Agradecimentos. Aos colegas da pós-graduação que me fizeram sentir em casa, mesmo eu sendo o único da turma que não era de Belo Horizonte. Valeu!

Agradecimentos Antes de tudo, quero agradecer a Deus. Ele tem me abençoado todos os dias da minha vida. Pois dele, por Ele e para Ele são todas as coisas. A Ele seja a glória para sempre! Amém. Quero agradecer aos meus pais, Joaquim dos Reis e Maria Irene dos Reis. Estudar fora é difícil, a saudade é grande mas o amor, o apoio e o carinho superam distâncias e eu sempre tive a compreensão incondicional deles. Aos colegas da pós-graduação que me fizeram sentir em casa, mesmo eu sendo o único da turma que não era de Belo Horizonte. Valeu! Aos amigos e amigas da Igreja Batista Getsêmani, minha família em Belo Horizonte. À galera da célula A Tenda do Encontro, à Judy (minha primeira amiga em BH), à Thátia (minha irmãzinha), à Débora (que eu conheci na porta do cemitério e é para quem eu ligo quando estou doente), ao Lessander. Obrigado também ao meu grande amigo Uilton Soares de Oliveira. Falar que ele é o irmão que eu não tive é pouco. Ele é um amigo mais apegado que um irmão. i

Sumário 1 Teoria Básica 2 1.1 Dimensão............................. 4 1.2 Grau................................ 5 1.3 Curvas Racionais Normais.................... 5 1.4 Variedades............................. 9 1.5 Espaço Tangente......................... 11 1.5.1 Espaço Tangente Afim.................. 11 1.5.2 Espaço Tangente Projetivo................ 12 1.6 Explosão.............................. 13 1.7 Projeção.............................. 15 2 Rolos Racionais Normais 18 2.1 Construção Sintética....................... 18 2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal............ 21 2.3 Outras propriedades....................... 22 3 Rolos Racionais Normais e Variedades Determinantais 30 4 Rolos Racionais Normais e Divisores 37 4.1 Divisores em Variedades Irredutíveis.............. 37 4.2 Divisores, Aplicações e Rolos................... 45 4.3 O rolo cúbico........................... 50 ii

5 Representação Plana do Rolo 53 5.1 Projeções e Aplicações...................... 62 iii

Introdução O principal objetivo desta dissertação é fazer um estudo dos rolos racionais normais de vários pontos de vista. Sejam k, l dois inteiros positivos com k l e Λ, Λ subespaços lineares complementares de dimensões k e l respectivamente em P k+l+1 (isto é, Λ e Λ são disjuntos e geram P k+l+1 ). Escolha curvas racionais normais C Λ e C Λ e um isomorfismo ϕ : C C. O rolo racional normal S k,l é a união das retas p, ϕ(p) ligando pontos p de C aos pontos correspondentes ϕ(p) de C. Este tipo de superfície foi estudada por Corrado Segre (1863-1924), professor da Universidade de Turim, logo após a defesa da sua tese de doutorado sobre quádricas. No capítulo 1, introduzimos a teoria básica necessária ao desenvolvimento do assunto apresentando os conceitos de espaço projetivo, variedades, curvas racionais normais e espaço tangente e listando também alguns resultados importantes como, por exemplo, o teorema da dimensão das fibras. No capítulo 2, veremos os rolos racionais normais de maneira sintética como na definição supracitada, com uma abordagem próxima de [2] e [4]. Também estudaremos grau, dimensão e outras propriedades do rolo. O capítulo 3 é dedicado a maneira analítica de estudar o rolo. Veremos o rolo racional normal como variedade determinantal. No capítulo 4, a abordagem é feita através de divisores, usando [3]. Veremos a relação entre rolos racionais normais e aplicações definidas de P 2 para o P k+l+1 associadas a subsistemas lineares de divisores no plano. Em particular, o S 1,2 P 4 será estudado como a explosão de P 2 em um ponto. No capítulo 5 faremos várias projeções do rolo para o plano, baseadas em [4], e estabeleceremos a relação de uma projeção plana particular com as aplicações do capítulo 4. Um enfoque especial é dado aos exemplos. Muitas das propriedades gerais iv

dos rolos racionais normais antes de serem enunciadas na forma geral são feitas para casos particulares. 1

Capítulo 1 Teoria Básica Este capítulo introduz algumas das idéias básicas da dissertação, definindo os elementos principais e listando propriedades e resultados que serão utilizados no decorrer do texto. Definição 1.1 Seja K um corpo algebricamente fechado. O espaço projetivo de dimensão n sobre o corpo K é o conjunto de subespaços de dimensão 1 do espaço vetorial K n+1 que será denotado por P n. Um elemento x P n será denotado por x = (x 0,..., x n ). Sabemos que em P n um polinômio F K[x 0,..., x n ] não define uma função, mas se F é um polinômio homogêneo de grau d, isto é, todos os monômios de F têm grau d, então faz sentido falar no conjunto dos zeros de F. Definição 1.2 Uma variedade projetiva X P n é o conjunto dos zeros de uma coleção de polinômios homogêneos F α. Denotaremos uma variedade por V (F α ). 2

Definição 1.3 Seja T : K n+1 K n+1 uma transformação linear de coordenadas do espaço vetorial K n+1. Então T leva subespaços de dimensão 1 (retas passando pela origem) em subespaços de dimensão 1. Logo T define uma aplicação de P n P n que será chamada de transformação projetiva. Definição 1.4 Duas variedades V e V são ditas projetivamente equivalentes se existe uma transformação projetiva tal que T (V ) = V. Definição 1.5 Um mapa regular de uma variedade arbitrária X para um espaço afim A n é um mapa dado por uma n-upla de funções regulares em X. Já um mapa ϕ : X P n é regular se é localmente regular, isto é, se é contínuo e para cada aberto afim U i = A n P n a restrição de ϕ a ϕ 1 (U i ) é regular. Definição 1.6 Sejam X e Y variedades projetivas irredutíveis. Um mapa racional ϕ : X Y é definido como uma classe de equivalência de pares (U, γ) com U X um subconjunto aberto denso de Zariski e γ : U Y um mapa regular, onde dois pares (U, γ) e (V, η) são ditos equivalentes se γ U V = η U V. Definição 1.7 Dizemos que um mapa racional ϕ : X Y é birracional se existe um mapa γ : Y X tal que ϕ γ e γ ϕ são ambas definidas e iguais a identidade. Definição 1.8 Dizemos que duas variedades irredutíveis X e Y são birracionalmente equivalentes se existe um mapa birracional entre elas. Definição 1.9 Dizemos que uma variedade irredutível X é racional se X é birracionalmente equivalente a P n para algum n. 3

1.1 Dimensão Definição 1.10 A dimensão de uma variedade projetiva irredutível X P n,denotada por dim(x), é o menor inteiro i tal que existe um subespaço de P n de dimensão n i 1 disjunto de X. Observação 1.11 Se X, Y P n são variedades de dimensões i e j com i + j n então X Y. O próximo teorema é conhecido como teorema da dimensão das fibras e será útil no cálculo da dimensão dos rolos. Teorema 1.12 Sejam X uma variedade projetiva, π : X P n um mapa regular e Y o fecho da imagem. Para cada p X, sejam X p = π 1 (π(p)) X a fibra de π que contém p e µ(p) = dim p (X p ) a dimensão local de X p em p. Então para cada m o lugar dos pontos p X tal que dim p (X p ) m é um fechado em X. Mais ainda, se X 0 X é uma componente irredutível, Y 0 Y o fecho de sua imagem e µ o menor valor de µ(p) sobre X 0 então dim(x 0 ) = dim(y 0 ) + µ. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 11. Corolário 1.13 Seja π : X Y um mapa regular de variedades projetivas com Y irredutível. Suponha que todas as fibras π 1 (q) de π são irredutíveis de mesma dimensão. Então X é irredutível. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 11. 4

