Material Básico: Calculo A, Diva Fleming

1 Limites Material Básico: Calculo A, Diva Fleming O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de integral, que são os suportes de toda a construção das variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes. A noção de ite fornece um caminho preciso para distinguir o comportamento de algumas funções que variam continuamente e o comportamento de outras funções que podem variar independente do modo como se controla as variáveis. Na matemática, o ite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores. Veja: Note que à medida que x se aproxima de, o valor de y se aproxima de 1, isto é, quando x tende a (x ), y tende a 1 (y 1). Portanto: x 1, y 0 x 1, y x, y 3 A utilização de ites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de ites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes. Observe a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9. Pela direita f(3,1) = (3,1)² = 9,61 f(3,01) = (3,01)² = 9,06 f(3,001) = (3,001)² = 9,006001 f(3,0001) = (3,0001)² = 9,00060001

Pela esquerda f(,9) = (,9)² = 8,41 f(,99) = (,99)² = 8,9401 f(,999) = (,999)² = 8,994001 f(,9999) = (,9999)² = 8,99940001 Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8. Exemplo Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a. f(x) = 4x + 1 f() = 4 * + 1 f() = 9 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja a função f(x)=x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: x y = x + 1 1, 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,0 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 x y = x + 1 0, 0,7,4 0,9,8 0,9,9 0,98,96 0,99,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 3 Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o ite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). Agora seja a função f(x) = x direita ou pela esquerda. e uma sucessão qualquer que convirja para pela Calculando f(x) para cada um dos infinitos valores à direita de dados pela sucessão (,1 ;,01 ;,001 ;... ), teremos por exemplo: 4,004001 f(,1) = (,1) = 4,41 f(,01) = (,01) = 4,0401 f(,001) = (,001) = Observa-se desta forma, que a medida que x aproxima-se de pela direita a imagem f(x) aproxima-se de 4, e escreve-se: f ( x) ( x x x ) 4 De outro modo, se x for assumindo os infinitos valores à esquerda de dados pela sucessão ( 1,9 ; 1,99 ; 1,999 ;... ), termos para f(x): f(1,9) = (1,9) = 3,61 f(1,99) = (1,99) = 3,9601 f(1,999) = (1,999) = 3,9960010 Onde os valores de x ao aproximar-se de pela esquerda produz imagens f(x) cada vez mais próximas de 4. f ( x) ( x x x ) 4 Quando os ites laterais ( pela direita e pela esquerda ) são iguais, diz-se que o ite da função no ponto é dado por esse valor comum e indica-se por: ( x x ) 4 No exemplo ( 0), está apresenta uma situação onde não existe o ite da função num ponto. x f ( x) x se se x 3 x 3

4 Fazendo x aproximar-se de 3 pela direita e pela esquerda, observa-se que os ites laterais apresentam valores diferentes. Isto permite concluir sobre a inexistência do ite da função no ponto x considerado. Vejamos: Se x assumir pela esquerda os valores da sucessão ( ;,;,9;,99;... ), teremos: f() = + = 4 f(,) =, + = 4, f(,9) =,9 + = 4 f(,99) =,99 + = 4,99 Repetindo o procedimento para a sucessão de valores à direita de 3 dada por ( 4; 3,; 3,01; 3,001;...), teremos: f(4) =.4 + = 10 f(3,) =.(3,) + = 9 f(3,1) =.(3,1) + = 8, f (3,01) =.(3,01) + = 8,0 f(3,001) =.(3,001) + = 8,00 Assim f ( x) é diferente de f ( x) 8 x3 x3 O esboço gráfico ajuda a concluir sobre a inexistência do ite da função no ponto x = 3 F(x) 8 o 3 x Exemplo ( 03 ). Nada a função f ( x) x 3 cujo domínio é R {3}, faça x percorrer pela direita o conjunto (3,1; 3,01; 3,001; 3,0001;...) e pela esquerda o conjunto (,9;,99;,999;,9999;...) e represente a conclusão por meio da forma própria dos ites. Solução: f ( 3,1) 0 f (,9) 0 0,1 0,1 f ( 3,01) 00 f (,99) 00 0,01 0,01 f ( 3,001) 000 f (,999) 000 0,001 0,001

f ( 3,0001) 0000 f (,9999) 0000 0,0001 0,0001 Das duas sucessões obtidas, vê-se que x converge para 3, pela direita ou pela esquerda, f(x) tende para mais infinito ( + ). Tal fato pode ser representado por: f ( x) f ( x) x 3 x 3 x3 x 3 Limites Laterais Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: + Esse ite é chamado de ite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: Esse ite é chamado de ite lateral à esquerda de a. O ite de f(x) para x a existe se, e somente se, os ites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: Se Se LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO- Limites envolvendo infinito São os ites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, valores muito grandes positivos ( + ) ou negativos ( ). Simbolicamente, teríamos: f ( x) x ou f(x) x Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real.

