CÁLCULO II: VOLUME II

CÁLCULO II: VOLUME II MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA epartamento de Análise - IME UERJ

4 PREFÁCIO "Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora? Isso depende bastante de até onde você quer chegar." Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas Esta notas são a continuação natural dos livros CÁLCULO I: VOLUME I e CÁLCULO I: VOLUME II, que é pré-requisito para este livro. a mesma forma que o Cálculo iferencial e Integral de uma variável, os conceitos centrais do Cálculo iferencial e Integral de várias variáveis são relativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão geométrica dos problemas. Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo iferencial e Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado da disciplina. esejamos agradecer aos nossos colegas do epartamento de Análise e do IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia Maria Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores. Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa Rio de Janeiro

Conteúdo 1 INTEGRAÇÃO UPLA 7 1.1 Introdução.................................... 7 1.2 Integração upla sobre Retângulos...................... 7 1.3 Significado Geométrico da Integral upla.................. 1 1.4 Integrais Iteradas................................ 14 1.5 Teorema de Fubini............................... 16 1.6 Extensão do Teorema de Fubini........................ 21 1.7 Integração upla sobre Regiões mais Gerais................ 23 1.8 Regiões de tipo I................................. 23 1.9 Regiões de tipo II................................ 24 1.1 Regiões de tipo III................................ 24 1.11 Regiões Elementares.............................. 25 1.12 Extensão da Integral upla.......................... 28 1.13 Integral upla e Volume de Sólidos..................... 29 1.13.1 Exemplos................................ 3 1.14 Exercícios..................................... 43 2 MUANÇA E COORENAAS 45 2.1 Introdução.................................... 45 2.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas................... 47 2.3 Mudança de Coordenadas e Integrais uplas................ 5 2.4 Mudança Linear de Coordenadas....................... 51 2.5 Mudança Polar de Coordenadas....................... 6 2.6 Regiões Limitadas por Círculos........................ 63 2.7 Aplicação..................................... 72 2.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas................... 75 2.9 Outras Aplicações da Integral upla..................... 88 2.1 Massa Total................................... 89 2.11 Momento de Massa............................... 89 2.11.1 Centro de Massa............................ 89 2.12 Momento de Inércia............................... 92 5

6 CONTEÚO 2.13 Exercícios..................................... 94 3 INTEGRAÇÃO TRIPLA 97 3.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos................... 97 3.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais................. 12 3.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço................. 12 3.2.2 Regiões de tipo I............................ 12 3.2.3 Regiões de tipo II............................ 13 3.2.4 Regiões de tipo III........................... 13 3.2.5 Região de tipo IV............................ 14 3.3 Extensão da Integral Tripla.......................... 15 3.4 Exercícios..................................... 112 4 MUANÇA E COORENAAS 115 4.1 Introdução.................................... 115 4.2 Coordenadas Cilíndricas........................... 116 4.3 Coordenadas Esféricas............................. 125 4.4 Exercícios..................................... 133 5 APÊNICE 139 5.1 Limite e Continuidade............................. 139 5.2 iferenciabilidade................................ 139 5.3 Integração.................................... 148 Bibliografia 159

Capítulo 1 INTEGRAÇÃO UPLA 1.1 Introdução As integrais duplas tem inúmeras aplicações em diversas Áreas da Ciência, como por exemplos na Geometria e a Física. Na Geometria as integrais duplas podem ser utilizadas no cálculo de áreas de regiões planas, e do vólume de sólidos no espaço. Na Física podem ser utilizadas para cálcular massa, momentos de massa e de inercia de regiões planas. Inicialmente, estudaremos o conceito de integração dupla para funções, que tem como domínio, retângulos, posteriormente extenderemos o conceito para outros tipos de domínios bem mais gerais. Estudaremos nos próximos parágrafos, como reconhecer o domínio de integração das integrais duplas, pois saber reconhecer estes domínios é fundamental para cálculo das integrais duplas. 1.2 Integração upla sobre Retângulos enotemos por: um retângulo em R 2. R = [a, b [c, d = {(x, y) R 2 /a x b, c y d} Consideremos P 1 = {x, x 1,..., x n } e P 2 = {y, y 1,..., y n } partições de ordem n de [a, b e [c, d respectivamente, tais que: e: a = x < x 1 <...... < x n = b e c = y < y 1 <...... < y n = d 7

8 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA x i+1 x i = b a n e y j+1 y j = d c n. d y j+1 y j R ij R c a x x i i+1 b Figura 1.1: Partição de R Note que se P 1 determina n sub-intervalos e P 2 determina m sub-intervalos, então P 1 P 2 determina n m sub-retângulos. efinição 1.1. O conjunto P 1 P 2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Observações 1.1. 1. Lembremos que f : A R 2 R é uma função limitada se existe k R tal que f(x, y) k, para todo (x, y) A. 2. Isto é, se f é limitada, então G(f) está contido entre os planos paralelos z = ±k. 3. A função f(x, y) = sen(x y) é limitada. e fato, temos que f(x, y) 1, para todo (x, y) R 2. 4. A função f(x, y) = e (x2 +y 2) é limitada. e fato, temos que < f(x, y) 1, para todo (x, y) R 2. Consideremos a função limitada: f : R R 2 R,

1.2. INTEGRAÇÃO UPLA SOBRE RETÂNGULOS 9 os n 2 sub-retângulos: R ij = [x i, x i+1 [y j, y j+1 e c ij R ij arbitrário tal que i, j =,..., n 1. efinição 1.2. A soma: onde: S n = n 1 i= n 1 f(c ij ) x y, j= x = b a n é dita soma de Riemann de f sobre R. e y = d c n. efinição 1.3. Uma função f : R R 2 R limitada é integrável sobre R se lim S n = n + lim n + n 1 i= n 1 j= f(c ij ) x y, existe independente da escolha de c ij R ij e da partição. efinição 1.4. Se f íntegrável sobre R, denotamos este limite por: f(x, y) dx dy, que é denominada integral dupla de f sobre R. R Teorema 1.1. Seja R R 2 é um retângulo e f : R R 2 R é contínua, então f é integrável sobre R. A prova deste teorema pode ser vista em [EL.

1 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 1.3 Significado Geométrico da Integral upla Seja: f : R R 2 R contínua tal que f(x, y) para todo (x, y) R. A existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W R 3 definido por: W = {(x, y, z) R 3 / a x b, c y d, z f(x, y)} Figura 1.2: Vista do sólido W W é um conjunto fechado e limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y), inferiormente pelo retângulo R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c e y = d. Se denotamos por V (W ) o volume de W, então: V (W ) = R f(x, y) dx dy Observemos primeiramente, que os conjuntos R ij são fechados e limitados, por outro lado, as restrições de f a estes sub-intervalos são contínuas, então, pelo Teorema de Weierstrass f atinge seu máximo e seu mínimo sobre R ij.

1.3. SIGNIFICAO GEOMÉTRICO A INTEGRAL UPLA 11 Escolhendo c ij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre R ij, então: f(c ij ) x y é o volume de cada paralelepípedo de base R ij e altura f(c ij ). Figura 1.3: Partição e os paralelepípedos de W, respectivamente S n = n 1 i= é o volume do sólido circunscrito a W. n 1 f(c ij ) x y j= Analogamente se e ij é o ponto onde f atinge seu mínimo sobre R ij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então: s n = é o volume do sólido inscrito em W. n 1 i= n 1 f(e ij ) x y j= Como f é integrável, os limites das somas de Riemann S n e s n independem da escolha de c ij e e ij :

12 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA lim S n = lim s n = f(x, y) dx dy. n n R Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W, tendem ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W. Figura 1.4: Partição e os paralelepípedos de W, respectivamente Figura 1.5: Reconstrução do sólido

1.3. SIGNIFICAO GEOMÉTRICO A INTEGRAL UPLA 13 Figura 1.6: Reconstrução do sólido Observações 1.2. 1. Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos c ij e e ij. 2. A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variável. Proposição 1.1. 1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então para todo α, β R, α f + β g é integrável sobre R, e: ( ) α f(x, y) + β g(x, y) dx dy = α f(x, y) dx dy + β g(x, y) dx dy R R R 2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) f(x, y), para todo (x, y) R, então: g(x, y) dx dy f(x, y) dx dy R R

14 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada R i, i = 1,..., k então f é integrável sobre R e, R f(x, y) dx dy = k i=1 R i f(x, y) dx dy 1.4 Integrais Iteradas Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo: d c [ b f(x, y) dx dy. Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral a b a f(x, y) dx como integral de uma veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de integração c e d. A integral b a [ d f(x, y) dy dx é calculada de forma análoga. c Exemplo 1.1. [1 Calcule 3 1 2 [ 3 1 x 2 y dy dx. 3 x 2 y dy = x 2 y dy = 4x 2 1 e 2 [ 3 1 x 2 y dy dx = 2 4x 2 dx = 32 3. [2 Calcule e π π [ π π cos(x + y) dx dy. cos(x + y) dx = sen(x + y) [ π cos(x + y) dx dy = π x=π x= = sen(y + π) sen(y), (sen(y + π) sen(y)) dy = 4.

1.4. INTEGRAIS ITERAAS 15 [3 Calcule 1 1 [ 1 (x 2 + y 2 ) dx dy. 2 1 (x 2 + y 2 ) dx = ( x 3 3 + x y2) 2 x=1 x= 2 = 3 + 3 y 2 e 1 1 [ 1 (x 2 + y 2 ) dx dy = 2 1 1 (3 + 3 y 2 ) dy = 8. [4 Calcule logo: π 3 π 6 [ 4 ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ dφ. 4 ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ = sen(φ) 4 ρ 2 e ρ3 dρ = sen(φ) eρ3 3 4 ; e logo: π 3 π 6 π 3 4 ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ == sen(φ) e64 1 3 [ 4 ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ π 6 [ 4 dφ = e64 1 3 π 3 π 6 sen(φ) dφ ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ dφ = (e64 1) ( 3 1). 6 [5 Calcule 1 [ 1 y 2 1 y2 dx dy. 1 y 2 1 y2 dx = 1 y 2 e: e 1 [ 1 y 2 1 y2 dx dy = 1 (1 y 2 ) dy = 2 3.

16 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA [6 Seja a função f : [, 1 [, 1 R definida por: { 1 se x Q f(x, y) = 2 y se x / Q. Então: Logo, 1 [ 1 Por outro lado 1 dy dx = 1. 1 dy = 1 1 dy = 1 se x Q 2 y dy = 1 se x / Q. f(x, y) dx não existe, exceto quando y = 1 2 ; logo, 1 [ 1 dx dy não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas. 1.5 Teorema de Fubini O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas, o que facilitará seu cálculo. Teorema 1.2. (Fubini): Seja f : R R contínua sobre R. Então: R f(x, y) dx dy = Prova: Veja o apêndice. Observações 1.3. d c [ b f(x, y) dx dy = a b a [ d f(x, y) dy dx 1. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princípio de Cavalieri: ado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do sólido é dado por: V = d A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e c máxima ao plano de referência. c

1.5. TEOREMA E FUBINI 17 2. Se f é uma função contínua e f(x, y) em todo R, então: f(x, y) dx dy representa o volume do sólido W : R W = {(x, y, z) R 3 /a x b, c y d, z f(x, y)}. a c d b R Figura 1.7: 3. Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da origem, obtemos uma seção plana que tem como área: A(x) = d c f(x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é: R f(x, y) dx dy = b a A(x) dx = b a [ d f(x, y) dy dx. c 4. Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma distância y da origem obtemos uma seção plana de área: A(y) = b a f(x, y) dx.

18 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA Pelo princípio de Cavalieri: f(x, y) dx dy = d A(y) dy = d R c c a [ b f(x, y) dx dy. Exemplo 1.2. [1 Calcule R dx dy, onde R = [a, b [c, d. R dx dy = b a [ d numericamente a integral dupla c dy dx = R b a (d c) dx = (b a) (d c); dx dy, corresponde a área de R ou ao volume do paralelepípedo de base R e altura 1. [2 Calcule f(x, y) dx dy, onde R = [a, b [c, d e f(x, y) = h, h constante positiva. R R f(x, y) dx dy = h dx dy = h A(R) = h (b a) (d c), R onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h. [3 Calcule (x y + x 2 ) dx dy, onde R = [, 1 [, 1. R R (x y + x 2 ) dx dy = = = 1 1 1 [ 1 (x y + x 2 ) dx dy [ x 2 y 2 + x3 x=1 dy 3 x= [ y 2 + 1 dy = 7 3 12. O número 7 representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da 12 função f(x, y) = x y + x 2, tal que (x, y) [, 1 [, 1 e pelos planos coordenados.

1.5. TEOREMA E FUBINI 19 Figura 1.8: Sólido do exemplo [3 [4 Calcule R x y 2 dx dy, onde R = [ 1, [, 1. R x y 2 dx dy = 1 [ x y 2 dx dy = 1 1 2 1 y 2 dy = 1 6. [5 Calcule sen(x + y) dx dy, onde R = [, π [, 2π. R R sen(x + y) dx dy = = 2π 2π [ π sen(x + y) dx dy (cos(y) cos(y + π)) dy =. [6 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 y e inferiormente pelo retângulo definido por x 1 e y 1.

2 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA Figura 1.9: Sólido do exemplo [6 O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 y e inferiormente pelo retângulo R = [, 1 [, 1; então, o volume V é: 1 [ 1 1 V = (1 y) dx dy = (1 y) dx dy = (1 y) dy = 1 2 u.v. R [7 Calcule o volume do sólido limitado por z = x 2 + y 2 e pelos planos x =, x = 3, y = e y = 1. Figura 1.1: Sólido do exemplo [7

1.6. EXTENSÃO O TEOREMA E FUBINI 21 R = [, 3 [, 1. O volume é: V = R (x 2 + y 2 ) dx dy = u.v. =unidades de volume. 1 [ 3 (x 2 + y 2 ) dx dy = 1 (9 + 3y 2 ) dy = 1 u.v. [8 Calcule o volume do sólido limitado por z = 1 y 2 e pelos planos x = 1, x = 1, y = 1 e y = 1. R = [ 1, 1 [ 1, 1. O volume é: V = R (1 y 2 ) dx dy = Figura 1.11: Sólido do exemplo [8 1 1 [ 1 (1 y 2 ) dx dy = 2 1 1.6 Extensão do Teorema de Fubini 1 1 (1 y 2 ) dy = 8 3 u.v. Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralização do teorema 1.1. efinição 1.5. Seja A R tal que R = [a, b [c, d. O conjunto A R tem conteúdo nulo se existe um número finito de sub-retângulos R i R, (1 i n) tais que: A R 1 R 2... R n 1 R n e: lim n + n R i = ; i=1

22 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA onde R i é a área de R i. Exemplo 1.3. [1 Se A = {p 1, p 2,..., p m }, tal que p i R, (1 i m). O conjunto A tem conteúdo nulo. e fato, utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos: R i = (b a) (d c) n 2, 1 i n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então: < n R i i=1 4 m (b a) (d c) n 2. Logo: lim n + n R i =. i=1 [2 R tem conteúdo nulo. d y j+1 y j R ij R c a xi xi+1 b Figura 1.12: R Os pontos de R estão distribuido em 4 n 4 sub-retângulos R ij : < n R i i=1 (4 n 4) (b a) (d c) n 2 4 (b a) (d c), n

1.7. INTEGRAÇÃO UPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 23 pois n 1 n < 1. Logo: lim n + n R i =. i=1 É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b R tem conteúdo nulo. Figura 1.13: G(f) Teorema 1.3. Se f : R R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra vel sobre R. Prova: Veja [EL na bibliografia. 1.7 Integração upla sobre Regiões mais Gerais efiniremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais 1.8 Regiões de tipo I Seja R 2. é uma região de tipo I se pode ser descrita por: = {(x, y) R 2 /a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x)} sendo φ i : [a, b R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ 1 (x) φ 2 (x) para todo x [a, b.

