 8. D Verdadeira. 5. E) Falsa. A soma será sempre par, pois todos os algarismos serão ímpares. 0 A Para que um número inteiro não seja divisível por 5, seu algarismo das unidades não pode ser 0 ou 5. Como zero não pode ser, temos 8 escolhas para o algarismo das unidades, 8 escolhas para o das dezenas e escolhas para o das centenas. Portanto, pelo PFC, o resultado é 8 8 8. 08 C Existem 5 escolhas para o algarismo das unidades, 8 escolhas para o algarismo das centenas (devemos excluir o zero) e 8 escolhas para o algarismo das dezenas. Portanto, pelo PFC, B possui 8 8 5 0 elementos. 09 BLOCO 0 0 C É impossível que as escolas I, III e V sejam campeãs, pois mesmo que ganhassem 0 não alcançariam a pontuação da escola II. Assim elas podem ganhar 5 notas possíveis: 0, 9, 8,,. Com isso apenas a escola IV pode ameaçar o título da escola II. Se a escola II ganhar 0, para sagrar-se campeã é necessário que a escola IV ganhe 8,, ; se ganhar 9,, ; e se ganhar 8,. Ou seja, são possibilidades, mas em cada uma dessas possibilidades as outras escolas podem ser avaliadas de 5 maneiras distintas. Com isso:. 5. 5. 5 50 maneiras. 0 D Para o número ser ímpar, o algarismo das unidades só poderá ser ou, então, com o final sendo, restam casas a serem preenchidas e 5 números. Então 5. 5 5. Agora com o final valendo, restam casas também, portanto, 5. 5 5. Somando as possibilidades, 5 + 5 50 Observação: O exercício não fala de algarismos distintos, por isso os números podem se repetir. Matemática V MATEMÁTICA Volume 0 5

BLOCO 0 Sendo, os pesquisadores das três áreas: químicos 5 físicos matemáticos e as comissões compostas por dois cientistas de áreas diferentes, temos situações possíveis: químico e matemático:. 8 químico e físico:. 5 5 matemático e físico:. 5 0 Total de duplas distintas: 8 + 5 + 0 8 0 E Vamos admitir que as moças ocupem os lugares antes dos rapazes. A primeira delas pode escolher, inicialmente, um dos lugares vagos. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda deverá escolher um dos dois lugares da outra fila. Para o primeiro rapaz, restam lugares possíveis e para o último. Assim, o número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, assegurando que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é.... 0 D Você tem 0 questões e respostas possíveis para cada uma. Mas o problema te diz que a letra A não aparece nesse gabarito, então reduz para respostas. Você tem esses dez espaços pra colocar as letras B, C, D de modo que D só apareça uma vez. Então, primeiro você escolhe um lugar para D, e temos 0 posições para tal escolha, correto?.......... Depois que você colocar a letra D vão te sobrar 9 espaços para colocar ou a letra B ou a C. Suponha que o primeiro espaço foi o que você escolheu para colocar a letra D, então você tem possibilidades para o segundo espaço, para o terceiro... e assim até o último. Logo, pense: 0 para escolher o D, e dado a escolha do D temos mais possibilidades para cada um dos outros 9 espaços restantes, ( 9 no total). Multiplicando esses valores temos 0. 9. 0 C o botão: opções (vamos supor que tenha sido a escolha para o dígito ); o botão: opções (vamos supor que tenha sido a escolha para o dígito 0); o botão: opções (vamos supor que tenha sido a escolha para o dígito 5, o dígito não poderá repetir). o botão: opções (vamos supor que tenha sido a escolha para o dígito, o dígito 0 não poderá repetir). Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total T de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de cliques será: T () () () () T 05 B Para irmos de a à d, podemos fazer os seguintes caminhos: ) ad: ) abd: ab bd. ) acd: ac cd 0 5. ) abcd:.. Logo, o total de rotas é dado por + + 0 + 5 0 C 8 maneiras 0 D Palavras com: dígito (letra) possibilidades (0 ou ) dígitos possibilidades (00, 0, 0 ou ) dígitos 8 possibilidades (000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, ) e assim sucessivamente que dá um total de: + + 8 + + + palavras possíveis. 