1.2 Grau Definição 1.14 Sejam X P n uma variedade irredutível de dimensão k e Ω um (n k)-plano genérico. Então o grau de X, denotado por grau(x), é o número de pontos da intersecção de Ω com X, contados com multiplicidade. Equivalentemente, sejam X P n uma variedade irredutível de dimensão k e Λ um (n k 1)-plano genérico. Então grau(x) é o grau do mapa finito sobrejetor π Λ : X P k, onde grau do mapa π Λ : X P k é o número de pontos na imagem inversa de um ponto genérico de π Λ (X). O próximo resultado, conhecido com Teorema de Bézout, relaciona o grau da interseção de duas variedades com os graus das variedades. Teorema 1.15 Sejam X, Y P n variedades irredutíveis de dimensões i e j, respectivamente com i + j n e suponha que X e Y têm interseção genericamente transversal. Então grau(x Y ) = grau(x) grau(y ). Em particular, se i + j = n temos que X Y consistirá de grau(x)grau(y ) pontos. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], Capítulo 18, página 227. 1.3 Curvas Racionais Normais Exemplo 1.16 Considere a imagem C do mapa v : P 1 P 3 dada por v : (x 0, x 1 ) (x 3 0, x 2 0 x 1, x 0 x 2 1, x 3 1 ) = (z 0, z 1, z 2, z 3 ). Observemos que C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios 5

2 F 0 = z 0 z 2 z 1 F 1 = z 0 z 3 z 1 z 2 2 F 2 = z 1 z 3 z 2 e é chamada cúbica reversa. De fato, é fácil ver que se p v(p 1 ) então p satisfaz F 0, F 1 e F 2. Vejamos que se p = (z 0, z 1, z 2, z 3 ) V (F 0, F 1, F 2 ) então p v(p 1 ). Suponha z 0 = 1, logo por F 0 temos z 2 = z 2 1 e por F 1 temos z 3 = z 1 z 2 = z 3 1. Logo p = (1, z 1, z 2 1, z 3 1 ) = v(1, z 1 ). Podemos generalizar o exemplo anterior. Definição 1.17 Seja h 0, h 1,..., h d uma base para o espaço dos polinômios homogêneos de grau d nas variáveis x 0, x 1. Uma curva racional normal C P d de grau d é a imagem da aplicação v d : P 1 P d dada por v d : (x 0, x 1 ) = (h 0, h 1,..., h d ) Afirmação 1.18 Dadas duas curvas racionais normais C, C P d de grau d elas são projetivamente equivalentes, isto é, existe uma transformação projetiva T : P d P d que leva C em C Demonstração: Basta mostrar que uma curva racional normal é projetivamente equivalente a uma forma padrão de curva racional normal. Seja C P d uma curva racional normal dada por C = u d (P 1 ) com u d : (x 0, x 1 ) = (h 0, h 1,..., h d ). Sabemos que x d 0, x d 1 0 x 1,..., x d 1 também é uma base para o espaço dos polinômios homogêneos de grau d nas variáveis x 0, x 1 assim podemos escrever h 0 = a 0,0 x d 0 + a 0,1 x d 1 d 0 x 1 + + a 0,d x 1 6

h 1 = a 1,0 x 0 d + a 1,1 x 0 d 1 x 1 + + a 1,d x 1 d. h d = a d,0 x 0 d + a d,1 x 0 d 1 x 1 + + a d,d x 1 d e definir uma transformação T C : P d P d cuja matriz é dada por a 0,0 a 0,1 a 0,d a 1,0 a 1,1 a 1,d a d,0 a d,1 a d,d tal que T C 1 leva C na curva dada como a imagem da função dada por v d : P 1 P d v d : (x 0, x 1 ) (x 0 d, x 0 d 1 x 1,..., x 1 d ). Assim, em todo o texto, uma curva racional normal C de grau d será vista como a imagem da aplicação v d : P 1 P d definida por v d ((x 0, x 1 )) = (x 0 d, x 0 d 1 x 1,..., x 1 d ) = (z 0, z 1,..., z d ). Afirmação 1.19 A curva C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios F i,j (z) = z i z j z i 1 z j+1 para 1 i j d 1. Demonstração: Já sabemos que v d (P 1 ) V (F i,j ). Vejamos que V (F i,j ) v d (P 1 ). Seja p = (z 0, z 1,..., z d ). Sem perda de generalidade, suponha z 0 = 1. Por F 1,1 temos z 2 = z 2 1, por F 1,2 temos z 3 = z 1 z 2 = z 3 1 e de maneira geral por F 1,j temos que z j+1 = z j+1 1. Assim p = (1, z 1, z 2 1,..., z d 1 ). 7

Exemplo 1.20 Para d = 4 temos a quártica racional normal dada por v 4 : (x 0, x 1 ) (x 4 0, x 3 0 x 1, x 2 0 x 2 1, x 0 x 3 1, x 4 1 ) = (z 0, z 1, z 2, z 3, z 4 ). e que também pode ser vista como os zeros comuns de 2 F 0 = z 0 z 2 z 1 F 1 = z 0 z 3 z 1 z 2 F 2 = z 0 z 4 z 1 z 3 2 F 3 = z 1 z 3 z 2 F 4 = z 1 z 4 z 2 z 3 2 F 5 = z 2 z 4 z 3 Observação 1.21 Notemos que d + 1 pontos de uma curva racional normal são linearmente independentes. De fato, supondo, por exemplo, x 0 0 a matriz M (d+1) (d+1) formada pelas coordenadas de d + 1 pontos sobre C é uma matriz de Van Der Monde e sabemos que o determinannte da matriz de Van Der Monde só se anula se duas linhas coincidirem. Para d = 4, supondo x 0 0 temos que a matriz onde cada linha é composta pelas coordenadas C é da forma 1 a 1 2 a 1 3 a 1 4 a 1 1 b 1 2 b 1 3 b 1 4 b 1 1 c 1 2 c 1 3 c 1 4 c 1 1 d 1 2 d 1 3 d 1 4 d 1 1 e 1 2 e 1 3 e 1 4 e 1 Assim d + 1 pontos numa curva racional normal de grau d determinam o espaço P d. 8

1.4 Variedades Variedade de Veronese A construção da curva racional normal também pode ser generalizada. Para cada n e d podemos definir a aplicação de Veronese de grau d dada por v d : P n P N v d (x 0, x 1,..., x n ) = (..., x I,...) onde x I percorre todos os monômios de grau d em x 0, x 1,..., x n. A imagem da aplicação de Veronese é chamada Variedade de Veronese. ( ) n + d É fácil ver que N = 1 d Exemplo 1.22 Considere d = n = 2, temos que é dada por v 2 : P 2 P 5 v d (x 0, x 1, x 2 ) = (x 0 2, x 0 x 1, x 0 x 2, x 1 2, x 1 x 2, x 2 2 ) A imagem desta aplicação é chamada de superfície de Veronese. Exemplo 1.23 O P 5 das cônicas Sabemos que uma cônica C em P 2 é dada pela equação a 0 x 0 2 + a 1 x 0 x 1 + a 2 x 2 2 + a 3 x 0 x 2 + a 4 x 1 2 + a 5 x 1 x 2 = 0. 9

