CLASSIFICAÇÃO DE FEIXES DE QUÁDRICAS A PARTIR DE SEUS SÍMBOLOS DE SEGRE.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS Departamento de Matemática Dissertação de Mestrado CLASSIFICAÇÃO DE FEIXES DE QUÁDRICAS A PARTIR DE SEUS SÍMBOLOS DE SEGRE. Nilva Rodrigues Ribeiro Orientador: Prof. Dan Avritzer 15 de Abril de 2005

2 Dedicatória Aos meus pais - Emídio Paulo (in memoriam) e Iracema. Aos meus irmãos: Zama, Maria, Joaquim, Lázaro, Aparecida e Mauro. Educadores fundamentais com quem aprendi a ser filha e irmã. ii

3 Agradecimentos Primeiramente a Deus, por apresentar-me os caminhos que fizeram com que eu conseguisse concluir o mestrado. Além disso, agradeço a Deus pelo alimento espiritual que me proporcionou força para superar as dificuldades que encontrei durante o curso e chegar até aqui. A nossa mãezinha, Maria Santíssima, pela proteção e cuidado que ela sempre teve por mim. Aos meus pais: Emídio Paulo Rodrigues (in memoriam) e Iracema Ribeiro Rodrigues, aos meus irmãos: Zama, Maria, Joaquim, Lázaro, Aparecida e Mauro, aos meus cunhados: Maria, Vera, João e Edilene e aos meus sobrinhos: Elienai, Maisa, Marcos, Frank, Laura, Marília e Lorena, que sempre me apoiaram em cada etapa da minha vida, me ajudando e me incentivando em tudo. Ao meu orientador Professor Dan Avritzer pela paciência, dedicação, amizade e pelo constante incentivo, sempre indicando a direção a ser tomada nos momentos de maior dificuldade. A todos os professores do departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais pela contribuição na minha formação. Aos colegas da pós-graduação pela convivência e amizade durante todo o curso. Ao professor Cícero, que além de professor foi um grande amigo, e que muito fez por mim, para que eu chegasse até aqui. As amigas da república: Dri s, obrigada pela mão amiga nos momentos em que eu mais precisei. Aos meus amigos e amigas, de um modo especial, aos amigos e amigas da Comunidade Árvore da Vida e do Projeto Universidades Renovadas, pelas partilhas, atenção, carinho, companheirismo e que involuntariamente contribuíram para amenizar momentos de saudade. Enfim agradeço a todos aqueles, que direta ou indiretamente contribuíram na realização deste trabalho. Se alguém lhe atirar pedras, não desanime. Faça delas degraus e suba. iii

4 Sumário 1 Teoria Básica Variedades afins e projetivas Dimensão Espaço Tangente Grau λ-matrizes Quádricas Tratamento local Explosão Divisores Pull-Back de divisores Interseção de divisores Feixes de Quádricas Classificação de feixes de quádricas em P N (C) pelo símbolo de Segre O exemplo de feixes de cônicas Feixes de quádricas em P Números de retas em uma superfície de Del Pezzo Sistema linear de cúbicas planas Cone tangente em P Superfícies com uma singularidade Superfícies com duas singularidades Superfícies com três singularidades Superfície com quatro singularidades Sistemas lineares de cúbicas com 5 pontos base iv

5 Introdução O principal objetivo deste trabalho é classificar feixes de quádricas em P 2 (C), P 3 (C) e P 4 (C) a partir de um invariante clássico: o seu símbolo de Segre. Dada uma quádrica em P n (C), ela é equivalente por uma mudança de coordenadas, a uma que pode ser representada por uma matriz diagonal cujas entradas são apenas 1 s e 0 s, ou seja, a quádrica é classificada pelo posto da matriz associada. Quando se considera feixes de quádricas e as matrizes de dois geradores, não há um resultado tão simples e em geral matrizes diagonais não são suficientes. Mas é possível obter uma forma normal suficientemente simples que pode ser lida a partir de um invariante chamado símbolo de Segre. De posse desta forma normal é possível estudar os lugares de base de tais feixes. No capítulo 1, introduzimos a teoria básica necessária ao desenvolvimento do assunto, apresentando os conceitos de espaço projetivo, variedades afins e projetivas, dimensão, espaço tangente, grau, λ-matrizes, anel local, quádricas, explosões, divisores e listamos também alguns resultados importantes. Como referência para este capítulo citamos [1], [3] e [6]. No capítulo 2, estudaremos os feixes de cônicas no plano. Pode se entender, a partir do símbolo de Segre, as possíveis interseções de duas cônicas em P 2. Como referência para este capítulo citamos [4] e [7]. No capítulo 3, veremos os feixes de quádricas em P 3 (C). Pode se entender a partir do símbolo de Segre as possíveis interseções de duas quádricas em P 3. Como referência para este capítulo citamos [4] e [7]. No capítulo 4, estudaremos feixes de quádricas em P 4. Se tomarmos um sistema linear de cúbicas em P 2 com 5 pontos base em posição geral e explodirmos estes pontos, obteremos uma superfície P 2. A superfície resultante pela imersão de P 2 em P 4, induzida pelo sistema linear de cúbicas com 5 pontos base, é uma superfície S não singular, lugar de base de um feixe de quádricas e é chamada uma superfície de Del Pezzo de grau 4 em P 4. Vamos estudar o que acontece com a superfície S, quando os 5 pontos base não estiverem mais em posição geral. Como referência para este capítulo citamos [5]. v

6 Capítulo 1 Teoria Básica Este capítulo introduz algumas das idéias básicas da dissertação, definindo os elementos principais e listando propriedades e resultados que serão utilizados no decorrer do texto. 1.1 Variedades afins e projetivas Para nossos própositos, consideraremos sempre K como corpo algebricamente fechado. Definição 1.1 O espaço projetivo de dimensão n sobre o corpo K é o conjunto de subespaços de dimensão 1 do espaço vetorial K n+1, que será denotado por P n, ou seja, P n = K n+1 \ {0}/, onde (b 0,..., b n ) (a 0,..., a n ) λ K, λ 0, tal que (b 0,..., b n ) = λ(a 0,..., a n ). Um ponto de A n será denotado por (x 1,..., x n ) e um ponto de P n por (x 0 :... : x n ) Seja K[T ] o anel dos polinômios com coeficientes em K e variáveis T 1,..., T n. Definimos V (I) A n como sendo o conjunto dos zeros comuns dos elementos do ideal I K[T ]. Em P n, definimos V (I) de maneira análoga, observando apenas que em P n um polinômio F K[x 0,..., x n ] não define uma função em P n, mas se F é um polinômio homogêneo de grau d, isto é, todos os monômios de F têm grau d, então faz sentido falar no conjunto dos zeros de F, neste caso I deve ser homogêneo, isto é, gerado por polinômios homogêneos. Definição 1.2 Uma variedade afim X é o conjunto dos zeros de uma coleção de polinômios f α. Denotaremos uma variedade afim por V (f α ). 1