08 D Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos pontos se destaca em relação aos demais. Portanto, o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braille é. 09 B O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse tipo de código é + + + + 5. 0 A) Sabe-se que, nesse avião, uma fila possui dois setores de poltronas, ou seja, existem posições disponíveis. O primeiro passageiro, pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem opções de poltronas para escolher. Estando sentado o primeiro passageiro, o segundo terá 5 opções para definir o seu assento. Assim, para uma das 0 filas, os dois passageiros têm (). (5) 0 maneiras para sentar-se. Como são 0 filas, o número total de maneiras distintas que atende ao enunciado será: (0). (0) 00. B) Analisando um dos 0 setores, o casal possui (em cada setor) P. P (!). (!) maneiras para sentar-se; como são 0 setores, o número total que atende ao enunciado será: 0. () 0. c) Estando o casal posicionado, junto, em um dos 0 setores (utilizando-se de uma das 0 maneiras calculadas no item anterior) restarão, consequentemente, 9. () 5 maneiras distintas disponíveis para o segundo casal sentar-se. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número que atende ao enunciado será: (0). (5) 90. BLOCO 0 Respostas: A) 00 maneiras distintas. B) 0 maneiras distintas. C) 90 maneiras distintas. Posição T 5. P 5 0 0 B A,.. dias 0 E S S P P P P P 5 D D D D T P. P. P 5. P 5!.!.!.! (0). (). (). () T 50 0 D! Há A, maneiras de definir os pilotos e P ( - )!! modos de ocupar os lugares restantes. Portanto, pelo PFC, existem. maneiras distintas de acomodar os seis amigos nas motocicletas. 05 B P P P P P 5 P P G G G G M M M T P! 0 A Para colocar as primeiras e a última questão, temos um total de P.!. modos. Para cada um dos.! modos, devemos considerar o preenchimento das questões restantes. Vamos analisar cada caso, colocando as questões de Matemática que faltam. A B P P MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA V

0 D o caso: A 8 a questão é de Matemática. 8 a 9 a 0 a a a a a T! (). ( ). P MAT!!! Observação: Se a 8 a é Matemática, a outra só poderá vir na 0 a, a ou a. Ao colocá-los, restam posições que serão preenchidas com as questões de Português de! maneiras. o caso: a 9 a questão é de Matemática: T!.. ( ). P!.!.!. o caso: a 0 a questão é de Matemática: T!.. ( ). P!.!.!. Logo, o total de disposições será igual a: T!.!.!. ( + + )!.!.!. 5 elementos + elemento E L O G I A R T (P ). (P )!! 0 08 C U {,, 5,, 8 } a parte: escolhas de algarismos, de modo que a soma seja múltiplo de. a ) 5 8 a ) 5 8 a ) 5 8 a parte: para cada escolha, temos um total de T P! números múltiplos de. Então, o total pedido será: T. números. 09 A elemento + elementos M M M M T (P ). P!! H H H H H 5 H 0 U {,,,, 5, } A) T P! 0 e T P 5 5! 0 B) a parte: Todos os números menores que 500 000 com algarismos distintos escolhidos entre U {,,,, 5, }. T. ou ou ou P 5 x 0 80 números a parte: Observe que 5 é o o número maior que 500 000, então, a posição dele é 8 a. BLOCO 0 0 A) T... 0 B) T.. 5. 80 C) Múltiplos de com dígitos, utilizando os dígitos de C {,,,, 5, }. ) T.. ) T.. ) T.. ) T.. 5) T.. 5 ) T.. 5 ) T.. 8 8) T.. 9 Total 8. 88 0 D O número de senhas com 5 algarismos é 0 5 e o número de senhas com algarismos é 0. Desse modo, o aumento percentual da segurança foi de 5 0-0 0 5 $ (0- ) 9 5 5 900% 0 0 0 A T. 5. 0 0 A Total de senhas com algarismos distintos é igual a T 9. 8... 5. 0 80. 05 C o o $ time T 0 $ 9 80 0 E o o $ clube T $ T 55 jogos Logo, serão disputados jogos a mais, em relação ao formato de hoje. 0 A port. fs í. bio. mat. quí.?.?.?. 8.? T...... 5.. 5...... 8... 5....! 5!! T..!!. 8!!.! 8!! 5!! 08 D o ) Considere o código xyzyx de 5 barras onde a leitura, da esquerda para a direita, é igual à da direita para a esquerda. O total de códigos desse tipo será x y z y x T $ $ $ $ 8 códigos o ) Entre os 8 códigos, existem que não convêm à questão, então o total procurado será: T 8. 