24 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA φ2 φ 2 a φ 1 b a φ1 b Figura 1.14: Regiões de tipo I 1.9 Regiões de tipo II é uma região de tipo II se pode ser descrita por: = {(x, y) R 2 /c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} sendo ψ i : [c, d R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ 1 (y) ψ 2 (y) para todo y [c, d. d ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 c Figura 1.15: Regiões de tipo II 1.1 Regiões de tipo III é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.

1.11. REGIÕES ELEMENTARES 25 1.11 Regiões Elementares Observações 1.4. 1. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. 2. As regiões elementares são fechadas e limitadas. Exemplo 1.4. [1 A região limitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 x x 2 pode ser descrita como de tipo I: A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: { y = x 2 y = 4 x x 2, do qual obtemos: x = e x = 2; logo, = {(x, y) R 2 / x 2, x 2 y 4x x 2 }. 4 3 2 1.5 1. 1.5 2. Figura 1.16: Região de tipo I [2 Seja a região limitada pelas seguintes curvas: y 2 x = 1 e y 2 + x = 1. A região pode ser descrita por: é uma região de tipo II. = {(x, y) R 2 / 1 y 1, y 2 1 x 1 y 2 };

26 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 1.5 1..5-1. -.5.5 1. -.5-1. -1.5 Figura 1.17: Região de tipo II [3 A região limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II: = {(x, y) R 2 / y 2, x 2 y}. 2. 1.5 1..5.5 1. 1.5 2. Figura 1.18: Região de tipo III [4 A região limitada pelas curvas y = x 1 e y 2 = 2 x + 6, pode ser descrita como de tipo II. A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: { y = x 1 y 2 = 2 x + 6,

1.11. REGIÕES ELEMENTARES 27 do qual obtemos: x = 1 e x = 5; logo: = {(x, y) R 2 / 2 y 4, y2 2 3 x y + 1}. 4 3 2 1-2 2 4 6-1 -2 Figura 1.19: Região de tipo II [5 Seja a região limitada pela curva x 2 + y 2 = 1; esta região é do tipo III. e fato: e tipo I: = {(x, y) R 2 / 1 x 1, φ 1 (x) = 1 x 2 y φ 2 (x) = 1 x 2 }. e tipo II: = {(x, y) R 2 / 1 y 1, ψ 1 (y) = 1 y 2 x ψ 2 (y) = 1 y 2 }.

28 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 1..5-1. -.5.5 1. -.5-1. Figura 1.2: Região de tipo III 1.12 Extensão da Integral upla Seja uma região elementar tal que R, onde R é um retãngulo e f : R uma função contínua (logo limitada). efinamos f : R R por: f (x, y) = { f(x, y) se (x, y) se (x, y) R. f é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ; mas se consiste de uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 1.1, f é integrável sobre R. R R Figura 1.21: Gráficos de f e f, respectivamente

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 29 efinição 1.6. f : R é integrável sobre se f é integrável sobre R e em tal caso definimos: f(x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. R Se R 1 é outro retângulo tal que R 1 e f1 : R 1 R é definida como antes, então: f (x, y) dx dy = f1 (x, y) dx dy, R R 1 pois f = f1 = onde R e R 1 diferem. R f* =f* = 1 R 1 Figura 1.22: Região de tipo III Logo, f(x, y) dx dy não depende da escolha do retângulo. 1.13 Integral upla e Volume de Sólidos Proposição 1.2. Se f : R é uma função contínua e limitada sobre, então: 1. Se é uma região de tipo I: f(x, y) dx dy = b [ φ2 (x) a φ 1 (x) f(x, y) dy dx

3 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 2. Se é uma região de tipo II: f(x, y) dx dy = d [ ψ2 (y) c ψ 1 (y) f(x, y) dx dy Para a prova, veja o apêndice. Corolário 1.1. Se f(x, y) = 1 em todo, então: dx dy = Área() e fato, se é de tipo I, temos dx dy = b a [ φ2 (x) φ 1 (x) dx = A(). Corolário 1.2. Se f(x, y) e é contínua em, podemos novamente interpretar a integral dupla de f sobre como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de f e inferiormente por. W = {(x, y, z) R 3 /(x, y), z f(x, y)} é a projeção de W sobre o plano xy e: V (W ) = f(x, y) dx dy 1.13.1 Exemplos [ 1 e x2 dx dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada. Ob- [1 Calcule serve que: 1 y e x2 dx dy = 1 y [ 1 e x2 dx dy. A região, onde está definida a integral, é de tipo II: y 1 e y x 1.

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 31 1..8.6.4.2.2.4.6.8 1. 1.2 Figura 1.23: Região A região é de tipo III; logo, também é de tipo I. e fato: x 1 e y x e: [2 Calcule 1 [ 1 x e x2 dx dy = sen(y) y 1 dy dx. [ x e x2 dy dx = 1 x e x2 dx = e 1 2. 1..8.6.4.2.2.4.6.8 1. Figura 1.24: Região A região, onde está definida a integral é de tipo I: x 1 e x y 1. Por outro lado, é de tipo III, logo também é de tipo II: y 1 e x y, logo:

32 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 1 [ 1 x sen(y) y dy dx = 1 [ y sen(y) y dx dy = 1 sen(y) dy = 1 cos(1). [3 Calcule 1 y2 dx dy, onde é a região limitada por x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante. 1..8.6.4.2.2.4.6.8 1. Consideramos como região de tipo II: Pela proposicão: Figura 1.25: Região = {(x, y) R/ y 1, x 1 y 2 }. 1 [ 1 y 2 1 y2 dx dy = 1 y2 dx dy = 1 (1 y 2 ) dy = 2 3. Note que se escrevemos como região de tipo I, a integração é muito mais complicada.

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 33 [4 Calcule (x + y) 2 dx dy, se é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o eixo dos y. 2. 1.5 1..5.5 1. 1.5 2. Figura 1.26: Região As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo como região de tipo I: = {(x, y) / x 2, x y x 2 + 1}. Logo: (x + y) 2 dx dy = = 1 3 2 [ x 2 x 2 +1 (x + y) 2 dy dx [ ( 3x 2 + 1) 3 8x 3 dx = 21 6. [5 etermine o volume do sólido limitado por y x+z = 1 e pelos planos coordenados. Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (,, 1), (, 1, ), ( 1,, ) e inferiormente pelo plano z =.

34 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA 1-1 Figura 1.27: O sólido e a região, respectivamente A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) = 1 + x y e, inferiormente pela região projeção de W no plano xy. W = {(x, y, z) R 3 / (x, y), z 1 + x y}, onde: = {(x, y) R 2 / 1 x, y x + 1} é região do tipo I. Logo, o volume é: V (W ) = = (1 + x y) dx dy [ x+1 1 (1 + x y) dy dx = 1 2 1 (x + 1) 2 dx = 1 6 u.v. [6 etermine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y 2 e x y = 2.

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 35 Vista da reigião : Figura 1.28: O sólido 2 1 1 2 3 4 Observe que z = f(x, y) = 2 x + 1 e V (W ) = Figura 1.29: A região (2 x + 1) dx dy, onde é a projeção do sólido no plano xy. Considerando como região do tipo II, ela é definida por: O volume é: = {(x, y) R 2 / 1 y 2, y 2 x y + 2}.

36 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA V (W ) = = (2x + 1) dx dy 2 [ y+2 1 y 2 (2 x + 1) dx dy = 2 1 (5 y + 6 y 4 ) dy = 189 1 u.v. [7 Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x 2 +4 y 2 e x 2 + 4 y 2 = 4. O gráfico de z = x 2 + 4 y 2 é um parabolóide elítico e o de x 2 + 4 y 2 = 4 é um cilindro elítico. Figura 1.3: O sólido Vista da rigião :

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 37 1-2 2-1 Figura 1.31: A região Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 4. 1 2 Figura 1.32: A região é a projeção do cilindro no plano xy. é do tipo I: = {(x, y) / x 2, y 4 x 2 }. 2 e:

38 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA V = 4 (x 2 + 4y 2 ) dx dy = 4 2 [ 4 x 2 2 (x 2 + 4 y 2 ) dy dx = 2 2 ( x 2 4 x 2 + (4 x2 ) 3 2 ) dx 3 = 4 π u.v. [8 Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 x x 2. As curvas são parábolas: { y = x 2 y = 4 x x 2, os pontos de interseção das curvas são: (, ) e (2, 4). 4 3 2 1.5 1. 1.5 2. Figura 1.33: A região é do tipo I: x 2 e x 2 y 4x x 2.

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 39 A = dx dy = 2 [ 4x x 2 x 2 dy dx = 2 2 (2x x 2 ) dx = 8 3 u.a. [9 Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2, a. O sólido determinado pela interseção dos cilindros: Figura 1.34: O sólido do exemplo [9 Como o sólido é simétrico em relação à origem, calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8.

4 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA Figura 1.35: O sólido no primeiro octante Claramente é região do tipo I: = {(x, y) / x a, y a 2 x 2 }. 1 Figura 1.36: A região A altura do sólido W é dada por z = f(x, y) = a 2 x 2 e: V = 8 = 8 a2 x 2 dx dy a [ a 2 x 2 a2 x 2 dy dx = 8 a (a 2 x 2 ) dx = 16 a3 3 u.v.

1.13. INTEGRAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 41 [1 Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 1, z = x 2 + y 2 e situado acima do plano xy, no primeiro octante. 1 2 Figura 1.37: Sólido e região do exemplo [1, respectivamente é uma região do tipo II: logo: = {(x, y) / y 5 2, x 1 4 y }; 3 V = (x 2 + y 2 ) dx dy = 5 2 [ 1 4 y 3 (x 2 + y 2 ) dx dy = 2 81 5 2 [ 2 y 5 [ 43 y 2 8 y + 1 dy = 2 81 5 2 [ 86 y 3 375 y 2 + 6 y 5 dy = 15625 1296 u.v. [11 Calcule o volume do sólido limitado por z x y =, z =, y = x 2 e y 2 x =.

42 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA Figura 1.38: Sólido do exemplo [11 é uma região do tipo I: = {(x, y) / x 1, x 2 y x}. 1 Figura 1.39: Região Logo: V = x y dx dy = 1 [ x x 2 x y dy dx = 1 2 1 [x 2 x 5 dx = 1 12 u.v.

1.14. EXERCÍCIOS 43 1.14 Exercícios 1. Calcule R f(x, y) dx dy, se: (a) f(x, y) = x 2 y 3 e R = [, 1 [, 1 (b) f(x, y) = (x + y) 2 (x 2 y 2 ) e R = [, 1 [, 1 (c) f(x, y) = x 2 + 4 y e R = [, 2 [, 3 (d) f(x, y) = x2 e R = [ 1, 1 [ 1, 1 y 2 + 1 (e) f(x, y) = e x y (x 2 + y 2 ) e R = [ 1, 3 [ 2, 1 (f) f(x, y) = x y y 2 e R = [, 5 [, 4 (g) f(x, y) = 5 x y 2 e R = [1, 3 [1, 4 (h) f(x, y) = 2 x + c 2 y e R = [ 2, 2 [ 1, 1 (i) f(x, y) = x 2 y 2 e R = [1, 2 [ 1, 1. 2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado: (a) z = 9 y 2 e R = [, 4 [, 2 (b) z = x 2 + y 2 e R = [ 2, 2 [ 3, 3 (c) z = y 2 x 2 e R = [ 1, 1 [1, 3 (d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [ 1, 2 [2, 3 (e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [, π [, π 2 2 (f) z = x sen(y) e R = [, π [, π 3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:

44 CAPÍTULO 1. INTEGRAÇÃO UPLA (a) (b) (c) 1 2 1 1 [ 1 y [ x 1 [ 1 x 2 tg(x 2 ) dx dy x 2 y dy dx 2 1 y2 dy dx (d) (e) (f) 1 1 3 [ 1 x [ y 3y sen(y 2 ) dy dx e x2 dx dy [ 9 y cos(x 2 ) dx dy y 2 4. Calcule as seguintes integrais sabendo que é limitada pelas curvas dadas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) y dx dy; y = 2 x 2 2, y = x 2 + x x y dx dy; x2 + y2 = 1, x, y a 2 b 2 x dx dy; x y 2 =, x = 1 dx dy x 2 + 1 ; y x2 =, y = 1 (x 2 + y 2 ) dx dy; y =, y = x 1 e x = 1, x = e x+y dx dy; y =, y = x e x 1 = x cos(y) dx dy; y =, y = x 2 e x = 1 4 y 3 dx dy; y = x 6 e y 2 = x (y 2 x) dx dy; y 2 = x e x = 3 2 y 2 (x 2 + 2 y) dx dy; y = 2 x 2 e y = x 2 + 1 (1 + 2 x) dx dy; x = y 2 e y + x = 2 dx dy; y 2 = x 3 e y = x

Capítulo 2 MUANÇA E COORENAAS 2.1 Introdução Seja R 2 uma região elementar no plano uv e: x, y : R, onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num retângulo aberto R tal que R. Estas duas funções determinam uma transformação do plano uv no plano xy. e fato: T : R 2, onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por: { x = x(u, v) y = y(u, v), (u, v). enotemos a imagen de por T como = T ( ), contida no plano xy. 45

46 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS v y * T u x Figura 2.1: Mudança de coordenadas Exemplo 2.1. Seja = [, 1 [, 2π e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). eterminemos = T ( ) no plano xy. { x = y = r cos(t) r sen(t); logo: x 2 + y 2 = r 2 1; então = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 1}. 2 π y T L * x r Figura 2.2: Mudança do exemplo efinição 2.1. Uma transformação T é injetiva em se: T (u 1, v 1 ) = T (u 2, v 2 ) implica em u 1 = u 2 e v 1 = v 2, para todo (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ).