Sabemos também que se b i é tal que b i = λa i para i = 0, 1,..., 5 então a cônica C definida por b 0 x 2 0 + b 1 x 0 x 1 + b 2 x 2 2 + b 3 x 0 x 2 + b 4 x 2 1 + b 5 x 1 x 2 = 0 é a mesma cônica C (como conjunto de pontos de P 2 ). Assim podemos considerar o conjunto das cônicas de P 2 constituindo um espaço projetivo de dimensão 5, dado pelos pontos (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) o qual será chamado de P 5 das cônicas. De maneira completamente análoga, considere uma cúbica C em P 2 dada pela equação a 0 x 0 3 + a 1 x 0 2 x 1 + a 2 x 0 2 x 2 + a 3 x 0 x 1 2 + a 4 x 0 x 1 x 2 + a 5 x 0 x 2 2 + a 6 x 1 3 + a 7 x 1 2 x 2 + a 8 x 1 x 2 2 + a 9 x 2 3 = 0 Podemos considerar o conjunto da cúbicas planas formando um espaço projetivo de dimensão 9, dado pelos pontos (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9 ) que chamaremos de P 9 das cúbicas. De modo geral, o conjunto das curvas planas de grau n pode ser associado a P r, onde r = 1 (n + 1)(n + 2) 1. 2 Variedade de Segre Outra família muito importante de aplicações são as chamadas aplicações de Segre σ : P n P m P (n+1)(m+1) 1 definida associando a cada par ((x), (y)) P n P m o ponto em P (n+1)(m+1) 1 cujas coordenadas são os produtos dois a dois das coordenadas de (x) e (y), isto é, σ : ((x 0, x 1,..., x n ), (y 0, y 1,..., y m )) (..., x i y j,...) 10

A imagem desta aplicação é uma variedade chamada de Variedade de Segre e será denotada por Σ n,m. Exemplo 1.24 Nosso primeiro exemplo de variedade de Segre é a variedade Σ 1,1 P 3, isto é, a imagem da aplicação σ : P 1 P 1 P 3 onde σ : ((x 0, x 1 ), (y 0, y 1 )) = (x 0 y 0, x 0 y 1, x 1 y 0, x 1 y 1 ) = (z 0, z 1, z 2, z 3 ) Notemos que Σ 1,1 é o lugar dos zeros do polinômio z 0 z 3 z 1 z 2, ou seja, é uma superfície quádrica. Exemplo 1.25 Outro exemplo de variedade de Segre é a imagem da aplicação σ : P 2 P 1 dada por σ : ((x 0, x 1, x 2 ), (y 0, y 1 )) = (x 0 y 0, x 0 y 1, x 1 y 0, x 1 y 1, x 2 y 0, x 2 y 1 ) = (z 0, z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 ) denotada por Σ 2,1 = σ(p 2 P 1 ) P 5 e conhecida como variedade de Segre de dimensão três. Observemos que Σ 2,1 é o lugar dos zeros dos polinômios G 1 = z 0 z 3 z 1 z 2 G 2 = z 0 z 5 z 1 z 4 G 3 = z 3 z 4 z 2 z 5. 1.5 Espaço Tangente 1.5.1 Espaço Tangente Afim Suponha que X A n é uma variedade afim de dimensão k com I(X) = (f 1, f 2,..., f l ). Seja M a matriz l n com entradas m i,j = f i x j, onde 1 i l e 1 j n. 11

Definição 1.26 Um ponto p X é dito suave (ou não singular) em X se o posto da matriz M avaliada em p é exatamente n k. Um ponto p X é chamado singular se o posto da matriz M avaliada em p é menor que n k. Podemos ver a matriz M avaliada em p como uma transformação linear de A n para A l e com isto fazer a seguinte definição. Definição 1.27 Seja X uma variedade afim. Se p X é suave definimos o espaço tangente a X em p, denotado por T p (X), como o núcleo da matriz M avaliada em p. 1.5.2 Espaço Tangente Projetivo Definição 1.28 Seja X P n uma variedade projetiva. Para cada p X o espaço tangente projetivo, que será denotado por T p (X) é definido como o fecho projetivo de T p (X U) onde U = A n P n é um aberto afim contendo p. Podemos descrever T p (X) de uma maneira mais direta. Suponha que X P n é uma hipersuperfície dada pelo polinômio homogêneo F (Z). Sejam U = A n o aberto afim Z 0 0 com coordenadas euclidianas z i = Z i Z 0 e f(z 1, z 2,..., z n ) = F (1, z 1, z 2,..., z n ) tal que X U é o lugar dos zeros de f. Para p X com coordenadas (w 1, w 2,..., w n ) o espaço tangente n afim é dado como o lugar {(z 1, z 2,..., z n ) A n f : (p)(z i w i ) = 0}. z i Pela definição, o espaço tangente projetivo é dado como o lugar T p (X) = n {(Z 0, Z 1,..., Z n ) P n F : (1, w 1, w 2,..., w n )(Z i w i Z 0 ) = 0}. Z i i=1 Mas as derivadas parciais de um polinômio homogêneo de grau d satisfazem a 12 i=1

relação de Euler n F Z i = df e temos que F (1, w 1, w 2,..., w n ) = 0 então Z i i=0 T p (X) = {(Z 0, Z 1,..., Z n ) P n : n F (p)z i = 0}. Z i i=0 Uma vez descrito o espaço tangente de uma hipersuperfície, podemos descrever o espaço tangente projetivo de uma variedade arbitrária X P n como a interseção dos espaços tangentes projetivos de todas as hipersuperfícies contendo X. Em particular, se I(X) = (F 1, F 2,..., F m ) então o espaço tangente projetivo de X, T p (X), será o subespaço de P n dado pelo núcleo da matriz M, avaliada em p, com entradas m i,j = F i Z j, onde 1 i l e 1 j n, vista como uma transformação de K n+1 para K n. Definição 1.29 Sejam X e Y P n duas variedades projetivas e p X Y. Dizemos que X e Y tem interseção transversal em p se p X é suave, p Y é suave e os espaços tangentes projetivos T p (X) e T p (Y ) geram T p (P n ). Definição 1.30 Suponha que X e Y P n são duas variedades projetivas. Dizemos que X e Y tem interseção genericamente transversal se a interseção é transversal para um ponto genérico p X Y 1.6 Explosão Considere dois espaços projetivos P n com coordenadas x 0, x 1,..., x n e P n 1 com coordenadas y 0, y 1,..., y n 1. Para pontos x = (x 0, x 1,..., x n ) P n e y = (y 0, y 1,..., y n 1 ) P n 1 denotamos o ponto (x, y) P n P n 1 por (x 0, x 1,..., x n ; y 0, y 1,..., y n 1 ). 13

Considere a variedade Π em P n P n 1 definida pelas equações x i y j = x j y i para i, j = 0,..., n 1 Definição 1.31 O mapa σ : Π P n definido pela restrição da projeção na primeira coordenada a Π é chamada explosão de P n com centro em ξ = (0, 0,..., 1) P n. Vejamos algumas propriedades da explosão. Proposição 1.32 A explosão de P n com centro em ξ é um isomorfismo entre P n \ ξ e Π \ (ξ P n 1 ) Demonstração: Se p = (x 0, x 1,..., x n ) ξ então as equações de definição de Π implicam que (y 0, y 1,..., y n 1 ) = (x 0, x 1,..., x n 1 ). Então o mapa σ 1 : P n \ ξ Π definido por σ 1 (x 0, x 1..., x n ) = (x 0, x 1..., x n ; x 0, x 1..., x n 1 ) é a inversa de σ. Se p = (x 0, x 1,..., x n ) = ξ então as equações de definição de Π são satisfeitas para todo valor de y i. Logo σ 1 (ξ) = ξ P n 1. Dessa forma σ define um isomorfismo entre P n \ ξ e Π \ (ξ P n 1 ). Lema 1.33 A variedade Π é irredutível. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [6], capítulo 2, seção 4. 14

