Sistema de Equaçõs Lineares

Summary Sistema de Equaçõs Lineares Hector L. Carrion ECT-UFRN Agosto, 2010

Summary Equações Lineares 1 Sistema de Eq. Lineares 2 Eliminação Gaussiana-Jordan 3 retangular 4 5 Regra de Cramer

definição Equações Lineares Um sistema de equações lineares é um conjunto finito de m equações com coeficientes constantes a ij e variáveis x i, i,j = 1,2,...n cada uma de potencia 1, definida do seguinte modo. a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1j x j +...a 1n x n = b 1..... a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a ij x j +...a in x n = b i.......... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mj x j +...a mn x n = b m As n variáveis x i são chamadas de incognitas. a ij,b i R, i,j = 1,2,..n. Se b i 0 por lo menos para alguns i = 1,2,..,n; então o sistema é não homogêneo. Se b i = 0 i,i = 1,2,..,n; então o sistema é homogêneo.

Dado o sistema de equações lineares não-homogêneo. x +y +z = 10 2x +y +4z = 20 2x +3y +5z = 25 A matriz aumentada associada (matriz de coeficientes) ao sistema anterior é 1 1 1 10 2 1 4 20. 2 3 5 25 Observe que na ultima coluna temos a parte não homogêna do sistema de equações.

Duas sitemas de equações lineares se chaman equivalentes se elas possuem as mesmas soluções. Dado um sistema de equações Lineares 1 (SEL1) I) 1-equação se multiplica por 2: L 1 2L 1 SEL1 { y +2x = 1 y x = 4 SEL2 { 2y +4x = 2 y x = 4 SEL1 SEL2, tem as mesmas soluções! (solução única: x=-1, y=3) II) Troca de posições : L 1 é trocada de posição com L 2 SEL1 { y +2x = 1 y x = 4 SEL3 { y x = 4 y +2x = 1 SEL1 SEL3, tem as mesmas soluções!

III) Somar uma equação o multiplo de outra : L 2 L 2 +2L 1 SEL1 { y +2x = 1 y x = 4 SEL4 { y +2x = 1 3y +3x = 6 SEL1 SEL4, tem as mesmas soluções! Conclusão importante : As transformações feitas no sistema de equações que levam a um outro sistema equivalente são na verdade as chamadas operações elementares que agem sobre as linhas da matriz aumentada. Teorema: Se as matrizes completas de dois sistemas lineares são linha-equivalentes, então os dois sistema têm o mesmo conjunto solução. Importante: Todo sistema de equações Lineares tem Nehuma solução ou Solução única ou infinitas soluções

Exemplo de sistem de equações lineares com nehuma solução (sistema de equações inconsistentes) x +y = 8 2x +2y = 5 (1) valores de x,y tal que resolva o sistema de equações anterior. Multiplicando a primeira equação por 2, chegamos a uma contradição 5 = 16 (falso) duas retas paralelas 12 10 8 6 4 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x

Exemplo de sistem de equações lineares com solução única (sistema de equações consistentes) 2x +y = 1 x +y = 4. (2) A solução única é {x = 1,y = 3}. 2 equações inequivalentes e 2 variaveis ou incognitas. duas retas secantes 8 6 4 2 4 3 2 1 1 2 3 4 2 x 4

Exemplo de sistemas de equações lineares com soluções (sistema de equações consistentes). 4x +y = 1 4x y = 1 (3) O conjunto solução é {x = t,y = 1 4t}, t R. t é o parámetro real e arbitrario. 1 equação inequivalente e 2 variáveis (ou 2 incognitas). duas retas superpostas 10 5 3 2 1 1 2 3 x 5

Eliminação Gaussiana Resolvendo um sistema linear Temos um método que utiliza as três operações seguintes 1 trocar duas equações entre si; 2 multiplicar toda uma equação do sistema por uma constante diferente de zero; 3 somar um múltipo de uma equação com outra equação. Observamos que as 3 operações anteriores são o mesmo das operações elementares aplicadas às linhas de uma matriz, que estudamos anteriormente. Ou seja, estas 3 operações elementares levam o sistema de equações inicial em outro sistema equivalente(com as mesmas soluções).