2.2. JACOBIANO A MUANÇA E COORENAAS 47 Observação 2.1. No exemplo 2.1, temos que: = [, 1 [, 2π e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). A transformação T não é injetiva. e fato, T (, t 1 ) = T (, t 2 ) = (, ) para t 1 t 2. Observe que: T (L) = (, ), onde L = {(, t)/ t 2 π}. Mas se = (, 1 (, 2π, T é injetiva. 2.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas Seja T : uma transformação definida por: { x = x(u, v) y = y(u, v), (u, v). Considere a seguinte matriz: x u J(u, v) = y u x v y v onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v). efinição 2.2. 1. J é chamada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T. 2. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T, é denotado e definido por: (x, y) (u, v) = det(j(u, v)), onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v).

48 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Observações 2.1. 1. O jacobiano de T : (x, y) (u, v) = x y u v x v y u, onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v). 2. A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova: Proposição 2.1. Se: (x, y) (u, v) (u, v ), (u, v ), então existe uma vizinhança do ponto (u, v ) tal que a restrição de T a esta vizinhança é injetiva. Exemplo 2.2. [1 No exemplo 2.1, temos que: = [, 1 [, 2π e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). Logo, Note que para todo (r, t) L temos: (x, y) (r, t) = r. (x, y) (r, t) =. [2 Seja o quadrado = [, 1 [, 1 e T (u, v) = (u + v, u v). { x = u + v y = u v.

2.2. JACOBIANO A MUANÇA E COORENAAS 49 Se u =, então y = x; se v =, então y = x, se u = 1; então y = 2 x e se v = 1, então y = x 2. A região = T ( ) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = x, y = x 2 e y = 2 x. O jacobiano: (x, y) (u, v) = 2. 1 1 2 1-1 Figura 2.3: Regiões e, respectivamente [3 Seja a região limitada pelas curvas u 2 v 2 = 1, u 2 v 2 = 9, u v = 1 e u v = 4 no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u 2 v 2, u v). eterminemos T ( ) =, fazendo: { x = u 2 v 2 y = u v; se u 2 v 2 = 1, então x = 1; se u 2 v 2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se u v = 4, então y = 4

5 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 2 4 1 1 1 2 3 1 9 Figura 2.4: Regiões e, respectivamente para todo (u, v). (x, y) (u, v) = 2 (u2 + v 2 ), 2.3 Mudança de Coordenadas e Integrais uplas O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças de coordenadas. Teorema 2.1. Sejam e regiões elementares no plano, T uma transformação de classe C 1 e injetiva em. Suponha que T ( ) =. Então, para toda função integrável f sobre temos: f(x, y) dx dy = f(u, v) (x, y) (u, v) du dv onde: (x, y) (u, v) é o valor absoluto do determinante Jacobiano e a função nas novas coordenadas: f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).

2.4. MUANÇA LINEAR E COORENAAS 51 Corolário 2.1. Em particular a área de é: A() = dx dy = (x, y) (u, v) du dv Observações 2.2. 1. É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de conteúdo nulo de, como no caso de L, no exemplo 1. 2. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva. 2.4 Mudança Linear de Coordenadas A mudança linear é definida pela seguinte transformação: x = y = x(u, v) = a 1 u + b 1 v y(u, v) = a 2 u + b 2 v onde a 1 b 2 a 2 b 1. Como: (x, y) (u, v) = a 1b 2 a 2 b 1, do teorema anterior, segue: Corolário 2.2. Se f(u, v) = f(a 1 u + b 1 v, a 2 u + b 2 v), então: 1. f(x, y) dx dy = a 1 b 2 a 2 b 1 f(u, v) du dv 2. Em particular, a área de é: A() = a 1 b 2 a 2 b 1 du dv = a 1 b 2 a 2 b 1 A( )

52 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Observação 2.2. As inversas da transformação linear são: u = v = u(x, y) = b 2 x b 1 y a 1 b 2 a 2 b 1 v(x, y) = a 2 x + a 1 y a 1 b 2 a 2 b 1, e que: (x, y) (u, v) = (x, y) (u, v) 1. Exemplo 2.3. [1 Seja a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x 2 e y = x + 1, calcule: x y dx dy. 4 3 2 1 1 2 3 Figura 2.5: Região A presença dos termos 2 x y e y x sugerem a seguinte mudança: { u = 2 x y v = y x. A nova região é limitada pelas seguintes curvas: u =, u = 2, v = e v = 1.

2.4. MUANÇA LINEAR E COORENAAS 53 1-2 Note que: logo: Então: Figura 2.6: Região { x = u + v y = u + 2 v, (x, y) (u, v) = 1 e f(u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v 2. x y dx dy = 1 [ (u 2 + 3 u v + 2 v 2 ) du dv = 1. 2 [2 Seja a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule: e y x x+y dx dy. 2 1 1 2 Figura 2.7: Região

54 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS A presença dos termos x + y e x y sugerem a seguinte mudança: { u = x + y v = y x. é limitada pelas curvas x =, y = e x + y = 2; então, é limitada pelas curvas u = v, u = v e u = 2, respectivamente. 2 1 2-2 Figura 2.8: Região (u, v) (x, y) = 2, (x, y) (u, v) = 1 2 e f(u, v) = e v u ; então: 1 x+y dx dy = 2 e y x = 1 2 = 1 2 2 2 e v u du dv [ u e v u dv du u u e v u v=u v= u du [ e e 1 2 = u du = e e 1. 2

2.4. MUANÇA LINEAR E COORENAAS 55 [3 etermine a área da região limitada pela curva fechada (2 x 4 y + 7) 2 + (x 5 y) 2 = 16. 1-1 -5-3 Figura 2.9: Região Considere a mudança: { u = 2 x 4 y v = x 5 y. é a região limitada pela curva (u + 7) 2 + v 2 ( 7, ) de raio 4. = 16 que é um círculo centrado em 4-1 -5-4 Figura 2.1: Região

56 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS (x, y) (u, v) = 6; então (x, y) (u, v) = 1 6 e: A() = 1 6 du dv = 1 6 A( ) = 8 π 3 u.a. [4 Seja a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule: cos ( x y ) dx dy. x + y 1 Figura 2.11: Região A presença dos termos x + y e x y sugerem a seguinte mudança: { u = x y v = x + y.

2.4. MUANÇA LINEAR E COORENAAS 57 1-1 1 Figura 2.12: Região é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = v e v = 1, logo: (x, y) (u, v) = 1 2 e f(u, v) = cos ( u) ; v então: ( ) y x cos dx dy = 1 cos ( u x + y 2 v = 1 2 = 1 2 1 1 = sen(1) [ v = sen(1). 2 v cos ( u v ) du dv ) du dv v ( sen(1) sen( 1) ) dv [5 Seja a região limitada pelas curvas y 2 x = 2, y +2 x = 2, y 2 x = 1 e y +2 x = 1, calcule: 1 v dv y + 2 x dx dy. (y 2 x) 2

58 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 2 1-1 -.5.5 1 Figura 2.13: Região A presença dos termos y + 2 x e y 2 x sugerem a seguinte mudança: { u = y + 2 x v = y 2 x. é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2. 2 1 1 2 Figura 2.14: Região (x, y) (u, v) = 1 4 e f(u, v) = u v 2 ; então:

2.4. MUANÇA LINEAR E COORENAAS 59 y + 2 x (y 2 x) dx dy = 1 u du dv 2 4 v 2 = 1 2 [ 2 u 4 v du dv 2 = 3 16. 1 1 [5 Seja a região limitada pelas curvas y + x = 1, y + x = 4, x y = 1 e x y = 1, calcule: (x + y) 2 e x y dx dy. 3 2 1 1 2 4 Figura 2.15: Região A presença dos termos y + x e y x sugerem a seguinte mudança: { u = x + y v = x y. é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 4, v = 1 e v = 1.

6 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 1 2 4-1 Figura 2.16: Região (x, y) (u, v) = 1 2 e f(u, v) = u 2 e v ; então: (x + y) 2 e x y dx dy = 1 2 = 1 1 1 1 u 2 e v du dv [ 4 1 u 2 e v du dv = 21 (e e 1 ). 2 2.5 Mudança Polar de Coordenadas Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P.

2.5. MUANÇA POLAR E COORENAAS 61 P y P r r θ x Figura 2.17: Mudança polar de coordenadas A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por: Ou, equivalentemente: { r = x2 + y 2 θ = arctg ( y ) x { x = y = r cos(θ) r sen(θ). x. Esta mudança é injetiva em: com θ =constante. = {(r, θ)/r >, θ < θ < θ + 2π}, Note que a região circular = {(x, y) /x 2 + y 2 a 2 } corresponde, em coordenadas polares, à região retangular: = {(r, θ) / r a, θ 2 π} = [, a [, 2 π. Exemplo 2.4. [1 A cardióide é uma curva de equação cartesiana x 2 + y 2 = x 2 + y 2 y; em coordenadas polares fica r = 1 sen(θ), r.

62 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 1-1 1-2 Figura 2.18: Cardióide [2 A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana: (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ); em coordenadas polares fica r 2 = a 2 cos(2θ). 1-1 1 Figura 2.19: Lemniscata [3 O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o seguinte conjunto: em coordenadas polares: C = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 = a 2, a }; C = {(r, θ, z) R 3 /r = a, θ 2 π}. Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:

2.6. REGIÕES LIMITAAS POR CÍRCULOS 63 (x, y) (u, v) = r >. o teorema anterior, segue: Corolário 2.3. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então: 1. f(x, y) dx dy = r f(r, θ) dr dθ 2. Esta igualdade ainda é válida se: = {(r, θ)/r, θ θ θ + 2π}. 3. Em particular a área de é: A() = dx dy = r dr dθ 2.6 Regiões Limitadas por Círculos Seja a >. A região, limitada pelo círculo x 2 + y 2 = a 2, em coordenadas polares é dada por: = {(r, θ) R 2 / r a, θ 2 π}.

64 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 1 1 Figura 2.2: A região Neste caso: f(x, y) dx dy = 2π [ a r f(r, θ) dr dθ A região, limitada pelo círculo (x a) 2 + y 2 a 2, em coordenadas polares é: = {(r, θ) R 2 / r 2 a cos(θ), π 2 θ π 2 }. Figura 2.21: A região Neste caso:

2.6. REGIÕES LIMITAAS POR CÍRCULOS 65 f(x, y) dx dy = π 2 π 2 [ 2 acos(θ) r f(r, θ) dr dθ A região, limitada pelo círculo x 2 + (y a) 2 a 2, em coordenadas polares é: = {(r, θ) R 2 / r 2 a sen(θ), θ π}. Figura 2.22: A região Neste caso: f(x, y) dx dy = π [ 2a sen(θ) r f(r, θ) dr dθ Exemplo 2.5. [1 Calcule no primeiro quadrante. (x 2 + y 2 ) dx dy, onde é a região limitada pelas curvas: x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4, y = x e y = 3 x 3,

66 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Figura 2.23: A região Usando coordenadas polares, a nova região no plano rθ é determinada por: Como x 2 + y 2 = r 2, temos: [2 Calcule = {(r, θ) /1 r 2, (x 2 + y 2 ) dx dy = r 3 dr dθ = π 6 θ π 4 }. π 4 π 6 [ 2 r 3 dr 1 dθ = 5 π 16. ln(x 2 + y 2 ) dx dy, onde é a região limitada pelas curvas: x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2, ( < a < b). Usando coordenadas polares temos que está determinada por: Por outro lado, ln(x 2 + y 2 ) = 2 ln(r), = {(r, θ) / a r b, θ 2π}. ln(x 2 + y 2 ) dx dy = 2 r ln(r) dr dθ b = 4 π r ln(r) dr a b = π (r 2 (2 ln(r) 1)) a = π (2 b 2 ln(b) 2 a 2 ln(a) + a 2 b 2 ).

2.6. REGIÕES LIMITAAS POR CÍRCULOS 67 [3 etermine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficos de z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 2 y. O gráfico de z = x 2 + y 2 é um parabolóide centrado na origem e o do cilindro circular reto x 2 + y 2 = 2y que é centrado em (, 1, ) e de raio 1, pois, podemos escrever x 2 + y 2 2 y = x 2 + (y 1) 2 1. Figura 2.24: O sólido do exemplo [3 Logo = {(x, y) R 2 /x 2 + (y 1) 2 1}, em coordenadas polares é: = {(r, θ) R 2 / r 2 sen(θ), θ π}. O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide; logo: V = (x 2 + y 2 ) dx dy. Utilizando coordenadas polares temos x 2 + y 2 = r 2 e:

68 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS V = (x 2 + y 2 ) dx dy = r 3 dr dθ = π [ 2sen(θ) r 3 dr dθ = 4 = 4 π π sen 4 (θ) dθ [ 3 8 + cos(4θ sen(2θ dθ 8 2 = [ sen 3 (θ) cos(θ) 3 2 3 θ π cos(θ) sen(θ) + 2 = 3π 2 u.v. [4 Calcule o volume do sólido limitado externamente por x 2 + y 2 + z 2 = 25 e internamente por x 2 + y 2 = 9. Figura 2.25: O sólido do exemplo [4

2.6. REGIÕES LIMITAAS POR CÍRCULOS 69 5 3 3 5 Figura 2.26: A região Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8. V = 8 25 x2 y 2 dx dy, onde é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a nova região definida por: e 25 x 2 y 2 = 25 r 2 : V = 8 25 x2 y 2 dx dy = 8 = {(r, θ) / 3 r 5, θ π 2 } π 2 [ 5 [5 A seguinte integral é muito utilizada em Estatística: Seja R = [ a, a [ a, a. Então: R + 3 e x2 dx. a [ a e (x2 +y 2) dx dy = a a [ a = e x2 dx a r 25 r 2 dr dθ = 256π u.v. 3 e x2 e y2 dy [ a dx. e y2 dy a

7 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Figura 2.27: Gráfico de f(x, y) = e (x2 +y 2 ) Se denotamos por : L(a) = a e u2 du = 2 a a e u2 du, temos: L 2 (a) = e (x2 +y 2) dx dy. R Sejam e 1 regiões elementares tais que R 1 onde é a região limitada pelo círculo inscrito em R e 1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R: R Figura 2.28: 1 Como f(x, y) = e (x2 +y 2) é contínua em 1 e e (x2 +y 2) >, para todo x, y, e (x2 +y 2) dx dy L 2 (a) e (x2 +y2) dx dy. 1