Exemplo 1.34 Vamos explodir P 2 com centro em (0, 0, 1), ou seja, considere x = (x 0, x 1, x 2 ) P 2 e y = (y 0, y 1 ) P 1. Em P 2 P 1 com pontos da forma (x 0, x 1, x 2 ; y 0, y 1 ). Seja a variedade Π definida pela equação x 0 y 1 = x 2 y 0. Considere as aplicações σ : Π P 2 P 1 P 2 definida pela restrição da projeção à primeira coordenada de P 2 P 1 P 2 a Π e também σ 1 : P 2 \ ξ Π definida por σ 1 (x 0, x 1, x 2 ) = (x 0, x 1, x 2 ; x 0, x 1 ). Dessa forma temos um isomorfismo entre P 2 \ (0, 0, 1) e Π \ ((0, 0, 1) P 1 ). 1.7 Projeção Sejam o hiperplano P n 1 P n e um ponto p P n \ P n 1. Podemos definir a aplicação π p : P n \ {p} P n 1 dada por π p : q qp P n 1 isto é, mandando um ponto q P n com q p no ponto de interseção da reta pq com o hiperplano P n 1. A reta pq é chamada reta projetante. Definição 1.35 Mantendo as notações anteriores, temos que a aplicação π p é chamada de projeção a partir de p para o hiperplano P n 1. Em coordenadas, suponha que p é um ponto de P n da forma p = (0, 0,..., 1) e que P n 1 é o hiperplano x n = 0. Então a aplicação π p assume a forma: π p (z 0, z 1,..., z n ) = (z 0, z 1,..., z n 1 ) 15

Suponha que X é uma variedade em P n não contendo o ponto p. Podemos restringir a aplicação π p a variedade X e ter uma aplicação regular π p : X P n 1. A imagem X = π p (X) desta aplicação é chamada de projeção de X a partir de p para P n 1. Teorema 1.36 A projeção X de uma variedade projetiva X a partir de p para P n 1 é também uma variedade projetiva. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 3. A noção de projeção a partir de um ponto pode ser generalizada. Se Λ = P k é um subespaço e P n k 1 é um subespaço complementar a Λ podemos definir a aplicação π Λ : P n \ Λ P n k 1 mandando um ponto q P n \ Λ na interseção de P n k 1 com o (k + 1) plano q, Λ (chamado de projetante). Novamente, para uma variedade X P n disjunta de Λ podemos restringir a aplicação π Λ a variedade X e obter uma aplicação regular cuja imagem é chamada de projeção de X a partir de Λ para P n k 1. A projeção a partir de Λ pode ser vista como a composição de uma sequência de projeções a partir de p 0,..., p k gerando Λ. Logo o Teorema 1.36 nos garante que a projeção da variedade X a partir de Λ para P n k 1 também é uma variedade projetiva. Seja X P n uma variedade. Podemos, de maneira análoga, projetar X a partir de um ponto p X. Observe que a projeção, neste caso, não fica definida para o ponto p X. Vejamos um exemplo. 16

Exemplo 1.37 Seja C P 3 a cúbica reversa. Sabemos que C é imagem da aplicação v : P 1 P 3 dada por v : (x 0, x 1 )=(x 3 0, x 2 0 x 1, x 0 x 2 1, x 3 1 ). Vamos projetar C a partir do ponto p = (0, 0, 0, 1) C. A projeção π p : P 3 P 2 fica assim definida π p (z 0, z 1, z 2, z 3 ) = (z 0, z 1, z 2 ). Se restringirmos π p a C \{p} temos π p (C \ {p}) = (x 3 0, x 2 0 x 1, x 0 x 2 1 ) = x 0 (x 2 0, x 0 x 1, x 2 1 ) que é a cônica em P 2. De maneira geral, suponhamos que X P n é uma variedade de grau d e dimensão k e que p / X. Seja X = π p (X) P n 1 a projeção de X a partir de p. Como os hiperplanos no espaço tangente de P n 1 correspondem aos hiperplanos em P n passando por p então uma k-upla de hiperplanos genéricos H i P n 1 vem de uma k-upla de hiperplanos H i em P n passando por p que interceptam X em exatamente d pontos p i com i = 1, 2,..., d. Logo a interseção de X com os hiperplanos H i será a imagem p i = π p (p i ) P n 1 e portanto o grau de X será menor ou igual a d. Novamente suponhamos que X P n é uma variedade de grau d e dimensão k. Seja X = π p (X) P n 1 a projeção de X a partir de p, com p X. A mesma argumentação anterior continua válida, ou seja, os pontos de interseção de X com os hiperplanos H i correspondem aos pontos de interseção de X com os hiperplanos H i exceto pelo ponto p. Então o grau de X é menor ou igual a d 1. 17

Capítulo 2 Rolos Racionais Normais 2.1 Construção Sintética Sejam k e l dois inteiros positivos com k l. Sejam Λ e Λ subespaços lineares complementares de dimensões k e l respectivamente em P k+l+1 (isto é, Λ e Λ são disjuntos e geram P k+l+1 ). Escolha curvas racionais normais C Λ e C Λ e um isomorfismo ϕ : C C. Seja S k,l a união das retas p, ϕ(p) ligando pontos p de C aos pontos correspondentes ϕ(p) de C. S k,l é chamado um rolo racional normal. As retas p, ϕ(p) são chamadas retas da regra de S k,l P k+l+1. Exemplo 2.1 Consideremos Λ = P 1 e Λ = P 2 contidos em P 4. Escolha um isomorfismo ϕ entre uma reta C Λ e uma cônica C Λ. Para cada p C, considere a reta p, ϕ(p). Dessa forma temos S 1,2 = { p Cp, ϕ(p)} P 4. 18

C C Λ = P 1 Λ = P 2 Exemplo 2.2 Também podemos considerar Λ = P 1 e Λ = P 3. Escolha um isomorfismo entre uma reta C Λ e uma cúbica reversa C Λ. Para cada p C, considere a reta p, ϕ(p). Temos assim S 1,3 = { p Cp, ϕ(p)} P 5. C C Λ = P 3 Λ = P 1 Exemplo 2.3 Consideremos Λ = P 2 e Λ = P 2. Escolha um isomorfismo en- 19

C tre as cônicas C Λ e C Λ. Dessa forma temos S 2,2 P 5. Λ = P 2 Exemplo 2.4 Também podemos considerar Λ = P 2 e Λ = P 3. Escolha um isomorfismo entre uma cônica C Λ e uma cúbica reversa C Λ.Assim temos S 2,3 P 6. C C Λ = P 3 Λ = P 2 Vamos agora estudar as principais propriedades dos rolos racionais normais. 20