09 A Modelo atual Cada letra pode ser preenchida de modos distintos, e cada posição dos algarismos da placa poderá ser preenchida de 0 maneiras distintas, então, o total de placas possíveis no modelo atual é igual a:. 0. Modelo em estudo No modelo novo, foram acrescentados uma letra e retirado um algarismo, então, o total de placas possíveis no modelo em estudo será:. 0. Razão entre os dois valores: Novo.0, " Novo,. Atual Atual.0 Portanto, o aumento será de,, (0%), ou seja, menos que o dobro. 0 a parte: Fixando A na a posição fixos letra letra o caso: A N N x x x x x ou 5 ou letra letra A N N o caso: x x x 5 x 0 Obs: L letra N algarismo N o primos de algarismo,, 5, N o pares de algarismo 0,,,, 8 Matemática V MATEMÁTICA Volume 0

a parte: Fixando A na a posição fixos L N A L N o caso: T x x x x L N A, 5 ou L N o caso: T x5 x x x x 0 a parte: Fixando A na 5 a posição Fixos L N L N A o caso: T x x x x x L N L N A, 5 ou o caso: T x5 x x x x 0 Então, o total de senhas será igual a: T. 0 +. T 0 + 08 A.( )( ) ( my )( m )( m my m m ) 5. my 5 Y5.( m )( m ) 5 " ( m )( m ) 0 m a a Etapa Etapa?? 09 MMM FF T C 0,. C, 90 0 o ) admin. e econom. T C,. C 0, o ) admin. e econom. T C,. C 0, o ) 5 admin. e econom. T C, 5. C 0, o ) admin. T C, T T + T + T + T BLOCO 05 0 A Os primos maiores do que 0 e menores do que 0 são,,, 9, e 9. Portanto, como a multiplicação de números inteiros é comutativa, segue que a quantidade de chaves que o receptor da.5 mensagem deve testar é C,. 5. 0 E T C n, n. ( n ) n. (n ) n 0 D! Existem C, 5 maneiras de escolher três frutas distintas! $!! e C,.. modos de escolher três frutas, das quais! $ 5! duas, e somente duas, são distintas. Portanto, Vera pode montar sua dieta diária com, pelo menos, duas frutas distintas de 5 + maneiras. BLOCO 0 0 A) T P, 0 0!!! fixo B) OCPACABANA T P, 9 fixo ACOPCABANA T P, 9 Total P, 9 + P, 9 letras 8 C) COPACABANA! T P,. P!!.!!!! (!) 0 B Há dois casos possíveis: I. Anagramas que iniciam pela letra P e terminam por O:! P ( ) 0! 0 B 0. Y9. Y8 Total C 0, 0 Y. Y. II. Anagramas que iniciam pela letra G e terminam por O: (, )! P 0!! Portanto, de (I) e (II), temos 0 + 0 80 anagramas. 05 C Sejam C, C, C,..., C 0 as 0 circunferências no máximo C C pontos 0. 9 T. C 0, 90! 0 C calab. ou queijo recheios peq. T. C 5, 5 0 0 D brasileiros estrangeiros 0 D HHHMM 5! 5. [..., T P5 0!!... [ 8 0 D T C, + C, + C, + C, + C,5 + C, T f + f + f + f + f + f 5 T f p 0 p p p p p p 05 D! 8! C,. C85,. 0.5 0!.! 5!.! T C,. C, T 0 E P a, bi,,... n n! 8! 5, & P 5 8 a! b! i!... 5!! 8 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA V

0 C BIOCIÊNCIAS tem letras, mas ele quer que as duas últimas fiquem fixas, ou seja, fatorial de nove (9!). E isso sobre as letras que se repetem: I - é repetida vezes C - é repetida vezes, logo: 9!/(!!) 08 A de MPB de Rock de Pop!.!.!.! ordem dos estilos 09 A 8 8.. 5. T f p. f p. f p.. 50 0 A a solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por 8 5 8! 5!! p$ p$ p $ $! $ 5!! $!! $! f f f 8$ $ 5$ $ $ $ 80 a solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo vermelhas, verdes, amarela e apagadas, ou seja, (,, ) 8! P 8! $! $! 8$ $ $ 5$ $ 80 0 C C $ C $ C $ C, 9,,, $ $ 0 9 8 5 $ $ $ $ $ $ $ 9 00!!! 0,, 5,,,,, 9,, 9 (dez primos positivos menores que 0) A quantidade de números naturais, formados por desses fatores, será obtida através de uma combinação simples de 0 elementos tomados a. 0! 0$ 9$ 8$ C 0, 0.!.! 08 C! $ ( x - )! 8 $ ( x-)! -x!! ( x ) ( x ) & $ - $ - $ ( x - )! $ ( x - )! 8-xx ( -) & ( x-)( x- ) - x + x & 8x -0x- 5 0 & 8x -0x- 88 0 5! x & x 8 ou x ( nã oconvé m) Portanto, 8 é um cubo perfeito. 09 D Os subconjuntos considerados no enunciado podem ser formados de duas maneiras diferentes: Primeira maneira ( elementos pares): 5 5! e o 0! $ (5 - )! Segunda maneira ( elementos ímpares e um par):! e o$ 5 $ 5 0! $ ( - )! Portanto, o número de subconjuntos com elementos com soma par será dado por: 0 + 0 0. BLOCO 0 0 E V E S T I B U L A R S T I B U L 5 0 0 C Fazendo a relação entre as combinações de e sabores de cobertura, pode-se escrever: y! Cy 00 ( y - )! $! y! ( y - )! $! & $ C 50 y! ( y )!! y! y - $ ( y - )! $! ( y-) $ ( y-)! $! ( y ) ( y ) 00 - & - ( y - )! $ $! 