2.6. REGIÕES LIMITAAS POR CÍRCULOS 71 Usando coordenadas polares, é definida por r a e θ 2π, 1 é definida por r 2 a e θ 2π: e (x2 +y 2) = e r2 e: 2π [ a r e r2 dr dθ = π (1 e a2 ); então, π (1 e a2 ) L(a) π (1 e 2a2 ). Como: a lim a + e u2 du = + e u2 du, temos: + e u2 du = π 2. [6 Se = {(x, y) R 2 /1 (x y) 2 + (x + y) 2 4, y, x + y }, calcule: e x+y x y dx dy. (x y) 2 Usamos mudança linear: { u = x y v = x + y. Logo, a nova região é limitada pelas curvas u 2 + v 2 = 1, u 2 + v 2 = 4, v u e v:

72 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 2 1 1 2 Figura 2.29: A região (x, y) (u, v) = 2; então (x, y) (u, v) = 1 2 e: e x+y x y (x y) 2 dx dy = 1 2 v e u u 2 du dv. Usando coordenadas polares obtemos a região definida: = {(r, θ) / 1 r 2, θ π 4 }. 1 2 e v u u du dv = 1 r e tg(θ) dr dθ 2 2 r 2 cos 2 (θ) = ln(2) (e 1). 2 2.7 Aplicação Seja região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ) e r = h(θ) e definida por: = {(r, θ)/g(θ) r h(θ), θ 1 θ θ 2 }, onde g, h : [θ 1, θ 2 R são funções contínuas tais que g(θ) h(θ). Então:

2.7. APLICAÇÃO 73 f(x, y) dx dy = θ2 [ h(θ2 ) θ 1 g(θ 1 ) r f(r, θ) dr dθ Em particular, a área de é: A() = dx dy = 1 2 θ2 θ 1 [(h(θ)) 2 (g(θ)) 2 dθ Exemplo 2.6. [1 Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo cilindro r = 4 sen(θ), no primeiro octante. Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo r 4 sen(θ) e θ π 2. Figura 2.3: A região

74 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 4 3 2 1-2 -1 1 2 Figura 2.31: A região V = r 2 dr dθ = π [ 2 4 sen(θ) r 2 dr dθ = 128 9 u.v. [2 Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo exterior do círculo r = 2. 4 3 2 1-2 -1 1 2 Figura 2.32: A região Os círculos se intersectam em: θ = π 6 e θ = 5π 6 e: A() = 1 2 5π/6 π/6 (16 sen 2 (θ) 4) dθ = ( 2π 3 + 2 3 ) u.a. [3 Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 75 Figura 2.33: A região limitada por r = 2(1 + sen(θ)) θ 2 π. Logo: A() = 2 2π (1 + sen(θ)) 2 dθ = 6πu.a. [4 Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ). θ 2 π. Logo: A() = 1 2 Figura 2.34: A região 2π sen 2 (3θ) dθ = π 2 u.a. 2.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas Nesta seção apresentaremos mudanças de coordenadas não usuais. Lembremos, que utilizaremos o teorema de mudança de coordenadas e a fórmula:

76 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS f(x, y) dx dy = f(u, v) (x, y) (u, v) du dv onde: (x, y) (u, v) é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Exemplo 2.7. [1 Calcule: 2 [ x 1 y e x dy dx. Primeiramente observamos que: 2 1 [ x y e x dy dx = y e x dx dy, onde = {(x, y) / 1 x 2, y x}; é região de tipo I. 1 1 2 Figura 2.35: A região Utilizemos a mudança de coordenadas:

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 77 { x = u 2 y = v; x = 1 = u = 1 x = 2 = u = 2 = y = = v = y = x = v = u. Logo, = {(u, v) / 1 u 2, v u}. 1 1 2 O jacobiano da mudança é: Figura 2.36: A região [ (x, y) 2 u (u, v) = det 1 que é não nulo em e f(x, y) = y e x = v e u. Logo: = 2 u; y e x dx dy = 2 u v e u du dv = 2 2 1 [ u u v e u dv du = 2 1 u 3 e u du = 6 + 4 e 2 (2 2 3).

78 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS [2 Calcule: (x 2 + y 2 ) dx dy, onde é limitada por x y = 2, x y = 4, x 2 y 2 = 1 e x 2 y 2 = 9, no primeiro quadrante. 2 1 1 2 3 Figura 2.37: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { u = x 2 y 2 v = 2 x y. x y = 2 = v = 4 x y = 4 = v = 8 = x 2 y 2 = 1 = u = 1 x 2 y 2 = 9 = u = 9. Então = [1, 9 [4, 8. Por outro lado: [ (u, v) 2 x 2 y (x, y) = det 2 y 2 x = 4 (x 2 + y 2 ) = (x, y) (u, v) = 1 4 (x 2 + y 2 ) ; logo: (x 2 + y 2 ) (x, y) (u, v) = 1 4, e:

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 79 (x 2 + y 2 ) dx dy = 1 4 du dv = 1 4 9 1 8 4 dv du = 8. [3 Calcule: (y + 2 x 2 ) (y x 2 ) dx dy, onde é limitada por x y = 1, x y = 2, y = x 2 e y = x 2 1, no primeiro quadrante. 2. 1.5 1..5.5 1. 1.5 2. Figura 2.38: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { u = x y v = y x 2 = x y = 1 = u = 1 x y = 2 = u = 2 y = x 2 = v = y = x 2 1 = v = 1. Então = [1, 2 [ 1,. O jacobiano da mudança é: [ (u, v) y x (x, y) = det = y + 2 x 2 (x, y) = 2 x 1 (u, v) = 1 y + 2 x. 2 Então:

8 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS (y + 2 x 2 ) (y x 2 ) (x, y) (u, v) = v, logo: (y + 2 x 2 ) (y x 2 ) dx dy = v du dv 2 = 1 1 [4 Calcule: e x2 x y y 2 dx dy, onde é limitada por x 2 + y 2 + x y 1. v du dv = 1 2. 1 1 1 1 Completando os quadrados: Figura 2.39: A região x 2 + y 2 + x y = ( x + y 2 Utilizemos a mudança linear de coordenadas: u = x + y 2 ) 2 ( 3 y ) 2. + 2 v = 3 y 2

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 81 A região é dada por = {(u, v) / u 2 +v 2 1}. Por outro lado, o jacobiano da mudança é: (u, v) (x, y) = det 1 1 2 3 2 = 3 2 = (x, y) (u, v) = 2 3 3. Então: e x2 x y y 2 dx dy = 2 3 3 e (u2 +v2) du dv. Utilizando coordenadas polares, temos que = {(r, θ) / r 1, θ 2 π} e: e x2 x y y 2 dx dy = 2 3 3 = 2 3 3 e (u2 +v2) du dv r dr dθ e r2 = 2 3 3 1 2π r e r2 dθ dr = 2 π 3 3 (1 e 1 ). [5 Calcule: (x 2 y 2 ) e xy dx dy, onde é limitada por x y = 1, x y = 4, y = x e y = x + 2 no primeiro quadrante.

82 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 4 3 2 1.5 1. 1.5 2. 2.5 3. Figura 2.4: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { u = x y v = x + y. Logo a região = [1, 4 [, 2: x y = 1 = u = 1 x y = 4 = u = 4 = x + y = = v = x + y = 2 = v = 2. 2 1 4 Figura 2.41: A região O jacobiano da mudança é: (u, v) (x, y) = det [ y x 1 1 = x + y = (x, y) (u, v) = 1 x + y ; observe que como x, y >, temos: (x 2 y 2 ) e xy (x, y) (x y) (x + y) exy (u, v) = = (x y) e xy = v e u. x + y

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 83 Então: [6 Calcule: (x 2 y 2 ) e xy dx dy = v e u du dv = onde = {(x, y) / y 2 2 x, x 2 2 y }. 4 2 1 e x3 +y 3 xy dx dy, v e u dv du = 2 (e e 4 ). 2 2 Figura 2.42: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { x = u 2 v y = u v 2. Então: { y 2 2 x = v 3 2 x 2 2 y = u 3 2. A região = [, 3 2 [, 3 2. Por outro lado: x 3 + y 3 = u 3 + v 3 e (x, y) xy (u, v) = 3 u2 v 2.

84 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Então: e x3 +y 3 xy dx dy = 3 u 2 v 2 u3 +v3 e du dv = 3 u 2 v 2 e u3 e v3 du dv = 3 3 2 [ 3 2 u 2 v 2 e u3 e v3 du dv = 3 2 3 [ v 2 e v3 e u 2 3 dv = (e 2 1) 3 2 v 2 e v3 dv = 1 3 (e2 1) 2. [7 Calcule: x 3 y 3 1 x 4 y 4 dx dy, onde = {(x, y) / x 4 + y 4 1}, no primeiro quadrante. 1 1 1 1 Figura 2.43: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas:

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 85 O jacobiano da mudança é: x = r cos(θ) y = r sen(θ). (x, y) (r, θ) = 1 4 sen(θ) cos(θ) Então: x 3 y 3 (x, y) 1 x 4 y 4 (r, θ) = 1 4 cos(θ) sen(θ) r3 1 r 2 Logo, = {(r, θ) / r 1, θ π 2 } e: x 3 y 3 1 x 4 y 4 dx dy = 1 4 cos(θ) sen(θ) r 3 1 r 2 dr dθ = 1 4 [ 1 r [ π/2 3 1 r 2 dr cos(θ) sen(θ) dθ = 1 6. [8 etermine a área da região limitada por y 2 = 2 p x, y 2 = 2 q x, x 2 = 2 r y e x 2 = 2 s y tais que < p < q e < r < s. Figura 2.44: A região

86 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS Façamos a seguinte mudança de coordenadas: u = y2 y 2 = 2 p x = u = p 2 x y 2 = 2 q x = u = q = x v = x2 2 = 2 r y = v = r 2 y x 2 = 2 s y = v = s. Então = [p, q [r, s. Por outro lado: (u, v) (x, y) = det y2 2x 2 x y y x x2 2y 2 = 3 4 = (x, y) (u, v) = 4 3. Então: A() = 4 dx dy = 3 du dv = 4 (q p) (s r). 3 [9 etermine a área da região limitada por: y = 9 b x, tal que a, b >. a x y x y a + b = 1, a + b = 4, y = b x a e Figura 2.45: A região Façamos a seguinte mudança de coordenadas:

2.8. EXERCÍCIOS E MUANÇA E COORENAAS 87 u = v = a y b x x y a + b = a y = b x = u = 1 a y = 9 b x = u = 3 x y a + b = 1 = v = 1 x y a + = 4 = v = 4. b Então = [1, 3 [1, 4. Não é difícil calcular a inversa da transformação de coordenadas: a v2 x = (1 + u) 2 y = b u2 v 2 (1 + u) 2. Logo: (x, y) (u, v) = det 2 v2 a (1 + u) 3 2 v a (1 + u) 2 2 u v 2 b (1 + u) 3 2 u 2 v b (1 + u) 2 = 4 a b u v3 (1 + u) 4. E: A() = = 3 1 4 a b u v 3 dx dy = 4 du dv (1 + u) [ 4 1 4 a b u v 3 (1 + u) 4 dv du = 255 a b 3 1 u 935 a b 4 du = (1 + u) 64. [1 Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1;

88 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS onde a, b, c. Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo: [ x 2 V = 8 c 1 a + y2 dx dy. 2 b 2 = 1 no primeiro quadrante. Use- A região é limitada pela porção de elipse x2 a + y2 2 b 2 mos a seguinte mudança: { x = a r cos(θ) y = b r sen(θ); o determinante Jacobiano da mudança é: [ (x, y) a cos (t) ar sin (t) (r, θ) = b sin (t) br cos (t) = a b r. Por outro lado: 1 [ x 2 a + y2 = 1 r 2 b 2. 2 A região = [, 1 [, π 2 : V = 8 a b c r 1 r 2 dr dθ = 4 a b c π 1 r 1 r 2 dr = 4 a b c π 3 Em particular, se a = b = c, temos uma esfera de raio a e: V = 4 π a3 3 u.v. 2.9 Outras Aplicações da Integral upla Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e momento de inércia. u.v.

2.1. MASSA TOTAL 89 2.1 Massa Total Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar e consideremos que a massa está distribuida sobre com densidade conhecida, isto é, existe uma função z = f(x, y) > em que representa a massa por unidade de área em cada ponto (x, y). Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em e f é uma função integrável sobre, a massa total M() de é dada por: M() = f(x, y) dx dy 2.11 Momento de Massa O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente: M x = y f(x, y) dx dy, M y = x f(x, y) dx dy (x,y) Figura 2.46: A região 2.11.1 Centro de Massa O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:

9 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS x = M y M(), y = M x M() Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k, (k > ) em todo, (x, y) é chamado centróide de. Neste caso o centro de massa é o centro geométrico da região. Exemplo 2.8. [1 Calcule o centro de massa do retângulo [, 1 [, 1 se a densidade é dada pela função: f(x, y) = e x+y. A massa total de = [, 1 [, 1 é: M() = 1 Os momentos de massa respectivos são: M x = 1 [ 1 e x+y dx dy = e 2 2e + 1. [ 1 y e x+y dx dy = e 1 e M y = 1 [ 1 x e x+y dx dy = e 1 1 e o centro de massa de é ( e 1, 1 e 1 ). [2 etermine o centro de massa da região limitada por um semicírculo de raio a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto à origem. Figura 2.47: A região

2.11. MOMENTO E MASSA 91 f(x, y) = k x 2 + y 2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A nova região é definida por: r a e θ π; x 2 + y 2 = r: M() = k π Os momentos de massa respectivos são: M x = a [ π o centro de massa de é (, [ a r 3 cos(θ) dθ dr = e M y = 3 a 2 k π ). r 2 dr dθ = k π a3. 3 a [ π r 3 sen(θ) dθ dr = a4 2 ; [3 etermine o centróide da região limitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 x x 2. 4 2 1 2 Figura 2.48: A região Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y), onde: = {(x, y) R 2 / x 2, x 2 y 4 x x 2 } e M() = A() = 8. Esta área já foi calculada anteriormente. 3 2 [ 4x x 2 M x = y dy dx = 16 2 e M y = 3 x 2 o centróide de é (2, 1). [ 4x x 2 x 2 x dy dx = 8 3 ; [4 etermine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x 2, y = e x = 2 se a densidade em cada ponto é Exe f(x, y) = y 1+x.

