Potencial elétrico e capacitores Baseado no 8.02T MIT-opencourse 1
Gravidade x eletricidade Massa M Carga(+/-q) Campos g = G M r 2 ˆr E = k e q r 2 ˆr Forças F g = m g F e = q E 2
Energia potencial x potencial Gravidade 3
Gravidade: força e trabalho Força exercida em m devido a M F g = G Mm r 2 ˆr 4
Gravidade: força e trabalho Força exercida em m devido a M F g = G Mm r 2 ˆr Trabalho exercido pela gravidade ao mover m de a B W g = B F g d s integral de trajetória 4
Trabalho realizado pela gravidade terrestre Trabalho realizado pela gravidade ao mover m de a B W g = = = = B B B = GMm F g d s ( G Mm r 2 G Mm r 2 dr = ( 1 1 r B r ) ˆr (drˆr + rdθˆθ) [ G Mm r ) ] rb r Trabalho depende apenas dos pontos e B! 5
Forças conservativas Mecânica: W B = Forças conservativas: E cin B ( U! U U d W B "! "' "!! & #! " 6
Forças conservativas Mecânica: W B = Forças conservativas: E cin B ( U! U U d W B "! "' "!! & #! " 6
Forças conservativas Mecânica: W B = Forças conservativas: E cin B ( U! U U d W B "! "' "!! & #! "! ' "! " & d #! N 6
Energia potencial x potencial U g = U B U = B F g d s = W g = W ext 7
Energia potencial x potencial U g = U B U = B F g d s = W g = W ext F g = G Mm r 2 ˆr U g = G Mm r + U 0 7
Energia potencial x potencial U g = U B U = B F g = G Mm r 2 F g d s = W g = W ext ˆr U g = G Mm r + U 0 U0: constante que depende do pto de referência penas U g tem significado físico 7
Energia potencial x potencial U g = U B U = B F g = G Mm r 2 F g d s = W g = W ext ˆr U g = G Mm Definição da diferença de potencial gravitacional r + U 0 U0: constante que depende do pto de referência penas U g tem significado físico V g = U g m = B ( F g /m) d s = B g d s 7
Energia potencial x potencial U g = U B U = B F g = G Mm r 2 F g d s = W g = W ext ˆr U g = G Mm Definição da diferença de potencial gravitacional r + U 0 U0: constante que depende do pto de referência penas U g tem significado físico V g = U g m = B ( F g /m) d s = B g d s Força F g g Campo U g V g Energia Potencial 7
Potencial gravitacional Potencial de planeta +sol 8
Gravidade x eletricidade Massa M g = G M r 2 ˆr Carga(+/-q) E = k e q r 2 ˆr F g = m g F e = q E mbas as forças são conservativas, então: U g = V g = B B F g d s U = g d s V = B B F e d s E d s 9
Potencial e energia V = B E d s Unidades: Joules/Coulomb =Volts 10
Potencial e energia V = B E d s Unidades: Joules/Coulomb =Volts Trabalho realizado pela gravidade ao mover m de a B: W ext = U = U B U = q V Joules 10
Potencial Cargas geram potenciais V ( r) = V 0 + V = V 0 B E d s 11
Potencial Cargas geram potenciais V ( r) = V 0 + V = V 0 q positiva B E d s q negativa 11
Potencial Cargas geram potenciais V ( r) = V 0 + V = V 0 q positiva B E d s q negativa Cargas sentem potenciais U( r) = qv ( r) 11
Potencial criado por uma carga pontual ˆ! V = V B V = = = B [ k Q r (k Qr 2 ˆr ) ] rb r = kq B E d s d s = ( 1 r B 1 r B ) k Q r 2 dr 12
Potencial criado por uma carga pontual ˆ! V = V B V = = = B [ k Q r (k Qr 2 ˆr ) ] rb V (r = ) = 0 r = kq B E d s d s = ( 1 r B 1 r B ) k Q r 2 dr V carga pontual (r) = k Q r 12
Potencial: princípio da superposição Potencial devido a um conjunto de cargas: Soma direta. Potencial é um escalar! 13
Potencial: princípio da superposição Potencial devido a um conjunto de cargas: Soma direta. Potencial é um escalar! Potencial devido a uma distribuição contínua de cargas: densidade linear de carga densidade superficial de carga densidade volumétrica de carga 13
Calculando E a partir de V V = B E d s = (x, y, z), B = (x + x, y, z) s = xî 14
Calculando E a partir de V V = B E d s = (x, y, z), B = (x + x, y, z) s = xî V = (x+ x,y,z) (x,y,z) E d s E s = E ( xî) = E x x 14
Calculando E a partir de V V = B E d s = (x, y, z), B = (x + x, y, z) s = xî V = (x+ x,y,z) (x,y,z) E d s E s = E ( xî) = E x x E x V x V x 14
Calculando E a partir de V E = = ( V x î + V y ĵ + V ) ˆk z ( xî + y ĵ + ) ˆk V z 15
Calculando E a partir de V E = = ( V x î + V y ĵ + V ) ˆk z ( xî + y ĵ + ) ˆk V z = ( xî + y ĵ + z ˆk ) Operador gradiente 15
Calculando E a partir de V E = = ( V x î + V y ĵ + V ) ˆk z ( xî + y ĵ + ) ˆk V z = ( xî + y ĵ + ˆk z E = V ) Operador gradiente 15