6 a), ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o ite é zero. b), ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o ite é zero. c), ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o ite é infinito. d), ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: * Quando x + ou x, o ite de um polinômio é igual ao ite do seu termo de maior grau. * Quando x + ou x, o ite da função racional é igual ao ite do quociente do termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador. Exemplos:

7 OPERAÇÕES COM LIMITES Supondo que f ( x) f e g(x) g, onde ( f e g são finitos), verificam-se xa xa para os ites as seguintes propriedades: a) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f g xa xa xa b) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f g xa xa xa c) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f g xa xa xa d) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f g com g 0 xa xa xa n e) [ f ( x)] [ f ( x)] x a x a n f n Propriedades dos Limites 1ª) O ite da soma é a soma dos ites. O ite da diferença é a diferença dos ites. ª) O ite do produto é o produto dos ites. 3ª) O ite do quociente é o quociente dos ites desde que o denominador não seja zero. 4ª) ª)

8 6ª) 7ª) 8ª) Mais Exemplos Vamos determinar o ite da função f(x) = x² x + 3, quando x tende a 4. Nesse caso devemos aplicar a seguinte regra: o ite das somas é a soma dos ites. Portanto, devemos determinar o ite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles. Exemplo Calcular o ite da função, quando x tende a.

9 Exemplo Determine o ite da função, à medida que x se aproxima de 1. Observação importante: Continuidade de uma Função Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a I, é contínua em x = a, se: f ( x) xa f ( a) Exemplo(01): Verificar se a função x 4 f ( x) é contínua em x = 3. x 3 4 Resolução: Cálculo de f (3) : f (3) 3 4 Cálculo do f ( x) : x x x 3 4 x3 = ( x )( x ) 3 = ( x ) = x ( x ) x 3 Como f ( x) = f (3), f (x) é contínua no ponto x = 3. x 3 Exemplo (0): Verificar se a função x 7 f ( x) é contínua no ponto x = 1 x 1 Resolução: Como não existe divisão por zero, a função é descontínua em x = 1 Exemplo (03): Verificar se a função x se x 3 f ( x) é contínua em x =3. x se x 3 Resolução: Cálculo de f (3) : Para x = 3, tem-se f ( 3) 3. Contudo, como f ( x) é diferente de f ( x) 8 x3 x3 Conclui-se que não existe o ite em x = 3, logo, a função é descontínua, como pode ser notada no gráfico apresentado na página 0. FORMAS INDETERMINADAS

As sete formas clássicas de indeterminação são: 0 0,,, 0, Aparecendo uma destas formas no cálculo do ite, deve-se adotar técnicas com o intento de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substitui-la e evitar tal situação. Exemplos: 0 0, 1 e 0 10 a) ( x x 3 x) x = ( 3 ) = ( 3 ) = ( ) = ( ) Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substitui-lo por uma expressão correlata. A técnica adotada, consiste em multiplicar e dividir a expressão inicia pelo conjugado. ( x x 3 x)( x x 3 x) ( x +x+3 x ) = x ( x x 3 x) x ( x + x+3+x) x+3 x ( x + x+3+x) +3 = x ( + +3+ ) Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, o surge outra forma de indeterminação. Este fato que nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se = numerador e denominador pela maior potência de x x = x+3 x ( x + x+3+x ) x = x +0 1+0+0+1 = 1+1 = 1 x x + 3 x x x + x x + 3 x + x x = x + 3 x 1+ + +1 x 3x Conclusão: ( x +x+3 x ) = 1 x = = x + 3 0 1+ + +1 0 30 x 9 b) x 3 x 3 = 3 9 3 3 = 0 0 A indeterminação apresentada mostra que a função não é definida para x = 3, pois o numerador e o denominador da fração tendem a zero quando x aproxima-se de 3. Contudo o problema pode ser resolvido com a aplicação da primeira parte da técnica mostrada no exemplo anterior. x 9 x 3 x 3 = ( x+3)( x 3) x 3 ( x 3) = ( x+3) x 3 = (3+3) = 6 Explorando o ite da função trigonométrica Vamos observar o gráfico da função.

11 Note que esta função não está definida no zero e observe que seu gráfico sugere que. Vamos observar o gráfico da função. Note que esta função não está definida no zero e observe que seu gráfico sugere que. Obs: É importante frisar que a maioria dos exercícios de ites trigonométricos são resolvidos com a primeira propriedade, ainda não podemos esquecer da relação fundamental da trigonometria na resolução dos exercícios:sen² Ө + cos² Ө = 1. Se sugere trabalhar a equação dada até que possamos usar a primeira propriedade. Usar o ite fundamental e alguns artifícios :

1 Explorando o LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL x + ( 1+ 1 x) x =e ou x ( 1+ 1 x) x =e Onde e é um número irracional, chamado número de Euler em homenagem ao matemático suíço, Leonhard Euler 1707-1783), famoso por sua extensa e original produção no campo da matemática. Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é,718818. Veja a tabela com valores de x e de. x 1 3 10 100 1 000 10 000 100 000,,3703,937,7048,7169,7181,718 Notamos que à medida que. De forma análoga, efetuando a substituição, temos: Ainda de forma mais geral, temos : As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.