92 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS M() = M x = M y = 2 [ x(x+1) 2 [ x(x+1) 2 [ x(x+1) y 1 + x dy y 2 1 + x dy x y 1 + x dy o centro de massa de é ( 39 25, 26 75 ). 2.12 Momento de Inércia dx = 1 2 dx = 1 2 dx = 1 3 2 2 2 (x 3 + x 2 ) dx = 1 3, (x 4 + x 3 ) dx = 412 45, (x 5 + 2 x 4 + x 3 ) dx = 26 5 ; Sejam L uma reta no plano, uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde d é a distância no plano e (x, y). δ (x,y) L Figura 2.49: Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de, o momento de inércia da lâmina em relação à reta L é: I L = Em particular, se L é o eixo dos x: δ 2 (x, y) f(x, y) dx dy

2.12. MOMENTO E INÉRCIA 93 I x = y 2 f(x, y) dx dy Se L é o eixo dos y: I y = x 2 f(x, y) dx dy O momento de inércia polar em relação à origem é: I = I x + I y = (x 2 + y 2 ) f(x, y) dx dy O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo. Exemplo 2.9. [1 etermine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = e x, x = 1, y = e x =, se a densidade em cada ponto é f(x, y) = x y. I x = I y = xy 3 dx dy = yx 3 dx dy = logo, o momento de inércia polar é: 1 1 [ e x [ e x x y 3 dy dx = 1 64 (3 e4 + 1), y x 3 dy dx = 1 16 (e2 + 3); I = I x + I y = 1 64 (3 e4 + 4 e 2 + 13). [2 Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x 2 +y 2 = a 2 e x 2 +y 2 = b 2, ( < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina. Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a r b e θ 2 π e o momento de inércia polar é: I = k 2 π [ b r 3 dr dθ = k (b4 a 4 )π. 2 a

94 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 2.13 Exercícios 1. etermine o volume dos seguintes sólidos: (a) Limitado superiormente por z = x 2 +y 2 e inferiormente pela região limitada por y = x 2 e x = y 2. (b) Limitado superiormente por z = 3 x 2 + y 2 e inferiormente pela região limitada por y = x e x = y 2 y. (c) Limitado por y 2 + z 2 = 4, x = 2 y, x = e z =, no primeiro octante. (d) Limitado por z = x 2 + y 2 + 4, x =, y =, z = e x + y = 1. (e) Limitado por x 2 + y 2 = 1, y = z, x = e z =, no primeiro octante. 2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e y = cos(x). 3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: (a) y = x 2, y = 2x + 5 4 (b) y = x 2 4, y = 8 (c) y = 5 x 2, y = x + 3 (d) x = y 2, y = x + 3, y = 2, y = 3 (e) y 3 = x, y = x (f) y = x 2 1, y = 2x 4 (g) x = y 2 + 1, y + x = 7 (h) y = 4 x 2, y = x 2 14 4. etermine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade dada f: (a) R é limitado por x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = x y (b) R é limitado por y = x e y = x 2 e f(x, y) = x 2 + y 2 5. efinimos o valor médio de f sobre a região por: V M = 1 f(x, y) dx dy, A onde A é a área de. Calcule V M se:

2.13. EXERCÍCIOS 95 (a) f(x, y) = x 2, e do retângulo de vértices (, ), (4, ), (4, 2) e (, 2) (b) f(x, y) = x 2 y 2 e do retângulo de vértices (, ), (4, ), (4, 2) e (, 2) (c) f(x, y) = x 2 y 2 e do triângulo de vértices (, ), (4, ), e (, 2) (d) f(x, y) = x 2 y 2 e do triângulo de vértices ( 1, ), (1, ), e (, 1) Mudanças de Variáveis 1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u v, calcule: 1 [ 1 ( x 2 + y 2) dx dy. 2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x y = v, calcule: ( x + y ) 2 (x y) 2 dx dy, onde é limitado pelo quadrado de vértices (1, ), (2, 1) e (, 1). 3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x y e v = x + y, calcule: ( x 2 y 2) sen 2 (x + y) dx dy, onde = {(x, y)/ π x + y π, π x y π}. 4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas: (a) e x2 +y 2 dx dy, sendo = {(x, y)/x 2 + y 2 1} (b) (c) ln(x 2 + y 2 ) dx dy, sendo = {(x, y)/x, y, a 2 x 2 + y 2 b 2 } sen( x 2 + y 2 ) x2 + y 2 dx dy, sendo limitadas por x 2 + y 2 = π2 4 e x2 + y 2 = π 2 5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 y 2 e x+2 y 4 =.

96 CAPÍTULO 2. MUANÇA E COORENAAS 6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas: (a) r = 1 e r = 2cos(θ) 3 (fora a circunferência r = 1). (b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ). (c) r = 2 (1 cos(θ)) e r = 2. 7. Calcule sen(x 2 + y 2 ) dx dy, sendo o disco unitário centrado na origem. 8. Sendo dadas a parábola y 2 = x+1 e a reta x+y = 1, calcule o momento de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar. 9. Calcule x 2 + y 2 = 2. 1. Calcule y. 11. Calcule y = x e y =. (x 2 y 2 ) dx dy, onde é a região limitada por x 2 + y 2 1, y e y + 1 x 2 + (y + 1) 2 dx dy, onde é a região limitada por x2 + y 2 1 e y ln(x + y) x 2 dx dy, onde é a região limitada por x + y = 1, x + y = 2, 12. etermine a área da região limitada por x 2 + 3 y 2 2 x 6 y + 1 =. 13. etermine a área da região limitada por x y = 4, x y = 8, x y 3 = 5 e x y 3 = 15. 14. Calcule x + 2 y = 2 e y =. 15. Calcule y = 1 x. cos(x + 2 y) sen(x y) dx dy, onde é a região limitada por y = x, x + y dx dy, onde é a região limitada por y =, 2 y = x e x 2 y 16. etermine o momento de inércia polar da região limitada por x 2 y 2 = 1, x 2 y 2 = 9, x y = 2 e x y = 4.

Capítulo 3 INTEGRAÇÃO TRIPLA O conceito de integrais triplas é análogo ao das integrais duplas, as propriedades e teoremas são análogos aos estudados no capítulo anterior. As definições são obtidas através de somas triplas de Riemann. As aplicações são, cálculo de volume de sólidos, massa, centros de massa e de momentos de inercia de corpos no espaço. 3.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos Este capítulo é totalmente análogo ao anterior. Sejam R R 3 o paralelepípedo retangular definido por: R = [a, b [c, d [p, q Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b, [c, d e [p, q: a = x < x 1 <......... < x n = b c = y < y 1 <......... < y n = d p = z < z 1 <......... < z n = q. Subdividamos R em n 3 sub-paralelepípedos: R ijk = [x i, x i+1 [y j, y j+1 [z k, z k+1, i, j, k = 1... n. 97

98 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA q p R a c d b Figura 3.1: Subdivisão de R enotemos por: Seja: x = b a n, y = d c n e z = q p n. f : R R 3 R uma função limitada. Escolhamos c ijk R ijk e formemos a seguinte soma de Riemann: S n = n 1 n 1 i= j= n 1 f(c ijk ) x y z. k= efinição 3.1. Se lim S n existe e é independente da escolha dos c ijk R ijk e da partição, denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos n + por: Em tal caso f é dita integrável sobre R. lim S n = f(x, y, z) dx dy dz n + R Teorema 3.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R. Para a prova do teorema veja [EL.

3.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEOS 99 Observação 3.1. No capítulo anterior vimos que se: f : [a, b [c, d R, f(x, y) e contínua para todo (x, y) [a, b [c, d, a integral dupla: f(x, y) dx dy representa o volume do sólido: R W = {(x, y, z) R 3 / (x, y) [a, b [c, d, z f(x, y)}. Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois o gráfico de f é um subconjunto de R 4 o qual não é possível visualizar. Mas se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) R: dx dy dz R representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma de Riemann correspondente: S n = n 1 n 1 i= j= n 1 x y z é a soma dos volumes dos n 3 sub-paralelepípedos formado pela partição; então: k= é exatamente o volume de R. lim n + S n A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas. Proposição 3.1. Seja x = (x, y, z) R. 1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre R, então para todo α, β R, α f + β g é integrável sobre R, e: R ( α f(x) + β g(x) ) dx dy dz = α R f(x) dx dy dz + β R g(x) dx dy dz onde x = (x, y, z).

1 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA 2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) f(x), para todo x R, então: g(x) dx dy dz f(x) dx dy dz R R 3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada R i, i = 1,..., k então f é integrável sobre R e, R f(x) dx dy dz = k i=1 R i f(x) dx dy dz A prova segue diretamente das definições. Observações 3.1. 1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de forma completamente análoga ao caso do retângulo; mudando sub-retângulos por subparalelepípedos e área por volume. 2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de f é de conteúdo nulo. 3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora temos 3! = 6 possíveis integrais iteradas. Teorema 3.2. (Fubini) Seja f : R R contínua em R. Então: R f(x, y, z) dx dy dz = = = = b a q p d c b a [ d [ q f(x, y, z) dz dy dx c p [ d [ b f(x, y, z) dx c a [ b [ q a p dy dz f(x, y, z) dz dx dy [ q [ d f(x, y, z) dy p =... c dz dx

3.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEOS 11 A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das integrais duplas, que pode ser vista no apêndice. Exemplo 3.1. [1 Se R = [a, b [c, d [p, q, calcule R que é o volume de R. dx dy dz = b a [ q [ d [2 Se R = [, 1 [1, 2 [, 3, calcule: R p c R xyz dx dy dz = R = 9 2 dx dy dz. dy dz dx = (d c) (q p) (b a), xyz dx dy dz. 2 1 [ 1 [ 3 ) xyz dz dx dy 2 1 [ 1 x y dx dy = 27 8. [3 Se R = [, π [, π [, π, calcule: sen(x + y + z) dx dy dz. R sen(x + y + z) dx dy dz = R π [ π [ π sen(x + y + z) dz dx dy = 8. [4 Se R = [, 1 [, 1 [, 1, calcule: (x 2 + y 2 + z 2 + x y z) dx dy dz. R

12 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA R (x 2 + y 2 + z 2 + x y z) dx dy dz = = = 1 1 1 [ 1 [ 1 (x 2 + y 2 + z 2 + xyz) dz dx dy [ 1 (x 2 + y 2 + 1 3 + 1 2 x y)) dx dy [2 3 + y 4 + y2 dy = 9 8. 3.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais 3.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço e forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidas em regiões mais gerais. Consideremos W R 3. 3.2.2 Regiões de tipo I A região W é do tipo I se pode ser descrita por: W = {(x, y, z) R 3 /(x, y), f 1 (x, y) z f 2 (x, y)} onde é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f 1, f 2 : R contínuas, sendo f 1 f 2. z=f 2 W z=f1 Figura 3.2: Região de tipo I

3.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 13 3.2.3 Regiões de tipo II W é do tipo II se pode ser descrita por: W = {(x, y, z) R 3 /(x, z), g 1 (x, z) y g 2 (x, z)} onde é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g 1, g 2 : R contínuas, sendo g 1 g 2. y=g1 W y=g 2 Figura 3.3: Região de tipo II 3.2.4 Regiões de tipo III W é do tipo III se pode ser descrita por: W = {(x, y, z) R 3 /(y, z), h 1 (y, z) x h 2 (y, z)} onde é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h 1, h 2 : R contínuas, sendo h 1 h 2.

14 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA W x=h x=h 1 2 Figura 3.4: Região de tipo III 3.2.5 Região de tipo IV A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III. como por exemplo região limitada por uma esfera, ou por um elipsóide. Observações 3.2. 1. Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar do espaço. 2. As regiões W são conjuntos fechados e limitados em R 3. 3. Alguns exemplos de regiões elementares: Figura 3.5: Região elementar

3.3. EXTENSÃO A INTEGRAL TRIPLA 15 e tipo III: Figura 3.6: Região elementar Em geral: Figura 3.7: Região elementar 3.3 Extensão da Integral Tripla Seja W uma região elementar em R 3 tal que W R, R um paralelepípedo como antes. Se f : W R é uma função contínua, definamos f : R R por

16 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA f (x, y, z) = { f(x, y, z) se (x, y, z) W se (x, y, z) R W. Se W tem conteúdo nulo, então, f é integrável sobre R e definimos a integral tripla de f sobre W como: f(x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz. W Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W. A integral não depende da escolha do paralelepípedo R. Proposição 3.2. Seja f : W R 3 R contínua. R 1. Se W é do tipo I: W f(x, y, z) dx dy dz = [ f2 (x,y) f 1 (x,y) f(x, y, z) dz dx dy 2. Se W é do tipo II: f(x, y, z) dx dy dz = [ g2 (x,z) W g 1 (x,z) f(x, y, z) dy dx dz 3. Se W é do tipo III: W f(x, y, z) dx dy dz = [ h2 (y,z) h 1 (y,z) f(x, y, z) dx dy dz Observação 3.2. Observe que em todos os casos anteriores é uma região elementar do plano e, portanto, pode ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continuamos com a integral dupla.

3.3. EXTENSÃO A INTEGRAL TRIPLA 17 Corolário 3.1. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) W, então: dx dy dz = V (W ) onde V (W ) é o volume de W. W Exemplo 3.2. [1 Calcule 2 4 x 2 x sen(2 z) 4 z dy dz dx. Note que: onde: 2 4 x 2 x sen(2 z) 4 z dy dz dx = [ x sen(2 z) 4 z dy dz dx, = {(x, z) / x 2, z 4 x 2 }. 4 2 2 Figura 3.8: A região Calculamos primeiro: x sen(2 z) 4 z dy = x sen(2 z) ; 4 z

18 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA a seguir, precisamos calcular: 2 4 x 2 x sen(2 z) 4 z dy dz dx = x sen(2 z) 4 z dz dx, onde consideramos = {(x, z) / x 4 z, z 4} como uma região de tipo III; logo, 2 4 x 2 x sen(2 z) 4 z dy dz dx = 4 4 z x sen(2 z) 4 z dx dz = 4 sin(2 z) 2 dz = 1 cos(8). 4 [2 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z + x 2 = 9 e inferiormente z + y = 4, tal que y = e y = 4. O sólido W é limitado superiormente por z = 9 x 2 e inferiormente por z = 4 y. O sólido W é do tipo I. Figura 3.9: Vistas do sólido do exemplo [2 eterminação de : W = {(x, y, z) R 3 /(x, y), 4 y z 9 x 2 },

3.3. EXTENSÃO A INTEGRAL TRIPLA 19 A região é a projeção de W no plano xy; para determinar basta eliminarmos z das equações ou, equivalentemente achar a interseção de ambas as superfícies: { z = 9 x 2 z = 4 y; obtemos x 2 = y + 5 e: = {(x, y) R 2 / y + 5 x y + 5, y 4}. 4 2-2 2 Figura 3.1: O espaço H Logo: V (W ) = W dx dy dz = 4 [ y+5 [ 9 x 2 y+5 4 y dz dx dy; então:

11 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA V (W ) = = 4 [ y+5 4 y+5 ( 5 x 2 + y ) dx dy ( x 3 5x 3 + x y) y+5 y+5 dy = 4 3 4 (y + 5) 3 2 dy [3 Calcule octante. W = 8 15 (y + 5) 5 2 4 = 648 5 4 5 u.v. 3 x dx dy dz onde W é limitado por z = x 2 + y 2, z = 2, no primeiro Figura 3.11: O sólido do exemplo [3 Se considerarmos W como região de tipo II, W é definida por y z x 2 e é a projeção de W no plano xz; fazendo y = obtemos a parábola z = x 2 e z = 2; logo, é definida por x z e z 2, logo: W = {(x, y, z) / x z, y z x 2, z 2}.