7 Definição 1.3 Uma variedade projetiva X P n é o conjunto dos zeros de uma coleção de polinômios homogêneos F α. Denotaremos uma variedade projetiva por V (F α ). Obs: Pelo teorema da base de Hilbert, temos que, uma variedade sempre pode ser dada como o conjunto dos zeros de uma coleção finita de polinômios. É possível dar a A n uma topologia cujos abertos são da forma A n V (f α ), o que ocorre de forma análoga, para P n. Chamamos esta topologia de Topologia de Zariski. Definição 1.4 Uma variedade quasiprojetiva é um aberto de uma variedade projetiva. Definição 1.5 Seja T : K n+1 K n+1 uma transformação linear de coordenadas do espaço vetorial K n+1. Então T leva subespaços de dimensão 1 (retas passando pela origem) em subespaços de dimensão 1. Logo T define uma aplicação de P n P n que será chamada de transformação projetiva. Definição 1.6 Duas variedades irredutíveis V e V são ditas projetivamente equivalentes se existe uma transformação projetiva tal que T (V ) = V. Definição 1.7 Sejam X e Y variedades projetivas irredutíveis. Um mapa racional ϕ : X Y é definido como uma classe de equivalência de pares (U, γ) com U X um subconjunto aberto denso de Zariski e γ : U Y um mapa regular, onde dois pares (U, γ) e (V, η) são ditos equivalentes se γ U V = η U V. 1.2 Dimensão Definição 1.8 A dimensão de uma variedade projetiva irredutível X P n, denotada por dim(x), é o menor inteiro i tal que existe um subespaço de P n de dimensão n i 1 disjunto de X. Nota 1.9 Se X, Y P n são variedades de dimensões i e j com i + j n então X Y. 2

8 1.3 Espaço Tangente Definição 1.10 Suponha que X é uma variedade de dimensão k, com I(X) = (F 1, F 2,..., F l ). Seja M a matriz l n com entradas m i,j = F i x j i = 1,..., l e j = 1,..., n. Definição 1.11 Um ponto p X (irredutível) é dito suave (ou não singular) em X se o posto da matriz M avaliada em p é exatamente n k. Um ponto p X é chamado singular se o posto da matriz M avaliada em p é menor que n k. Suponha que X P n é uma hipersuperfície dada pelo polinômio homogêneo F (Z). Seja U = A n o aberto afim Z 0 0 com coordenadas euclidianas z i = Z i Z 0, i = 1,..., n e f(z 1, z 2,..., z n ) = F (1, z 1, z 2,..., z n ) tal que X U é o lugar dos zeros de f. Para p X com coordenadas (w 1, w 2,..., w n ), o espaço tangente afim é dado como o lugar n {(z 1, z 2,..., z n ) A n f : (p)(z i w i ) = 0}. z i i=1 O espaço tangente projetivo é dado como o lugar T p (X) = {(Z 0 : Z 1 :... : Z n ) P n : n F (1, w 1, w 2,..., w n )(Z i w i Z 0 ) = 0}. Z i i=1 Mas as derivadas parciais de um polinômio homogêneo de grau d satisfazem a relação n F de Euler Z i = df e temos que F (1, w 1, w 2,..., w n ) = 0, então T p (X) = {(Z 0 : Z i i=0 Z 1 :... : Z n ) P n : n F (p)z i = 0}. Z i i=0 Exemplo 1.12 Considere a curva y 2 = x 2 (x + 1), assim temos f(x, y) = x 3 + x 2 y 2 = 0. O ponto P = (0,0) é um ponto singular da curva. O espaço tangente em P = (0,0) é dado por: f f (0, 0)(x 0) + (0, 0)(y 0) = 0, x y ou seja, é o plano todo. Por outro lado se tomarmos um ponto P 1 = (a,b) não singular 3

9 da curva f, o espaço tangente é dado por: f f (a, b)(x a) + (a, b)(y b) = 0, x y ou seja, é uma reta. Temos que em pontos singulares a dimensão do espaço tangente aumenta. Obs: Não confundir espaço tangente, com as retas tangentes no ponto P que são dadas por: x 2 y 2 = 0. P 1 P Fig.1 Uma vez descrito o espaço tangente de uma hipersuperfície, podemos descrever o espaço tangente projetivo de uma variedade arbitrária X P n como a interseção dos espaços tangentes projetivos de todas as hipersuperfícies contendo X. Em particular, se I(X) = (F 1, F 2,..., F m ) então o espaço tangente projetivo de X, T p (X), será o subespaço de P n dado pelo núcleo da matriz M, com entradas m i,j = F i Z j, i = 1,..., m, j = 0,..., n vista como uma transformação de K n+1 para K m. Definição 1.13 Sejam X e Y P n duas variedades projetivas e p X Y. Dizemos que X e Y têm interseção transversal em p se p X é suave, p Y é suave e os espaços tangentes projetivos T p (X) e T p (Y ) geram T p (P n ). Definição 1.14 Suponha que X e Y P n são duas variedades projetivas. Dizemos que X e Y têm interseção genericamente transversal se a interseção é transversal para um ponto genérico p X Y 4

10 1.4 Grau Definição 1.15 Sejam X P n uma variedade irredutível de dimensão k e Ω um (n k)plano genérico. Então o grau de X, denotado por grau(x), é o número de pontos da intersecção de Ω com X. Equivalentemente, sejam X P n uma variedade irredutível de dimensão k e Λ um (n k 1)plano genérico. Então grau(x) é o grau do mapa finito sobrejetor π Λ : X P k, onde grau do mapa π Λ : X P k é o número de pontos na imagem inversa de um ponto genérico de π Λ (X). O próximo resultado, conhecido como Teorema de Bézout, relaciona o grau da interseção de duas variedades com os graus das variedades. Teorema 1.16 (Bézout) Sejam X, Y P n variedades irredutíveis de dimensões i e j, respectivamente com i + j n e suponha que X e Y têm interseção genericamente transversal. Então grau(x Y ) = grau(x)grau(y ). Em particular, se i + j = n temos que X Y terá grau(x)grau(y ) pontos. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [3], Capítulo 18, página 227. Um outro resultado que será necessário posteriormente é o seguinte: Teorema 1.17 Se F 1,..., F k são polinômios homogêneos de graus d 1,..., d k em n+1 variáveis, genéricos,então, as hipersuperfícies correspondentes em P n interceptam-se transversalmente em uma variedade (n k) dimensional, suave, X P n. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [3], Capítulo 17, página λ-matrizes Definição 1.18 Uma matriz cujos elementos estão no domínio de integridade K[λ], é chamada uma λ-matriz. Uma λ-matriz M n n, que tenha uma inversa, a qual também é uma λ-matriz, (portanto det(m) 0), é chamada λ-matriz regular. 5

11 Definição 1.19 Duas λ-matrizes A e B, de tamanho p q, são ditas equivalentes se existirem λ-matrizes M e N regulares, de ordem p e q respectivamente, tais que: A = MBN. Definição 1.20 Dizemos que um conjunto de λ-matrizes p q, é um conjunto de formas canônicas para o conjunto de todas as λ-matrizes p q se: 1- Nenhum par de matrizes do conjunto é equivalente; 2-Existe uma matriz do conjunto equivalente a qualquer λ-matriz p q dada. Nós queremos encontrar um conjunto de formas canônicas para todas as λ-matrizes p q e mostraremos agora como uma matriz pode ser simplificada por uma série de transformações elementares, até que seja reduzida a uma forma canônica. Teorema 1.21 Se A é uma λ-matriz p q de posto r, então existem λ-matrizes regulares M e N tais que: MAN = E 1 (λ) E 2 (λ) 0 0 E r (λ) 0 onde E 1 (λ),, E r (λ) são polinômios mônicos em λ e E i (λ) E i+1 (λ). Demonstração: Seja dada uma λ-matriz A. Se A é uma matriz nula, qualquer matriz equivalente a esta é claramente nula e esta é uma das formas canônicas. Desse modo podemos supor que pelo menos um elemento de A é não nulo e por uma permutação de linhas e colunas, nós colocamos o elemento diferente de zero de A, no topo do lado esquerdo da matriz. Este elemento a 11 tem grau ρ em λ. Afirmamos que, a menos que a 11, considerado como um polinômio em λ, seja um fator de todo elemento a ij de A, nós podemos transformar A em uma matriz equivalente C, onde c 11 é diferente de zero e o grau é menor que a 11. De fato dividimos a demonstração desta afirmação em três casos: i)se para algum j, a 11 não é um fator de a 1j, então a 1j = a 11 b(λ)+c(λ), pelo algoritmo 6