2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal Mostraremos nesta seção que dim(s k,l ) = 2 e que o grau de S k,l é k + l. Lema 2.5 Seja S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. Então S k,l é irredutível. Demonstração: Considere a projeção Π : S k,l C definida da seguinte forma: para todo p S k,l temos que p q, ϕ(q) para algum q C. Defina Π(p) = q. Assim a fibra Π 1 (q) é a reta q, ϕ(q) para todo q C. Logo todas as fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão 1. Pelo corolário do teorema da dimensão das fibras (ver 1.13), S k,l é irredutível. Teorema 2.6 Mantendo a notação do lema anterior, considere S k,l P k+l+1. Temos que dim(s k,l ) = 2. Demonstração: Seja Π a projeção do lema anterior. Já sabemos que S k,l é irredutível e que todas as fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão 1. Então, pelo teorema da dimensão das fibras (ver 1.12), dim(s k,l ) = dim C + 1 e como dim C = 1 logo dim(s k,l ) = 1 + 1 = 2. Para calcular o grau do rolo S = S k,l P k+l+1 faremos a interseção de S com um hiperplano particular H gerado por Λ e por Λ 0 onde Λ é o subespaço de dimensão k que aparece na construção de S e Λ 0 é um hiperplano genérico em Λ (Λ é o subespaço de dimensão l que aparece na construção de S). Temos que dim(s) = 2 e dim(h) = k + l logo dim(s) + dim(h) = k + l + 2 > k + l + 1. Assim, pelo Teorema 1.15, temos que grau(s) = grau(s H) 21

desde que essa interseção seja transversal. Para calcular grau(s H) vejamos que Λ 0 S consiste de l pontos (já que C Λ é uma curva racional normal de grau l) e Λ S = C. Assim H S = C r 1 r l onde r 1,..., r l são retas de S. Logo grau(s H) = grau(c r 1 r l ) = k + l. Para ver que essa interseção é transversal, seja p H S. Sabemos que o espaço tangente projetivo do hiperplano H é o próprio H, isto é, T p (H) = H. Temos também que T p (S) é um plano, não contido em H. Logo T p (H) e T p (S) geram T p (P k+l+1 ) = P k+l+1 e a interseção é transversal. Exemplo 2.7 O rolo S 1,2 P 4 tem grau 1 + 2 = 3. Já o rolo S 1,3 P 5 tem grau 1 + 3 = 4. 2.3 Outras propriedades Exemplo 2.8 Consideremos S 1,2 P 4. Vamos utilizar a notação do Exemplo 2.1. Temos que duas retas da regra de S 1,2 são independentes (geram P 3 ). Já três retas da regra são dependentes e geram P 4. De fato, sejam r e s duas retas da regra de S 1,2 P 4, com r C = p 1, s C = p 2, r C = p 3 e s C = p 4. C p 3 r C p 1 Λ p 4 s p 2 Suponha, por absurdo, que as duas retas r e s se interceptam. Seja α o plano gerado por elas. Temos que p 3 p 4 Λ. Mas em α temos que p 1 p 2 e 22

p 3 p 4 se interceptam logo Λ e Λ se interceptam. Absurdo. Logo duas retas da regra de S 1,2 geram P 3. Vejamos agora que três retas da regra geram P 4. Basta observar que uma terceira reta da regra de S 1,2 intercepta a curva C em um ponto que pertence ao P 3 gerado pelas duas retas da regra, mas intercepta C num ponto que não pertence ao supracitado P 3. Exemplo 2.9 Observemos S = S 1,3 P 5, onde vamos manter a notação do Exemplo 2.2. Três retas da regra são dependentes, ou seja, geram exatamente P 4 e não P 5. De fato, já vimos anteriormente que duas retas da regra de S geram P 3. Seja t uma terceira reta da regra de S, diferente de r e s. Observemos que t intercepta o P 3 gerado por r e s, pois Λ está contido neste P 3 e t intercepta Λ. Logo três retas da regra de S geram P 4 e não P 5. De maneira geral, temos o seguinte resultado: Lema 2.10 Seja S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. Para k < l temos que k + 1 retas da regra de S são independentes, isto é geram P 2k+1 e k + 2 retas da regra de S são dependentes, isto é geram exatamente P 2k+2. Em outras palavras, k + 1 é o maior número de retas da regra de S independentes. Demonstração: Seja S = S k,l. Primeiro vejamos que duas retas da regra de S são disjuntas. Suponhamos, por absurdo, que as retas r e s da regra de S se interceptam. Considere o P 2 gerado por r e s e os pontos p 1 = r C, p 2 = s C, p 3 = r C e p 4 = s C. Assim as retas p 1 p 2 Λ e p 3 p 4 Λ. As 23

retas p 1 p 2 e p 3 p 4 P 2 e portanto se interceptam. Logo Λ e Λ se interceptam. Absurdo. Suponha, por indução, que n retas da regra de S geram P 2n 1, com n k. Queremos mostrar que n + 1 retas da regra de S geram P 2n+1. Para isso, suponha, por absurdo, que n + 1 retas da regra de S geram P 2n. Um subespaço de Λ de dimensão n está contido neste P 2n e um subespaço V Λ também de dimensão n está contido neste P 2n. Pela Observação 1.11, V e Λ se interceptam e logo Λ e Λ se interceptam. Absurdo, pois isto contraria a construção de S. Portanto n+1 retas da regra de S geram P 2n+1. Notemos que Λ P 2k+1 logo a k + 2-ésima reta da regra de S intercepta P 2k+1 então k + 2 retas da regra de S geram exatamente P 2k+2. Exemplo 2.11 Consideremos S = S 2,2 P 5. Então três retas da regra de S 2,2 são independentes (geram P 5 ). Exemplo 2.12 Seja S = S 2,4 P 7. Segue do lema anterior que três retas da regra de S geram P 5 e que quatro retas da regra de S geram P 6 e não P 7. Proposição 2.13 Os rolos S k,l P k+l+1 e S k,l Pk +l +1 com k + l + 1 = k + l + 1 são projetivamente equivalentes se, e somente se, k = k Demonstração: Suponha que S = S k,l e S = S k,l são projetivamente equivalentes e k > k. Consideremos k + 1 retas da regra de S. Sabemos, pelo Lema 2.10, que estas retas são independentes e como transformação projetiva leva reta em reta e preserva independência temos que a imagem dessas retas são independentes em S. Também temos, pelo Lema 2.10, que o maior número de retas independentes em S é k + 1. Mas estamos 24

conseguindo em S, k + 1 > k + 1 retas da regra independentes. Absurdo. Logo k não pode ser maior que k. De maneira inteiramente análoga não podemos ter k maior que k. Portanto k = k. Suponha que k = k. Logo l = l pois k + l + 1 = k + l + 1. Relembremos a construção do rolo : sejam Λ e Γ subespaços lineares complementares de dimensões k e l respectivamente em P k+l+1 e sejam C Λ e E Γ as curvas racionais normais que aparecem na construção de S. Sejam, também C Λ e E Γ as curvas racionais normais da construção de S. Sabemos que existe uma transformação projetiva T C : Λ Λ que leva C em C e também uma transformação projetiva T E : Γ Γ que leva E em E. Mas P n é gerado por Λ e Γ (ou Λ e Γ ). Logo as transformações T C e T E se estendem a uma transformação T : P k+l+1 P k+l+1. Assim T leva C em C, E em E e retas da regra de S em retas da regra de S. Portanto S e S são projetivamente equivalentes. Exemplo 2.14 Consideremos os rolos S 1,3 P 5 e S 2,2 P 5. De acordo com a proposição anterior eles não são projetivamente equivalentes. A proposição anterior nos diz que num dado espaço P n os diferentes tipos de rolos racionais normais contidos neste espaço ficam completamente determinados pelo número k que é o grau da curva C que figura na construção do rolo. Desta forma, excluindo a possibilidade de k ser zero, temos num dado P k+l+1, quantos tipos de rolos racionais normais diferentes, ou seja, não projetivamente equivalentes entre si? A resposta depende da soma k + l. Se k + l for par temos, em P k+l+1, k+l 2 tipos de rolos. Se k + l for ímpar temos k+l 1 2 tipos de rolos diferentes em P k+l+1. 25