3.3. EXTENSÃO A INTEGRAL TRIPLA 111 2 1 1 Figura 3.12: A região do exemplo [3 W x dx dy dz = Se consideramos W como região I: = = 1 3 2 [ z[ z x 2 2 [ z 2 = 8 2 15. z 3 2 dz x dy dx dz ( ) x z x 2 dx dz W = {(x, y, z) / x 2, y 2 x 2, x 2 + y 2 z 2}. 1 1 Figura 3.13: A região do exemplo [3, no plano xy 2 [ 2 x [ 2 2 x 2 +y 2 x dz dy dx = 8 2 15.

112 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA 3.4 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais: (a) 3 2 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz (b) 1 1 1 1 1 1 x 2 y 2 z 2 dx dy dz (c) 1 x xy x dz dy dx (d) 4 π 1 x x 2 sen(y) dz dx dy (e) π 2 y 1 y sen(y) dz dx dy (f) 1 2 x y x 2 z 4 dz dy dx 2. Considere o sólido limitado por x+y+z = 3, x+y z = 1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo: (a) (b) (c) (d) [ [ [ [ [ [ [ [ dz dy dx dx dy dz dy dx dz dx dz dy 3. Calcule W y = 3 e z = 1. x dx dy dz se W é o paralelepípedo limitado pelos planos x = 2,

3.4. EXERCÍCIOS 113 4. Calcule W planos z = e z = 4. z 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x 2 +y 2 = 1 e pelos dx dy dz 5. Calcule se W é o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 W (x + y + z + 1) 3 e pelos planos coordenados. 6. Calcule W a) 2 + (y a) 2 + (z a) 2 = a 2. 7. Calcule W (x 3 + y 3 + z 3 ) dx dy dz se W é o sólido limitado pela esfera: (x z x 2 + y 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x 2 +y 2 = 2 x e os planos y =, z = e z = a. 8. etermine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y +2 x+z = 8, x =, y = e z =. 9. etermine o volume do sólido limitado por z = 9 x 2, z = 5 y, y = e y = 5.

114 CAPÍTULO 3. INTEGRAÇÃO TRIPLA

Capítulo 4 MUANÇA E COORENAAS 4.1 Introdução Sejam W uma região elementar no espaço e x, y e z as seguintes funções: x, y, z : W R, onde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que W R. Estas três funções determinam uma transformação do espaço uvw no espaço xyz. e fato: T : W R 3, onde T (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). A transformação T é também denotada por: x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w), (u, v, w) W enotemos a imagem de W por T como W = T (W ), contida no espaço xyz. efinição 4.1. 1. T é injetiva em W se T ((u 1, v 1, w 1 )) = T ((u 2, v 2, w 2 )) para todos (u 1, v 1, w 1 ), (u 2, v 2, w 2 ) W implica em u 1 = u 2, v 1 = v 2 e w 1 = w 2. 115

116 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS 2. O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por: x u (x, y, z) (u, v, w) = det y u z u x v y v z v x w y w, z w onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (u, v, w) W. Teorema 4.1. Sejam W e W regiões elementares no espaço, T uma transformação de classe C 1 e injetiva em W. Suponha que T (W ) = W. Então para toda função integrável f sobre W temos: W f(x, y, z) dx dy dz = f(u, v, w) (x, y, z) W (u, v, w) du dv dw onde f(u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e: (x, y, z) (u, v, w) é o valor absoluto do determinante Jacobiano. Observação 4.1. Novamente, é possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de W que seja de conteúdo nulo. 4.2 Coordenadas Cilíndricas Se P = (x, y, z) é um ponto no espaço xyz, suas coordenadas cilíndricas são (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e são definidas por: x = r cos(θ), y = r sen(θ), z = z,

4.2. COORENAAS CILÍNRICAS 117 ou, explicitamante r = x 2 + y 2, z = z e: arctg ( y ) x θ = π + arctg ( y ) x 2π + arctg ( y ) x se x, y >, se x <, se x >, y <. Se x =, então θ = π 2 quando y > e θ = 3π 2 definido. quando y <. Se x = y =, θ não é (x,y,z) θ r (x,y,) Figura 4.1: Coordenadas cilíndricas Esta transformação é injetiva no seguinte subconjunto: e o jacobiano da transformação é: {(r, θ, z)/r >, θ < θ < θ + 2π, z (, + )} (x, y, z) (r, θ, z) = r Exemplo 4.1. [1 O cilindro circular reto C de raio a é dado por: C = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 = a 2, z (, + )}. Em coordenadas cilíndricas x 2 + y 2 = r 2 ; logo r = a, então:

118 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS C = {(r, θ, z) R 3 / r = a, θ 2 π, z (, + )}. [2 O cone com base num disco de raio 1.5 centrado na origem e altura 3. Em coordenadas cilíndricas: logo, o cone em coordenadas cilíndricas: z = z, r 3 2, θ 2 π S = {r, θ, z) R 3 / r 3, θ 2 π, < z < 3}. 2 o teorema anterior: Figura 4.2: O cone do exemplo [2 Corolário 4.1. Seja f(r, θ, z) = f(r cos(θ), r sen(θ), z); então: 1. f(x, y, z) dx dy dz = W r f(r, θ, z) dr dz dθ W 2. Esta igualdade ainda é válida se W = {(r, θ, z)/r, θ θ θ + 2π, z (, + )}.

4.2. COORENAAS CILÍNRICAS 119 3. Em particular, se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z, ) W, então: V (W ) = r dz dr dθ. W Exemplo 4.2. [1 etermine o volume do sólido limitado por x 2 + y 2 = a 2, z = e z = b; a, b. O sólido W é um cilindro centrado na origem, de raio a e altura z onde z b. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W definida por: W = {(r, θ, z) / r a, θ 2 π, z b} = [, a [, 2π [, b. V (W ) = W r dz dr dθ = b [ 2 π [ a r dr dθ dz = π a 2 b u.v. [2 Calcule x dx dy dz, onde W é limitado superiormente por z = 4 e inferormente W por z = x 2 + y 2, tal que x = e y =. O sólido W é definido por: Figura 4.3: Vistas do sólido e a região do exemplo [2

12 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS W = {(x, y, z)/(x, y), x 2 + y 2 z 4}. Para determinar resolvemos o sistema: { z = x 2 + y 2 z = 4 = x 2 + y 2 = 4. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W definida por: W = {(r, θ, z) / r 2 z 4, r 2, θ π 2 }; é a projeção do parabolóide no plano xy, no primeiro quadrante: 2 1 1 2 Figura 4.4: A região do exemplo [2 [3 Calcule W W x dx dy dz = r 2 cos(θ) dz dr dθ W = π 2 [ 2 [ 4 r 2 r 2 cos(θ)dz dr dθ = 64 15. x2 + y 2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por x 2 + y 2 = 1, z = 1 x 2 y 2 abaixo do plano z = 4.

4.2. COORENAAS CILÍNRICAS 121 Figura 4.5: O sólido do exemplo [3 W é determinado por 1 x 2 y 2 x 2 + y 2 1. z 4. A projeção no plano xy é limitada por 1-1 1-1 Figura 4.6: A região Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W determinada por: W = {(r, θ, z) / 1 r 2 z 4, r 1, θ 2 π}; logo: W 2π [ 1 [ 4 x2 + y 2 dx dy dz = 1 r 2 r 2 dz dr dθ = 12 π 5.

122 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS [4 Se W é limitado por z = 8 x 2 y 2 e z = x 2 + y 2, calcule: z dx dy dz. W W é determinado por: Figura 4.7: O sólido do exemplo [4 W = {(x, y, z) / (x, y), x 2 + y 2 z 8 x 2 y 2 }. Onde, no plano xy, é limitada por x 2 + y 2 obtemos a nova região W determinada por: 4. Usando coordenadas cilíndricas W = {(r, θ, z) / r 2, θ 2 π, r z 8 r 2 }; logo: W z dx dy dz = 2 [ 2π [ 8 r 2 r r z dz dθ dr = 8 π. [5 etermine o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a. Pela simetria do sólido calculamos o volume da calota superior da esfera e multiplicamos o resultado por 2. O sólido é definido por: W {(x, y, z) / (x, y), z a 2 x 2 y 2 },

4.2. COORENAAS CILÍNRICAS 123 onde, no plano xy, é limitada por x 2 + y 2 temos que o novo sólido é definido por: = a 2. Usando coordenadas cilíndricas W = {(r, θ, z) / r a, θ 2 π, z a 2 r 2 }; logo: V (W ) = 2 dx dy dz = 2 W a [ 2π [ a 2 r 2 r dz dθ dr = 4 3 π a3 u.v. [6 etermine o volume do sólido limitado por: z = 1 x 2 y 2 e z + 1 = x 2 + y 2. W é definido por: Figura 4.8: O sólido do exemplo [6 W = {(x, y, z) / (x, y), x 2 + y 2 1 z 1 x 2 y 2 }, onde, no plano xy é limitada por x 2 + y 2 = 1. Usando coordenadas cilíndricas temos que o novo sólido é definido por: W = {(r, θ, z) / r 1, θ 2 π, r 1 z 1 r 2 };

124 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS logo: V (W ) = W dx dy dz = 2 1 [ 2π [ 1 r 2 r 1 r dz dθ dr = πu.v. [7 etermine o volume do sólido limitado por z = 9 x 2 y 2 e z = 1 + x 2 + y 2. W é definido por: Figura 4.9: O sólido do exemplo [7 W = {(x, y, z) / (x, y), 1 + x 2 + y 2 z 9 x 2 y 2 }, onde, no plano xy é limitada por x 2 + y 2 = 4. Usando coordenadas cilíndricas temos que o novo sólido é definido por: W = {(r, θ, z) / r 2, θ 2 π, 1 + r 2 z 9 r 2 }; logo: V (W ) = W dx dy dz = 2π [ 2 [ 9 r 2 1+r 2 r dz dr dθ = 16 πu.v.

4.3. COORENAAS ESFÉRICAS 125 4.3 Coordenadas Esféricas Seja P = (x, y, z) um ponto no espaço xyz. Suas coordenadas esféricas são (ρ, θ, φ) onde ρ é a distância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga (,, ) a (x, y, ) e φ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P à origem: x = y = z = ρ cos(θ) sen(φ) ρ sen(θ) sen(φ) ρ cos(φ), onde: ρ = x 2 + y 2 + z 2 θ < 2 π φ π, o que define uma região no espaço ρ θ φ. (x,y,z) φ θ (x,y,) O jacobiano da transformação é: Figura 4.1: Coordenadas esféricas (x, y, z) (ρ, θ, φ) = ρ2 sen(φ)

126 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS Exemplo 4.3. [1 Em coordenadas esféricas uma esfera de raio a, centrada na origem é: S = {(ρ, φ, θ) R 3 /ρ = a, φ π, θ 2 π}. [2 Os cones circulares com eixos coincidentes com o eixo dos z são caracterizados por: onde c R. S = {(ρ, φ, θ) R 3 / ρ [, + ), φ = c, θ 2 π}, Casos particulares: 1. Se c = e φ =, S representa o semi-eixo positivo dos z. 2. Se c = π e φ = π, S representa o semi-eixo negativo dos z. 3. Se c = π 2 e φ = π, S representa o plano xy. 2 4. Se < c < π 2 e φ = c, o cone "abre"para cima. 5. Se π 2 < c < π e φ = c, o cone "abre"para baixo. [3 O sólido limitado por x 2 + y 2 + z 2 1 e x 2 + y 2 + z 2 4 em coordenadas esféricas é dado por: W = {(ρ, φ, θ) R 3 / ρ [1, 2, φ π, θ 2 π}.

4.3. COORENAAS ESFÉRICAS 127 o teorema anterior: Figura 4.11: O sólido do exemplo [3 Corolário 4.2. Seja f(ρ, θ, φ) = f(ρcos(θ)sen(φ), ρsen(θ)sen(φ), ρcos(φ)), então: 1. f(x, y, z) dx dy dz = W ρ 2 sen(φ) f(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ W 2. Esta igualdade ainda é válida se: W = {(ρ, θ, φ) / ρ [, + ), θ 2 π, φ π}. 3. Em particular, se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z, ) W, então: V (W ) = ρ 2 sen(φ) dρ dθ dφ W Exemplo 4.4.

128 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS [1 Calcule o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a centrada na origem. O sólido é definido por x 2 + y 2 + z 2 a 2. Utilizando coordenadas esféricas: W = {(ρ, φ, θ) / ρ a, φ π, θ 2 π} = [, a [, π [, 2π W dx dy dz = a = 2π [ π a [ 2π [ π = 2 π 3 πa3 sen(φ) dπ ρ 2 sen(φ) dθ dφ dρ ρ 2 sen(φ) dφ dρ = 4 3 πa3 u.v. [2 Se W é o sólido limitado por x 2 + y 2 + z 2 = 1, calcule: (x e 2 +y 2 +z 2 ) 3 dx dy dz. Usando coordenadas esféricas temos: W W = {(ρ, φ, θ) / ρ 1, θ 2 π, φ π}. (x Por outro lado e 2 +y 2 +z 2 ) 3 = e ρ3 W e (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 dx dy dz = 1 = 2π [ π 1 [ 2π [ π ρ 2 e ρ3 sen(φ) dθ dφ dρ ( ρ 2 e ρ3 sen(φ) ) dφ dρ = 4π 1 ρ 2 e ρ3 dρ = 4 π(e 1). 3

4.3. COORENAAS ESFÉRICAS 129 [3 Se W é o sólido limitado inferiormente por z = x 2 + y 2 e superiormente por x 2 + y 2 + (z 1 2 )2 = 1 4, calcule W x2 + y 2 + z 2 dx dy dz. Figura 4.12: O sólido do exemplo [3 A esfera x 2 + y 2 + (z 1 2 )2 = 1, em coordenadas esféricas, tem como equação: 4 e o cone: ρ = cos(φ) φ = π 4 ; então: W = {(ρ, φ, θ) / ρ cos(φ), φ π 4, θ 2 π} Logo:

13 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS W x2 + y 2 + z 2 dx dy dz = π [ 4 cos(φ) [ 2π = 2π π [ 4 cos(φ) ρ 3 sen(φ) dθ dρ dφ ρ 3 sen(φ) dρ dφ = π 2 π 4 cos 4 (φ) sen(φ) dφ = π 2 1 (1 8 ). [4 Calcule e (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 dx dy dz onde W é o sólido limitado pela esfera centrada W na origem de raio 4 e os cones z = x2 + y 3(x 2 + y 2 ) e z = 2. 3 Figura 4.13: O sólido do exemplo [4 Usando coordenadas esféricas a equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 é ρ = 4 e as dos cones z = x2 + y 3(x 2 + y 2 ) e z = 2 são, φ = π 3 6 e φ = π 3, respectivamente.