12 da divisão, c(λ) 0, e tem grau menor que a 11. Da j-ésima coluna subtraímos b(λ) vezes a primeira coluna, fazendo uma permutação da primeira coluna e a j-ésima coluna, obtemos uma matriz C equivalente à A, c(λ) está no topo do lado esquerdo da matriz C e tem grau menor que a 11. ii) Se para algum i, a 11 não é fator de a i1, trabalhamos com as linhas da mesma forma que fizemos com as colunas. iii) Suponha que a 11 é um fator de todo elemento diferente de zero na primeira coluna e na primeira linha, mas não é fator de a hk (h, k > 1). Seja a i1 = b i a 11, a 1j = c j a 11. Subtraímos da i-ésima linha b i vezes a primeira linha, para cada i > 1, e subtraímos da j-ésima coluna c j vezes a primeira coluna, para cada j > 1, obtemos uma matriz B equivalente à A na qual, b 11 = a 11, b 1j = 0(j > 1), b i1 = 0(i > 1); enquanto b hk ainda é divisível por b 11. Adicionamos a h-ésima linha de B à primeira linha, aplicamos o procedimento (i) e obtemos uma matriz C equivalente à A, com c 11 0 e grau menor que a 11. Já que existe um limite superior para o grau em λ dos elementos da matriz A, o processo descrito acima pode se repetir apenas um número finito de vezes. Assim obteremos uma matriz B equivalente a A, na qual, b 11 é fator de todo elemento b ij. Por (iii) podemos fazer b i1 = 0 (i > 1), b 1j = 0 (j > 1). Assim com uma série de transformações elementares nós produzimos a partir de A a matriz equivalente b b 22 b 2q P AQ = b p2 b pq onde b 11 é um fator de todos os elementos b ij. Se a submatriz b 22 b 2q B 1 =..... b p2 b pq é não nula, nós podemos repetir o processo acima e obteremos uma matriz equivalente [ ] c22 0 P 1 B 1 Q 1 = 0 C 22 7

13 onde cada elemento de C 22 possui c 22 como um fator. [ P 1 ] [ 1 0 P AQ 0 Q 1 ] = b c C 22 De forma que as transformações elementares da submatriz B 1 podem ser consideradas como transformações elementares em A. Procedendo desta forma, nós podemos transformar A em uma matriz equivalente, na qual os únicos elementos diferentes de zero estão na diagonal principal, cada elemento da diagonal é fator de todos os outros seguintes. Finalmente multiplicando cada linha desta matriz por uma constante diferente de zero, A é equivalente a matriz MAN = E 1 (λ) E 2 (λ) 0 0 E r (λ) 0 (1) Onde cada E i (λ) é um polinômio em λ tendo +1 como coeficiente da maior potência de λ ( mônico em λ) e E i (λ) é um fator de E i+1 (λ). Já que λ-matrizes equivalentes têm o mesmo posto e o posto da matriz MAN é r, segue que o posto de A também é r. Novamente escrevemos MAN = E = (e ij ). Teorema 1.22 Seja A qualquer matriz com n colunas, B qualquer matriz com n linhas, qualquer determinante de ordem t da matriz AB é uma soma de termos, onde cada um deles, é o produto de um determinante de ordem t de A por um determinante de ordem t de B. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [6], Capítulo II, seção 8. Com uma evidente extensão do teorema acima temos: 8

14 e i1 j 1... e i1 j t..... e itj1... e itjt = λ µ m i1 λ 1... m i1 λ t..... m itλ1... m itλt a λ1 µ 1... a λ1 µ t..... a λtµ 1... a λtµ t n µ1 j 1... n µ1 j t..... n µtj1... n µtjt Segue que se D t (λ) é o maior fator comum dos determinantes de ordem t, formados a partir de A, D t (λ) é também um fator de ordem t extraído de E. Como M e N são regulares a equação MAN = E pode ser escrita como A = M 1 EN 1 e consequentemente o maior fator comum dos determinantes de ordem t formados de E divide cada determinante de ordem t formado de A. Então salvo por um fator em K, este é o maior fator comum em D t (λ). Por outro lado, das propriedades dos polinômios E i (λ) temos: D t (λ) = E 1 (λ)e 2 (λ) E t (λ) provando que os coeficientes da maior potência de λ em D t (λ) são todos tomados como +1, consequentemente E i (λ) = D i (λ)/d i 1 (λ) (i = 1,, r) Definimos D 0 (λ) = 1 Este último resultado mostra que: Teorema 1.23 Os E i (λ) são unicamentes determinados por meio dos maiores fatores comuns dos determinantes de diferentes ordens extraídos de A. Pelo Teorema 1.21, os E i (λ) são unicamente determinados e são chamados de fatores invariantes de A. Já que a inversa de uma λ-matriz regular é uma λ-matriz regular, temos: Teorema 1.24 Duas λ-matrizes A e B,de tamanho p q são equivalentes, se e somente se, elas têm os mesmos fatores invariantes. 9

15 Então o conjunto das matrizes (1) é um conjunto de formas canônicas para λ-matrizes p q. Se o corpo K é tal que todo polinômio f(λ) em K[λ] pode ser escrito como um produto de fatores lineares, algumas vezes é conveniente usar divisores elementares no lugar de fatores invariantes. Nós definimos isso como segue. Sejam: E 1 (λ) = (λ α 1 ) e 11 (λ α 2 ) e 12 (λ α s ) e 1s E 2 (λ) = (λ α 1 ) e 21 (λ α 2 ) e 22 (λ α s ) e 2s E r (λ) = (λ α 1 ) e r1 (λ α 2 ) e r2 (λ α s ) ers onde cada e ij 0 e λ α 1,, λ α s são fatores lineares distintos de E r (λ), isto é, e rj > 0 (j = 1,,s). Definição 1.25 Os fatores (λ α 1 ) e 11, (λ α 1 ) e 21,, (λ α 2 ) e 21,, (λ α s ) ers, para os quais os índices e ij são maiores que zero, são chamados divisores elementares de A. Suponha reciprocamente que são dados, os divisores elementares de uma λ matriz A de posto r. Sejam eles: (λ α 1 ) a 11, (λ α 1 ) a 12,, (λ α 1 ) a 1t (a 11 a 12 a 1t ), (λ α 2 ) a 21, (λ α 2 ) a 22,, (λ α 2 ) a 2s (a 21 a 22 a 2s ), (λ α d ) a d1, (λ αd ) a d2,, (λ αd ) a dz (a d1 a d2 a dz ). Cada fator invariante pode ser um produto desses fatores, já que E r (λ) contém E i (λ) como um fator (i < r), E r (λ) pode conter a maior potência de λ α 1, a maior potência de λ α 2, etc. Portanto E r (λ) = (λ α 1 ) a 11 (λ α 2 ) a 21 (λ α d ) a d1. Analogamente, já que E r 1 (λ) é divisível por E i (λ) (i < r 1), E r 1 (λ) = (λ α 1 ) a 12 (λ α 2 ) a 22 (λ α d ) a d2 10