Exemplo 2.15 Em P 4 temos apenas um tipo de rolo racional normal, o S 1,2 pois 1+2 1 2 = 1. Já em P 5 existem dois tipos de rolos racionais normais, o S 1,3 e o S 2,2 visto que 4 2 = 2. Agora em P6 também temos apenas dois tipos de rolos racionais normais, a saber o S 1,4 e o S 2,3 pois 5 1 2 = 2. Lema 2.16 Seja S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. No caso k < l temos que l retas r 1, r 2,..., r l da regra do rolo S = S k,l geram um hiperplano H P k+l+1 e que H S = r i C. l i=1 Demonstração: Seja p = l k. Sabemos pelo Lema 2.10 que k + 2 retas da regra de S geram P 2k+2. Assim k + 3 retas geram P 2k+3 e pelo mesmo raciocínio concluímos que l = k + p retas geram P 2k+p=k+l. Logo l retas da regra de S geram um hiperplano H. Como p 1 temos que C H pois C Λ H já que Λ fica determinado por k + 1 pontos em posição geral (neste caso sobre uma curva racional normal). Como r i H por construção, temos (C r 1 r l ) (H S). Como grau(h S) = k + l e grau(c r 1 r l ) = grau(c) + l = k + l temos H S = C r 1 r l Proposição 2.17 Seja S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. Suponha k < l. No rolo S = S k,l a curva 26

racional normal C S é a única curva racional normal de grau menor que l em S, além, é claro, das retas da regra de S que têm grau 1. Demonstração: Seja D uma curva racional normal em S tal que D não é uma reta da regra de S. Consideremos {p 1,..., p l } pontos distintos sobre D e tomemos r i com i = 1,..., l retas da regra de S que passam por p i (isso é possível já que todo ponto de S está em alguma reta da regra e essas retas são distintas, pois caso contrário D seria uma reta). Consideremos o subespaço Λ gerado por {p 1,..., p l } e o hiperplano H gerado por r 1,..., r l. Temos, pelo Lema 2.16 e por construção que H S = D C r 1 r l e tomando os graus temos k + l = grau(d C) + l. Portanto D = C. Definição 2.18 A curva C da proposição anterior, isto é, a curva C de grau k que aparece na construção do rolo, é chamada de diretriz do rolo S. Exemplo 2.19 Temos então que em S 1,2 P 4 e em S 1,3 P 5 a diretriz é uma reta. Já em S 2,3 P 6 a diretriz é uma cônica. Definição 2.20 Uma curva racional normal de grau l sobre o rolo S = S k,l que está num subespaço linear P l complementar ao espaço da diretriz e que intercepta cada reta da regra de S uma única vez é chamada uma secção complementar de S. Lema 2.21 Sejam S = S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C e D uma secção complementar de S. Considere o rolo racional normal S construído utilizando as curvas C e D. Então S = S. Em outras palavras, qualquer secção complementar pode fazer o papel de C na construção do rolo. 27

Demonstração: Notemos que dado S precisamos apenas mostrar que C S. Agora pela construção temos que a cada ponto q de D existe um ponto p de C associado. Temos que p S pois p está justamente na reta da regra de S que passa por q. Logo C S e portanto S = S Observação 2.22 No caso k = l qualquer curva racional C de grau l encontrando cada reta da regra uma única vez pode ser chamada de secção complementar de S. E usando o lema anterior podemos concluir que qualquer duas secções complementares que estejam em subespaços complementares de P k+l+1 podem fazer o papel de C e C na construção do rolo S. Já vimos que um hiperplano H P k+l+1 contendo k + 1 ou mais retas da regra de S intercepta S na união das retas da regra com a diretriz C. Já a intersecção de S com um hiperplano contendo k retas da regra de S intercepta S na união das dadas k retas com uma secção complementar de S. De fato, sabemos a intersecção de um hiperplano com S é uma curva de grau k + l. Se o hiperplano já contém k retas da regra, falta uma curva de grau l e pela Proposição 2.17 esta só pode ser uma secção complementar. Lema 2.23 Seja S = S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. Seja C a diretriz de S. Então todo ponto de S que não está na diretriz está em alguma secção complementar de S Demonstração: Seja p S e p / C. Temos que p r onde r é uma reta da regra de S. Escolha k retas da regra de S diferentes de r, de modo que um hiperplano H que contém as k retas contenha p. Como H S é união das dadas k retas com uma secção complementar de S e p não pertence as retas então p está numa secção complementar de S. 28

Proposição 2.24 Seja S = S k,l P k+l+1 o rolo racional normal construído a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ de dimensões k e l respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C Λ e C Λ e de um isomorfismo ϕ : C C. Seja S = π p (S) a imagem da projeção S k,l a partir de p. Temos que: i) se p está na diretriz de S então S é projetivamente equivalente a S k 1,l P k+l ii)se p não pertence a diretriz de S então S é projetivamente equivalente a S k,l 1 P k+l. Demonstração: Já sabemos que a projeção de uma curva racional normal C de P n é uma curva racional normal em P n 1 quando projetada a partir de um ponto p C (ver Exemplo 1.37). Assim i) se p está na diretriz C, a curva racional normal de grau k contida no subespaço de dimensão k, a projeção a partir de p leva C numa curva de grau k 1 e obtemos S k 1,l P k+l, pois C é projetada numa curva de mesmo grau. ii)se p não pertence a diretriz de S então p pertence a alguma secção complementar de S, uma curva racional normal de grau l que está num subespaço P l complementar ao espaço da diretriz e que pode fazer o papel de C na construção do rolo. Logo a projeção a partir de p leva C numa curva de grau l 1 e obtemos S k,l 1 P k+l, pois C é projetada numa curva de mesmo grau. 29

Capítulo 3 Rolos Racionais Normais e Variedades Determinantais Veremos agora outra importante classe de variedades cujas equações são os de menores de uma matriz. Estas variedades, chamadas variedades determinantais, fornecem uma maneira alternativa, mais algébrica, de estudar os rolos racionais normais. Definição 3.1 Seja M o espaço projetivo P mn 1 associado ao espaço vetorial das matrizes m n. Para cada d, seja M d M o subespaço das matrizes de posto menor ou igual a d. Como M d é exatamente o lugar dos zeros comuns dos determinantes de menores (d+1) (d+1) (que são polinômios homogêneos de grau (d+1)sobre M) temos que M d é uma variedade projetiva e é chamada variedade determinantal genérica. Vejamos alguns exemplos. Consideremos d = 1. A variedade determinantal M 1 M = P mn 1 é a variedade de Segre, imagem da aplicação σ : P n P m P (n+1)(m+1) 1 30

Exemplo 3.2 Podemos representar Σ 1,1 = σ(p 1 P 1 ) P 3 como Σ 1,1 = { [z] = z 0 z 1 z 2 z 3 } = 0 F = z 0 z 3 z 1 z 2 Exemplo 3.3 Analogamente, a variedade de Segre de dimensão três que é Σ 2,1 = σ(p 2 P 1 ) P 5 pode ser realizada como Σ 2,1 = { ( z0 z [z] : posto 1 z 2 z 3 z 4 z 5 ) } 1 As curvas racionais normais também são variedades determinantais. Lembremos que uma curva racional normal C P n é dada como a imagem da aplicação de Veronese v n : P 1 P n que manda (x, y) P 1 para (x n, x n 1 y,...,y n ) P n. C pode ser realizada como a variedade determinantal de posto 1 associada a matriz ( ) z0 z 1... z n 1 z 1 z 2... z n Exemplo 3.4 Para n = 3 temos a cúbica reversa e suas equações de definição são dadas pelas determinantes 2 2 da matriz ( ) z0 z 1 z 2 z 1 z 2 z 3 2 F 0,1 = z 0 z 2 z 1 F 0,2 = z 0 z 3 z 1 z 2 2 F 0,3 = z 1 z 3 z 2 Observemos que as equações são as mesmas que figuram no Exemplo 1.16 31