Procedimento a) Primeiro passo: Se constroi a matriz aumenta do sistema de equação dada. b) Usando as 3 possíveis operações elementares na linha, levar a matriz aumentada do sistema de equações inicial a outra equivalente onde a matriz aumentada seja triangular (escalonada e reduzida). (Método de Gauss-Jordan) 0 0. 1 0 0 0 1 0 0 0 1,. observe que os elementos da diagonal em cada coluna é o número 1 (pivô). Ou levar unicamente à matriz triangular (escalonada) 0 0. 0 0 0 0 0 c) escrever a matriz aumentada na sua forma equacional, e resolver.

Exemplo 1 Resolva o seguinte sistema de equações. x +y +z = 10 2x +y +4z = 20 1 1 1 10 2 1 4 20 2x +3y +5z = 25 2 3 5 25. (4) Agora, realizamos as operaçoes (L2 L2 2L1) e (L3 L3 2L1), x +y +z = 10 0x y +2z = 0 1 1 1 10 0 1 2 0. 0x +1y +3z = 5 0 1 3 5 Aqui, fazemos as operações (L1 L1+L2) e (L3 L3+L2), x +0y +3z = 1 0x y +2z = 0 1 0 3 10 0 1 2 0. 0x +0y +5z = 5 0 0 5 5

Em seguida, tomamos (L2 L2) e (L2 1/5L3), x +0y +3z = 10 0x +y 2z = 0 1 0 3 10 0 1 2 0 0x +0y +z = 1 0 0 1 1. Por fim, realizamos as operações (L1 L1 3L3) e (L2 L2+2L3), x +0y +0z = 7 1 0 0 7 0x +y +0z = 2 0 1 0 2. 0x +0y +z = 1 0 0 1 1 Assim, a matriz aumentada do sistema inicial foi transformada a uma forma escalonada e reduzida que é equivalente ao sistema original, com a mesma solução {x = 7,y = 2,z = 1}.

Exemplo 2 Seja o sistema de equações lineares x 2 +x 3 = 2 x 1 +3x 2 = 5 2x 1 +6x 3 = 20 (5) resolva para x 1,x 2,x 3. Para resolver, começamos construindo a matriz aumentada 0 1 1 2 1 3 0 5 (6) 2 0 6 20

Eliminação Gaussiana é o procedimento utilizado na matriz completa do exemplo anterior, onde reduzimos esta matriz à forma escalonada e reduzida, suficientemente simples para nos ajudar a encontrar a solução do sistema linear correspondente. matriz aumentada 0 1 1 2 1 3 0 5 2 0 6 20 Procedimento : http://www.youtube.com/watch?v=i1kextz5gtm Matriz escalonada reduzida 1 0 0 1/2 0 1 0 3/2 0 0 1 7/2 conjunto solução {x 1 = 1/2, x 2 = 3/2, x 3 = 7/2}

Exemplo 3 Equações Lineares Seja o sistema de equações lineares x 1 2x 2 1x 3 = 0 x 1 +x 2 = 4 x 2 +x 3 = 2 (7) resolva para x 1,x 2,x 3. Para resolver, começamos construindo a matriz aumentada 1 2 1 0 1 1 0 4 0 1 1 2 Resolvendo x 1 2x 2 1x 3 = 0 0x 1 +x 2 +0x 3 = 4 0x 1 +x 2 +x 3 = 2 1 2 1 0 1 1 0 4 0 1 1 2.

continua.. Realizamos a operação (L2 L2 L1), 1x 1 2x 2 1x 3 = 0 0x 1 +3x 2 +x 3 = 4 0x 1 +1x 2 +x 3 = 2 Realizamos a operação (L2 (1/3)L2) 1x 1 2x 2 1x 3 = 0 0x 1 +1x 2 +(1/3)x 3 = 4/3 0x 1 +1x 2 +1x 3 = 2 1 2 1 0 0 3 1 4 0 1 1 2. 1 2 1 0 0 1 1/3 4/3 0 1 1 2 Agora, realizamos a operação (L3 L3 L2) e 1x 1 2x 2 x 3 = 0 1 2 1 0 0x 1 +1x 2 +(1/3)x 3 = 4/3 0 1 1/3 4/3 0x 1 +0x 2 +(2/3)x 3 = 2/3 0 0 2/3 2/3..

Realizamos a operação (L3 (3/2)L2) 1x 1 2x 2 x 3 = 0 0x 1 +1x 2 +(1/3)x 3 = 4/3 0x 1 +0x 2 +x 3 = 1 1 2 1 0 0 1 1/3 4/3 0 0 1 1 A matriz aumentada anterior, já esta na sua forma triangular (escalonada). logo resolvendo a equação associada: - Da terceira equação x 3 = 1, - Da segunda equação x 2 +(1/3)x 3 = 4/3, x 2 = 1. - Da primeira equação x 1 2x 2 x 3 = 0, x 1 = 3. Solução do sistema original {x 1 = 3,x 2 = 1,x 3 = 1.}.