16 e assim por diante. Uma vez que todos os divisores elementares que são potências de λ α 1 forem usados, os E i (λ) restantes não contêm λ α 1 como fator. De maneira semelhante para λ α 2,, λ α d. Quando todos os divisores elementares forem usados, os fatores invariante restantes são E i (λ) = 1. Uma forma equivalente para o teorema anterior é: Teorema 1.26 Uma condição necessária e suficiente para que duas λ-matrizes p q sejam equivalentes é que elas tenham o mesmo posto e os mesmos divisores elementares. Teorema 1.27 Se A e B são λ-matrizes n n tais que, podem ser escritas A = A 1 λ A 2, B = B 1 λ B 2 onde A 1, A 2, B 1, B 2 são matrizes n n sobre K e B 1 é não singular, então a equivalência de A e B implica a existência de matrizes não singulares P e Q sobre K tal que P AQ = B. Demonstração: Omitimos essa demonstração por ser muita técnica e semelhante a anterior, mas a mesma pode ser encontrada em [6], capítulo II, seção 9. Teorema 1.28 Se A é uma matriz não singular sobre um corpo algebricamente fechado K, então existe uma matriz X tal que: X 2 = A. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [6], capítulo II, seção Quádricas Seja V um C-espaço vetorial de dimensão n + 1. Vamos considerar (x 0,..., x n ) como coordenadas para C n+1 = V. Seja Q PV = P n (PV é o espaço projetivo associado ao espaço vetorial V ) uma hipersuperfície quádrica, isto é, Q é dada como zeros de um polinômio homogêneo de grau 2. Q pode ser pensada como uma função polinomial, Q : V C (char C 2) 11

17 associada a uma forma bilinear simétrica Q 0 : V V C ou ainda a uma forma bilinear Q : V V. Dado Q, definimos e Q 0 : V V C como Q 0 (v, w) = Q(v+w) Q(v) Q(w) 2 Q :V V como: Q(v) : V C é, onde Q (v)(w) = Q 0 (v, w); assim, Q(v) = Q 0 (v, v) = Q(v)(v). Sendo Q 0 : V V C bilinear, fixada uma base em V, existe uma matriz M (n+1) (n+1), tal que, Q 0 (v, v) = v T Mv, onde v T é a matriz transposta de v. Como neste caso Q 0 é simétrica, então M = M T, ou seja M é uma matriz simétrica. O posto de Q é o posto da matriz M. Se o posto de M = k, podemos escolher uma base adequada para V de modo que Q(x 0,..., x n ) = x 2 0 +x x 2 k 1 ; se k < n+1, e Q é dita singular. Q é dita não singular (suave) se seu posto é máximo, isto é, n + 1, neste caso Q(x 0,..., x n ) = x x x 2 n. O espaço que parametriza as quádricas de P n é o espaço projetivo P N, onde N = n2 +3n 2, que pode ser visto como o espaço projetivo associado as matrizes simétricas não nulas de ordem (n + 1) (n + 1). 1.7 Tratamento local Nesta seção trabalharemos com conceitos válidos em abertos afins e, como todo ponto de uma variedade quasiprojetiva possui uma vizinhança afim, podemos sempre restringir nosso trabalho para as variedades afins. Definição 1.29 Dizemos que um anel é local se ele possui um único ideal maximal. Dado um anel O e um ideal primo P deste anel, construiremos um anel local O P (que chamamos anel local do ideal primo P). Assim considere em O (O P), a seguinte relação de equivalência: (f 1, g 1 ) (f 2, g 2 ) se h O P : h(f 1 g 2 f 2 g 1 ) = 0. 12

18 O P será o conjunto das classes de equivalência dessa relação. Defina em O P as seguintes operações: { (f1, g 1 ) + (f 2, g 2 ) = (f 1 g 2 + f 2 g 1, g 1 g 2 ) (f 1, g 1 )(f 2, g 2 ) = (f 1 f 2, g 1 g 2 ) Não é difícil ver que, com estas operações, O P é um anel e que M = {(f, g) O P : f P} é o único ideal maximal de O P. Seja P V, onde V é uma variedade em A n. Nós definimos O P (V ) como o conjunto das funções racionais em V, que estão definidas em P. 1.8 Explosão Considere dois espaços projetivos: P n com coordenadas homogêneas x 0, x 1,..., x n e P n 1 com coordenadas homogêneas y 1, y 2,..., y n. Para pontos x = (x 0, x 1,..., x n ) P n e y = (y 1, y 2,..., y n ) P n 1 denotamos o ponto (x, y) P n P n 1 por (x 0 : x 1 :... : x n ; y 1 : y 2 :... : y n ). Considere a subvariedade fechada Π em P n P n 1 definida pelas equações x i y j = x j y i para i, j = 1,..., n. Definição 1.30 O mapa σ : Π P n definido pela restrição da projeção na primeira coordenada de P n P n 1 P n é chamada explosão de P n com centro em ξ = (1 : 0 :... : 0) P n. Vejamos algumas propriedades de explosão. Proposição 1.31 A explosão de P n com centro em ξ é um isomorfismo entre P n \ ξ e Π \ (ξ P n 1 ) Demonstração: Se p = (x 0 : x 1 :... : x n ) ξ, então as equações de definição de Π implicam que (y 1 : y 2 :... : y n ) = (x 1 : x 2 :... : x n ). Então o mapa σ 1 : P n \ ξ Π definido por σ 1 (x 0 : x 1 :... : x n ) = (x 0 : x 1 :... : x n ; x 1 : x 2 :... : x n ) 13

19 é a inversa de σ. Se p = (x 0 : x 1 :... : x n ) = ξ, então as equações de definição de Π são satisfeitas para todo valor de y i. Logo σ 1 (ξ) = ξ P n 1. Dessa forma σ define um isomorfismo entre P n \ ξ e Π \ (ξ P n 1 ). Lema 1.32 A variedade Π é irredutível. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 2, seção 4. Exemplo 1.33 Vamos explodir P 2 com centro em (1 : 0 : 0), ou seja, considere x = (x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 e y = (y 1 : y 2 ) P 1. Temos que os pontos de P 2 P 1 são da forma (x 0 : x 1 : x 2 ; y 1 : y 2 ). Seja a variedade Π definida pela equação x 1 y 2 = x 2 y 1. Considere as aplicações σ : Π P 2 P 1 P 2 definida pela restrição da projeção na primeira coordenada de P 2 P 1 P 2 a Π e também σ 1 : P 2 \ ξ Π definida por σ 1 (x 0 : x 1 : x 2 ) = (x 0 : x 1 : x 2 ; x 1 : x 2 ). Dessa forma temos um isomorfismo entre P 2 \ (1 : 0 : 0) e Π \ ((1 : 0 : 0) P 1 ). Para uma variedade quasiprojetiva X e um ponto não singular ξ X, construímos uma variedade Y e uma aplicação σ : Y X analogamente ao que fizemos para X = P n e ξ = (1 : 0 :... : 0). Seja X uma variedade quasiprojetiva e ξ X um ponto não singular, suponha que u 1,..., u n são funções regulares em uma vizinhança de X e tais que: (i) As equações u 1 =... = u n = 0 têm uma solução simples ξ em X. (ii)u 1,..., u n forma um sistema local de parâmetros em X de ξ. Considere o produto X P n 1 e a subvariedade Y X P n 1 consistindo dos pontos (x; t 1 :... : t n ) com x X e (t 1 :... : t n ) P n 1, tais que: u i (x)t j = u j (x)t i para i, j = 1,..., n. A aplicação regular σ : Y X, como restrição de Y para a primeira projeção X P n 1 X é chamada explosão local de X com centro em ξ. Neste caso mais geral valem propriedades análogas às da proposição 1.31 e do lema