Vejamos o rolo racional normal como variedade determinantal Teorema 3.5 Sejam k e l inteiros positivos com k l. Então a variedade determinantal linear { ( ) z0... z Ψ = [z] : posto k 1 z k+1... z k+l z 1... z k z k+2... z k+l+1 normal S k,l P k+l+1 Antes da demonstração, vejamos um exemplo. } 1 é o rolo racional Exemplo 3.6 Consideremos l = 2 e k = 1. Temos que S 1,2 P 4 é dado por cujas equações são Ψ = { ( z0 z [z] : posto 2 z 3 z 1 z 3 z 4 ) } 1 F 0,2 = z 0 z 3 z 1 z 2 F 0,3 = z 0 z 4 z 1 z 3 2 F 2,3 = z 2 z 4 z 3 Observemos que C Λ = P 1 definido por V (z 2, z 3, z 4 ) satisfaz F 0,2, F 0,3 e F 2,3 e C Λ = P 2 dado por V (z 0, z 1, F 2,3 ) também satisfaz F 0,2, F 0,3 e F 2,3. Para p C com p = (z 0, z 1, 0, 0, 0) temos que a imagem de p pelo isomorfismo ϕ entre C e C é ϕ(p) = (0, 0, z 2 0, z 0 z 1, z 2 1 ) C. A reta p, ϕ(p) é dada por t(z 0, z 1, 0, 0, 0) + u(0, 0,z 2 0, z 0 z 1, z 2 1 ) = (tz 0,tz 1, uz 2 0, uz 0 z 1, uz 2 1 ) e satisfaz F 0,2, F 0,3 e F 2,3 para todo (t, u) P 1. Mostramos assim que S 1,2 Ψ. Resta ver que Ψ S 1,2. 32

Seja p = (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) P 4 tal que p satisfaz F 0,2, F 0,3, F 2,3. Se p for da forma p = (0, 0, a 2, a 3, a 4 ) por satisfazer F 2,3 temos que p pertence a cônica e portanto p S 1,2. Se p for da forma p = (a 0, a 1, 0, 0, 0) então p pertence a reta. Agora se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p pertence a alguma reta da regra de S 1,2. Já vimos que uma reta da regra de S 1,2 é dada por (tz 0, tz 1, uz 2 0, uz 0 z 1, uz 2 1 ). Podemos supor, sem perda de generalidade, a 0 = 1 temos (1, a 1, a 2, a 1 a 2, a 2 1 a 2 ) = (1, a 1, a 2, a 3, a 4 ), pois como p satisfaz F 0,2 temos a 3 = a 1 a 2 e como satisfaz F 0,3 temos que a 4 = a 1 a 3 = a 2 1 a 2. Segue que p está na reta acima fazendo z 0 = 1, z 1 = a 1, t = 1 e u = a 2. Demonstração do Teorema 3.5: Basta ver que uma variedade do tipo Ψ satisfaz a construção sintética do rolo. Seja Λ = P k dado por Λ = V (z k+1, z k+2,..., z k+l+1 ). Desta forma a variedade determinantal em questão se resume a { ( ) z0... z C = [z] : posto k 1 z 1... z k } 1 de grau k (ver comentário anterior ao Exemplo 3.4). que é uma curva racional normal Analogamente seja Λ = P l dado por Λ = V (z 0, z 1,..., z k ). Assim a variedade é { ( ) C zk+1... z = [z] : posto k+l z k+2... z k+l+1 } 1 que é uma curva racional normal de grau l. Já temos C e C. Considere ϕ : C C dada por ϕ(a k, a k 1 b, a k 2 b 2,..., b k ) = (a l, a l 1 b, a l 2 b 2,..., b l ) e vejamos as retas da regra de S. Lembremos que os polinômios são da forma F i,j = z i z j+1 z i+1 z j para 0 i < j k + l e i, j k. Para p C com p = (z 0, z 1,..., z k, 0,..., 0) = (a k, a k 1 b, 33

a k 2 b 2,..., b k, 0,0,...,0) para (a, b) P 1 temos que a imagem de p pelo isomorfismo ϕ entre as curvas C e C é ϕ(p) = (0,..., 0, z k+1, z k+2,..., z k+l+1 ) = (0,..., 0,a l, a l 1 b, a l 2 b 2,...,b l ) C. A reta p, ϕ(p) é dada por tp + uϕ(p)= t(z 0,z 1,..., z k,0,..., 0) + u(0,..., 0, z k+1, z k+2,..., z k+l+1 ) = t(a k, a k 1 b, a k 2 b 2,..., b k, 0, 0,..., 0) + u(0,..., 0, a l, a l 1 b, a l 2 b 2,..., b l ) = (ta k, ta k 1 b, ta k 2 b 2,..., tb k, ua l, ua l 1 b, ua l 2 b 2,..., ub l ) = (tz 0, tz 1,..., tz k, uz k+1, uz k+2,..., uz k+l+1 ). De maneira geral um ponto de uma reta da regra tem a i-ésima coordenada z i dada por z i = ta k i b i se 0 i k z i = ua k+l+1 i b i k 1 se k + 1 i k + l + 1 e basta verificar que um ponto desta forma satisfaz a F i,j = z i z j+1 z i+1 z j com 0 i < j k + l + 1 1 e i, j k. Temos três casos possíveis: Primeiro caso: i < j < k. Assim z i z j+1 z i+1 z j = (ta k i b i )(ta k (j+1) b j+1 ) (ta k (i+1) b i+1 )(ta k j b j ) = t 2 a 2k i j 1 b i+j+1 t 2 a 2k i j 1 b i+j+1 Segundo caso: k < i < j. Logo z i z j+1 z i+1 z j = (ua k+l+1 i b i k 1 ) (ua k+l+1 (j+1) b (j+1) k 1 ) - (ua k+l+1 (i+1) b (i+1) k 1 ) (ua k+l+1 j b j k 1 ) = u 2 a 2k+l+1 i j 1 b 2k+i+j 1 - u 2 a 2k+l+1 i j 1 b 2k+i+j 1. Terceiro caso: i < k < j. Então z i z j+1 z i+1 z j = (ta k i b i ) (ua k+l+1 (j+1) b (j+1) k 1 ) - (ta k (i+1) b i+1 ) (ua k+l+1 j b j k 1 ) = tua k+l+1+k i j 1 b k+i+j - tua k+l+1+k i j 1 b k+i+j. Mostramos assim que S k,l Ψ. Resta ver que Ψ S k,l. Seja p = (a 0, a 1,..., a k, a k+1,..., a k+l+1 ) P k+l+1 tal que p satisfaz F i,j para 0 i < j k + l + 1 1 e i, j k. Se p for da forma p = (0, 0,..., a k+1,..., a k+l+1 ) por satisfazer F i,j para k < i < j temos que p pertence a C e portanto p S k,l. Se p for da forma p = (a 0, a 1,..., a k, 0, 0, 0, 0) 34

