0303200 Probabilidade Aula 03 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017
Sumário Teorema de Bayes 2.5 Independência
Teorema de Bayes Sejam A 1,,A k uma partição de S (eventos disjuntos) com probabilidade a priori P(A i ), i = 1,2,,k. Então, para qualquer outro evento B em S para o qual P(B) > 0, a probabilidade a posteriori de A j dado que B ocorreu, é P(A j B) = P(A j B) P(B) j = 1,2,,k = P(B A j)p(a j ) P(B) = P(B A j)p(a j ) k P(B A i ) P(A i ) i=1
Teorema de Bayes Exemplo 20 (2.31 do Devore) Apenas 1 em 1000 adultos é acometido por uma doença rara para a qual foi desenvolvido um teste de diagnóstico. O teste funciona de tal forma que, se o indivíduo tiver a doença, o resultado do teste será positivo em 99% das vezes e, se não a tiver, será positivo em apenas 2% das vezes. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente for testado e o resultado for positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença?
Teorema de Bayes Exemplo 2.31 do Devore Resolução: Vamos considerar os seguintes eventos: A 1 = {indivíduo tem a doença} P(A 1 ) = 0,001 A 2 = {indivíduo não tem a doença} P(A 2 ) = 0,999 B = {resultado do teste positivo} Do enunciado, obtemos P(B A 1 ) = 0,99 e P(B A 2 ) = 0,02. Com esses dados, podemos calcular P(B) = P(B A 1 )P(A 1 )+P(B A 2 )P(A 2 ) = 0,02097 P(A 1 B) = P(A 1 B) P(B) = P(B A 1)P(A 1 ) P(B) = 0,00099 0,02097 = 0,047 Como a doença é rara e o teste é moderadamente confiável, a maior parte dos resultados positivos provém de erros e não de indivíduos doentes.
Exemplo 21 (Exercício 49 do Devore) Uma imobiliária de casas de veraneio solicita que qualquer pessoa interessada em fazer uma compra vá primeiramente ao local de interesse. Dados históricos indicam que 20% de todos os compradores potenciais escolhem ir durante o dia 50% escolhem visitas de uma noite e 30% optam por visitas de duas noites. Além disso, 10% dos visitantes diurnos compram uma unidade 30% dos visitantes de uma noite compram uma unidade e 20% dos visitantes de duas noites decidem comprar. Um visitante foi selecionado aleatoriamente e constatou-se que ele fez uma compra. Perguntas: Qual a probabilidade desta pessoa ter feito uma visita durante o dia? Uma visita de uma noite? Uma visita de duas noites?
Exemplo 21 (Exercício 49 do Devore) Resolução: Sejam os eventos A = {visitante diurno} P(A) = 0,2 B = {visitante de uma noite} P(B) = 0,5 C = {visitante de duas noites} P(C) = 0,3 D = {comprador de uma casa} Do enunciado, sabe-se que P(D A) = 0,1, P(D B) = 0,3, P(D C) = 0,2 Do teorema da PROBABILIDADE TOTAL, obtemos P(D) = P(D A)P(A)+P(D B)P(B)+P(D C)P(C) = 0,23 Do teorema de BAYES, obtemos P(A D) = P(D A)P(A) P(D) = 0,087, P(B D) = P(D B)P(B) P(D) = 0,652 P(C D) = P(D C)P(C) P(D) = 0,261
Independência Dois eventos A e B são independentes se P(A B) = P(A). Caso contrário, são dependentes. Note que se A e B forem independentes: Então P(A B) = P(A) e P(B A) = P(A B)P(B) P(A) A c e B serão independentes A e B c serão independentes A c e B c serão independentes = P(A)P(B) P(A) = P(B)
Independência Exemplo 22 (2.32 do Devore) Considere um posto de gasolina com 6 bombas numeradas 1,2,,6 sendo E i o evento simples em que um cliente selecionado aleatoriamente usa a bomba i (i = 1,2,,6). Suponha que P(E 1 ) = P(E 6 ) = 0,10 P(E 2 ) = P(E 5 ) = 0,15 P(E 3 ) = P(E 4 ) = 0,25 Vamos definir os eventos A = {2,4,6} B = {1,2,3} C = {2,3,4,5} Então P(A) = P(B) = 0,5, P(C) = 0,8, P(A B) = 0,3, P(A C) = 0,5. Portanto, A e B são dependentes e A e C são independentes. Note que a divisão relativa da probabilidade entre bombas pares e ímpares nos eventos A e C é a mesma entre as bombas 2,3,4,5 e entre todas as seis bombas.