20 1.9 Divisores Definição 1.34 Seja X uma variedade irredutível. Um divisor D em X é uma coleção de subvariedades fechadas irredutíveis C 1,..., C r de codimensão 1 em X, cada qual associada a um inteiro k i que chamamos de multiplicidade de C i. Tal divisor é escrito como uma soma formal D = k 1 C k r C r Escrevemos D = 0 para indicar que k i = 0 para todo i, neste caso chamado divisor nulo. Já D > 0 indica que nenhum k i é negativo e algum deles é estritamente positivo. Neste caso chamamos D de divisor efetivo. Se todos os k is são não nulos, dizemos que os C is são divisores primos e suppd = C 1... C r é o suporte de D Como vimos anteriormente, ao explodir P n num ponto P, temos que π 1 (P) é uma subvariedade de Π de codimensão 1. Logo π 1 (P) é um divisor em Π chamado divisor excepcional, e denotado por E. Dados dois divisores D = k 1 C k r C r e D = k 1 C k r C r podemos definir D + D = (k 1 + k 1)C (k r + k r)c r. Assim o conjunto dos divisores em X tem uma estrutura de grupo. Denotaremos este grupo por Div(X). A partir de agora, iremos associar um divisor a uma função F K(X), supondo X não singular. Dada uma subvariedade irredutível C X de codimensão 1, considere o aberto U C, onde C é dada por uma equação local G, isto é se I C é o ideal das funções regulares que se anulam identicamente em C então I C = (G) em K[U]. Assim se 0 F K[U], então existe um inteiro k > 0 tal que F (G k ) e F (G k+1 ). Denotaremos tal inteiro por v C (F). Não é difícil ver que: a) v C (F 1 F 2 ) = v C (F 1 ) + v C (F 2 ) b) v C (F 1 + F 2 ) min{v C (F 1 ), v C (F 2 )} se F 1 + F 2 0. Como X é irredutível, toda função F K(X) pode ser escrita na forma G com H G, H K[U]. Logo para 0 F definimos v C (F) = v C (G) v C (H). 15

21 Definição 1.35 Dizemos que C é um pólo de F se v C (F) < 0. dizemos que C é um zero de F se v C (F) > 0. Analogamente, Observação 1.36 O número de subvariedades irredutíveis C de codimensão 1 para as quais v C (F) 0 é finito. Demonstração: De fato se X é afim e F = G, então v H C(F) deixa de se anular, apenas nas componentes de V (G) e de V (H) (onde estão os zeros e os polos de F). Usando a noetherianidade do anel de polinômios, temos que a decomposição destas variedades em componentes é finita. No caso que X é projetiva, basta cobrir X com uma quantidade finita de abertos afins e reduzimos para o caso afim, previamente discutido. Definição 1.37 Chamamos o divisor (F) = v C (F)C de divisor de F. O divisor de uma função F K(X) é chamado divisor principal. Se (F) = k i C i então chamamos (F) 0 = i C i de divisor de zeros de F e (F) = k i >0k k i C i de divisor de p olos de F. Logo (F) = (F) 0 (F). k i <0 Nota 1.38 Os divisores principais formam um subgrupo do grupo dos divisores. Demonstração: De fato: (F 1 ) + (F 2 ) = (F 1 F 2 ) e 0 = (F) quando F K. Além disso, temos que (F) 0 se F K[X]. Definição 1.39 Dizemos que dois divisores D e D são linearmente equivalentes se D D = (F) para algum F K(X). Esta relação será denotada por D D. Nota 1.40 É fácil ver que esta relação é uma relação de equivalência. Definição 1.41 Seja D um divisor em X. O sistema linear completo associado a D, denotado por D, é o conjunto de todos os divisores não negativos que são equivalentes a D. D = {E Div(X) : E D e E 0}. 16

22 Definição 1.42 Seja D um divisor em X. O espaço associado a D, denotado por L(D), é o conjunto das funções racionais F tal que (F) D, e mais a função nula. L(D) = {F K(X) : (F) D} {0}. Lema 1.43 Seja D um divisor em X. O espaço L(D) associado a D é um subespaço vetorial sobre K. Demonstração: Basta mostrar que se F e G L(D) então F + ag L(D) para a K. Sabemos que (F) D e (G) D, ou seja, v Ci (F) k i e v Ci (G) k i. Assim v Ci (F + ag) min{v Ci (F), v Ci (ag)} = min{v Ci (F), v Ci (G)} k i. Logo F + ag L(D). Proposição 1.44 Se D é um divisor linearmente equivalente a D isomorfo a L(D ) como espaço vetorial sobre K. então L(D) é Demonstração: Por hipótese, D D = (F) com 0 F K(X). Considere a transformação linear ϕ : L(D) K(X) tal que ϕ(g) = GF, então temos que ϕ(g 1 + G 2 ) = (G 1 + G 2 )F = G 1 F + G 2 F = ϕ(g 1 ) + ϕ(g 2 ) para G 1, G 2 K(X) e ϕ(ag) = (ag)f = a(gf) = aϕ(g) para a K. A imagem de ϕ está contida em L(D ) pois v Ci (GF) = v Ci (G) + v Ci (F) v Ci (D) + v Ci (D) - v Ci (D ) = v Ci (D ). Considere outra transformação linear ϕ : L(D ) K(X) tal que ϕ(g) = GF 1. Vejamos que ϕ (G 1 + G 2 ) = (G 1 + G 2 )F 1 = G 1 F 1 G 2 F 1 = ϕ (G 1 ) + ϕ (G 2 ) para G 1, G 2 K(X) e ϕ (ag) = (ag)f 1 = a(gf 1 ) = aϕ (G) para a K. A imagem de ϕ está contida em L(D) pois v Ci (GF 1 ) = v Ci (G) v Ci (F) v Ci (D ) v Ci (D) + v Ci (D ) = v Ci (D). Portanto ϕ é um isomorfismo entre L(D) e L(D ). Seja D um divisor em X. Existe uma correspondência entre a projetivização P(L(D)) do espaço L(D) associado a D e o sistema linear associado D. Esta correspondência é dada por Φ : P(L(D)) D, definida da seguinte maneira: se [F] é a classe de F em P(L(D)), seja Φ([F]) = E com E = (F) + D. Observemos que (af) = (F) para todo a K. Proposição 1.45 A correspondência Φ definida anteriormente é uma correspondência biunívoca. 17

