1 Módulo: Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões chamadas fatores. Existem vários casos de fatoração como: Fator comum em evidência: quando os termos apresentam fatores comuns ax + ay a.(x + y) Fatoração por agrupamento: consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum ax + ay + bx + by a.(x + y)+b.(x + y) (x + y).(a + b) Fatoração por diferença de quadrados: consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado a 2 9(a +3).(a 3) Fatoraçãodotrinômioquadradoperfeito: o trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. Por exemplo os trinômios (a 2 +2ab + b 2 )e(a 2 2ab + b 2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a + b) e(a b) ao quadrado respectivamente. Outros casos de fatoração: (a + b) 2 a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 a 2 2ab + b 2 1.1 Exemplos (a + b) 3 a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 (a b) 3 a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 a 3 + b 3 (a + b).(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 (a b).(a 2 + ab + b 2 ) 1) 2a 2 4ab 2a(a 2b) 2) a 2 3a + ba 3b a(a 3) + b(a 3) (a 3)(a + b) 3) a 3 b ab 3 ab(a 2 b 2 )ab(a + b)(a b) 4) a 2 10a +25(a 5) 2 1
1.2 Exercícios 1) Fatore os seguintes termos a) 12ba 2 c +24bac 2 12b 2 ac : b) 2b 2 + ab 2 +2c 3 + ac 3 c) 16a 2 1 d) 1 16a 4 e) 25a 2 9 f) 144a 2 1 g) 16a 2 +24ab +9b 2 h) 3a 2 +6a +3 i) 25a 4 100b 2 j) a 2 4ab +4b 2 k) 2a 2 +4a +2 l) ba 3 +2b 2 a 2 + b 3 a 1.3 Gabarito a) 12bac(a +2c b) b) b 2 (2 + a)+c 3 (2 + a) (2+a)(b 2 + c 3 ) c) (4a +1)(4a 1) d) (1 + 4a 2 )(1 4a 2 )(1+4a 2 )(1 + 2a)(1 2a) e) (5a 3)(5a +3) f) (12a 1)(12a +1) g) (4a +3b) 2 h) 3(a 2 +2a +1)3(a +1) 2 i) 25(a 4 4b 2 ) 25(a 2 +2b)(a 2 2b) j) (a 2b) 2 k) ( 2a + 2) 2 2(a +1) 2 l) ba(a 2 +2ba + b 2 )ba(a + b) 2 2 Módulo: Equação da Reta Consideremos um plano e duas retas perpendiculares sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P 0 (x 0 y 0 ) onde x 0 será aabscissadopontop 0 e y 0 aordenadadopontop 0. Fig2.1 DadosdoispontosP 1 (x 1 y 1 ) e P 2 (x 2 y 2 ) no plano cartesiano existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes: ocoeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta. 2
Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P 1 (x 1 y 1 ) e P 2 (x 2 y 2 )comx 1 6 x 2 ocoeficiente angular m da reta que passa por estes pontos é o número real m y 2 y 1 x 2 x 1 Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. Fig2.2 Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) k do ponto (0k) ondearetacortaoeixodasordenadas. Fig2.3 Dadoocoeficiente angular m eocoeficiente linear k de uma reta então podemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por: y mx + k Equação fundamental da reta: Conhecendo um ponto P 0 (x 0 y 0 ) de umaretaeseucoeficiente angular m obtemos a equação fundamental da reta: y y 0 m(x x 0 ) De fato dado um ponto genérico da Reta P (x y) distintodep 0 : Teremos: Fig2.4 m y y 0 y y 0 m(x x 0 ) x x 0 Equação geral da reta: Todaretanoplanocartesianopodeserescrita pela sua equação geral: ax + by + c 0 com a e b reais e não nulos simultaneamente e o coeficiente angular é dado por m a b eocoeficiente linear é dado por k c b pois multiplicando a equação geral pelo termo 1 b obtém-se: a b x + b b y + c a 0 y b b x c b. 3