Dada uma matriz M, se este não for matriz nula, há sempre infinitas matrizes escada obtidas a partir de M, mas todas elas têm em comum o número de linhas não nulas e as colunas onde aparecem os pivôs. A matriz escada 1-reduzida (Gauss-Jordan) é unica. Definicão: O posto de uma matriz M é o número de linhas não nulas de qualquer matriz escada obtida a partir de M por operações elementares sobre linhas (p). a 11 a 12 a 1j a 1n.......... a i1 a i2 a ij a in.......... A = 0 0 a pp a pn. (8) 0 0 0 0 0 0... 0. 0 0 0 0 0

Observamos que existe outra definição de posto de matriz, sem utilizar escalonamento: o posto de M é a ordem da maior submatriz quadrada de M com determinante não nulo. Por exemplo, se M for quadrada e invertível, seu posto é a ordem da matriz. Pode-se demonstrar que se trata do mesmo conceito. Teorema de Rouché-Capelli Seja um sistema linear AX = B de m-equações a n variáveis. cuja matriz dos coeficientes A tem posto p e cuja matriz ampliada e Â tem posto q. Então: Se p q, o sistema é impossível; Se p = q = n, o sistema é possível e determinado; Se p = q < n, o sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade = n p.

Exemplos: Voltamos aos exemplos (1)- (2) e trabalhemos no nivel da matriz de coeficientes A e matriz aumentada Â Exemplo 1 (equação (1)) A = [ 1 1 2 2 ] [ 1 1 8, Â = 2 2 5 Realizamos a operação elementar L2 L2 2L1 [ ] [ 1 1 1 1 8 A =, Â = 0 0 0 0 11 ]. (9) ]. (10) O posto de A é p = 1; o posto de Â é q = 0 p q, logo o sistema é impossível. conclusão que coincide com a analise inicial do exemplo (1).

Exemplo 2 (equação (2)) [ 2 1 A = 1 1 ] [ 2 1 1, Â = 1 1 4 Realizamos a operação elementar L2 L2 +(1/2)L1 [ ] [ 2 1 2 1 1 A =, Â = 0 3/2 0 3/2 3/2 ]. (11) ]. (12) O posto de A é p = 2; o posto de Â é q = 2 p = q = n = 3, logo o sistema é determinado. conclusão que coincide com a analise inicial do exemplo (2).

Exemplo 3 (equação (3)) [ 4 1 A = 4 1 ] [ 4 1 1, Â = 4 1 1 Realizamos a operação elementar L2 L2+L1 [ ] [ 4 1 4 1 1 A =, Â = 0 0 0 0 0 ]. (13) ]. (14) O posto de A é p = 1; o posto de Â é q = 1 p = q < n = 3, logo o sistema é indeterminado. g.l. = n p = 3 2 = 1, então temos 1 variável livre ( t ). conclusão que coincide com a analise inicial do exemplo (3). Tarefa: Verifique que no exemplo da equação (4), a matriz A de coeficientes tem posto = q =3. A matriz aumentada Â tem posto=q=3; p = q = n, então os sistema é possível (determinado): solução única.

Seja um sistema de n equações não homogênea com n incógnitas, a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1.... (15) a n1 x 1 +a n2 x 2 +...+a nn x n = b n Aqui, todos os coeficientes a ij formam a matriz dos coeficientes A de ordem n n, a 11 a 12 a 1j a 1n.......... A = a i1 a i2 a ij a in. (16).......... a n1 a n2 a nj a nn

Considerando X = x 1. x i. x n, B = b 1. b i. b n. (17) O sistema de equações lineares não homogêneo (15) pode ser colocado na seguinte equação matrizial. a 11 a 12 a 1j a 1n x 1 b 1............ a i1 a i2 a ij a in. x i = b i............. a n1 a n2 a nj a nn x n b n

A equação matrizial anterior tem a seguinte forma compacta AX = B equa. Linear não homogênea (18) Seja A inversível det(a) 0 e B estão definidas em (16) e (17) respectivamente. Casso particular : Se B = [b i ] = [0], i = 1,...n. AX = 0 1 n Equa. Linear homogênea Solução geral do sistema anterior AX = B Se existir a matriz inversa de A, teremos X = A 1 B (19) como a solução geral do sistema (18) ou (15) (ambas equivalentes).