23 Demonstração: Seja E D. Como E é equivalente a D existe uma função F K(X) tal que E = (F) + D. Mais ainda, como E 0 temos que F L(D). Logo Φ(F) = E, mostrando que Φ é sobrejetora. Suponha que Φ(F) = Φ(G), o que significa que eles são o mesmo divisor. Temos então (F) + D = (G) + D, logo temos (F) = (G), ou seja, (F/G) = 0. Logo F/G = c onde c é uma constante. Então [F] = [G] em P(L(D)), mostrando que Φ é injetora. Definição 1.46 Seja V um subespaço vetorial de L(D). Podemos associar a V um subconjunto S em D via a correspondência Φ. subsistema linear de D, ou simplesmente sistema linear. O subconjunto S é chamado de Também podemos, utilizando a correspondência Φ, definir o conjunto de geradores de um subsistema S da seguinte forma: um subespaço vetorial V de L(D) tem uma base, digamos, {F 1, F 2,..., F s } e cada F i tem a sua respectiva imagem em D via Φ; chamamos então {Φ(F 1 ), Φ(F 2 ),..., Φ(F s )} de conjunto de geradores de S. Definição 1.47 Sejam X uma variedade irredutível, x X e D um divisor em X. Se x é um ponto de supp E para todo E D dizemos que x é um ponto base de D. Se X é o plano projetivo e D X é uma curva plana, o grau de X é o grau da curva. Definição 1.48 Um ponto de multiplicidade d, com d > 1, de um sistema linear associado a um divisor de X + P 2 de grau n é um ponto base P do sistema linear tal que uma reta genérica passando por P encontra o divisor somente em outros n d pontos. Nota 1.49 A imposição de P ser um ponto múltiplo de ordem d do sistema linear associado a um divisor do plano de grau n implica que todas as derivadas dos monômios geradores do sistema até a ordem d 1 avaliadas em P se anulam e alguma derivada de ordem d não se anula em P, ou seja, 1 d(d + 1) monômios não fazem 2 parte do conjunto de geradores do sistema. Definição 1.50 Sejam X = P 2 um plano, x X e D um divisor em X. Se x um ponto base de D e é tal que para todo E D temos que uma reta L é a reta tangente a E em x dizemos que o sistema linear tem uma tangente fixa em x. 18

24 1.10 Pull-Back de divisores Se X é uma variedade irredutível suave, então para todo divisor primo C em X e para todo x X, podemos encontrar uma vizinhança U em X, tal que x U, onde C é definido por uma equação local ϕ, ou seja C = V (ϕ)( ver [2], capítulo 3). Logo se D = l i C i é um divisor em X, existe um aberto afim U, onde D = V (F), com : F = ϕ l i i, e C i = V (ϕ i ) em U. Em outras palavras, todo ponto de X tem uma vizinhaça onde D é principal. Naturalmente, devemos escolher os F i de modo que: F i 0, e (F i ) = (F j ) em U i U j. Um sistema de funções satisfazendo as equações acimas é chamado compatível. Das equações acima segue imediatamente que F i F 1 j se anula identicamente. é regular em U i U j, onde não A recíproca também é verdadeira, ou seja todo sistema compatível de funções {F i, U i } determina um divisor em X. Definição 1.51 Um divisor D numa variedade X é localmente principal se existir um sistema compatível de funções {F i, U i }, tal que D = (F i ) em U i. Dada uma aplicação regular ϕ : X Y de variedades irredutíveis suaves e um divisor D em Y, desejamos obter a partir de D, um divisor em X, via a aplicação ϕ, para isso vamos utilizar os divisores principais. É necessário que observemos previamente quando podemos construir um divisor (ϕ (F)) em X, onde F K(Y ), e quando este não se anula identicamente. Para isto, é suficiente que exista Y ϕ(x), de modo que F seja regular aí e que F(Y ) 0. Considere, portanto, V como sendo o conjunto (aberto) dos pontos de ϕ(x) com esta propriedade. Temos então que ϕ (F) é regular no aberto ϕ 1 (V ), onde não se anula. Assim ϕ (F) determina uma função racional em X. Como F é regular em Y ϕ(x) e F(Y ) 0, segue que v c (F) seria zero qualquer que fosse C supp(f) contendo Y. Por conseguinte a existência de Y com esta propriedade é equivalente a ϕ(x) supp(f). 19

25 Logo, dado o divisor D em Y, definiremos o divisor ϕ (F) em X, exigindo que ϕ(x) supp(d). Suponha que D seja determinado por um sistema compatível (F i, U i ), onde os U i s são selecionados de modo que ϕ(x) U i. Se X é irredutível, então segue que ϕ(x) é irredutível. Então temos que ϕ(x) U i supp(f i ). Juntando todos os fatos até agora discutidos, temos que: As funções racionais ϕ (F) estão definidas em cada aberto V i = ϕ 1 (U i ); Os abertos V i, por sua vez, cobrem X, Pois Y = U i ; Como F i F 1 j é regular em U i U j, segue que ϕ (F i F 1 j ) também é regular em ϕ 1 (U i U j ). Logo ϕ (F i )(ϕ (F j )) 1 = ϕ (F i )ϕ (F 1 j ) = ϕ (F i F 1 ) é regular em (V i V j ) = ϕ 1 (U i ) ϕ 1 (U j ) = ϕ 1 (U i U j ). Por conseguinte, o sistema {ϕ (F i ), ϕ 1 (U i )} é compatível. j Definição 1.52 O sistema acima determina um divisor ϕ (D) em X, que chamamos de Pull-back de Y via ϕ. Definição 1.53 Seja D um divisor passando pelos P i s,i = 1,..., s e E is os divisores excepcionais correspondentes. Tomamos o fecho D = π 1(D) E i, o qual chamamos de transformado estrito de D em Π. Aqui π : X X denota a explosão de X nos pontos P 1,..., P s Interseção de divisores Considere duas curvas irredutíveis distintas C 1 e C 2 numa superfície X cada qual com as respectivas equações locais F 1 e F 2 numa vizinhança de um ponto x X. Seja O x o anel local de x em X. Suponha que dim(c 1 C 2 ) = 0. Definição 1.54 A multiplicidade de interseção de C 1 e C 2 em x é o número (C 1.C 2 ) = dim K O x /(F 1, F 2 ). Se G i é outra equação local de C i para cada i, então F i = G i U i, onde U i é um elemento inversível em O x. Logo(F 1, F 2 ) = (G 1, G 2 ) e portanto, a definição acima independe 20

26 das equações locais escolhidas. Além disso, o número acima é sempre finito: de fato se M x é o ideal maximal do anel local O x, então segue do Nullstellensatz que M m x (F 1, F 2 ) para algum inteiro m. Como O x /M m x é isomorfo ao espaço vetorial dos polinômios de grau menor que ou igual a m ( ver [2] capítulo 2, seção 2.2), segue que dim K O x /(F 1, F 2 ) dim K O x /M m x = m. O número de interseções de C 1 e C 2 é dado por: C 1.C 2 = (C 1.C 2 ) x. x suppc 1 suppc 2 No caso particular em que F e G são curvas planas temos os seguintes resultados: Proposição 1.55 Considere o ideal I em K[x 1,..., x n ] e V (I) = {p 1,..., p m }. Então existe um automorfismo natural K[x 1,..., x n ]/I R 1 /IR 1... R m /IR m onde R i = O pi (A n ). Demonstração: Ver [1], página 55. Usando o resultado acima temos o seguinte resultado sobre o número de interseção de F 1, F 2 no ponto P, o qual denotaremos por: I(P, F G). Proposição 1.56 Se F e G não têm componentes comuns, então I(P, F G) = dim K (K[x, y]/(f, G)), onde os F is são as equações locais dos C is. P Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [1] no capítulo III. Proposição 1.57 Se D, E e F são divisores numa superfície X, então: 1) D.(E + F ) = D.E + D.F. 2) Se E F, então D.E = D.F. 3) Se ϕ : Y X é um isomorfismo birracional entre superfícies projetivas suaves, então ϕ (D).ϕ (E) = D.E. 21