2.1 Exemplos Retas horizontais e verticais: Seumaretaéverticalelanãopossuicoeficiente linear e coeficiente angular. Assim a reta é indicada apenas por x a a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX. Se uma reta é horizontal o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y b ordenadado pontoondeestáretacortaoeixooy. Fig2.5 Retas paralelas e perpendiculares: Se duas retas são paralelas seus coeficientes angulares são iguais.; se duas retas são perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares é igual a 1. 2.2 Exercícios 1)DadosospontosA(1 3) e B(b 2b) encontreb tal que o coeficiente angular da reta que passa por estes pontos tenha valor igual à 1. a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) n.d.a 2) Ache a equação da reta que passa pelo ponto A(00) e possui coeficiente angular 1. a) y + x +10 b) y x +10 c) y + x 0 d) y x 0 e) n.d.a 3)Ache os coeficientes angulares das seguintes retas: 3x 4y +2 e 6x 8y 3: a) 3 4 3 4 b) 3 4 1 2 c) 1 2 3 4 d) 1 2 1 2 e) n.d.a 4) Encontre o ponto de intersecção entre as retas: x + y 2 e x y 4 a) ( 1 3) b) (3 3) c) (3 1) d) ( 1 1) e) n.d.a 4
5) A equação da reta que passa pelos pontos A(2 3) e B(1 5) a) y +2x 70 b) -y +2x 70 c) -y 2x +70 d) y 2x +70 e) n.d.a 6) Ache o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta y x 2 +2 a) 2 b) 0 c) 2 d) 1 2 e) n.d.a 7) Sejam as equações das retas r : y 2x +3e s :3x y 2 então: a) r e s são paralelas b) r e s são perpendiculares c) r e s se interceptam na origem d)r e s se interceptam no ponto ( 1 5) e) n.d.a 8) Dada a equação da reta r : x + y 10easafirmações: I) o ponto (1 1) pertence a r II)aretapassanaorigem III) o coeficiente angular de r é -1 IV) r intercepta a reta s : x y 20no ponto ( 3 2 1 2 ) a) apenas I é verdadeira b) apenas III é verdadeira c) apenas III e IV são verdadeira d) apenas I é falsa e) n.d.a 2.3 Gabarito 1) d 2) d 3) a 4) c 5) a ou c 6) c 7) d 8) c 5
3 Módulo: Equação da Parábola A equação do segundo grau : y ax 2 + bx + c onde a b e c são constantes reais com a 6 0.Ográfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola. O sinal do coeficiente a indica a concavidade da parábola: se a>0 entãoaconcavidadeestarávoltadaparacimaesea<0 estará voltada para baixo. Fig3.1 A intersecção da parábola com o eixo OY é obtida fazendo-se x 0: x 0 y a.0 2 + b.0+c c portanto o ponto P (0c) é o ponto de intersecção da parábola com o eixo OY. Os eventuais pontos de intersecção da parábola com o eixo OX são obtidos fazendo y 0ouseja: ax 2 + bx + c 0. Para encontrarmos a solução do problema acima devemos completar o trinômio ax 2 + bx + c de modo a fatorá-lo num quadrado perfeito. Inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a e em seguida somamos b 2 aos dois lados da igualdade: fatorando o lado esquerdo obtemos: 4a 2 x 2 +4abx +4ac + b 2 b 2 4a 2 x 2 +4abx + b 2 b 2 4ac (2ax + b) 2 b 2 4ac 2ax + b ± p b 2 4ac x 1 b + b 2 4ac 2a x 2 b b 2 4ac. 2a Os valores de x que resolvem a equação do segundo grau são denominados raízes da equação. O termo b 2 4ac é chamado de (delta) e o número de raízes da equação dependerá do valor de. Se > 0 a equação possui duas raízes reais distintas e a parábola interceptará o eixo OX em dois pontos distintos; se 6
0 a equação possui uma única raiz real e a parábola interceptará o eixo OX num único ponto; se < 0 a equação não possui raízes reais e a parábola nãointerceptaráoeixoox: Fig3.2 Relações entre coeficientes e raízes Dado a equação ax 2 + bx + c 0coma 6 0e 0 a soma de suas raízes será: S x 1 + x 2 b + 2a e o produto das raízes será: + b 2a b a P x 1.x 2 ( b + 2a ).( b ) b2 2a 4a 2 b2 (b 2 4ac) 4a 2 c a. Dado os resultados acima podemos obter o seguinte resultado: ax 2 + bx + c x 2 + b a x + c a x2 Sx + P 0 Observação: Se < 0 a equação não possui raízes reais entretanto ela possuirá raízes complexas ou imaginárias. Somente um número positivo pode ter uma raiz quadrada com valor real. No entanto conceitualmente pode-se definir um número i 1 tal que quando elevado ao quadrado é igual a 1. Consequentemente pode-se obter por exemplo 9 p 3 2 ( 1) 3i. Quando < 0 b 2 < 4ac então podemos reescrever b 2 4ac p (4ac b 2 )( 1) 4ac b 2 1( 4ac b 2 )i portanto: 3.1 Exemplos x 1 b +( 4ac b 2 )i 2a x 2 b ( 4ac b 2 )i. 2a a) y 3x 2 7x +2a3b 7 e c 2 b 2 4ac ( 7) 2 4.3.2 49 24 25 > 0 então: x 1 x 2 b ± 2a x 1 7+5 6 ( 7) ± 25 2.3 2; x 2 7 5 6 b) y x 2 + x +4a1b1e c 4 7 ± 5 6 2 6 1 3. 7
b 2 4ac 1 4.1.4 15 < 0 então: x 1 x 2 b ± 2a 1 ± 15 2 1 ± 15i. 2 3.2 Exercícios 1) Determine as raízes das seguintes equações: a) x 2 3x +20 b) 2y 2 14y +120 c) -x 2 +7x 10 0 d) y 2 25 0 e) x 2 1 4 0 f) 5x 2 10x 0 g) 5+x 2 9 h) 7x 2 3x 4x + x 2 i) z 2 8z +120 2) Determine o valor de k nas equações de modo que: a) x 2 12x + k 0 tenha duas raízes reais e iguais b) 2x 2 6x 3k 0 não tenha raízes reais c) x 2 + kx +40 tenha raízes reais e iguais d) kx 2 2(k +1)x + k 50 tenha duas raízes reais e iguais 3) Determine as raízes das seguintes equações: a) x 2 3x +90 b) x 2 +4x +130 c) 2x 2 + x +80 3.3 Gabarito 1) a) 2 e 1 b) 1 e 6 c) 5 e 2 d) -5 e 5 e) 1 2 e 1 2 f) 0 e 2 g) -2 e 2 h) 0 e 7 6 i) 2 e 6 2) a) k 36 b) k< 3 2 c) k ±4 8
d) k 1 7 3)a) 3± 27i 2 b) 2 ± 3i c) 1± 63i 4 4 Módulo: Função Dados dos conjuntos numéricos A e B umarelação entre esses conjuntos é dada por meio dos pares ordenados dos números pertencentes a esses conjuntos. Um par ordenado de números reais pode ser representado geometricamente por meio de dois eixos perpendiculares sendo o horizontal chamado eixo das abcissas ou eixo x; e o vertical de eixo das ordenadas ou eixo y. Por exemplo sejam A {1 2 3} e B {2 3 4 5} esejaarelaçãodadapor: S {(x y) A B y x +1} neste caso para cada x há um elemento correspondente em B representado por y ouseja: graficamente: S {(1 2) (2 3) (3 4)} Fig.4.1 Dada a relação entre dois conjuntos A e B define-se três novos conjuntos: o domínio o contradomínio e a imagem da relação representados por D(S) C(S) e Im(S) respectivamente. O domínio de S é o conjunto dos elementos x A para os quais existe um y B tal que (x y) S. O contradomínio é o conjunto que contém os elementos relacionados pela relação aos elementos do domínio no exemplo o conjunto B. Uma vez que a relação pode levar a apenas um subconjunto de elementos do contradomínio define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente y assume. A imagem de S é o conjunto dos y B para os quais existe um x A tal que (x y) S. Pela definição D(S) é um subconjunto de A C(S) e Im(S) são subconjuntos de B. No exemplo anterior: D(S) {1 2 3} C(S) {2 3 4 5} Im(S) {2 3 4}. Uma relação entre dois conjuntos A e B é chamada de uma função de A em B seesomentese: 9
a)todo o elemento x A tem um correspondente y B definido pela relação chamado imagem de x b) para cada elemento x A não podem corresponder dois ou mais elementos de B. Dado o exemplo anterior verifica-se que a relação S é uma função. Neste caso utiliza-se a seguinte notação: f : {1 2 3} {2 3 4} f(x) x +1. Exemplo: seja a função f(x) x 2 sendo o domínio o conjunto A {1 2 3...}. Neste exemplo o conjunto imagem é Im {1 4 9...}. Se A R o conjunto imagem é Im R +. Denomina-se função injetora (ou injetiva) uma função em que cada elementodocontradomínioestáassociadoaapenasumelementododomínioisto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e do contradomínio. Isto é quando x 1 6 x 2 no domínio então f(x 1 ) 6 f(x 2 ) no contradomínio. Funções sobrejetora (ou sobrejetiva) é uma função em que todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Uma função é chamada bijetora (ou bijetiva) se for sobrejetora e injetora istoé setodos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio deformaumparaumeexclusiva. Fig.4.2 Tipos de funções: a) função constante: é toda função do tipo f(x) a 0 emquea 0 éuma constante real. O gráfico desta função é uma reta horizontal passando pelo ponto de ordenada a 0 ; b) função do primeiro grau: uma função é chamada do primeiro grau (ou afim) se f(x) a 0 + a 1 x.ográfico desta função é uma reta; c) função do segundo grau(quadrática): é toda função do tipo f(x) a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Ográfico desta função é uma curva plana denominada parábola; d) função polinomial: uma função é chamada polinomial se f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n. Dependendo do valor de n (que especifica a maior potência de x) têm-se várias subclasses de funções polinômias: n 0:f(x) a 0 n 1:f(x) a 0 + a 1 x n 2:f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 n 3:f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Fig.4.3 e) função módulo: sejaf(x) x então: ½ xsex 0 f(x) x sex<0 10
Fig.4.4 f) função racional: é toda função cuja imagem é o quociente de duas funções polinomiais. Exemplos: f(x) 1 x f(x) x +1 x 1 Fig.4.5 g) função potência: étodafunçãodaformaf(x) x n. Exemplos: f(x) x 3 f(x) x 1 1 x f(x) x 1 2 x Fig.4.6 4.1 Exercícios Determine o domínio e a imagem da função dada e esboce o gráfico: 1) f(x) 3x +1 2) f(x) x 2 +2 3) f(x) 3x 2 6 4) f(x) 5 x 2 5) f(x) x +1 6) f(x) x 3 x 1 7) f(x) x 3 8) f(x) 4x2 1 ½2x+1 x 9) f(x) 2 4 se x<3 2x 1 se x 3 4.2 Gabarito Aula 11
5 Módulo:Logaritmo e Exponencial A potência a n define-se como o produto de fatores iguais: n a n z } { a.a...a Ao número a fator que se repete chama-se base; ao número n chama-se expoente; ao resultado chama-se potência. Exemplo: Propriedades: 1) unicidade: 2) multiplicativa: 3) distributiva 4) outras: 2 3 3 z} { 2.2.2 8. a b n m a n b m a n.a m a n+m (a.b) n a n.b n (a m ) n a mn a n 1 a n a n m m a n 1 n 1 0 n 0 a 0 1 em que a última propriedade decorre da seguinte observação: a 0.a n a 0+n a n então a 0 1. A logaritmação é a operação por meio do qual dado um número a eum número 0 <b6 1 se determina um terceiro número n log b a tal que seja a b n. Portanto o logaritmo de um número a na base b existe se a éuma potência de base b. Exemplo: 12
log 2 83 2 3 8. Propriedades: 1) unicidade: a a 0 b b 0 log b a log b 0 a 0 2) outras: log b (a.c) log b a +log b c log b ( a c ) log b a log b c log b (a n ) n log b a log a a 1. Pode-se mudar a base do logaritmo. por exemplo tem-se o logaritmo de a na base b e deseja-se obter o logaritmo numa base c nestecasoutiliza-sea seguinte fórmula: n log b a log c a log c b pois a b n o que implica que log c a log c b n n log c b n log c a log c b. Exemplo: log 4 16 log 2 16 log 2 4 4 2 2. Existe um importante número real e 2 71828...(atribuído a Euler) que representa a base para os logaritmos naturais e define-se: Exemplo: log e a lna. ln e 1 e 1 e. Considere a função y a x denominada função exponencial onde a base 0 <a6 1definida para todo x real. Observe que nestas condições a x éum número positivo para todo x R onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+ poderemos escrever a função exponencial como segue: f : R R+y a x 0 <a6 1 Esta função é bijetora pois: a) é injetora ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas b) é sobrejetora pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio. Assim sendo a função exponencial é bijetora e portanto é uma função inversível ou seja admite uma função inversa: 13
x a y y log a x 0 <a6 1. Portanto a função logarítmica é então: f : R+ R y log a x 0 <a6 1. Aseguirosgráficos das funções exponencial e da logarítmica são apresentados para os casos a>1 e 0 <a<1: Fig5.1 Observe que sendo as funções inversas os seus gráficos são curvas simétricas em relação à reta y x. Observe também que para o caso de a>1 as funções exponencial e logarítmica são crescentes e para o outro caso 0 <a<1 elassão decrescentes. Se a e 2 71828.. tem-seafunção logarítmica natural ln x esua inversa é a função exponencial e x. 5.1 Exercícios Para as funções abaixo encontre o domínio a imagem e faça um esboço do gráfico 1) f(x) 2 x 2) f(x) log 2 x 3) f(x) e x 4) f(x) lnx 5.2 Gabarito Aula 6 Modulo:Matriz Chama-se de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais (ou linhas) e verticais (ou colunas). Se a tabela tiver n linhas e m colunas então a matriz vai ter ordem n m (lê-se n por m). Exemplo de uma matriz 2 3: 1 0 4 3 2 1 Indica-se uma matriz por uma letra maiúscula do alfabeto e cada elemento desta matriz é representado por uma letra minúscula e esta possui dois índices: o primeiro indicando a linha e o segundo a coluna à qual pertence o elemento.. 14
Dado o exemplo acima pode-se denominar a matriz pela letra A e os seus elementos por: a 11 1a 12 0a 13 4 a 21 3a 22 2a 23 1. No lugar dos colchetes para a representação da matriz pode-se utilizar os parênteses ou duas barras verticais de cada lado da tabela: µ 1 0 4 1 0 4 A 3 2 1 3 2 1 1 0 4 3 2 1. Tipos de matrizes: 1) matriz quadrada: uma matriz é chamada de quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas ou seja n m. Neste caso os elementos a ij tais que i j são chamados elementos da diagonal principal 2) matriz nula: uma matriz é chamada matriz nula se todos os elementos são nulos 3) matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica se os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo: 1 1 4 1 2 5 4 5 3 4) matriz diagonal: uma matriz quadrada é chamada diagonal se todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. Exemplo: 1 0 0 0 2 0 0 0 3 5) matriz identidade: uma matriz identidade de ordem n indicada por I n é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal valem 1 6) matriz transposta: sejaa uma matriz de ordem n m ondea ij éum elemento genérico dela; a transposta de A indicada por A t (A 0 )éamatrizcujo o elemento genérico dela é b ij a ji para todo i e j. Exemplo: A 1 5 4 1 1 2 1 2 5 A 0 5 2 7 2 7 3 4 5 3 Igualdade de matrizes: duas matrizes A e B são iguais se e somente se a ij b ij para todo i e j. Exemplo: 1 2 20 2 1 4 8 2 2 2 4. Operações com matrizes 15
1) Adição: dadas duas matrizes A e B de mesma ordem n m asomade A com B éumamatrizc onde cada elemento c ij a ij + b ij.exemplo: 1 0 4 2 1 1 3 1 5 + 3 2 1 0 1 3 3 1 4 Propriedades da Adição: a) Cumutativa: A + B B + A b) Associativa: (A + B)+C A +(B + C) c) Existência do elemento neutro:a + 0 A (0 é a matriz nula) d) Exitência do elemento oposto: A +( A) 0 e) (A + B) t A t + B t. 2) Subtração: dadas duas matrizes A e B de mesma ordem n m a diferença entre A e B é uma matriz C ondecadaelementoc ij a ij b ij. Exemplo: 1 0 4 3 2 1 2 1 1 0 1 3 1 1 3 3 3 2 3) Multiplicação de um escalar por matriz: dada uma matriz A eum escalar α o produto α.a é a matriz que se obtém multiplicando-se todos os elementos de A por α exemplo: 3. 1 0 4 3 2 1 3 0 12 9 6 3 4) Multiplicação de matrizes: dadas duas matrizes A e B de ordem n p e p m respectivamente com elementos genéricos a ik e b kj chama-se produto AB a matriz de ordem n m cujo o elemento genérico c ij é dado por: c ij a i1.b 1j + a i2.b 2j +...a ip.b pj ou seja o elemento c ij é obtido multiplicando-se a linha i de A pela coluna j de B ordenadamente elemento por elemento. Exemplo: 1 0 3 2 2 1. 0 1 1.2+0.0 1.1+0. 1 3.2+2.0 3.1+2. 1 2 1 6 1 neste caso a multiplicação só está definida se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Propriedades da Multiplicação: a) Associativa: (AB)C A(BC) b) Distributiva pela esquerda:a.(b + C) AB + AC c) Distributiva pela direita: (B + C).A BA + CA d) Se α é um escalar então: (αa).b A.(αB) α.(ab) e) Se A é uma matriz de ordem n m então: I n.a A e A.I m A f) (AB) t B t A t. 16
6.1 Exercícios 1) Sejam: A 1 2 3 4 1 1 2 0 0 B 0 1 1 C 1 3 2 e D 1 1 Encontre: a) A + B b) AC c) BC d) CD e) DA f) DB g) A t h) (A + B).C i) (AC) t 2) Ache x y z w tais que: x y z w 3) Seja: A 2 3 3 4 Ache o valor de x para que A A t. 2 x 2 2x 1 0 1 0 0 1 6.2 Gabarito 3 2 3 1) a)a + B 4 0 0 11 b) AC 5 2 c) BC 1 d) CD 1 1 3 3 2 2 e) DA 3 3 2 f) DB 2 1 1 g) A t 1 4 2 1 3 1 17
9 h) (A + B).C 4 i) (AC) t 11 5. x y 2 3 2) z w 3 4 então: 2x +3y 3x +4y 2z +3w 3z +4w 1 0 0 1 2 2x 1 3) A t x 2 0 equação obtém-se x 1. 3x +4y 0 x 4y 3 2x +3y 1 y 3e x 4 2z +3w 0 z 3w 2 3z +4w 1 w 2 e z 3. 2 x 2 2x 1 0 x 2 2x 1. Resolvendo a 7 Módulo: Determinante Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A a 11 a 12.. a 1n a 21 a 22.. a 2n........ a n1 a n2.. a nn então det A A é um número obtido através de combinações lineares dos coeficientes de A. Se: n 1 A a 11 n 2 A a 11 a 22 a 21 a 12 n 3 A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (Regra de Sarrus). Cofator de qualquer elemento de A édefinido como A ij ( 1) i+j M ij onde M ij é o determinante da matriz formada pelos elementos de A excluindo-se a linha i eacolunaj. Teorema de Laplace: Seja A umamatrizdeordemn 2; o determinante de A é igual a soma dos produtos dos elemntos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. 18
8 Módulo: Sistemas Lineares Um sitema linear é formado por um conjunto de equações lineares por exemplo: a 11 x 1 + a 12 x 2 +...a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +...a 2n x n b 2 Na forma matricial temos: a n1 x 1 + a n2 x 2 +...a nn x n b n Ax b Se b i 0pata todo i então o sistema é chamado homogêneo. Os sistemas lineares podem ter soluções possíveis ou impossíveis (sem solução). Os sistemas com soluções possíveis podem ter soluções determinadas ou indeterminadas. Exemplos: Caso Determinado: Caso Indeterminado: x + y 10 2y 6 Caso Impossível: x y 0 2x 2y 0 x + y 1 x + y 2 Observação: todo sistema homogêneo tem solução Regra de Cramer: Seja o seguinte sistema: ax + by m cx + dy n 19
a b Se o determinante da matriz A for diferente de zero a solução c d dos sistema é dada por: m b n d a m c n x ; y. A A 9 Módulo: Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n então se A possuir inversa definida como A 1 : A 1 A I n Para se obter a inversa de uma matriz utiliza-se a seguinte regra: A 1 (cofa)t A onde (cofa) t é a transposta da matriz de cofatores de A. 20