Superfícies equipotenciais Superfícies de mesma energia V=constante E perpendicular às equipotenciais: Nenhum trabalho é necessário para mover uma carga ao longo de uma superfície equipotencial E = V ( ( Componente tangencial de E é zero ao longo das equipotenciais 16
Superfícies equipotenciais Superfícies de mesma energia V=constante E perpendicular às equipotenciais: Nenhum trabalho é necessário para mover uma carga ao longo de uma superfície equipotencial E = V ( ( Componente tangencial de E é zero ao longo das equipotenciais Gravidade: mapa topográfico mostra superfícies equipotenciais :Vg=gz $ $!"#$%&'()*)+$C$('%':&/%")1$3/%$ $ 16
Equipotenciais Carga pontual Dipolo elétrico Placas paralelas 17
Equipotenciais e linhas de campo 18
Condutores E perpendicular à superfície do condutor E=0 dentro do condutor Condutores são objetos equipotenciais E = σ/ε 0 19
Potencial em um condutor Campo elétrico = variação do potencial No condutor E=0: variação do potencial = 0 V constante no condutor 20
Potencial em um condutor Campo elétrico = variação do potencial No condutor E=0: variação do potencial = 0 V constante no condutor Mas qual o valor de V? Valor que ele tem na superfície V é uma função contínua 20
Capacitores 21
Capacitores Dois condutores com cargas iguais e opostas separados por uma distância d e com uma diferença de potencial V entre eles. = C = Q V Unidade: Coulomb/Volt Farad rmazenamento de Energia! 22
Capacitor de placas paralelas Integral de trajetória para encontrar V 23
Capacitor de placas paralelas Integral de trajetória para encontrar V V = d 0 E d s = Ed = σ ε 0 d = Q d ε 0 23
Capacitor de placas paralelas Integral de trajetória para encontrar V V = d 0 E d s = Ed = σ ε 0 d = Q d ε 0 C = Q V = ε 0 d 23
Energia necessária para carregar capacitor +q 1. Capacitor starts uncharged. -q Capacitor inicialmente descarregado +dq sai da placa inferior e vai para a superior Uma placa fica com +dq e a outra com -dq Processo ocorre até uma placa ter +Q e a outra -Q 24
Trabalho realizado para carregar capacitor +q 1. Capacitor starts uncharged. dw = dq V = dq q V = 1 C qdq Q 1 W = dw = C qdq W = 1 C Q 2 2 0 -q 25
Energia armazenada no capacitor C = Q V U = 1 C Q 2 2 = 1 2 C V 2 26
Energia armazenada no capacitor C = Q V U = 1 C Q 2 2 = 1 2 C V 2! 1 1 2 0 $ % 2 1 U " C # V " Ed "! E 2 $ d E 0 d 2 2 2 % 26
Energia armazenada no capacitor C = Q V U = 1 C Q 2 2 = 1 2 C V 2! 1 1 2 0 $ % 2 1 U " C # V " Ed "! E 2 $ d E 0 d 2 2 2 % U E 1 u E " "! 0E Volume 2 2 Energia armazenada no campo! Densidade de energia 26
umentando a capacitância 27
Dielétricos (visão microscópica) Dielétricos polares Dielétricos com momento de dipolo permanente Ex: água 28
Dielétricos (visão microscópica) Dielétricos polares Dielétricos com momento de dipolo permanente Ex: água 28
Dielétricos não polares (visão microscópica) Dielétricos com momento de dipolo induzido pelo campo elétrico Ex: CH4 29
Dielétricos não polares (visão microscópica) Dielétricos com momento de dipolo induzido pelo campo elétrico Ex: CH4 29
Dielétricos (visão macroscópica) QP = Carga induzida 30
Dielétricos em capacitores 31
Dielétricos em capacitores C = Q V umento da capacitância com diminuição de V 31
Dielétricos em capacitores C = Q V umento da capacitância com diminuição de V V diminui porque a polarização do dielétrico diminui o campo elétrico 31
Constante dielétrica κ dielétricos diminuem o campo elétrico original por um fator κ Constante dielétrica 32
Constante dielétrica κ dielétricos diminuem o campo elétrico original por um fator κ Constante dielétrica Constantes dielétricas Vácuo 1.0 Papel 3.7 Vidro Pyrex 5.6 Água 80 32
Lei de Gauss num dielétrico i de Gauss sem dielétricos Q (( E!" & d " " E ", ' E " # S $ 0 0 % 0 % 0 33
Lei de Gauss num dielétrico i de Gauss sem dielétricos Q (( E!" & d " " E ", ' E " # S $ 0 0 % 0 % 0 %% E!" # d " $ E $ # S Q " Q! 0 P 33
Lei de Gauss num dielétrico i de Gauss sem dielétricos Q (( E!" & d " " E ", ' E " # S $ 0 0 % 0 % 0 %% E!" # d " $ E $ # S Q " Q! 0 P E E Q Q " Q & &!! 0 $ $ $ e e 0 0 P Q P ' 1 ( $ Q) 1" & * e +, QP = Carga induzida 33
Lei de Gauss num dielétrico i de Gauss sem dielétricos Q (( E!" & d " " E ", ' E " # S $ 0 0 % 0 % 0 %% E!" # d " $ E $ # S Q " Q! 0 P E E Q Q " Q & &!! 0 $ $ $ e e 0 0 P Q P ' 1 ( $ Q) 1" & * e +, QP = Carga induzida Q Q %% E " # d " $ $ &!! # S e 0! $ &! e 0 permissividade elétrica do meio 33