27 Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 4, seções 1.2 e 1.3. Lema 1.58 Sejam D um divisor numa variedade suave X e P 1,..., P s X. Então existe um divisor D D tal que P i / D, para todo i. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], capítulo 3, seção 1.3. Proposição 1.59 Seja S uma superfície, considere o isomorfismo birracional π 1 : Π S dado pela explosão de S em um ponto P, e seja E o divisor excepcional sobre o ponto P. Então temos que: 1) π1(d).π 1(D ) = D.D, para quaisquer divisores D e D em S. 2) E.π1(D) = 0, para todo divisor D em S. 3) E.E = 1. Demonstração: Se D e D não passam por P, os itens 1 e 2, segue da proposição 1.31 a qual diz que: Π\E = P n \{P }. Caso contário basta usar o Lema 1.58 para obter E D e E D não passando por P. Logo, temos que π1(e).π 1(E ) = E.E = D.D. Para mostrar o item 3, considere uma curva C passando por P com multipicidade 1. O transformado estrito de C encontra E transversalmente em um ponto, que corresponde a direção tangente de C em P. Então temos que (π1(c) E).E = 1, por 2 temos que π1(c).e = 0, logo E.E = 1. 22

28 Capítulo 2 Feixes de Quádricas Como visto no Capítulo 1, toda quádrica de P n pode ser representada por uma matriz simétrica (n+1) (n+1). O conjunto de todas as quádricas é portanto parametrizado pelo espaço projetivo P N, onde N = n2 +3n 2. Coisas interessantes acontecem quando estudamos uma família de quádricas e não uma individualmente, por isso vamos trabalhar com feixes de quádricas em P n que por definição é uma reta em P N. Um feixe de quádricas é usualmente dado como λa + µb, onde (λ : µ) P 1, e A e B são matrizes (n + 1) (n + 1) simétricas. 2.1 Classificação de feixes de quádricas em P N (C) pelo símbolo de Segre O discriminante de um feixe P é por definição a forma binária em (λ : µ), = (λ, µ) = det(λa + µb). Temos que não é identicamente nulo se e somente se, a quádrica geral do feixe é não singular, se e somente se, é uma forma binária de grau n + 1. Suponha não identicamente nulo e seja (λ 0, µ 0 ) uma raiz de, pode acontecer também que todos os subdeterminantes de λ 0 A + µ 0 B de uma certa ordem se anulem. Suponha que todos os subdeterminantes de ordem n + 1 d se anulam para algum d 0, mas nem todo subdeterminante de ordem n d. Isso significa que a quádrica Q(λ 0, µ 0 ) é um d-cone, tendo como vértice um subespaço linear de dimensão d e diretriz uma quádrica suave em um espaço de dimensão n 1 d. Seja l i a multiplicidade mínima da raiz (λ 0, µ 0 ) nos subdeterminantes de ordem n+1 i 23

29 para i = 0, 1,..., d. Pelo desenvolvimento de Laplace temos que: o determinante de uma matriz n n é igual à soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) por seus respectivos cofatores, onde o cofator A ij do elemento a ij é dado por A ij = ( 1) i+j D ij onde D ij é o determinante da matriz, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna de ordem j. Assim temos que l i l i+1 para todo i e então e i = l i l i+1 0 e nós temos que (λ, µ)=(λµ 0 - λ 0 µ) e0... (λµ 0 - λ 0 µ) e d 1 (λ, µ) onde 1 (λ 0, µ 0 ) 0. Os números e i são chamados números característicos da raiz (λ 0, µ 0 ) e os fatores (λµ 0 - λ 0 µ) e i são os divisores elementares do feixe P. Definição 2.1 Se (λ i, µ i ) para i = 1,..., r são as raízes de, e j 0,..., e j d j são os números característicos associados à raiz (λ j, µ j ) e d 1 d 2... d r então: [(e 1 0,..., e 1 d 1 ), (e 2 0,..., e 2 d 2 ),..., (e r 0,..., e r d r )] é chamado o símbolo de Segre do feixe P. Se d i = 0 os parênteses são omitidos. Exemplo 2.2 Símbolo de Segre [1,1,...,1]. Seja A = B = a a a n 24

30 Com a 1,..., a n K distintos. O feixe P será P = λa + µb = λ + µa λ + µa λ + µa n com a 1,..., a n K distintos. Para cada raíz (λ i : µ i ) o discriminante de ordem (n + 1) se anula, mas não os subdeterminantes de ordem menor. Definição 2.3 A variedade X = Q 0 Q 1 = λɛp 1 Q λ é chamada lugar de base do feixe. O feixe do exemplo 2.2 é dito genérico. Citaremos um outro resultado sobre feixes genéricos que será necessário posteriormente. Nota 2.4 Para n 2, se Q 0 e Q 1 encontram-se transversalmente, então X é suave, de grau 4 e dimensão n 2. Demonstração: A demonstração é uma consequência imediata do teorema Teorema 2.5 Se x T ax e x T bx são duas formas quadráticas em (x 0,..., x n ) e b é uma matriz não singular, uma condição necessária e suficiente para existir uma transformação de coordenadas x = py que transforme as formas quadráticas acima nas formas y T cy e y T dy, é que as λ-matrizes a λb e c λd tenham os mesmos divisores elementares. Demonstração: Primeiro vamos mostrar que a condição é necessária. Suponhamos que existe uma matriz não singular p sobre K tal que p T ap = c e p T bp = d Então p T (a λb)p = c λd. Usando o Teorema 1.24, temos que a λb e c λd têm os mesmos divisores elementares. Agora vamos mostrar a volta, ou seja se a λb e c λd têm os mesmos divisores elementares, então existe uma transformação de coordenadas p, tal que x = py, a 25

31 qual transforma as formas quadráticas dadas nas formas y T cy e y T dy. Suponhamos que a λb e c λd tenham os mesmos divisores elementares, e que b é não singular. Segue do Teorema 1.27 que existem matrizes não singulares m e n sobre K tal que m(c λd)n = a λb, isto é mcn = a e mdn = b. Agora a, b, c e d são todas simétricas, então nós temos n T cm T = n T c T m T = a T = a n T dm T = n T d T m T = b T = b consequentemente n T m 1 an 1 m T = a (pois mcn = a c = m 1 an 1, c = c T e n T c T m T = a), analogamente n T m 1 bn 1 m T = b. Podemos escrever estas equações na forma n T m 1 a = a(n T m 1 ) T, n T m 1 b = b(n T m 1 ) T. Seja t = n T m 1, t é não singular, já que m 1 e n são não singulares. Portanto ta = at T, e tb = bt T t 2 a = tat T = a(t T ) 2, t 2 b = b(t T ) 2, t r a = a(t T ) r, t r b = b(t T ) r. E mais geralmente, se f(x) é qualquer polinômio sobre K, f(t)a = af(t T ) = a[f(t)] T, f(t)b = bf(t T ) = b[f(t)] T. Já que t é não singular, pelo Teorema 1.28 nós podemos escolher f(x) tal que, se s = f(t), então s 2 = t. Com esta escolha de s nós temos Agora sa = as T, sb = bs T. c = m 1 an 1 = (n 1 ) T tan 1 = (n 1 ) T s 2 an 1 = (n 1 ) T sas T n 1 = (s T n 1 ) T as T n 1, 26