Independência Exemplo 23 (2.33 do Devore) Sejam A e B dois eventos disjuntos com P(A) > 0. Por exemplo, para um automóvel escolhido aleatoriamente, seja A = {o carro possui um motor de quatro cilindros} B = {o carro possui um motor de seis cilindros} Como os eventos são disjuntos, se ocorrer B, A não pode ter ocorrido, de forma que P(A B) = 0 P(A). Conclusão: Se dois eventos forem disjuntos, não podem ser independentes. Note que a informação da ocorrência de B neste caso indica que A não pode ter ocorrido e por isso, os eventos não são independentes.
Independência Regra da multiplicação para P(A B) A regra da multiplicação é dada por P(A B) = P(A B) P(B). Os eventos A e B são independentes se, e somente se, P(A B) = P(A) P(B). Esse conceito pode ser estendido para n eventos A 1, A 2,, A n mutuamente independentes. Neste caso, considerando um subconjunto de índices i 1, i 2,, i k desses n eventos, obtemos: P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 ) P(A i2 )... P(A ik )
Independência Exemplo 24 (2.34 do Devore) Em uma determinada empresa, 30% das lavadoras de roupa requerem manutenção enquanto estiverem na garantia e 10% das secadoras de roupa precisam de manutenção enquanto estiverem na garantia. Perguntas: se alguém comprar uma lavadora e uma secadora de roupas feitas por essa empresa, a) qual a probabilidade de que ambas as máquinas precisem de conserto? b) qual a probabilidade de que nenhuma máquina precise de conserto?
Independência Exemplo 24 (2.34 do Devore) Resolução: Sejam os eventos A = {lavadora precisa de manutenção em garantia} P(A) = 0,30 B = {secadora precisa de manutenção em garantia} P(B) = 0,10 Supondo que as máquinas funcionem de forma independente uma da outra, podemos calcular a) P(A B) = P(A) P(B) = (0,30)(0,10) = 0,03 Analogamente, b) P(A c B c ) = P(A c ) P(B c ) = (0,70)(0,90) = 0,63
Independência Exemplo 25 (2.36 do Devore) Considere as seguintes configurações para um sistema de células solares fotovoltaicas: série-paralelo cruzado 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 Suponha que a vida útil de cada célula é t 0, e que a probabilidade da duração de uma célula ser maior que t 0 é 0,9. Calcule a probabilidade de a vida útil do sistema exceder t 0 nas duas configurações.
Independência Exemplo 25 (2.36 do Devore) Resolução: Vamos considerar primeiramente a configuração série-paralelo e sejam os eventos A i = {a vida útil da célula i excede t 0 }, i = 1,2,,6. Supondo que esses eventos sejam mutuamente independentes (a duração de uma célula não tem nenhuma relação com a duração das outras), o sistema falhará se alguma célula do ramo superior e do ramo inferior falhar simultaneamente. Dessa forma, P(vida útil do sistema excede t 0 )=P[(A 1 A 2 A 3 ) (A 4 A 5 A 6 )] = P(A 1 A 2 A 3 )+P(A 4 A 5 A 6 ) P[(A 1 A 2 A 3 ) (A 4 A 5 A 6 )] = 0,9 3 +0,9 3 0,9 6 = 0,927
Independência Exemplo 25 (2.36 do Devore) De forma alternativa P(vida útil do sistema excede t 0 ) = 1 P(vidas úteis de ambos os subsistemas t 0 ) = 1 [P(vida útil do subsistema t 0 )] 2 = 1 [1 P(vida útil do subsistema > t 0 )] 2 = 1 [1 (0,9) 3 ] 2 = 0,927
Independência Exemplo 25 (2.36 do Devore) Vamos considerar agora a configuração cruzada. O sistema falhará se houver falha de uma coluna e a vida útil excederá t 0 apenas se a vida útil de cada coluna também exceder t 0. Dessa forma, P(vida útil do sistema excede t 0 ) = [P(vida útil da coluna > t 0 )] 3 = [1 P(vida útil da coluna t 0 )] 3 = [1 P(vida útil de ambas as células da coluna t 0 )] 3 = [1 (1 0,9) 2 ] 3 = 0,970
Exercícios extras Extra 1 Numa certa população foi feito um estudo estatístico sobre o gosto por animais de estimação e constatou-se que a probabilidade de gostar de gato é 1/3 enquanto que a probabilidade de gostar de cachorro é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de gato e não gostar de cachorro nos seguintes casos: a) Gostar de gato e gostar de cachorro são eventos disjuntos. b) Gostar de gato e gostar de cachorro são eventos independentes. c) Todos que gostam de gato, gostam de cachorro. d) A probabilidade de gostar de gato e de cachorro ao mesmo tempo é 1/8. e) Dentre os que não gostam de cachorro, a probabilidade de não gostar de gato é 3/4.