4.3. COORENAAS ESFÉRICAS 131 A região no espaço ρθφ é definida por: W = {(ρ, φ, θ) / ρ 4, θ 2π, π 6 φ π 3 } Logo: W e (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 dx dy dz = 2π [ π [ 4 π 6 3 ρ 2 e ρ3 sen(φ) dρ dφ dθ = π 3 ( 3 1)(e 64 1). [5 etermine o volume do sólido limotado por x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x 2 + y 2 + z 2 = b 2 e z 2 = x 2 + y 2 tal que z e < a < b. Figura 4.14: O sólido do exemplo [5 O sólido é limitado por a 2 x 2 + y 2 + z 2 b 2. Utilizando coordenadas esféricas: W = {(ρ, φ, θ) / a ρ b, φ π 4, θ 2 π} = [a, b [, π [, 2π 4

132 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS W dx dy dz = b [ π/4 [ 2π a = 2π b [ π/4 a ρ 2 sen(φ) dθ dφ dρ ρ 2 sen(φ) dφ dρ = π (1 2) b a ρ 2 dρ = π 3 (2 2) (b 3 a 3 )u.v.

4.4. EXERCÍCIOS 133 4.4 Exercícios 1. Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais: (a) 2 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 +y 2 x dz dy dx. (b) 2 4 x 2 16 x 2 y 2 x2 + y 2 dz dy dx. (c) 1 1 1 x 2 1 x 2 1+ 1 x 2 y 2 1 xdz dy dx. (d) 1 1 x 2 1 x 2 y 2 x2 + y 2 + z 2 dz dy dx. 2. Calcule: x dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelos planos x =, y =, W z = 2 e pelo parabolóide z = x 2 + y 2. 3. Calcule: x dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide x = 4 z 2 + W 4 y 2 e pelo plano x = 4. 4. Calcule: 6 x y dx dy dz, onde W está acima da região plana limitada pelas W curvas y = x, y =, x = 1 e abaixo do plano z = 1 + x + y. 5. Calcule: x y dx dy dz, onde W é o tetraedro de vértices (,, ), (1,, ), W (, 2, ) e (,, 3). 6. etermine o volume: (a) do sólido limitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = e x + z = 1. (b) do sólido limitado pelo cilindro y = cos(x) e pelos planos z = y, x =, x = π 2 e z =.

134 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS 7. O valor médio de uma função w = f(x, y, z) sobre a região W é definido por: V M = 1 vol(w ) W f(x, y, z) dx dy dz. etermine o valor médio da função f(x, y, z) = x y z sobre o cubo com lados de comprimento L que está no primeiro octante com um vértice na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados. 8. 9. 1. Calcule, usando coordenadas cilíndricas x2 + y 2 dx dy dz, onde W é a região contida dentro do cilindro W x 2 + y 2 = 16 e entre os planos z = 5 e z = 4. ( x 2 + y 2) dx dy dz, onde W é o cone x 2 + y 2 z 1. W ( 1 + x2 + y 2) dx dy dz, onde: W W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 z 1}. 11. 12. Calcule, usando coordenadas esféricas x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por abaixo pelo cone W ρ = π e acima pela esfera ρ = 2. 6 ( x 2 + y 2 + z 2) dx dy dz, onde: W 13. W W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 1}. dx dy dz ( x2 + y 2 + z 2) 3, onde W é o sólido limitado pelas esferas: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e x 2 + y 2 + z 2 = b 2, (a < b).

4.4. EXERCÍCIOS 135 14. 15. W dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelas superfícies z 2 z = x 2 + y 2, z = 1 x 2 y 2 e z = 4 x 2 y 2. W x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde: W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 2 z, 1 z}. 16. Calcule o volume do sólido limitado: (a) Por z = 4 x 2 y 2 e pelo plano xy. (b) Por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2. (c) Por z = x 2 + 9 y 2 e z = 18 x 2 9 y 2. (d) Por z = 2 x 2 + 2 y 2 e z = 48 x 2 y 2. 17. Calcule 18. Calcule W W [ x 2 a + y2 2 b + y2 dx dy dz, onde a, b, c > e o sólido definido por: 2 c 2 W = {(x, y, z) R 3 / x2 a 2 + y2 b 2 + y2 c 2 1}. x y z dx dy dz, onde W é formado pelo primeiro octante do elipsóide do exercício anterior, (x, y, z ). 19. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule: (a) W (x 2 + y + z 2 ) 3 dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = e y = 1. (b) (x 2 + y 2 ) dx dy dz, onde W é o sólido limitado pela superfície 2 z = W x 2 + y 2 e o plano z = 2. (c) dx dy dz, onde W é o sólido limitado por x 2 +y 2 +z 2 = 2 R z, x 2 +y 2 = W z 2 e que contem o ponto (,, R).

136 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS 2. Utilizando coordenadas esféricas, calcule: (a) W (x 2 + y 2 ) dx dy dz, onde: W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 a 2, z }. (b) W 1 + (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dx dy dz, onde: W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 1}. (c) W x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde: W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 x}. (d) W a dx dy dz, onde: W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 + z 2 1, x }. 21. Calcule o volume do sólido limitado: (a) pelo cilindro x 2 + 4 y 2 = 4 e pelos planos z = z = x + 2 (b) pelo parabolóide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = x (c) pelos parabolóides z = 9 x 2 + y 2 e z = 18 9 x 2 y 2 (d) pelas superfícies z = x 2 + y 2 e z = x 2 + y 2 (e) pela superfície z = 4 4 x 2 y 2 e o plano xy (f) pelos cilindros x 2 + z 2 = 1 e y 2 + z 2 = 1. (g) pelos planos z =, y =, z = x e pelo cilindro x 2 + y 2 = 9

4.4. EXERCÍCIOS 137 22. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w = f(x, y, z), a massa de W é definida por: M W = W f(x, y, z) dx dy dz. As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por: e: x = y = W W x f(x, y, z) dx dy dz M W, y f(x, y, z) dx dy dz M W z = z f(x, y, z) dx dy dz W M W (a) Calcule a massa de W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 9, z 9 x 2 y 2 } se a densidade é f(x, y, z) = z (b) Calcule o centro de massa do sólido limitado por z 2 = x y, x = 5, y = 5 e z = se a densidade é f(x, y, z) = 1 (c) Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e situado acima do plano z =, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional á distância do ponto ao centro da esfera. (d) Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dada por f = C e (ρ/r)3, onde C >, R é o raio da estrela e ρ é a distância do ponto ao centro da estrela. Calcule a massa da estrela 23. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w = f(x, y, z), então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definido por:

138 CAPÍTULO 4. MUANÇA E COORENAAS e: I x = I y = I z = W W W (y 2 + z 2 ) f(x, y, z) dx dy dz, (x 2 + z 2 ) f(x, y, z) dx dy dz (x 2 + y 2 ) f(x, y, z) dx dy dz etermine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo indicado supondo que a densidade é K constante. (a) W = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 a 2, z h} em relação ao eixo dos x (b) W = {(x, y, z) R 3 / a 2 x 2 + y 2 b 2, z h} em relação ao eixo dos z

Capítulo 5 APÊNICE 5.1 Limite e Continuidade Teorema 5.1. Seja f : A R n R uma função. Se o limite de f quando x aproximase de x existe, então ele é único. Prova: Suponha que lim x x f(x) = L e lim x x f(x) = M. Então, para todo ε > existe δ > tal que < x x < δ implica em f(x) L < ε 2 e f(x) M < ε 2. Como x A A, podemos escolher x A tal que < x x < δ, o que acarretará: L M L f(x) + f(x) M < ε 2 + ε 2 = ε. Como ε é arbitrário, L = M. 5.2 iferenciabilidade Teorema 5.2. Seja f : A R n R uma função definida no conjunto aberto A tal que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas é contínua no ponto x A. Então f é diferenciável em x. Prova: Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Sejam - x = (x, y ) e h = (h, k) tal que x + h A. enotemos por M = f(x + h, y + k) f(x, y ); então: M = (f(x + h, y + k) f(x, y + k)) + (f(x, y + k) f(x, y )). 139

14 CAPÍTULO 5. APÊNICE efinamos a função g(t) = f(x + t h, y + k), t [, 1; pelo teorema do valor médio para funções de uma variável, existe θ 1 (, 1) tal que ou equivalentemente: g(1) g() = g (θ 1 ), f(x + h, y + k) f(x, y + k) = h f x (x + θ 1 h, y + k). efinamos a função h(t) = f(x, y + t k), t [, 1; pelo teorema do valor médio para funções de uma variável, existe θ 2 (, 1) tal que ou: h(1) h() = h (θ 2 ) f(x, y + k) f(x, y ) = k f y (x, y + θ 2 k). Então M = h f x (x + θ 1 h, y + k) + k f y (x, y + θ 2 k), ou: enote por: f(x + h, y + k) f(x, y ) = h f x (x + θ 1 h, y + k) + k f y (x, y + θ 2 k). K = f(x + h, y + k) f(x, y ) h f x (x, y ) k f y (x, y ), L = ( f x (x + θ 1 h, y + k) f x (x, y )) S = ( f y (x, y + θ 2 k) f y (x, y )). Então h h2 + k 2 1 e K h2 + k 2 k h2 + k 2 1. h h2 + k 2 L + k h2 + k 2 S. Pela continuidade das derivadas parciais no ponto x, segue que f é diferenciável no ponto x.

5.2. IFERENCIABILIAE 141 Proposição 5.1. Se f é diferenciável no ponto x, então f é contínua em x. Prova: (n = 2). O caso geral é análogo. evemos provar, que para todo ε > existe δ > tal que: f(x, y) f(x, y ) < ε se < x x < δ. Se f é diferenciável no ponto x, então, para ε 1 = 1 existe δ 1 > tal que: f(x, y) f(x, y ) f x (x )(x x ) f y (x )(y y ) < x x, se < x x < δ 1. enotaremos por: k(x, y) = ( f x (x, y ) (x x ) + f y (x, y ) (y y )); então: Por outro lado, f(x, y) f(x, y ) = f(x, y) f(x, y ) k(x, y) + k(x, y) f(x, y) f(x, y ) k(x, y) + k(x, y) < x x + k(x, y). f x (x )(x x ) f x (x ) (x x ) 2 + (y y ) 2, f y (x )(y y ) f y (x ) (x x ) 2 + (y y ) 2. enotemos por M o maior entre f x (x ) e f y (x ). Teremos: k(x, y) 2 M x x ; então: ado ε >, seja δ = min{δ 1, f(x, y) f(x, y ) < (2 M + 1) x x. ε 2 M + 1 }; se x x < δ, temos f(x, y) f(x, y ) < ε. Teorema 5.3. (Schwarz)Se f : A R n R é uma função de classe C 2 no ponto x, então para todo i, j = 1...n tem-se:

142 CAPÍTULO 5. APÊNICE x j ( ) f (x ) = ( ) f (x ), i j. x i x i x j Prova: Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Consideremos x = (x, y ). Sejam ε > tal que (x ε, x + ε) (y ε, y + ε) A e t ( ε, ε). efinamos as funções: φ(t) = f(x + t, y + t) f(x + t, y ) f(x, y + t) + f(x, y ) r(x) = f(x, y + t) f(x, y ); e então φ(t) = r(x + t) r(x ). Aplicando o teorema do valor médio para funções de uma variável à função: r(x) onde x [x, x + t, existe θ 1 (, 1) tal que: ou: r(x + t) r(x ) = t r (x + t θ 1 ) φ(t) = t ( f x (x + t θ 1, y + t) f x (x + t θ 1, y )). As funções f x e f y são contínuas no ponto (x, y ). Aplicando o teorema do valor médio para funções de uma variável a: existe θ 2 (, 1) tal que: m(y) = f x (x + t θ 1, y), y [y, y + t, ou: m(y + t) m(y ) = t 2 f y x (x + t θ 1, y + t θ 2 ) φ(t) = t 2 2 f y x (x + t θ 1, y + t θ 2 ). e forma análoga para s(y) = f(x + t, y) f(x, y), obtemos: e: φ(t) = t 2 2 f x y (x + t θ 3, y + t θ 4 ), θ 3, θ 4 (, 1),

5.2. IFERENCIABILIAE 143 2 f y x (x + t θ 1, y + t θ 2 ) = 2 f x y (x + t θ 3, y + t θ 4 ); fazendo t e lembrando que as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, provamos o teorema. Proposição 5.2. Se f é uma função de classe C 1 então: f (x) = f(x) v. v Prova: Seja g(t) = f(x+t v 1, y +t v 2, z +t v 3 ); g é uma função derivável de uma variável; utilizando a regra da cadeia, derivamos g: por outro lado: g () = f x v 1 + f y v 2 + f y v 3 = f(x, y, z) v; f v (x, y, z) = g (). efinição 5.1. 1. Uma curva diferenciável parametrizada γ pasando por x em R n é determinada por n funções diferenciáveis: x i : I R R, i = 1, 2,..., n tal que γ(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) e γ(t ) = x, onde I R. 2. A derivada de γ é γ (t) = (x 1(t), x 2(t),..., x n(t)). 3. Uma curva parametrizada γ em A R n é tal que γ(i) A.

144 CAPÍTULO 5. APÊNICE Proposição 5.3. Seja (x, y, z ) S c. Suponha que f(x, y, z ), então f(x, y, z ) é normal ao plano tangente a S c no ponto (x, y, z ). Prova: Seja γ uma curva sobre a superfície S c tal que γ(t ) = (x, y, z ), para algum t R. Então f(γ(t)) = c, pois γ pertence à S c. d dt (f(γ(t)) = e f(γ(t)) γ (t) = ; t=t logo: f(x, y, z ) γ (t ) =. Isto é válido para qualquer curva em S c passando por (x, y, z ). Teorema 5.4. Seja f : A R n R uma função diferenciável definida no aberto A e x um ponto extremo local de f. Então f(x ) =. Prova: Suponha que x é ponto de máximo de f. Para todo v R n a função real h(t) = f(x + t v) possui um ponto de máximo em t = ; pela regra da cadeia: = d dt h(t) t= = f(x ) v e a igualdade vale para todo v; então f(x ) =. A prova é análoga se x é ponto de mínimo local de f. Teorema 5.5. Seja a família de funções: f(x, y) = A x 2 + 2 B x y + C y 2, tal que A, B, C R e não são todas simultaneamente nulas. enotemos por: = A C B 2. 1. Se > e A >, então (, ) é ponto de mínimo de f. 2. Se > e A <, então (, ) é ponto de máximo de f. 3. Se <, então (, ) é ponto de sela de f.