32 analogamente d = (s T n 1 ) T bs T n 1. Agora s T e n 1 são não singulares, e consequentemente p = s T n 1 é não singular. Então nós acabamos de encontrar uma transformação de coordenadas p sobre K tal que: c = p T ap, d = p T bp, o que termina a demonstração do Teorema. Como conseqüência temos o seguinte Teorema: Teorema 2.6 Considere dois feixes de quádricas, P 1 e P 2 em P n com elementos singulares (λ 1,i : µ 1,i ), (λ 2,i : µ 2,i ) respectivamente. Suponha que 1 (λ, µ) = det(λa 1 + µb 1 ) e 2 (λ, µ) = det(λa 2 +µb 2 ) não são identicamente nulos, onde A 1, B 1, A 2 e B 2 são matrizes simétricas. Então P 1, P 2 são projetivamente equivalentes, se e somente se, eles têm o mesmo símbolo de Segre e existe um automorfismo de P 1 levando (λ 1,i : µ 1,i ) em (λ 2,i : µ 2,i ). Demonstração: Se os feixes têm os mesmos divisores elementares pelo teorema 2.5 vimos que são projetivamentes equivalentes, então têm o mesmo posto, digamos que o posto dos feixes seja d + 1. Os divisores elementares do feixe P 1 são: (λµ 10 λ 10 µ) e0 10,, (λµ10 λ 10 µ) e0 1d (λµ 1n λ 1n µ) en 10,, (λµ1n λ 1n µ) en 1d Os divisores elementares do feixe P 2 são: (λµ 20 λ 20 µ) e0 20,, (λµ20 λ 20 µ) e0 2d (λµ 2n λ 2n µ) en 20,, (λµ2n λ 2n µ) en 2d Como os divisores elementares dos feixes são iguais temos que os números característicos são iguais, ou seja e i 1j = e i 2j i = 0,, n e j = 0,, d, ou seja têm os mesmos símbolos de Segre. Por outro lado, temos que, os polinômios E i (λ), formados pelos divisores elementares do feixe P 1 é igual aos polinômios E i(λ), formados pelos 27

33 divisores elementares do feixe P 2, logo existe um automorfismo de P 1 levando raíz em raíz. Reciprocamente se os dois feixes têm os mesmos símbolos de Segre e existe um automorfismo de P 1 elementares. levando raíz em raíz, então os feixes têm os mesmos divisores Agora nós usaremos o teorema 2.6 para construir uma forma canônica para o par de formas quadráticas x T ax e x T bx no caso em que b é não singular. Suponha que os divisores elementares de a λb sejam: (λ α 1 ) e 1, (λ α 2 ) e 2,, (λ α r ) er onde e e r = n + 1. Seja P e (α) e e a matriz simétrica P e (α) = α 0 0 α 1 0 α 1 0 α e seja Q e a matriz de tamanho e e dada por: Q e = Se p = P e1 (α 1 ) P e2 (α 2 ) P er (α r ) e 28

34 q = Q e Q e Q er Um cálculo elementar mostra que os divisores elementares de p λq são (λ α 1 ) e 1, (λ α 2 ) e 2,, (λ α r ) er. Portanto pelo teorema 2.6, as formas quadráticas x T ax e x T bx podem ser transformadas em y T py, y T qy respectivamente. Já que as formas quadráticas são unicamentes determinadas pelos divisores elementares de a λb, elas podem ser tomadas como uma forma canônica para o feixe com os dados divisores elementares. 2.2 O exemplo de feixes de cônicas Agora vamos analisar o lugar de base para alguns casos particulares. Estudaremos apenas os feixes, onde a quádrica genérica do feixe é não singular. (i) [1,1,1] Usando o resultado anterior, podemos tomar os geradores do feixe P = λa + µb como sendo as matrizes: A = a b c e B = As cônicas Q 1 e Q 2 correspondentes podem ser escritas da seguinte forma: O feixe de cônicas é dado por: Q 1 = ax bx cx 2 2=0 (a, b, c são distintos) Q 2 = x x x 2 2=0. P = λ(ax bx cx 2 2) + µ(x x x 2 2) = 0. Olhando para o lugar de base X, do feixe P, X = Q 1 Q 2 temos: { ax bx cx 2 2 = 0 x x x 2 2 = 0 29

35 Como o feixe é genérico, Q 1 e Q 2 encontram-se transversalmente. Sejam F 1 = V (Q 1 ) e F 2 = V (Q 2 ). Pelo teorema de Bézout, X = Q 1 Q 2 é constituída por 4 pontos distintos, A 1, A 2, A 3 e A 4. O feixe tem 3 elementos singulares que são dados pelos seguintes pares de retas: Q = A 1 A 2 +A 3 A 4 ; Q = A 1 A 3 +A 2 A 4 ; Q = A 1 A 4 +A 2 A 3. A 1 A 2 A 3 A 4 Fig.2: X = Q 1 Q 2 (ii) [(1,1),1] Como no caso (i), podemos tomar os geradores do feixe P = λa + µb como sendo as matrizes: A = a a c e B = As cônicas Q 1 e Q 2 correspondentes podem ser escritas da seguinte forma: O feixe de cônicas é dado por: Q 1 = ax ax cx 2 2 = 0 Q 2 = x x x 2 2 = 0. P = λ(ax ax cx 2 2) + µ(x x x 2 2) = 0. Olhando para o lugar de base X do feixe P, X = Q 1 Q 2 temos: { ax ax cx 2 2 = 0 x x x 2 2 = 0 que é equivalente a: { x x x 2 2 = 0 (c a)x 2 2 = 0 As cônicas são tangentes às retas x 1 = ix 0, x 1 = ix 0 nos pontos p 1 e p 2 respectivamente, onde p 1 e p 2 é a interseção das cônicas com a reta x 2 = 0. 30

36 p 1 x 1 = ix 0 p 2 x 1 = ix 0 x 2 = 0 Fig.3: X = Q 1 Q 2 Em coordenadas afins, fazendo x 0 = 1, temos que x 2 1 = 1, geometricamente temos: x 2 x 2 = 0 x Fig.4: X = Q 1 Q 2 (iii) [(1,1,1)] Esse caso é a identidade, ou seja vamos ter como geradores do feixe as matrizes: (iv) [2,1] A = a a a e B = Como antes, podemos tomar os geradores do feixe P = λa + µb como sendo as matrizes: A = 0 a 0 a c e B = As cônicas Q 1 e Q 2 correspondentes podem ser escritas da seguinte forma: O feixe de cônicas é dado por: Q 1 = 2ax 0 x 1 + x cx 2 2 = 0 Q 2 = 2x 0 x 1 + x 2 2 = 0. P = λ(2ax 0 x 1 + x cx 2 2) + µ(2x 0 x 1 + x 2 2) = 0. 31