50 y - 00 & 50y - 00 00 & 50y 900 & y 50 0 A 5 5! As tintas podem ser escolhidas de e o 0 modos distintos.! $! 0 D Para que o produto dos quatro números escolhidos seja positivo, só existem possibilidades:. Os quatro números escolhidos são positivos;. Os quatro números escolhidos são negativos;. Dois números escolhidos são positivos e dois são negativos. Sabendo disso, e sabendo que a ordem dos números escolhidos não interfere no seu produto, podemos calcular as combinações. Os casos e são idênticos, ou seja, sua combinação é:! $ 5$! 0 C 5!( - )!! $! Já o caso pode ser calculado como sendo a combinação de elementos a (para os dois números positivos) e a combinação de elementos a (para os dois números negativos), ou seja:! $ 5$! 0 C 5!( - )!! $! C $ C 5 $ 5 5 Somando-se as três possibilidades, tem-se: 5 + 5 + 5 55 formas de escolher quatro elementos de X de modo que o produto destes elementos seja um número positivo. 0 A O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos tomados a, isto é, A9, 9!.! 05 D Com time é possível realizar jogos, pois C,. Temos, então, empates e vitórias. Cada empate gera dois pontos um para cada time e cada vitória gera pontos para o time vencedor. Portanto, o total de pontos será dado por: +. o dia: jogo,,,, 5 (5 classificados) o dia: jogo,, 8, jogo 9: V. V e jogo 0: V. V (5 classificados + V 5 classificados) o dia: jogo : V. V ; jogo : V 8. V 9 ; jogo : V 0. V 5 ( classificados) o dia: jogo : V. V ( classificado + V ) 5 o dia: final: V. V Serão necessários, no mínimo, 5 dias. Observação: V vencedor do jogo. Matemática V MATEMÁTICA Volume 0 9

0 C o caso: Marchas com a a Engrenagem da Coroa coroa pinhão T. marchas o caso: Marchas com a a ou a Engrenagens da Coroa coroa pinhão T. marchas Logo, o total de marchas será. 0 C Fazendo passo a passo, vemos primeiro o total de anagramas da palavra PERGUNTA. 8! 0 0. Depois, o número de grupos com! alunos (turnos): C 0. Por fim, basta calcular o número,!! de anagramas escrito por turno: 0 0 0 0. 0 B T C C C C F F F F F 5 V V V V V 5 V (P ) P P 5 P T!! 5!! 0 V { casais} Consideremos inicialmente a seguinte estruturação dos elementos que representam os três casais e as duas cadeiras vazias: A a B b C c V v Figura A) O número total de maneiras de permutarmos os oito elementos!......! da figura acima é: P 8 8 5 8 0 0!! B) Supondo que cada casal é um elemento, teremos, com as cadeiras vazias, um total de 5 elementos. O número de modos de escolher as cadeiras vazias será igual a C 5,. A partir da escolha das cadeiras vazias, pode-se permutar os casais de! maneiras distintas e, para cada uma delas, pode-se obter.. 8 disposições diferentes, pois cada casal poderá ficar de modos distintos. Então, o número de modos de sentar casais, de modo que cada casal fique junto, será 0 8 80. C) Inicialmente, escolha cadeiras para ficarem vazias. Isto pode ser feito de C 8, 8 modos distintos. Para cada modo, teremos P. P. 8 modos para dispor o grupo de mulheres à esquerda dos homens. Então, como o grupo de mulheres também pode vir à direita, o total de disposições será igual a: T!! 0. 05 E 0 0 P T.. 5! 0.. 5... Y T.. 5! Y T 0 800 0 B O número mínimo é cores. Sugestão: pinte a região do meio de amarelo, o próximo país de verde, o adjacente azul, e saia alternando as cores, verde, azul, verde, azul,... até fechar o círculo. 0 B o ) A A P 0 T 0 segundos distintos, descartando sua simétrica. o ) O tempo para verificar todas as sequências possíveis será igual a: T 0.,5 min 90 min. 08 A Uma combinação e um arranjo, respectivamente. 09 A 9$ 8 Total de sorteios possíveis: C 9, $ Total de sorteio onde os contemplados são mulheres: C, Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P. 50 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA V