UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Instituto de Matemática. Retas em Superfícies Algébricas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Instituto de Matemática Retas em Superfícies Algébricas Michael Santos Gonzales Gargate Dissertação submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre. Linha de Pesquisa: Geometria Algébrica Orientador : Nivaldo Medeiros Niterói, 31 de março de 2010.

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3 A meus pais Nicolas Gonzales e Felicitas Gargate, meus irmãos Ivan, Karen e Renzo e a minha tia Blandina Gargate, por ter-me apoiado sempre.

4 Agradecimentos Aos meus pais, eles em todo momento me incentivaram, e nunca esqueceram de mim, especialmente quando mais precisei de sua ajuda. A minha tia Blandina que eu considero como a minha segunda mãe. A meus Padrinhos Miguel e Esther, dos quais sempre tive o apoio que precise. A meu irmão Ivan, que sempre me apoio e sempre esteve no momento que mais precise dele, e porque apesar de tudo, não deixou de acreditar em mim. Assim como a meus irmãos Karen e Renzo, que sempre estão quando eu mas preciso. Também como esquecer de meus primos Jean Piere, Ericka e de meu novo sobrinho Josue. Ao meu orientador Nivaldo Medeiros, por ter-me guiado com sua experiência e ter muita paciência comigo na elaboração deste trabalho, por ser mais que só um professor com seus alunos, e por ter-me ajudado no momento mas difícil que tive aqui no Brasil, estou inteiramente agradecido por isso. Aos amigos e colegas que tenho na UFF. Agradeço especialmente a minha grande amiga Jacqueline, que me ajudo no momento mas difícil que tive aqui no brasil, e Maria Eugenia, tanto a ela como a seus pais. A minha turma de mestrado 2008, e a todos meus amigos da post graduação da UFF. Ao professor Dinamérico Pombo, que sempre foi atento não só comigo, mais também com meus amigos do Mestrado na UFF. Assim como a Mariana que sempre me ajudo e informo quando eu precise de algum favor. Ao professor Contreras Chamorro de Perú, por sua gentileza e conselhos para eu seguir nas Matemáticas, e ao grande professor Antonio Pareja Herrera de Perú, que já não está entre nós, mas ele sempre foi um grande um professor e amigo, com sua humildade de sempre.

5 Sumário 1 Preliminares Noções básicas Dimensão e fibras Espaços tangentes, variedades suaves e normais Retas em superfícies cúbicas Considerações gerais As 27 retas de uma cúbica suave em P Retas em superfícies Superfícies da Forma φ(x, y) = ψ(z, t) Superfícies da Forma t d = f(x, y, z) O número máximo de retas em uma superfície

6 Introdução Um dos resultados mais famosos da escola de Geometria Algébrica italiana do século XIX é que toda superfície cúbica suave no espaço projetivo de dimensão três contém exatamente 27 retas. Livros inteiros foram escritos a este respeito, sobre as possíveis configurações, simetrias, etc. O objetivo da presente dissertação é fazer um estudo similar para superfícies suaves de grau superior, o qual é baseado no trabalho apresentado por Beniamino Segre em 1943 [Seg43], que estuda o seguinte problema: Qual é o número máximo de retas que uma superfície suave de grau d em P 3 pode conter? Um dos resultados de [Seg43] é que se d = 4, então este número é 64. Por outro lado, a existência de quárticas suaves contendo exatamente 64 retas é um resultado clássico, como por exemplo a quártica de Schur [Schur1882] x(x 3 y 3 ) = z(z 3 t 3 ). Para d 5, este é um resultado ainda em aberto. A construção de superfícies contendo muitas retas é difícil e, nesta dissertação, apresentamos algumas construções e resultados nesta direção. Além do interesse geométrico em exibir superfícies com muitas retas, há também aplicações em Aritmética, como determinar curvas sobre corpos de números com muitos pontos racionais (veja [CHM95] e [BS07] por exemplo) e superfícies sobre corpos finitos com muitos pontos racionais, como em [Vol03]. No Capítulo 1 fazemos um resumo breve de conceitos e resultados básicos de Geometria Algébrica, constituindo um esboço dos pré-requisitos necessários para uma boa compreensão da dissertação. Iniciamos o Capítulo 2 discutindo propriedades básicas de retas em superfícies. Mostramos que uma superfície geral de grau superior a quatro em P 3 não possui retas, em contraste com o caso em grau três: toda superfície cúbica em P 3, suave ou não, contém pelo menos uma reta. Em seguida, discutimos o célebre teorema de Cayley e Salmon de 1849: Toda superfície cúbica não singular em P 3 contém exatamente 27 retas. Não fazemos nenhuma análise mais profundo sobre a configuração das 27 retas. Ao leitor interessado indicamos [Hart77, V.4], [Haub01] ou [Dolg04] para um ótimo resumo histórico dos avanços sobre o tema. 1

7 SUMÁRIO 2 O Capítulo 3, o mais importante deste trabalho, é baseado no trabalho de Boissière e Sarti [BS07]. Nele estudamos com detalhe superfícies contendo um número significativo de retas. Apresentaremos dois tipos de construções: (1) Superfícies da forma φ(x, y) = ψ(z, t), onde φ e ψ são polinômios homogêneos de grau d. (2) Superfícies dadas por um d-recobrimento do plano e ramificadas ao longo de uma curva de grau d. No primeiro caso, denotando N d o número máximo de retas contidas nessa superfície, obtemos o resultado dado no Teorema 3.1, que N d = d(d + α d ) onde α d : P 1 P 1 é o número de isomorfismos de que leva os d zeros de φ nos d zeros de ψ. Finalizamos o Capítulo discutindo cotas uniformes do número de retas em uma superfície de grau d, como por exemplo o resultado de Segre [Seg43]: O número máximo de uma superfície não singular de grau d em P 3 não pode exceder (d 2)(11d 6). Embora alguns resultados aqui discutidos sejam válidos em contextos mais amplos, por simplicidade optamos pela seguinte hipótese geral: todas as variedades nesta dissertação estão definidas sobre um corpo algebricamente fechado, de característica zero. Palavras-chave: Geometria Algébrica, superfícies algébricas

8 Capítulo 1 Preliminares Começamos expondo algumas noções básicas em Geometria Algébrica. Definimos as variedades algébricas, tratamos de seus morfismos e das propriedades que são preservadas por esses morfismos. Além disso, enunciamos diversos resultados serão utilizados posteriormente. Nesta dissertação, o corpo de base k sempre será algebricamente fechado. 1.1 Noções básicas O espaço afim de dimensão n, denotado por A n, é simplesmente o conjunto de n-uplas com entradas em k. Definimos uma topologia neste conjunto: dizemos que X A n é um fechado (variedade afim) se existem polinômios F 1,..., F k k[t 1,..., T n ] tais que X = Z(F 1,..., F k ) onde Z(F 1,..., F k ) = {p A n F i (p) = 0 para i = 1,..., k}. A topologia gerada por estes fechados é chamada a topologia de Zariski. Dado um fechado afim X A n, definimos I(X) como o ideal de polinômios que se anulam em todos os pontos de X. Dizemos que uma função f : X A m é regular (ou um morfismo) se é a restrição de uma função polinomial, ou seja, se é da forma f(x 1,..., x n ) = (f 1,..., f m ) onde cada f i é um polinômio em k[t 1,..., T n ]. Denotamos por k[x] o anel das funções polinomiais em X. Em [Sh77, Seção 2.2, p. 24] podemos ver que este anel é isomorfo a k[t 1,..., T n ]/I(X). No caso que I(X) é um ideal primo, k[x] é um domínio, pelo que tem sentido falar de seu corpo de frações. Denotamos este corpo por k(x). Definimos P n como o conjunto de retas de A n+1 que passam pela origem. Para um ponto p = (x 0,..., x n ) A n+1 \ {0}, denotamos por (x 0 : : x n ) a única reta de P n que passa por p e a origem. Estas são chamadas de coordenadas homogêneas do ponto p. Note que (x 0 : : x n ) = (y 0 : : y n ) se e somente se existe λ k tal que x i = λy i para todo i. Podemos estender a topologia de Zariski definida anteriormente para conjuntos de P n. Um conjunto X P n é uma variedade projetiva se é o conjunto de zeros de polinômios homogêneos em k[t 0,..., T n ]. Munimos X da topologia induzida por P n. Os conjuntos que 3

9 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4 são abertos de alguma variedade projetiva são chamados de quase-projetivos. Em geral, denominamos simplesmente por variedade qualquer conjunto algébrico quase-projetivo. Observamos que o espaço afim A n está naturalmente mergulhado em P n mediante a inclusão (x 1,..., x n ) (1 : x 1 : : x n ) e fica identificado com o aberto P n \ Z(x 0 ). Assim, variedades afins também são quase-projetivas. Para uma variedade quase-projetiva X dizemos que um elemento x X é tomado genericamente se x é tomado em algum aberto denso de X. Dizemos que uma função f : X P m é regular em um ponto p se existe um aberto afim U X contendo p, tal que a função restrita a esse aberto é um morfismo. Uma função é regular em X se é regular em todos os pontos, em particular os mapas regulares (também chamados morfismos) são contínuos na topologia de Zariski. Dizemos que f : X Y é um isomorfismo se f tem inversa regular. Se f(x) é denso em Y dizemos que f é dominante. Construímos o conjunto de funções racionais, f : X P m, como o conjunto de classes de equivalência (U, f) tais que U é um aberto de X, e f é uma função regular em U, com a relação de equivalência (U, f) (U, f ) se f U U = f U U. Se entre X e Y existe uma função racional que tem inversa racional, dizemos que X, Y são birracionalmente equivalentes. Estendemos a definição de afim, para os conjuntos que sejam isomorfos a conjuntos afins. Para uma variedade quase-projetiva X, denotamos por O X o conjunto de funções regulares de X a k. Exemplo 1.1 (Produto de variedades projetivas). Seja X = P n P m, e f : X P N, onde N = (m + 1)(n + 1) 1, dada por f[(x 0 : : x n ), (y 0 : : y n )] = ( : x i y j :... ). Então f é injetiva e sua imagem é um fechado de P N (veja [Sh77, Seção 1.5.1, p. 55]). A função f é chamada o mergulho de Segre e definimos X, com a topologia induzida por f, como a variedade produto P n P m. Exemplo 1.2. [Grassmannianas] Tomamos X como ) o espaço de planos de dimensão k em P n, definimos f : X P N (onde N = 1) tal que se o plano L é gerado ( n+1 k+1 pelos vetores v 0,..., v k, então f(l) é o ponto gerado pelos determinantes dos menores (k + 1) (k + 1) da matriz formada por v 0,..., v k ; esta aplicação está bem definida e é injetiva, e sua imagem é um fechado de P N (veja [Harr92, Exemplo 6.6, p. 64]). Denotamos a essa imagem como G k,n, a Grassmanniana de planos de dimensão k em P n. Dizemos que o ponto f(l) são as coordenadas de Plücker de L. Por exemplo, G 1,3 é a Grassmanniana das retas em P 3 e é dada pelos zeros de equação em P 5 (veja [Sh77, Seção 1.4.1, p. 43]). X 0 X 5 X 1 X 4 + X 2 X 3 = 0 Definição 1.3. Um espaço topológico é irredutível se não pode ser escrito como a união de dois fechados próprios. No caso em que X é um conjunto quase-projetivo irredutível o ideal I(X) é primo e o conjunto das funções racionais de X ate k é um corpo. Denotamos por k(x) este conjunto.

10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5 Proposição 1.4. Para X uma variedade quase-projetiva, então X pode-se escrever de maneira única (salvo permutação dos fatores) como X 1 X 2 X k onde cada X i é um fechado irredutível e X i X j para i j. Demonstração. Veja [Sh77, Sec. 3.1, p. 34] Proposição 1.5. Seja X um conjunto algébrico e X seu fecho. Então X é irredutível se somente se X é irredutível. Demonstração. É claro que se X = X 1 X 2 com X 1, X 2 conjuntos fechados próprios de X, então X = X 1 X 2 além disso como os X i são fechados de X, os X i são conjuntos próprios de X. Para a recíproca, suponhamos que X = F 1 F 2 com F i fechados próprios de X, assim X = (X F 1 ) (X F 2 ), e se pode ver que se X F 1 = X então X F i o que é absurdo, logo ambos conjuntos são próprios de X. Proposição 1.6. Se X é irredutível e f : X P m é mapa regular, então f(x) é irredutível. Demonstração. Suponhamos que f(x) = Y 1 Y 2 com Y 1, Y 2 fechados de f(x) assim X 1 = f 1 (Y 1 ), X 2 = f 1 (Y 2 ) também são fechados de X, cuja união contém a X; como X é irredutível, um destes fechados não pode ser próprio, logo suponhamos X 1 = X, assim Y 1 = f(x 1 ) = f(x) pelo que Y 1, Y 2 não podem ser ambos próprios. Dizemos que um mapa f : X Y é fechado, se as imagens de fechados de X são também fechados de Y. Proposição 1.7. Seja f : X Y um mapa regular. Suponhamos que X é uma variedade projetiva, então f é um mapa fechado. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 57] Proposição 1.8. Se X é uma variedade projetiva, e Y uma variedade quase-projetiva então a segunda projeção π 2 : X Y Y é um morfismo fechado. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 58] Proposição 1.9. Se f : X Y é um morfismo regular entre conjuntos quase-projetivos X, Y e f é dominante, então f(x) contém um aberto de Y. Demonstração. Veja [Sh77, Thm p. 63] Agora faremos um breve estudo sobre os automorfismos de P n. Definição Dizemos que T : P n P n é uma transformação projetiva se existe uma matriz não singular (a ij ) tal que T [v] = [(a ij )v], para todo vetor não nulo de A n+1. Denotamos ao conjunto de transformações projetivas em P n como PGL n.

11 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6 É claro que as transformações projetivas são automorfismos de P n. E para P 1 temos: Lema O único automorfismo de P 1 que tem três pontos fixos é a identidade. Demonstração. Podemos supor sem perda de generalidade que os pontos fixos de F : P 1 P 1 são (1 : 0), (0 : 1) e (1 : 1); como F (0 : 1) = (0 : 1), podemos escrever F (1 : y) = (1 : f(y)), onde a aplicação f : A 1 A 1 está bem definida e é regular em A 1 ; mas toda aplicação regular em A 1 é um polinômio, e os únicos polinômios que induzem aplicações bijetivas são os de grau 1, assim f(x) = ax + b, como f(0) = 0 e f(1) = 1 logo temos que f(x) = X e F (x : y) = (x : y) para todo (x : y) P 1. Uma conseqüência imediata desta proposição é o seguinte resultado: Corolário Todo automorfismo de P 1 é uma transformação projetiva. De fato, vale um resultado mais geral: Todo automorfismo de P n é uma transformação projetiva. (veja [Hart77, p. 151]). Dizemos que um conjunto finito X P n está em posição geral se todo subconjunto de l pontos com 3 l n + 1, não está contido em um plano l 2 dimensional ou, equivalentemente se quaisquer l + 1 deles geram um plano l-dimensional. Os pontos (1 : 0 : : 0), (0 : 1 : : 0),..., (0 : : 0 : 1) são chamados os pontos fundamentais de P n. Uma propriedade básica acerca das transformações projetivas é: Proposição Dois subconjuntos de n + 2 pontos de P n em posição geral são projetivamente equivalentes por uma única transformação projetiva. Demonstração. Basta mostrar a afirmação para os pontos fundamentais p 0,..., p n P n e p n+1 = (1 : 1 : : 1). Para mostrar a existência, seja q i = (q i,0 : : q i,n ) para i = 0,..., n + 1. Como q 0,..., q n geram P n, temos que: (q n+1,0,..., q n+1,n ) = a 0 (q 0,0,..., q 0,n ) + + a n (q n,0,..., q n,n ) onde a i k. Como os pontos estão em posição geral, temos a i 0 para i = 0,..., n. Então a matriz: a 0 q 0,0 a 1 q 0,1... a n q 0,n a 0 q 1,0 a 1 q 1,1... a n q 1,n.. a 0 q n,0 a 1 q n,1... a n q n,n é invertível e induz uma transformação projetiva T tal que T (p i ) = q i para i = 0,..., n+1. Para provar a unicidade, podemos supor sem perda de generalidade que q i = p i são os pontos fundamentais de P n para i = 0,..., n e p n+1 = q n+1 = (1 : 1 : : 1), logo uma transformação T tal que T (p i ) = q i é da forma T = (T 0 : T 1 : : T n ) onde T i é um

12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7 polinômio linear homogêneo; como T i (p j ) = 0 para i j e j < n + 1, T i é da forma a i X i ; assim T (1 : 1 : : 1) = (a 0 : a 1 : : a n ) logo a 0 = a 1 = = a n, pelo qual T é igual à transformação identidade em todos os pontos. A razão cruzada Com respeito a última Proposição, perguntamos: o que se pode dizer para conjuntos com mais de n + 2 pontos? Vejamos a resposta em P 1. Sejam z 1, z 2, z 3 três pontos distintos de P 1 e seja z 4 P 1 um quarto ponto. Escreva P 1 = k { }. Definimos a razão cruzada: λ(z 1,..., z 4 ) = (z 1 z 3 )(z 2 z 4 ) (z 2 z 3 )(z 1 z 4 ) com a convenção de que se um dos z i s é, então removemos as duas diferenças correspondentes no cálculo da fórmula. Assim definido, λ = λ(z 1,..., z 4 ) é a imagem de z 4 pela única transformação projetiva P 1 P 1 que leva z 1, z 2, z 3 a, 0, 1 respectivamente. Em particular, temos que λ =, 0, 1 se somente se z 4 = z 1, z 2, z 3, respectivamente. Logo dois conjuntos de quatro pontos distintos em P 1 são projetivamente equivalentes se e somente se eles têm a mesma razão cruzada. E para conjuntos z 1,..., z r e z 1,..., z r com r 4, basta verificar se as razões λ(z 1, z 2, z 3, z i ) e λ(z 1, z 2, z 3, z i) coincidem para todo i 4 (pois pelo Lema 1.11 um automorfismo de P 1 fica determinado pela sua imagem em três pontos). Sejam z 1,..., z 4 P 1 quatro pontos distintos. Então sua razão cruzada é um número λ k \ {0, 1} e depende da ordem dos pontos considerados. Temos assim uma ação do grupo simétrico S 4 em k \ {0, 1} dada por σ(λ) λ(z σ(1),..., z σ(4) ). Esta ação não é transitiva: de fato, λ = λ(z 1, z 2, z 3, z 4 ) = λ(z 2, z 1, z 4, z 3 ) = λ(z 3, z 4, z 1, z 2 ) = λ(z 4, z 3, z 2, z 1 ) ou seja, o grupo de Klein {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} está contido no estabilizador de qualquer elemento λ k \ {0, 1}. Assim, uma órbita consiste no máximo de 6 elementos, a saber λ(z 1, z 2, z 3, z 4 ) = λ λ(z 1, z 2, z 4, z 3 ) = 1 λ λ(z 1, z 3, z 4, z 2 ) = 1 λ(z 1, z 3, z 2, z 4 ) = 1 λ λ(z 1, z 4, z 3, z 2 ) = 1 λ λ λ 1 λ(z 1, z 4, z 2, z 3 ) = λ 1 λ ou, em outras palavras, a órbita de λ é o conjunto { Λ = Λ(λ) = λ, 1 λ, 1 λ, 1 1 λ, λ 1 λ, λ }. λ 1 Permitindo que z 4 assuma um dos valores z 1, z 2, z 3, temos agora uma ação do grupo simétrico S 3 na esfera de Riemann, dada pelas seis funções acima. A cardinalidade de uma órbita Λ pode ser menor do que seis. Neste caso, temos três possibilidades:

13 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8 Λ = {, 0, 1}, quando z 4 {z 1, z 2, z 3 }. Λ = { 1, 1 2, 2}; Λ = {ω, ω 2 }, onde ω k é uma raiz cúbica primitiva da unidade. Este é o caso refletindo a maior simetria possível entre z i s, sendo o estabilizador o grupo alternado A 4 das permutações pares. Em resumo, dois conjuntos de quatro pontos não ordenados de P 1 são projetivamente equivalentes se e somente se os conjuntos Λ associados são iguais; note que Λ(α) = Λ(β) se, e somente se, β Λ(α). Aqui introduz-se o seguinte operador para os conjuntos Λ(α), denominado j-invariante: j(α) = (1 α + α2 ) 3 α 2 (1 α) 2 onde, para α, β k \ {0, 1}, tem-se que j(α) = j(β) se, e somente se, Λ(α) = Λ(β). 1.2 Dimensão e fibras Definimos a dimensão de uma variedade irredutível X como o grau de transcendência da extensão k(x) k e denotamos dim(x). Se X é um quase-projetivo em geral, definimos a dimensão de X como o máximo das dimensões de suas componentes irredutíveis. Se Y X é um fechado de X então chamamos ao número dim(x) dim(y ) como a codimensão de Y em X. Variedades algébricas de dimensão 1 são chamadas curvas e de dimensão 2 são chamadas superfícies. Dizemos que Y X é uma hipersuperfície, se Y tem codimensão 1. Por exemplo, se X tem dimensão n e Y tem dimensão m então X Y tem dimensão m + n; e a Grassmanniana G k,n tem dimensão (k + 1)(n k). A dimensão de X também se pode definir como o maior inteiro n tal que exista uma cadeia estritamente decrescente Y 0 Y 1 Y n, de fechados irredutíveis de X. Proposição 1.14 (Teorema do ideal principal de Krull). Seja X P N uma variedade irredutível n-dimensional, e Y X o conjunto de zeros de m formas. Então toda componente irredutível (não vazia) de Y tem dimensão maior ou igual a n m. Demonstração. Veja [Sh77, p. 71] Este teorema diz, em particular, que toda variedade definida por uma única equação tem codimensão 1. Para o caso de P n, a recíproca também vale. Mas em geral não é certo que toda subvariedade de codimensão 1 seja definida por uma única equação. Por exemplo, as cúbicas torcidas são subvariedades de superfícies cúbicas que não podem ser definidas por um só polinômio. Para um mapa regular f : X Y entre variedades quase-projetivas, dado y Y o conjunto f 1 (y) é chamado a fibra de f sobre y. Esta é obviamente uma subvariedade fechada de Y.

14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9 Teorema 1.15 (Teorema de dimensão das fibras). Seja f : X Y um mapa regular entre variedades irredutíveis, com dim(x) = n, dim(y ) = m. Suponha que f é dominante. Então m n e 1. dim(f ) n m para qualquer componente irredutível F de f 1 (y). 2. Existe um conjunto aberto U Y tal que dim(f 1 (y)) = n m para todo y U. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 76] Um critério útil para saber se um conjunto é irredutível surge como conseqüência do teorema anterior: Teorema Seja f : X Y um mapa regular fechado e dominante entre duas variedades quase-projetivas. Suponha que Y é irredutível, que todas as fibras f 1 (y) são irredutíveis e têm a mesma dimensão. Então X é irredutível. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 77] Como aplicação destes teoremas, obtemos informações sobre as superfícies em P 3 que contém alguma reta. 1.3 Espaços tangentes, variedades suaves e normais Seja X = Z(f 1,..., f n ) A n um fechado afim. Dado um ponto p X definimos o espaço tangente de X em p, T p X como o plano gerado pelos polinômios lineares: df i (p) = n j=1 f i x j (X j x j ) para o caso projetivo definimos o plano tangente de X em p como o fecho do espaço T p X. Em geral, vale que dim k T p X dim p X. Dizemos que uma variedade é suave ou não singular se dim(t p X) = dim(x) para todo p X. Uma propriedade muito similar à suavidade e equivalente para o caso de curvas, é a normalidade. Dizemos que uma variedade X é normal se para cada ponto p X, existe um aberto afim de U p tal que k[u] seja integralmente fechado. De maneira equivalente, X é normal se o anel local de X em p é integralmente fechado, para todo x X. Proposição Toda variedade não singular é normal. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 126]

15 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10 Definição Sejam X e Y variedades irredutíveis afins e f : X Y uma aplicação regular e dominante. Dizemos que f é um morfismo finito se a extensão de anéis f (k[y ]) k[x] é inteira. Estendemos esta definição para X, Y variedades quaseprojetivas: dizemos que f é finito se para todo ponto de y Y existe uma vizinhança afim V y tal que U = f 1 (V ) seja afim e que f U : U V seja finito. Dada uma aplicação racional dominante f : X Y com dim(x) = dim(y ), esta induz um homomorfismo injetor de corpos f : k(y ) k(x). Definimos o grau de f como o grau da extensão [k(x) : f (k(y ))]. Lema Se f : X Y é um mapa finito entre variedades irredutíveis, e Y é normal, então o número de imagens inversas de cada ponto y Y é menor o igual do que o grau de f. Mais ainda o conjunto onde se cumpre a igualdade é um aberto; este conjunto é não vazio sempre que a extensão k(x) f (k(y )) é sepáravel. Demonstração. Veja [Sh77, Thm , p. 144] Proposição Seja f : X Y um morfismo entre variedades irredutíveis afins, tal que Y é normal e k(x) f (k(y )) seja separável e finita, então o número de pontos na fibra geral é igual ao grau de f. Demonstração. Mostramos que existe um aberto denso U contido em Y tal que f f 1 (U) é finito. Temos que f induz uma inclusão k[y ] k[x]. Sejam x 1,..., x r os geradores de k[x] sobre k[y ]. Como a extensão de corpos é finita cada x i é algébrico sobre k(x), logo o polinômio minimal de x i é da forma: a (0) i (x i ) n i + + a (n i) i = 0 Sejam a = a (0) 1 a (0) r e U Y o aberto principal dado por Y \ Z(a). Tome V = f 1 (U). Então k[v ] = k[x][f (a 1 )] = f (k[u])[x 1,..., x r ] e como a (0) i são invertíveis em k[u], os polinômios minimais de x 1,..., x r são mônicos sobre k[u], assim k[v ] k[u] é uma extensão inteira e f V é finito. Pelo Lema 1.19 existe um aberto U U tal que o número de elementos na pré-imagem dos pontos de U é exatamente o grau de f. Como U é denso em Y temos que o número de pontos na fibra geral é igual ao grau de f. Corolário Se um morfismo entre duas variedades irredutíveis é dominante, injetivo e a extensão de corpos induzida é separável, então o morfismo é birracional.

16 Capítulo 2 Retas em superfícies cúbicas Neste capítulo apresentamos uma demonstração de que toda cúbica suave no espaço projetivo de dimensão três possui exatamente 27 retas. Começamos com considerações gerais sobre a existência de retas em superfícies de grau qualquer. 2.1 Considerações gerais Nesta parte do trabalho, utilizando variedades de incidência, mostraremos que toda superfície cúbica em P 3 contém pelo menos uma reta, e que a cúbica geral contém um número finito delas. Começaremos provando que uma superfície geral de grau d 4 não contém retas. Para isto, consideremos uma superfície S P 3 dada pela equação F = 0, sendo F k[u 0, u 1, u 2, u 3 ]\{0} um polinômio homogêneo de grau d, e seja l P 3 uma reta dada pelas coordenadas de Plücker p 01, p 02, p 03, p 12, p 13, p 23 (veja o Exemplo 1.2). Lema 2.1. As condições que expressam o fato da reta l estar sobre a superfície S são relações algébricas entre os p ij e os coeficientes de F, homogêneos em ambos os conjuntos. Demonstração. Podemos escrever uma representação paramétrica de l em termos de suas coordenadas de Plücker. Sejam x = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 0, y 1, y 2, y 3 ), dois vetores linearmente independentes em k 4, tais que x, y l. Seja L k 4 o 2-espaço vetorial gerado por x, y. Então L = { α, y x α, x y α k 4 } (2.1) De fato, dado l L, existem a, b k com l = ax + by. Por provar que existe α k 4 tal que α, y x α, x y = l = ax + by, isto é, existe α k 4 tal que α, y = x 0 α 0 + x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = b α, x = y 0 α 0 + y 1 α 1 + y 2 α 2 + y 3 α 3 = a Mas o sistema tem solução já que os vetores x e y são linearmente independentes. A recíproca é óbvia. 11

17 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 12 Agora, se o vetor α tem coordenadas (α 0, α 1, α 2, α 3 ), então o vetor (2.1), tem coordenadas z i = j α jp ij, (j = 0, 1, 2, 3), onde p ij = x i y j y i x j. Assim os pontos de l são os pontos com coordenadas homogêneas j α jp ij (j = 0, 1, 2, 3), isto é : l = {(α 1 p 01 + α 2 p 02 + α 3 p 03 : α 0 p 01 + α 2 p 12 + α 3 p 13 : α 0 p 02 α 1 p α 3 p 23 : α 0 p 03 α 1 p 13 α 2 p 23 ) (α 0, α 1, α 2, α 3 ) k 4 \(0, 0, 0, 0)}. Logo, substituindo tais expressões na equação F (u 0, u 1, u 2, u 3 ) = 0, e igualando a zero os coeficientes de todos os monômios em α i, obtemos a condição que l S como um conjunto finito de relações algébricas entre os coeficientes de F e as coordenadas de Plücker p ij. Agora procedemos ao estudo sobre as retas contidas numa superfície em P 3. Para um dado d, consideremos o espaço projetivo P N com ( ) d + 3 N = 1, 3 cujos pontos parametrizam superfícies em P 3 de grau d, isto é, dadas por um polinômio homogêneo em k[x 0,..., X 3 ] de grau d. Seja G = G 1,3 a Grassmanniana das retas de P 3, a saber a hipersuperfície quádrica de P 5 dada por (veja Exemplo 1.2) G = {(u 0,..., u 5 ) P 5 u 0 u 5 u 1 u 4 + u 2 u 3 = 0}. Seja Γ d P N G o conjunto dos pares ([S], [l]) P N G, tais que a reta l P 3 esteja contida na superfície S P 3. Pelo Lema 2.1, Γ d é uma variedade projetiva. Determinemos agora sua dimensão. Para isto considere as projeções p 1 : P N G P N e p 2 : P N G G que são mapas regulares. Consideremos agora suas restrições a Γ d. Note que p 2 (Γ d ) = G, isto é, para cada reta em P 3 existe pelo menos uma superfície de grau d que a contenha, possivelmente redutível. Calculemos a dimensão das fibras p 1 2 ([l]). Para isto, tomando uma transformação projetiva adequada, podemos supor que a reta l é dada por u 0 = u 1 = 0, isto é, l = {(0 : 0 : u 2 : u 3 ) (u 2, u 3 ) P 1 }. Os pontos [S] P N tais que ([S], [l]) p 1 2 ([l]) Γ d correspondem as formas F k[x 0, X 1, X 2, X 3 ] de grau d tais que F (0, 0, x 2, x 3 ) = 0 para todo x 2, x 3 k, isto é, às formas de grau d tais que os coeficientes de X2 d, X2 d 1 X 3,..., X 2 X3 d 1, X3 d se anulam. Logo a codimensão do subespaço p 1 2 ([l]) é d + 1, e portanto dim p 1 2 ([l]) = N (d + 1). Segue do Teorema 1.16 que Γ d é irredutível. Assim pelo Teorema da Dimensão das Fibras (Teorema 1.15) temos dim Γ d = dim p 2 (Γ d ) + dim p 1 2 ([l]) = dim G + dim p 1 2 ([l]) = 4 + N (d + 1)

18 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 13 isto é, dim Γ d = N d + 3. Consideremos agora a outra projeção p 1 : Γ d P N. Como Γ d é um conjunto projetivo, sua imagem p 1 (Γ d ) é um fechado de P N. Claro que dim p 1 (Γ d ) dim P N. Se dim Γ d < N, então p 1 (Γ d ) P N, isto diz que nem toda superfície de grau d contém uma reta. Mas, pelo o que fizemos acima, dim Γ d < N ocorre exatamente quando d > 3. Provamos assim o: Teorema 2.2. Uma superfície genérica não singular de grau d 4 em P 3 não contém retas. Exemplo 2.3. Por outro lado, toda superfície com grau d 3 em P 3 contém pelo menos uma reta. De fato, d = 1: todo plano contém infinitas retas. d = 2: seja Q = Z(F ) uma quádrica de P 3. Então F é uma forma quadrática. Supondo que car k 2, então após uma mudança de coordenadas temos que Q = Z(X X 2 r ) para algum r {0, 1, 2, 3}. Em particular, Q é suave se e somente se r = 3. Assim, a menos de transformações projetivas existem quatro quádricas em P 3 : Se r = 3, então Q é não-singular e nesse caso é isomorfa a imagem de P 1 P 1 via o mergulho de Segre, isto é, Q = Z(X 0 X 3 X 1 X 2 ); Se r = 2, temos o cone quádrico; Para r = 1, a união de dois planos simples; E o plano duplo quando r = 0. Figura 2.1: Quádricas em P 3 Todas contém um número infinito de retas. Isto também pode ser obtido via nossos cálculos com dimensão. Com efeito, se d = 2, então N = 9 e dim Γ 2 = 10. Assim ainda temos que dim p 1 (Γ 2 ) 9. Então pelo Teorema da Dimensão das Fibras temos que para cada [S] P N, dim p 1 1 ([S]) dim(γ 2 ) dim p 1 (Γ 2 ) 10 9 = 1.

19 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 14 d = 3: Aqui temos N = 19 e dim Γ 3 = N = 19. Observamos agora que existem superfícies cúbicas que contém apenas um número finito de retas, como por exemplo a cúbica (singular) S : X 1 X 2 X 3 = X 3 0. De fato, S restrita ao espaço afim A 3 dado por x 0 = 1 não possui retas (escrevendo parametricamente uma tal reta na forma X i = a i T + b i para i = 1, 2, 3 chega-se a uma contradição) e é claro que no plano infinito S contém exatamente três retas. Assim, p 1 1 ([S]) é um conjunto de três pontos em Γ 3, donde dim p 1 1 ([S]) = 0. Afirmamos que p 1 (Γ 3 ) = P 19. Com efeito, pelo Teorema da Dimensão das Fibras, 0 = dim p 1 1 ([S]) dim(γ 3 ) dim p 1 (Γ 3 ) isto é, dim p 1 (Γ 3 ) dim(γ 3 ) = 19. Assim p 1 é sobrejetiva. Para uso futuro, enunciamos o resultado que acabamos de demonstrar: Teorema 2.4. Toda superfície cúbica de P 3 contém pelo menos uma reta. Segue também do Teorema da Dimensão das Fibras que existe um aberto U P 19 tal que toda cúbica em U contém apenas um número finito de retas. Veremos a seguir que este aberto contém o aberto de todas as superfícies suaves. 2.2 As 27 retas de uma cúbica suave em P 3 Em 1849, Cayley e Salmon publicaram muitos artigos sobre superfícies cúbicas. Cayley estabeleceu que qualquer superfície cúbica suave contém apenas um número finito de retas, e Salmon prova que esse número é exatamente 27. Nesta parte da dissertação daremos uma prova deste resultado. Nossa apresentação será baseada em [Ga02]. Seja S P 3 uma superfície cúbica não singular. Vimos no Teorema 2.4 que S contém pelo menos uma reta, digamos L. A prova da existência das 27 retas em S será feita em três etapas: Dada L S, existem exatamente outras dez retas (diferentes entre si e diferentes de L) de S que cortam L, distribuídas em 5 pares, digamos (L i, L i), com i = 1,..., 5, tais que: - Cada par é coplanar com L. - Pares com i j são disjuntos, isto é, não se intersectam. Daí já segue temos que toda cúbica possui pelo menos duas retas disjuntas.

20 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 15 Figura 2.2: Superfície cúbica com 27 retas Dadas L e M duas retas de S disjuntas, existem exatamente outras 15 retas de S com uma configuração particular. Da configuração das 17 retas de S obtidas na etapa anterior deduz-se que existem exatamente outras dez retas de S que possuem uma configuração especial. Começamos a procurar por retas em S. Lema 2.5. Por cada ponto P S passam não mais que 3 retas contidas em S, as quais são coplanares e não estão repetidas. Demonstração. Se P L S, então L = T P L T P S. Isto é, L está no plano tangente T P S, e a interseção S T P S, será uma curva cúbica plana passando por P, consistindo de não mais de 3 retas, que são coplanares. As retas obtidas não são iguais já que a superfície é não singular. De fato, suponha que existem duas retas iguais. Por uma mudança de coordenadas podemos supor que L é dada por z = t = 0, e que T P S é o plano definido por t = 0. Temos então as seguintes equivalências: L é uma reta múltipla de S T P S F TP S tem um zero duplo em z = 0 F (x, y, z, t) = z 2 A(x, y, z, t) + tb(x, y, z, t) com A uma forma linear e B uma forma de grau 2. Então S, dada pela equação F = 0, seria singular nos pontos nos quais z = t = B = 0, contradição, pois S é suave. Proposição 2.6. Dada uma reta L S, existem exatamente outras dez retas distintas de S que cortam L, e que estão distribuídas em 5 pares (L i, L i), i = 1,..., 5 tais que:

21 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 16 (a) L, L i, L i são coplanares para cada i = 1,..., 5. (b) (L i L i) (L j L j) =, se i j. Demonstração. Consideramos o plano Π contendo L, assim Π S é uma curva cúbica plana e L Π S, isto é, tal curva é a união da reta L e uma curva plana de grau 2. Esta cônica pode ser irredutível ou degenerar em um par de retas que se cortam. Provemos agora que existem exatamente 5 planos Π i distintos, que intersectados com S produzem uma cônica degenerada (os pares de retas L i L i). De fato, podemos supor que L vem dada pelas equações z = t = 0, então o plano Π passando por L tem uma equação da forma µz + λt = 0 com (µ, λ) (0, 0). Assim se µ 0, então Π pode-se escrever pela equação z = γt com λ µ = γ. Assim F Π = t Q(x, y, t) onde t corresponde à reta L e Q à cônica. Por outro lado, agrupando termos podemos escrever F como F = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + H com A, B e C formas lineares, D e E formas quadráticas e H forma cúbica, todas em k[z, t]. Restringindo ao plano Π e observando que A, B, C, D, E e H são homogêneos, a equação: Q(x, y, t) = A(γ, 1)x 2 + 2B(γ, 1)xy + + 2E(γ, 1)ty + Ht 2 = 0 define uma cônica plana que varia com γ (ou seja com ou seja com o plano Π). Portanto, o plano Π produz uma cônica degenerada se, e só se, a matriz simétrica associada a Q não tem posto máximo, isto é (z, t) = det A B D B C E D E H = 0. Mas é um polinômio homogêneo de grau 5 em duas variáveis, e portanto o número de suas raízes contadas com multiplicidade é 5. Além disso não tem raízes múltiplas: isto se segue do fato de que S é suave, como no Lema 2.5. Isto termina a prova de (a). Tendo este resultado vemos que (b) é verdadeiro. De fato, suponha o contrário, isto é, dado L i Π i S, intersecta alguma reta L j Π j S com i j. Seja P = L i L j Π i Π j = L. Então por este ponto P passariam três retas de S não coplanares, o qual é uma contradição com o Lema 2.5. Note que a Proposição 2.6 nos garante a existência de duas retas disjuntas contidas em cada cúbica suave. Para exemplificar como a configuração das retas influencia a geometria da superfície, observamos que daí decorre o

22 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 17 Corolário 2.7. Toda superfície cúbica suave de P 3 é racional. Demonstração. ([Sh77, Example 2,p. 39]) Tome L, M S duas retas disjuntas e Π um plano que não contenha nenhuma delas. Dado p S \ (L M), existe uma única reta l passando por p e intersectando L e M. Então p l Π define um mapa biracional S Π. Lema 2.8. Dada uma reta L S e os 5 pares de retas de S que a cortam, qualquer outra reta de S corta a uma reta de cada par e não à outra. Demonstração. Seja N S uma reta distinta de L e dos 5 pares de retas de S que cortam a L (L i, L i Π i ). Desde que uma reta e um plano tem dimensão complementar em P 3, temos que N Π i ou N corta a Π i em um único ponto P S. Se N Π i, então Π i S consiste em quatro retas distintas, o qual contradiz o Teorema de Bézout. Por outro lado, se N corta Π i num ponto P, então como Π i S = L L i L i, o ponto P esta em alguma das três retas. P não esta em L desde que nesse caso N deve ser L i ou L i para algum i, o qual contradiz o enunciado do lema. Então N corta a L i ou L i em P. Se corta as duas, deve ser no ponto de interseção P = L i L i, mais então a existência de P contradiz o Lema (2.5), desde que por tal ponto passam três retas de S não coplanares N, L i, L i. Logo N corta a uma reta de cada par mas não a outra. Proposição 2.9. Dadas duas retas L, M S disjuntas, existem exatamente outras quinze retas distintas de S (L i, L i, L i ), i = 1,..., 5, com a seguinte configuração: Os cinco pares (L i, L i) são as dez retas de S que cortam a L. Os cinco pares (L i, L i ) são as dez retas de S que cortam a M. L j L i se i j e L j L i = se i = j. Demonstração. Dadas L e M retas disjuntas de S, como na Proposição (2.6), a L correspondem cinco pares (L i, L i) de retas distintas de S que a cortam, e além disso, pelo Lema (2.8), a reta M (distinta das onze anteriores por ser disjunta com L) corta a uma reta de cada par e não a outra. Suponhamos que M corta a todas as L i. Aplicando a Proposição (2.6) existem exatamente outras cinco retas L i, tais que os cinco pares de retas de S que cortam a M são as (L i, L i ), i = 1,..., 5, com a mesma configuração dada pela mesma proposição. Provemos que as retas L i são distintas das doze retas anteriores. De fato, são distintas de L já que cortam a M (L M = ); são distintas de M e de L j, j = 1,..., 5, pela Proposição (2.6), e finalmente são distintas de las L j j = 1,..., 5, desde que se não M intersecta as duas retas de algum par (L j, L j), em contradição com o Lema (2.8). Por outro lado L j L i se i j, desde que pelo Lema (2.5), L i deve cortar alguma das retas L, L j, L j (intersecta Π j num ponto de S e Π j S = L L j L j); e L j L i =

23 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 18 Figura 2.3: Configuração das dezessete retas se i j e L L i (tudo isto pela Proposição (2.6)). Por outro lado L i L i = desde que L i já corta a L i e não pode cortar a outro membro do par (L i, L i), pelo Lema (2.8). Assim que tendo duas retas disjuntas contidas em S, tem-se outras quinze com a configuração particular dada na Proposição (2.9). Lema Se L 1, L 2, L 3, L 4 são retas disjuntas de P 3, então Ou as quatro retas estão contidas numa quádrica suave de P 3 infinitas retas transversais comuns, e então elas tem Ou não tem nenhuma quádrica que as contenha e então possuem uma ou dois transversais comuns. Demonstração. Dadas três retas disjuntas de P 3, digamos L 1, L 2, L 3, provemos que existe uma quádrica não-singular Q que as contém. De fato, tome três pontos distintos em cada reta L i, i = 1, 2, 3, em total nove pontos. O fato de conter um ponto de P 3 nos dá uma condição linear no espaço P 9 de quádricas de P 3. Então se consideramos as quádricas que contém os nove pontos anteriores, o que temos é a interseção de nove hiperplanos gerais no nosso P 9, que consiste em um único ponto. Portanto existe uma quádrica que contém os três pontos de cada L i e que automaticamente contém cada L i : pelo Teorema de Bézout, uma reta fora de uma quádrica a intersecta em no máximo em dois pontos. Por outro lado, uma quádrica singular de P 3 não pode conter três retas disjuntas: como vimos no Exemplo 2.3, as quádricas singulares são o cone quádrico, um par de planos ou um plano duplo. Portanto Q é suave. Como também vimos no Exemplo 2.3, Q é isomorfa a P 1 P 1 via o mergulho de Segre. Via este isomorfismo, obtemos: Q é uma superfície regrada, com duas famílias infinitas de retas; Por cada ponto de Q passa exatamente uma reta de cada família; Duas retas de uma mesma família são disjuntas;

24 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 19 Uma reta de uma família corta um membro qualquer da outra em exatamente um ponto. Figura 2.4: A quádrica suave de P 3. Agora, ou L 4 Q, e então L 4 pertence a mesma família de retas de Q definida por L 1, L 2, L 3 (por ser disjuntas delas) e qualquer outra reta da outra coleção é transversal as quatro retas L i, donde existem infinitas transversais comuns; ou bem L 4 Q, e portanto corta a Q em dois pontos (que poderiam coincidir quando a reta é tangente à quádrica). Neste caso, as retas da outra família que passam por estes pontos são as únicas transversais comuns a quatro retas dadas. Faltam ainda 10 retas, que aparecerão agora! Proposição Sejam L, M {L i } 5 i=1, {L i} 5 i=1 e {L i } 5 i=1, as dezessete retas de S dadas pela Proposição (2.9). (a) Se N S é uma reta de S distinta das dezessete retas anteriores, então N corta exatamente a três retas do conjunto {L i } 5 i=1. (b) Para cada escolha de três elementos {i, j, k} do conjunto {1,..., 5} tem uma única reta de S, (L ijk ), distinta das dezessete retas anteriores, que corta exatamente a L i, L j, e a L k. Demonstração. (a) Pela Proposição (2.6), temos que as retas {L i } 5 i=1 são disjuntas entre sim. Dadas quatro retas disjuntas de S, o Lema (2.10) implica que as quatro retas não podem estar contida numa quádrica lisa, pois pelo contrário teriam infinitas retas transversais comuns. Pelo Teorema de Bézout estas retas devem estar contidas na superfície cúbica S, desde que a cortam em mais de três pontos, então S deverá conter a quádrica e portanto não

25 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 20 seria irredutível, contradizendo nossa hipóteses. Assim as quatro retas disjuntas tem uma ou duas transversais comuns. Agora se N cortasse mais de três retas L i, de novo pelo Lema 2.10, estas retas disjuntas teriam mais de dois transversais em comum: N, L, M, e chegamos a uma contradição. Se N corta menos de três retas L i, então cortaria a três ou mais das L i (pelo Lema (2.8)). Se por exemplo N intersecta L 5 e a L 1, L 2, L 3 (e a L 4 ou L 4), estas quatro retas de S que são disjuntas pela Proposição (2.6), possuem mais de duas transversais comuns: N, L e L 5, o que de novo é impossível. Portanto N corta exatamente três retas do conjunto {L i } 5 i=1. (b) Consideremos a reta L 1 S. Pela Proposição (2.6), tem exatamente dez retas distintas de S que a cortam. Destas dez até agora temos quatro: L,M, L 1 e L i. Cada uma das seis retas faltantes (que pelas configurações dadas nas proposições (2.6) e (2.9), não podem ser nenhuma das doze retas restantes no conjunto {L, M, {L i } 5 i=1, {L i} 5 i=1, {L i } 5 i=1}), corta exatamente a um par de retas entre L 2,..., L 5,(por (a)). Como existem seis dos ditos pares, todas as possibilidades acontecem e isto nos dá uma única reta L 1jk, para cada {j, k} entre {2, 3, 4, 5}, nas condições do item (b). O argumento com L 1 repete-se com o resto das retas L i e isto termina a prova. Este último resultado nos fornece, a partir da configuração das dezessete retas que se obtém da Proposição (2.9), exatamente outras dez retas de S (uma por cada subconjunto de três elementos tomados de um com cinco elementos) provando assim que não pode ter mais. Com as três proposições, provamos o célebre resultado: Teorema Toda superfície cúbica não singular em P 3 contém exatamente 27 retas. Com a notação usada, as retas são as seguintes: ou seja, {L, M, {L i } 5 i=1, {L i} 5 i=1, {L i } 5 i=1, L ijk } = 27. Em resumo, obtemos a seguinte configuração das 27 retas: L corta a {L i } 5 i=1, {L i} 5 i=1. L 1 corta L, M, L 1 e q L ijk, para as seis possíveis escolhas {j, k} {2, 3, 4, 5}. L 1 corta a L, L 1, as quatro retas {L j } 5 j=2 e a L ijk para as quatro escolhas possíveis {i, j, k} {2, 3, 4, 5}. L i corta a M, L 1, as quatro retas {L j} 5 j=2 e a L ijk para as quatro escolhas possíveis {i, j, k} {2, 3, 4, 5}.

26 CAPÍTULO 2. RETAS EM SUPERFÍCIES CÚBICAS 21 L 123 corta a L 1, L 2, L 3, L 145, L 245, L 345, L 4, L 5, L 4, L 5. Mais propriedades sobre as configurações dessas retas e superfícies cúbicas de maneira geral podem ser obtidas, por exemplo, em [Hart77, V.4, p. 395] ou na dissertação de mestrado de Cleber Haubrichs [Haub01], bem como nas referências ali contidas.

27 Capítulo 3 Retas em superfícies 3.1 Superfícies da Forma φ(x, y) = ψ(z, t) Nesta seção estudaremos o método encontrado no artigo de S. Boissière e A. Sarti [BS07], que fazem um estudo para produzir superfícies com muitas retas. Em geral é difícil construir superfícies não singulares contendo retas. Um dos casos mais bem sucedidos são as superfícies suaves dadas por equações da forma: F (x, y, z, t) = φ(x, y) ψ(z, t) = 0 onde φ e ψ são polinômios homogêneos de grau d. Segre [Seg47] dá uma completa descrição no caso d = 4, mostrando que nesse caso os possíveis números de retas são 16, 32, 48 e 64. Estes números são determinados estudando-se automorfismos de P 1 entre os conjuntos de quatro pontos dos φ e ψ. Ilustremos isto com o seguinte exemplo. Exemplo. (A quártica de Schur) Consideremos a superfície quártica S P 3, definida em termos das coordenadas homogêneas [X, Y, Z, W ] sobre P 3, pela equação X(X 3 Y 3 ) = Z(Z 3 W 3 ). Esta superfície contém exatamente 64 retas. De fato, sejam L e M, as duas retas em P 3 dadas por Z = W = 0, e X = Y = 0 respectivamente, onde L intersecta S nos quatro pontos p 1 = [0 : 1 : 0 : 0], p 2 = [1 : 1 : 0 : 0] p 3 = [1 : ω : 0 : 0], p 4 = [1 : ω 2 : 0 : 0] sendo ω a raiz cúbica da unidade; e igualmente M intersecta S nos quatro pontos q 1 = [0 : 0 : 0 : 1], q 2 = [0 : 0 : 1 : 1] q 3 = [0 : 0 : 1 : ω], q 4 = [0 : 0 : 1 : ω 2 ]. Observamos que S contém as 16 retas L i,j = p i q j, para 1 i, j j. A figura (2.4), representa tais retas, as quais chamaremos do tipo I. 22

28 CAPÍTULO 3. RETAS EM SUPERFÍCIES 23 Figura 3.1: Configuração das 16 retas Agora observamos que os pontos p i L formam uma configuração de 4 pontos sobre P 1 com o maior número possível de simetrias, e também para os pontos q i M. Com efeito, para qualquer permutação par σ A 4 do conjunto {1, 2, 3, 4}, existe um único isomorfismo ϕ σ : L M entre as duas retas, levando o ponto p i para o ponto q σ(i) para i = 1, 2, 3, 4. A superfície Q σ = p L p, ϕ σ (p) dada como a união da retas em P 3 unindo os pontos de L para suas respectivas imagens em M pelo ϕ σ, sendo esta uma superfície quádrica suave. A interseção com S contém as quatro retas L i,σ(i), i = 1, 2, 3, 4 todas as quais pertencem a uma relação de Q σ ; a interseção com S portanto consiste desses quatro retas e quatro retas adicionais da segunda relação de Q σ, ( isto é, a relação incluindo as retas L e M). As quatro retas são distintas desde que as duas superfícies Q σ e S tem diferentes graus. Denotando tais retas como M σ,i, i = 1, 2, 3, 4, e chamemos tais retas do tipo II. Note que as quatro retas são distintas das 16 retas L i,j (elas são oblíquas a L e M, com as L i,j não o são), e que nenhuma das quatro retas pode estar sobre uma segunda quádrica Q σ (a interseção de qualquer duas quádricas Q σ e Q σ consiste da duas retas L e M e duas retas da primeira relação ). Desde que existem 12 permutações ϕ, chegamos assim a 48 retas {M σ,i } distintas todas elas e das retas L i,j, obtemos em total 64 retas contidas em S. De fato, essas são todas as retas de S, como demonstraremos mais adiante. Agora generalizaremos o método para todos os graus, entrando em detalhe na configuração de tais retas, dando uma descrição de todos os possíveis números, e concluímos determinando o número maximal de retas para tais superfícies. Sejam Z(φ) e Z(ψ) respectivamente o conjunto de zeros de φ(x, y) e ψ(z, t) em P 1.

29 CAPÍTULO 3. RETAS EM SUPERFÍCIES 24 Teorema 3.1. Seja F (x, y, z, t) = φ(x, y) ψ(z, t) a equação de uma superfície suave S de grau d em P 3. Então o número N d de retas sobre S é exatamente: N d = d(d + α d ) onde α d é o ordem do grupo de isomorfismos de P 1 que mapeia Z(φ) para Z(ψ). Demonstração. Sejam as retas L : {z = t = 0} e L : {x = y = 0}. Então vemos que, S L = Z(φ) e S L = Z(ψ). Afirmação 1. Desde que a superfície S é suave, os polinômios homogêneos φ e ψ tem zeros simples. De fato, por exemplo para o polinômio φ, se [a, b] P 1 é tal que φ pode ser fatorizado por (bx ay) 2, então x φ(a, b) = y φ(a, b) = 0, e o ponto [a : b : 0 : 0] P 1 é um ponto singular de S (de igual forma para ψ). Reciprocamente, é obvio que se φ e ψ tem só zeros simples, então S é suave. Agora consideremos os conjuntos Z(φ) = {P 1, P 2,..., P d }, Z(ψ) = {P 1, P 2,..., P d }. Afirmação 2. Cada reta L i,j unindo o ponto P i para P j esta contido em S. De fato, se P i = [x i : y i : 0 : 0] e P j = [0 : 0 : z j : t j], a reta L i,j unindo eles, consiste dos pontos [λx i : λy i : µz j : µt j] com [λ : µ] P 1, onde vemos que estão contidas na superfície desde que os polinômios φ e ψ são homogêneos. Assim encontramos d 2 retas contidas em S. Afirmação 3. Cada reta contida em S interceptando L e L é uma destas retas. De fato, Se D é tal reta, temos os conjuntos D L = {[a : b : 0 : 0]} e D L = {[0 : 0 : c : d]}, então F (a, b, 0, 0) = φ(a, b) = 0, assim [a : b : 0 : 0] é um dos pontos P i e similarmente obtém-se que [0 : 0 : c : d] é um dos P j. Afirmação 4. Seja D uma reta contida em S e não interceptando L, então D não intersecta a L (e vice-versa). De fato, a equação de tal reta D é dada por dois equações independentes: { ax + by + cz + dt = 0 a x + b y + c z + d t = 0 Desde que D não intersecta L, o sistema { ax + by = 0 a x + b y = 0 tem posto dois, assim podemos escrever as equações de D como as seguintes equações independentes { x = αz + βt y = γz + δt ( α β Então D não intersecta L, do contrario a matriz γ δ uma contradição. ), teria posto um, e seria

30 CAPÍTULO 3. RETAS EM SUPERFÍCIES 25 Afirmação 5. As equações da reta D definem um isomorfismo linear entre as retas L e L, induzindo uma bijeção entre Z(ψ) e Z(φ). De fato, sendo P j = [0 : 0 : c : d], então a := αc + βd e b := γc + δd, tem a propriedade que [a : b : c; d] D S, assim ψ(a, b) = F (a, b, c, d)+φ(c, d) = 0, desde que [a : b : 0 : 0] é um zero de ψ. Reciprocamente, seja σ : L L um isomorfismo mapeando os pontos P j para os ( ) α β pontos P i, e a matriz definindo σ. Consideremos a superfície quádrica suave γ δ Q σ : x(γz + δt) y(αz + βt) que vem dada pela união dos pontos de L e L. A primeira relação é a familia de retas (p, σ(p)) com p L. Para p = [c : d], essas retas são dadas pelas equações I [c:d] := { (γc + δd)x (αc + βd)y = 0 dz ct = 0 A segunda relação consiste na familia de retas dadas pelas equações II [a:b] := { ax b(αz + βt) = 0 ay b(γz + δt) = 0 para [a : b] P 1. Estas relações pertencem as retas L([a : b] = [0 : 1]), L ([a : b] = [1 : 0]) e D([a : b] = [1 : 1]) Em cada relação, as retas são disjuntas uma da outra, e cada reta de uma relação intersecta cada reta da outra relação. Por outro lado, desde que a interseção S Q contém exatamente as d retas diferentes (P j, σ(p j)) da primeira relação, esta também contém d retas da segunda relação. De fato, consideremos uma reta da primeira relação que não esta contida em S, então esta intersecta S em d pontos, e por cada um desses pontos passa uma reta da segunda relação, que também intersecta as d retas da primeira relação contidas em S, assim essas retas da segunda relação intersecta S em d + 1 pontos. Logo, pelo Teorema de Bézout, estão contidas em S. Mais por este argumento não é claro que estas d retas sejam diferentes, para isto, denotemos U d o grupo das d-ésima raízes da unidade. O grupo U d U d atua sobre P 3 como segue (ξ.η) [x : y : z : t] = [ξx : ξy : ηz : ηt] onde vemos que esta ação de grupo deixa globalmente invariante a superfície S desde que os polinômios φ e ψ são homogêneos de grau d. Por outro lado observamos que as retas da primeira relação são invariantes por esta ação, mais para a segunda relação, tem-se que (ξ, η) II [a:b] = II [ξ 1 a:η 1 b]