Exercícios extras Extra 2 Uma fábrica possui três máquinas M 1, M 2 e M 3 para produzir resistores de 1kΩ. Foi observado que 100p% (0 < p < 1) dos resistores produzidos por M 1 tem tolerância menor que 10% do valor nominal. A máquina M 2 produz 50p% dos resistores com tolerância menor que 10% do valor nominal. A porcentagem da máquina M 3 é de 25p%. A máquina M 1 produz N resistores por hora, M 2 produz 2N resistores por hora e M 3 produz N resistores por hora. Todos os resistores são misturados e colocados em uma caixa para envio. Determine a probabilidade de que um resistor com tolerância menor que 10% tenha sido produzido pela máquina M 3.
Exercícios extras Extra 3 Uma caixa contém 10 bolas: 2 bolas totalmente brancas 1 bola branca com 1 faixa preta 1 bola branca com 2 faixas pretas 1 bola totalmente azul 1 bola azul com 1 faixa preta 2 bolas verdes com um faixa preta 1 bola verde com duas faixas cor B A V faixa 0 2 1 0 1 1 1 2 2 1 1 1
Exercícios extras Extra 3 continuação Determine as seguintes probabilidades: a) pegar uma bola azul. b) pegar uma bola com uma faixa. c) pegar uma bola azul ou uma bola com uma faixa d) pegar uma bola com uma faixa se você souber que a bola é verde
Exercícios extras Extra 4 Um míssil pode ser lançado acidentalmente se ambas as chaves A e B falharem. As probabilidades das chaves A e B falharem valem respectivamente 0,01 e 0,03. Sabe-se também que a probabilidade da chave B falhar dado que a chave A falhou vale 0,06. Determine a probabilidade da chave A falhar dado que a chave B falhou.
Exercícios extras Extra 5 Uma fábrica de circuitos integrados produz chips que são embalados em caixas com 15 unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteia uma caixa do lote. Dessa caixa, sorteia 6 chips, sem reposição. Se encontrar no máximo 2 peças defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Supondo que a caixa sorteada tenha 5 peças defeituosas, determine a probabilidade de rejeitar o lote.
Exercícios extras Extra 5 Uma fábrica de circuitos integrados produz chips que são embalados em caixas com 15 unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteia uma caixa do lote. Dessa caixa, sorteia 6 chips, sem reposição. Se encontrar no máximo 2 peças defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Supondo que a caixa sorteada tenha 5 peças defeituosas, determine a probabilidade de rejeitar o lote.
Exercícios extras Extra 6 Um canal binário tem probabilidade de erro P e. A probabilidade de se transmitir o dígito 1 é Q e a probabilidade de se transmitir o dígito 0 é 1 Q. Se o receptor detecta um dígito 1, determine a probabilidade de que o dígito 1 tenha sido transmitido.
Exercícios extras Extra 7 Em um programa de televisão, a ideia é ganhar um carro. O apresentador mostra três portas a você e diz que há um carro atrás de uma delas e atrás das outras duas há cabras. Ele pede para você escolher uma porta e você escolhe. No entanto, essa porta não é aberta de modo que você não sabe o que está atrás dela. Então, o apresentador abre uma das portas que você não escolheu e mostra uma cabra (ele sabe o que há atrás das portas). Então ele diz que você tem uma última oportunidade de mudar de opinião antes que as portas sejam abertas. Ele pergunta se você quer mudar de ideia e escolher outra porta sem abrir. O que você deve fazer?
Exercícios extras Extra 7 Resolução Vamos denotar as portas por X, Y e Z. Vamos denotar C X caso o carro esteja atrás da porta X e assim sucessivamente. Vamos denotar A X caso o apresentador abra a porta X e assim sucessivamente. Supondo que você tenha escolhido a porta X, a probabilidade de você ganhar o carro caso mude de porta é calculada como P((A Z C Y ) (A Y C Z )) = P(A Z C Y )+P(A Y C Z ) = P(A Z C Y )P(C Y )+P(A Y C Z )P(C Z ) = 1 1 3 +1 1 3 = 2 3
Exercícios extras Extra 7 Resolução Figura extraída do livro The curious incident of the dog in the night-time de Mark Haddon, 2003 (versão espanhola, Ediciones Salamandra).
Resultados importantes de Probabilidade a) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) b) Probabilidade Condicional c) Probabilidade Total P(A B) = P(A B) P(B) P(B) = k P(B A k )P(A k ) se os A k formam uma partição de S
Resultados importantes de Probabilidade d) Fórmula de Bayes e) Independência Estatística P(A B) = P(B A)P(A) P(B) P(A B) = P(A)P(B)