Exercício 1 Resolva o sistema de equações (5) usando método da matriz inversa. Solução: Da equação (6) temos A = 0 1 1 1 3 0, B = 2 5 (20) 2 0 6 20 Como A = 12,A 1, calculando a matriz inversa de A temos: 3 A 1 2 1 1 2 4 = 1 1, (21) 1 2 1 2 6 1 6 logo, usando a solução geral (19), temos : x 1 3 2 1 1 2 4 x 2 = 1 1 1 2 6 12. x 3 1 2 1 6 1 12 12 1 12 2 5 20 = 1 2 3 2 7 2

Teorema importante Seja A = [a ij ] n n,x = [x i ] n 1,0 n 1 ;i,j = 1,2,...n. Definamos o seguinte sistema de equações homogêneo AX = 0. (22) Teorema Se a matriz A é inversível (ou seja, A 1 ) a equação anterior (22) tem como única solução a solução trivial 0 X =.. (23) 0 Corolario Se queremos que a equação anterior (22) tenha solução não trivial então A deve ser não inversível, o que quer dizer que det(a) = 0.

Resultados generais e interessantes Seja A = [a ij ] m n,x = [x i ] n 1,0 n 1 ;X R 3. Definamos o seguinte sistema de equações homogêneo AX = 0. (24) O sistema anterior sempre tem pelo menos uma solução, a saber, a solução trivial. Ou seja, a solução 0 X =.., R3. (25) 0 Existe alguma solução não trivial? (X 0), que resolva o sisema (24). Teorema A equação AX = 0 tem solução não trivial a equação tem pelo menos uma variável livre(1 grau de liberdade).

Exemplos Equações Lineares Exemplo 1 Resolva o sistema homogêneo seguinte x y = 0 2x +z = 0 3x y +z = 0, Exemplo 2 Resolva o sistema não homogêno seguinte x y = 2 2x +z = 1 3x y +z = 3, Que relação existem entre a solução dos sistemas de equações anteriores?. Teorema Suponha que AX = B tem solução para algun B, e seja P esta solução particular e não nula. Se V é um vetor solução geral de AX = 0, então a solução geral de AX = B é W = P +V,.

Regra de Cramer A Regra de Cramer afirma que se A = [a ij ] n n é uma matriz que possui inversa, e seja B = [b i ], i = 1,2,..n; e a ij R,b i R, a solução X do sistema AX = B, tem suas componentes x i dadas por onde X = x 1.. x n x i = det(a i) det(a), i = 1,2,...n,, e a matriz A i é obtida quando substituímos os elementos da i-ésima coluna de A pelos elementos dos termos independentes.

Exercício 2 Resolva sistema de equações (5) usando método de Cramer. Solução Da equação (5) temos A = 0 1 1 1 3 0, B = 2 5 (26) 2 0 6 20 Pelo método de Cramer x 1 = det 2 1 1 5 3 0 20 0 6 det(a),x 2 = det 0 2 1 1 5 0 2 20 6 det(a),x 3 = det 0 1 2 1 3 5 2 0 20 det(a) Sendo det(a) = 12, o conjunto solução é {x 1 = 1 2,x 2 = 3 2,x 3 = 7 2.}

Exercícios Equações Lineares 1 Resolva o exemplo 1 usando método da matriz inversa. 2 Resolva o exemplo 1 usando a regra de Cramer. 3 Determine o posto da matriz de coeficientes A e da matriz aumentada Â do seguinte sistema de equações lineares. x +y +2z = 9 2x +4y 3z = 1 3x +6y 5z = 0, posteriormente resolva o sistema 4 Seja o sistema resolva para {x 1,x 2,x 3 } x 2 +x 3 = 0 x 1 +3x 2 = 0 2x 1 +6x 3 = 0

Exercícios..continua 1 Resolva o sistema 3x +2y +z = 0, 6x +4y z = 0,8y +z = 0, o sistema tem solução única? ou tem infinitas soluçoes?, a solução trivial é uma solução particular dela? 2 Seja o sistema x 2 +x 3 = 1 x 1 +3x 2 = 2 resolva para {x 1,x 2,x 3 }, qual é o posto da matriz de coeficiente A.