5.2. IFERENCIABILIAE 145 Prova: Suponha que > ; logo A. f(x, y) = A ( x + B y ) 2 y 2 + A A ; ambas as parcelas tem o mesmo sinal que A e f(x, y) = se e somente se: x + B y = A y = ; então f(x, y) = se e somente se x = y =. 1. Se A >, temos = f(, ) < f(x, y) e (, ) é ponto de mínimo de f. 2. Se A <, temos f(x, y) < f(, ) = e (, ) é ponto de máximo de f. 3. Suponha que < e A ; denotando por: E = B2 AC, A temos: f(x, y) = A (( x + B y A ) )(( B y ) ) E y x + + E y ; A f(x, y) = se, e somente se: y = logo: A x A E B ou y = A x A E + B ; f(x, y) > se y > f(x, y) < se y < A x A E B ou y > A x A E + B e A x A E B ou y < A x A E + B. Portanto, numa vizinhança de (, ) f toma valores negativos e positivos. Se A =, então f(x, y) = 2 B x y + C y 2 ; logo B, caso contrário = ; então: f(x, y) = y (2 B x + C y);

146 CAPÍTULO 5. APÊNICE portanto: f(x, y) > se, e somente se { y > e B x + C y > ou y < e B x + C y <. f(x, y) < se, e somente se { y > e B x + C y < ou y < e B x + C y >. Teorema 5.6. Sejam z = f(x, y) uma função de classe C 2 definida num conjunto aberto U R 2 e (x, y ) U um ponto crítico de f. enotemos por: A(x, y) = 2 f (x, y), x B(x, 2 y) = 2 f (x, y), x y C(x, y) = 2 f (x, y), y2 então a hessiana: H(x, y) = A(x, y) C(x, y) B 2 (x, y). Então: 1. Se A(x, y ) > e H(x, y ) >, então (x, y ) é ponto de mínimo local de f em U. 2. Se A(x, y ) < e H(x, y ) >, então (x, y ) é ponto de máximo local de f em U. 3. Se H(x, y ) <, então (x, y ) é ponto de sela de f em U. 4. Se H(x, y ) =, nada se pode concluir. Prova: Seja θ [, 2 π. Consideramos a seguinte função de uma variável: h(r) = f(x + r cos(θ), y + r sen(θ)); h(r) descreve o comportamento de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x, y ) e na direção (cos(θ), sen(θ)). enotemos por a = x + r cos(θ) e b = y + r sen(θ); usando a regra da cadeia, derivemos a função h:

5.2. IFERENCIABILIAE 147 h (r) = f f (a, b) cos(θ) + (a, b) sen(θ); x y então, r = é ponto crítico de h. erivando novamente: Fazendo h (r) = 2 f x 2 (a, b) cos2 (θ) + 2 2 f x y (a, b) cos(θ) sen(θ) + 2 f y 2 (a, b) sen2 (θ). A = 2 f x 2 (x, y ), x = cos(θ) e y = sen(θ), obtemos: B = 2 f x y (x, y ), C = 2 f y 2 (x, y ), h () = A x 2 + 2 B x y + C y 2 Como A > e H >, pelo teorema anterior h () > ; então h possui um ponto de mínimo em r =. O argumento vale para todo θ [, 2 π. Logo f possui um ponto de mínimo local em (x, y ). Os demais casos ficam como exercícios. Teorema 5.7. Sejam f, g : A R n R funções de classe C 1. enotemos por S um conjunto de nível de g. Se f tem um ponto de máximo ou de mínimo x S e g(x ), então existe λ R tal que: f(x ) = λ g(x ). Prova: Faremos a prova para n = 2, o caso n = 3 é análogo. Suponha que a curva de nível de g se escreva na forma paramétrica γ(t) = (x(t), y(t)) e que γ (t) = (x (t), y (t)) ; consideremos a seguinte função de uma variável β(t) = f(γ(t)) = f(x(t), y(t)) tal que t (a, b). Como f possui um ponto extremo em x, então, existe t (a, b) tal que β possui um ponto extremo em t ; logo, β (t ) = e pela regra da cadeia: β (t) = f dx (x(t), y(t)) x dt + f y (x(t), y(t)) dy dt = f(x(t), y(t)) γ (t).

148 CAPÍTULO 5. APÊNICE enotando x = (x(t ), y(t )) e calculando β (t ) = ; temos, f(x ) γ (t ) = ; portanto f(x ) e γ (t ) = são ortogonais. Como f é ortogonal às curvas de nível de f, no ponto x as curvas de nível de g e de f devem ser tangentes e f(x ) = λ g(x ). 5.3 Integração Teorema 5.8. (Fubini) Seja f : R R 2 contínua sobre R. Então: R onde R = [a, b [c, d. f(x, y) dx dy = d c [ b f(x, y) dx dy = a b a [ d f(x, y) dy dx, Prova: Fixemos x [a, b e consideremos a função f x : [c, d R definida por f x (y) = f(x, y), para todo y [c, d. Como f x é contínua em [c, d, é integrável em [c, d; definamos: A(x ) = d c f(x, y) dy. Provaremos que a função: A : [a, b R é integrável em [a, b e: b a A(x) dx = R f(x, y) dx dy. Como antes, seja c = y < y 1 <... < y n = d uma partição de ordem n de [c, d tal que y = d c n ; logo: n 1 yk+1 A(x) = f(x, y) dy. k= Pelo teorema do valor médio para integrais, temos: yk+1 y k y k f(x, y) dy = f(x, y k(x)) (y k+1 y k ), onde yk (x) [y k, y k+1 (yk (x) possívelmente depende de x); então: n 1 A(x) = f(x, yk(x)) (y k+1 y k ). k= c

5.3. INTEGRAÇÃO 149 Pela definição de integral para funções de uma variável: b a ( d c ) f(x, y) dy dx = b a A(x) dx = n 1 lim n + k= A(p j ) (x j+1 x j ), onde a = x < x 1 <... < x n = b é uma partição de ordem n de [a, b tal que: x = b a n e p j [x j, x j+1. n 1 Considere c jk = (p j, y k (p j )) R jk, logo A(p j ) = f(c jk ) (y k+1 y k ) e b a [ d c f(x, y) dy dx = b a A(x) dx = k= n 1 lim n + j= A(p j ) (x j+1 x j ) e forma análoga prova-se que: d c [ b a n 1 = lim n + = R n 1 f(c jk ), (y k+1 y k ) (x j+1 x j ) j= k= f(x, y) dx dy. f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. R Proposição 5.4. Se f : R é contínua e limitada sobre, então: 1. Se é uma região de tipo I: 2. Se é uma região de tipo II: f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy = b [ φ2 (x) a φ 1 (x) d [ ψ2 (y) c ψ 1 (y) f(x, y) dy dx. f(x, y) dx dy.

15 CAPÍTULO 5. APÊNICE Prova: Se R = [a, b [c, d e R, podemos utilizar todos os resultados anteriores. Em particular para integrais iteradas. e fato, f(x, y) dx dy = f (x, y) dx dy R b [ d = f (x, y) dy dx a c d [ b = f (x, y) dx dy. Suponha que é uma região de tipo I definida por: φ i : [a, b R, i = 1, 2. Consideremos: b a c [ d f (x, y) dy dx. c a d φ2 R c φ1 a x b Figura 5.1: Fixando x [a, b, f é limitada e contínua, exceto, possivelmente em dois pontos, logo a integral d c f (x, y) dy existe. Mas f (x, y) = se c < y < φ 1 (x) e φ 2 (x) < y < d. d f (x, y) dy = φ2 (x) f (x, y) dy = φ2 (x) c φ 1 (x) φ 1 (x) f(x, y) dy,

5.3. INTEGRAÇÃO 151 pois f = f em. Então, se é de tipo I: f(x, y) dx dy = Se é do tipo II, a prova é análoga. b [ φ2 (x) a φ 1 (x) f(x, y) dy dx.

152 CAPÍTULO 5. APÊNICE

Lista de Figuras 1.1 Partição de R................................... 8 1.2 Vista do sólido W................................ 1 1.3 Partição e os paralelepípedos de W, respectivamente........... 11 1.4 Partição e os paralelepípedos de W, respectivamente........... 12 1.5 Reconstrução do sólido............................. 12 1.6 Reconstrução do sólido............................. 13 1.7.......................................... 17 1.8 Sólido do exemplo [3.............................. 19 1.9 Sólido do exemplo [6.............................. 2 1.1 Sólido do exemplo [7.............................. 2 1.11 Sólido do exemplo [8.............................. 21 1.12 R......................................... 22 1.13 G(f)........................................ 23 1.14 Regiões de tipo I................................. 24 1.15 Regiões de tipo II................................ 24 1.16 Região de tipo I................................. 25 1.17 Região de tipo II................................. 26 1.18 Região de tipo III................................ 26 1.19 Região de tipo II................................. 27 1.2 Região de tipo III................................ 28 1.21 Gráficos de f e f, respectivamente...................... 28 1.22 Região de tipo III................................ 29 1.23 Região..................................... 31 1.24 Região..................................... 31 1.25 Região..................................... 32 1.26 Região..................................... 33 1.27 O sólido e a região, respectivamente..................... 34 1.28 O sólido..................................... 35 1.29 A região.................................... 35 1.3 O sólido..................................... 36 1.31 A região.................................... 37 153

154 LISTA E FIGURAS 1.32 A região.................................... 37 1.33 A região.................................... 38 1.34 O sólido do exemplo [9............................ 39 1.35 O sólido no primeiro octante.......................... 4 1.36 A região.................................... 4 1.37 Sólido e região do exemplo [1, respectivamente.............. 41 1.38 Sólido do exemplo [11............................. 42 1.39 Região..................................... 42 2.1 Mudança de coordenadas........................... 46 2.2 Mudança do exemplo.............................. 46 2.3 Regiões e, respectivamente....................... 49 2.4 Regiões e, respectivamente....................... 5 2.5 Região..................................... 52 2.6 Região.................................... 53 2.7 Região..................................... 53 2.8 Região.................................... 54 2.9 Região..................................... 55 2.1 Região.................................... 55 2.11 Região..................................... 56 2.12 Região.................................... 57 2.13 Região..................................... 58 2.14 Região.................................... 58 2.15 Região..................................... 59 2.16 Região.................................... 6 2.17 Mudança polar de coordenadas........................ 61 2.18 Cardióide..................................... 62 2.19 Lemniscata.................................... 62 2.2 A região.................................... 64 2.21 A região.................................... 64 2.22 A região.................................... 65 2.23 A região.................................... 66 2.24 O sólido do exemplo [3............................ 67 2.25 O sólido do exemplo [4............................ 68 2.26 A região.................................... 69 2.27 Gráfico de f(x, y) = e (x2 +y 2).......................... 7 2.28.......................................... 7 2.29 A região.................................... 72 2.3 A região.................................... 73 2.31 A região.................................... 74 2.32 A região.................................... 74

LISTA E FIGURAS 155 2.33 A região limitada por r = 2(1 + sen(θ))................... 75 2.34 A região.................................... 75 2.35 A região.................................... 76 2.36 A região................................... 77 2.37 A região.................................... 78 2.38 A região.................................... 79 2.39 A região.................................... 8 2.4 A região.................................... 82 2.41 A região.................................... 82 2.42 A região.................................... 83 2.43 A região.................................... 84 2.44 A região.................................... 85 2.45 A região.................................... 86 2.46 A região.................................... 89 2.47 A região.................................... 9 2.48 A região.................................... 91 2.49.......................................... 92 3.1 Subdivisão de R................................. 98 3.2 Região de tipo I................................. 12 3.3 Região de tipo II................................. 13 3.4 Região de tipo III................................ 14 3.5 Região elementar................................ 14 3.6 Região elementar................................ 15 3.7 Região elementar................................ 15 3.8 A região.................................... 17 3.9 Vistas do sólido do exemplo [2........................ 18 3.1 O espaço H.................................... 19 3.11 O sólido do exemplo [3............................ 11 3.12 A região do exemplo [3............................ 111 3.13 A região do exemplo [3, no plano xy..................... 111 4.1 Coordenadas cilíndricas............................ 117 4.2 O cone do exemplo [2............................. 118 4.3 Vistas do sólido e a região do exemplo [2.................. 119 4.4 A região do exemplo [2............................ 12 4.5 O sólido do exemplo [3............................ 121 4.6 A região.................................... 121 4.7 O sólido do exemplo [4............................ 122 4.8 O sólido do exemplo [6............................ 123 4.9 O sólido do exemplo [7............................ 124 4.1 Coordenadas esféricas............................. 125

156 LISTA E FIGURAS 4.11 O sólido do exemplo [3............................ 127 4.12 O sólido do exemplo [3............................ 129 4.13 O sólido do exemplo [4............................ 13 4.14 O sólido do exemplo [5............................ 131 5.1.......................................... 15

Índice Área, 3 Centro de Massa, 89 Conteúdo Nulo, 1 Conteúdo nulo, 21 Função integrável, 9, 98 limitada, 8 Integração upla, 7 aplicação, 72, 88 centro de massa, 89 extensão, 28 linearidade, 13 massa total, 89 momento de inércia, 92 momento de massa, 89 mudança de coordenadas, 45 partição, 8 propriedades, 13 regiões elementares, 23 significado geométrico, 1 sobre Retângulos, 7 soma de Riemann, 9 teorema de Fubini, 16 volume, 29 Integração Tripla, 97 extensão, 15 linearidade, 99 mudança de coordenadas, 115 propriedades, 99 sobre paralelepípedos, 97 soma de Riemann, 98 teorema de Fubini, 1 Integração Triplas regiões elementares, 12 Integrais Iteradas, 14 Integral upla, 9 linearidade, 13 Jacobiano, 47, 115 Momento de Inércia, 92 Mudança Cilíndrica, 116 Mudança de Coordenadas cilíndrica, 116 esférica, 125 linear, 51 polar, 6 Mudança Esférica, 125 Mudança Linear, 51 Mudança Polar, 6 Mudanças de Coordenadas, 45, 115 integral dupla, 5 integral tripla, 116 jacobiano, 47, 115 Partição, 98 Região de tipo I, 23 de tipo II, 24 de tipo III, 24 Regiões Elementares, 25 limitadas por círculos, 63 no espaço, 12 Teorema de Fubini, 16, 1 157

158 ÍNICE extensão, 21 Volume integral dupla, 29 integral tripla, 16

Bibliografia [TA [EL [MW [VC T. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, Reading, Mass, Addison-Wesley Pub. Co. E. Lima: Curso de Análise, Vol. II, Ed. Universitaria. J. Marsden- A. Weinstein: Calculus, Vol. II e III, Springer-Verlag. M. Vilches - M. Corrêa: Cálculo: Volume I, www.ime.uerj.br/ calculo. 159