por satisfazer a F i,j para i < j < k então p pertence a C, logo a S k,l. Agora se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p pertence a alguma reta da regra de S k,l. Já vimos que uma reta da regra de S k,l é dada por (ta k, ta k 1 b, ta k 2 b 2,..., tb k, ua l, ua l 1 b, ua l 2 b 2,..., ub l ). Podemos supor, sem perda de generalidade, a 0 = 1 temos (1, a 1, a 2 1,..., a k 1, a k+1, a k+1 a 1, a k+1 a 2 1,..., a k+1 a l 1 ) = (1, a 1, a 2,..., a k, a k+1,..., a k+l+1 ), pois como p satisfaz F 0,j temos a 0 a j+1 = a 1 a j, ou seja, a j+1 = a 1 a j,para 1 < j < k. Segue que p está na reta acima fazendo t = 1, a = 1, a 1 = b e a k+1 = u. Mostrando assim que Ψ S k,l. Vejamos de uma outra maneira as equações do rolo racional normal. Sejam z 0, z 1,..., z k+l+1 as coordenadas de P k+l+1. A curva C pode ser representada pelas equações: z 0 = 1, z 1 = λ, z 2 = λ 2,..., z k = λ k, z k+1 = 0, z k+2 = 0,..., z k+l+1 = 0 Já uma seção complementar pode ser representada por: z 0 = 0, z 1 = 0, z 2 = 0,..., z k = 0, z k+1 = 1, z k+2 = λ,..., z k+l+1 = λ l e fica claro que a correspondência projetiva entre as duas curvas se expressa através do parâmetro λ. Já um ponto do rolo se expressa pelas equações: z 0 = 1, z 1 = λ, z 2 = λ 2,..., z k = λ k, z k+1 = µ, z k+2 = λµ, z k+3 = λ 2 µ,..., z k+l+1 = λ l µ. Fixando o parâmetro λ e variando µ obtemos todos os pontos de uma reta da regra e variando também λ obtemos todos os pontos do rolo. Podemos obter n 1 equações do rolo, eliminando λ e µ, que se escrevem assim: 35

z 0 z 1 = z 1 z 2 = z 2 z 3 = = z k 1 z k = z k+1 z k+2 = z k+2 z k+3 = = z k+l z k+l+1 que se podem escrever na forma do Teorema 3.5. Exemplo 3.7 Para S 1,2 P 4 temos z 0 = 1, z 1 = λ, z 2 = µ, z 3 = λµ, z 4 = λ 2 µ. Vamos para o caso S 1,3 P 5 temos z 0 = 1, z 1 = λ, z 2 = µ, z 3 = λµ, z 4 = λ 2 µ e z 5 = λ 3 µ. O caso S 2,2 P 5 tem z 0 = 1, z 1 = λ, z 2 = λ 2, z 3 = µ, z 4 = λµ e z 5 = λ 2 µ. Vamos agora fazer a seguinte substituição λ = x 1 x 0 e µ = x 2 x 0. Logo temos, para S 1,2 P 4, z 0 = 1, z 1 = x 1 x 0, z 2 = x 2 x 0, z 3 = x 1 x 0 x 2 x 0, z 4 = ( x 1 x 0 ) 2 x 2 x 0 que pode ser escrito da forma z 0 = x 3 0, z 1 = x 2 0 x 1, z 2 =x 2 0 x 2,z 3 = x 0 x 1 x 2, z 4 =x 2 1 x 2 que é um subconjunto do conjunto que geram todas as cúbicas planas. Com substituições análogas obtemos: para S 2,2,(z 0 = x 3 0, z 1 = x 2 0 x 1, z 2 = x 0 x 2 1, z 3 = x 2 0 x 2, z 4 = x 0 x 1 x 2, z 5 = x 2 1 x 2 (que é outro subconjunto dos geradores das cúbicas planas); já para S 1,3 temos (z 0 = x 4 0, z 1 = x 3 0 x 1, z 2 = x 3 0 x 2, z 3 = x 2 0 x 1 x 2, z 4 = x o x 2 1 x 2, z 5 = x 3 1 x 2 (que é um subconjunto do conjunto de geradores das quárticas do plano). Obtemos assim aplicações ϕ k,l de P 2 com coordenadas x 0, x 1, x 2 para P k+l+1. Veremos no próximo capítulo as propriedades dessas aplicações. 36

Capítulo 4 Rolos Racionais Normais e Divisores 4.1 Divisores em Variedades Irredutíveis Definição 4.1 Seja X uma variedade irredutível. Um divisor D em X é uma coleção de subvariedades fechadas irredutíveis C 1,..., C r de codimensão 1 em X cada qual associada a um inteiro k i que chamamos de multiplicidade de C i. Tal divisor é escrito como uma soma formal D = k 1 C 1 + + k r C r Escrevemos D = 0 para indicar que k i = 0 para todo i, neste caso chamado divisor nulo. Já D > 0 indica que nenhum k i é negativo e algum deles é estritamente positivo, nesse caso, chamamos D de divisor efetivo. Se D = C i chamamos D de divisor primo. Definição 4.2 O suporte de D é o conjunto das subvariedades C i tal que o correspondente k i 0 37

Dados dois divisores D = k 1 C 1 + + k r C r e D = k 1 C 1 + + k r C r podemos definir D + D = (k 1 + k 1 )C 1 + + (k r + k r )C r. Assim o conjunto dos divisores em X tem uma estrutura de grupo. O elemento neutro é o divisor nulo e o simétrico de D é D = ( k 1 )C 1 + + ( k r )C r. Este grupo será denotado por DivX. Queremos associar um divisor a uma função f k(x) (o corpo de funções racionais) quando X é não singular. Dada uma subvariedade irredutível C X de codimensão 1, considere um aberto U X, onde C é dada por uma equação local g, isto é se I C é o ideal das funções regulares que se anulam identicamente em C então I C = (g) em k[u]. Assim se 0 f k(u) então existe um inteiro k > 0 tal que f (g k ) e f (g k+1 ). Denotaremos tal inteiro por v C (f). Lema 4.3 O número v C (f) definido anteriormente tem as seguintes propriedades: a) v C (f 1 f 2 ) = v C (f 1 ) + v C (f 2 ) b) v C (f 1 + f 2 ) min{v C (f 1 ), v C (f 2 )} se f 1 + f 2 0 Demonstração: Sejam f 1 = g l 1 u com u invertível em O C tal que f 1 (g l 1 ) e f 1 (g l1+1 ) e f 2 = g l 2 v com v invertível em O C tal que f 2 (g l 2 ) e f 2 (g l2+1 ). Assim f 1 f 2 = g l 1 ug l 2 v = g l 1+l 2 uv com uv invertível em O C. Então v C (f 1 f 2 ) = l 1 + l 2 = v C (f 1 ) + v C (f 2 ). Suponha l 1 l 2. Assim v C (f 1 + f 2 ) = v C (g l 1 u + g l 2 v) = v C (g l 2 (g l 1 l 2 u + v)) = v C (g l 2 ) + v C (g l 1 l 2 u + v) v C (g l 2 ) = l 2 = min{v C (f 1 ), v C (f 2 )}. Como X é irredutível, toda função f k(x) pode ser escrita na forma g h com g, h k[u]. Logo para 0 f definimos v C (f) = v C (g) v C (h). 38

Lema 4.4 O número v C (f) não depende da representação de f na forma g h Demonstração: Seja f = g h = g h. Assim g h = h g e logo v C (g h) = v C (h g) v C (g ) + v C (h) = v C (h ) + v C (g) v C (g ) v C (h ) = v C (g) v C (h) = v C (f). Também é fácil ver que a definição de v C (f) independente da escolha do aberto U. Definição 4.5 Dizemos que C é um pólo de f se v C (f) < 0. Analogamente, dizemos que C é um zero de f se v C (f) > 0. Ainda resta mostrar que dada uma função f k(x) existe somente um número finito de subvariedades irredutíveis C de codimensão 1 tal que v C (f) 0. Considere que X é afim e f = g h. Então v C(f) deixa de se anular apenas nas componentes de V(g) e de V(h) (onde estão os zeros e os polos de f). Como o anel de polinômios é noetheriano a decomposição destas variedades em componentes é finita. No caso que X é projetiva basta cobrir X com uma quantidade finita de abertos afins e reduzimos para o caso afim supracitado. Definição 4.6 Definiremos o divisor de uma função (f) como sendo (f) = vc (f)c. O divisor de uma função f k(x) é chamado divisor principal. Se (f) = k i C i então chamamos (f) 0 = k i >0k i C i de divisor de zeros de f e (f) = k i <0 k i C i de divisor de pólos de f. Logo (f) = (f) 0 (f). 39