Eame Fial Nacioal de Matemática A Pova 635 Época Especial Esio Secdáio 07.º Ao de Escolaidade Deceto-Lei.º 39/0, de 5 de jlho Dação da Pova: 50 mitos. Toleâcia: 30 mitos. 8 Págias VERSÃO Idiqe de foma legível a vesão da pova. Utilize apeas caeta o esfeogáfica de tita azl o peta. É pemitido o so de éga, compasso, esqado, tasfeido e calcladoa gáfica. Não é pemitido o so de coeto. Risqe aqilo qe petede qe ão seja classificado. Paa cada esposta, idetifiqe o gpo e o item. Apesete as sas espostas de foma legível. Apesete apeas ma esposta paa cada item. A pova icli m fomláio. As cotações dos ites ecotam-se o fial do eciado da pova. Na esposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção coeta. Esceva, a folha de espostas, o úmeo do item e a leta qe idetifica a opção escolhida. Na esposta aos estates ites, apesete todos os cálclos qe tive de efeta e todas as jstificações ecessáias. Qado, paa m esltado, ão é pedida a apoimação, apesete sempe o valo eato. Nos temos da lei em vigo, as povas de avaliação etea são obas potegidas pelo Código do Dieito de Ato e dos Dieitos Coeos. A sa divlgação ão spime os dieitos pevistos a lei. Assim, é poibida a tilização destas povas, além do detemiado a lei o do pemitido pelo IAVE, I.P., sedo epessamete vedada a sa eploação comecial. Pova 635.V/E. Especial Págia / 8
Fomláio Geometia Compimeto de m aco de cicfeêcia: a^a-amplitde, emadiaos, doâglo ao ceto; -aioh Áea de m polígoo egla: Semipeímeto # Apótema Áea de m secto cicla: a ^a -amplitde, emadiaos, doâglo ao ceto; -aioh Pobabilidades = p + f + p v = p ] - g + f + p ^ - h Se X é N] v, g, etão: P] - v X + vg. 0, 687 P] - v X + vg. 09545, P] - 3v X + 3vg. 09973, Áea lateal de m coe: g^- aio da base; g- geatizh Regas de deivação Áea de ma spefície esféica: 4 ^ - aioh Volme de ma piâmide: # Áeadabase # Alta 3 Volme de m coe: # Áeadabase # Alta 3 Volme de ma esfea: Pogessões 4 3 ^- aioh 3 Soma dos pimeios temos de ma pogessão _ i: Pogessão aitmética: + # Pogessão geomética: # - - Tigoometia se] a+ bg= sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sea seb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i+ k l ] k!! 0,, - + e! Ng f ^+ vhl = l + vl ^vhl= v l + vl l v l = - vl ` j v v ^ hl = - l ^! Rh ^sehl = l cos ^coshl = - l se ^tg hl = ^ e hl = l e l cos ^ a hl = l a l a ^a! R ^l hl = l log a l l ^ h = l a Limites otáveis limb + l = e lim se = " 0 lim " 0 lim l ^ + h = " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - = l = 0 e p =+ 3 + ^a! R + ^! Nh ^ p! Rh ", h ", h Pova 635.V/E. Especial Págia / 8
GRUPO I. Com os algaismos 0,,, 3 e 4, qatos úmeos atais maioes do qe 0 000 e com os cico algaismos todos difeetes é possível foma? (A) 4 (B) 48 (C) 7 (D) 96. Seja X ma vaiável aleatóia com distibição omal de valo médio 0 Sabe-se qe P^0 X 5h= 04, Qal é o valo de P^X 50 X 5h? (A) 0, (B) 0, (C) 0,4 (D) 0,6 3. Seja a m úmeo eal speio a Qal é o valo de 4 + log ^5 l ah? a (A) l ^0eh (B) l ^5e 4 h (C) l ^5e h (D) l ^0eh 4. Na Figa, está epesetada, m efeecial o.. Oy, pate do gáfico de ma fção f, poliomial do teceio ga. y f Tal como a figa sgee, a fção f tem m máimo elativo paa = e tem m míimo elativo paa = A oigem do efeecial é poto de ifleão do gáfico de f O Sejam f' e f '' a pimeia e a segda deivadas da fção f, espetivamete. Qal é o cojto solção da codição f' ^h# f'' ^h $ 0? Figa (A) 6 0, @, 6, + 36 (B) @ 3, @, 60, @ (C) @ 3, 0@, 6, + 36 (D) @ 3, @, 60, + 36 Pova 635.V/E. Especial Págia 3/ 8
5. Sejam f e g das fções de domíio R, tais qe a fção f g admite ivesa. Sabe-se qe f ^3h = 4 e qe ^ f gh ^h = 3 Qal é o valo de g^3h? (A) (B) (C) 3 (D) 4 6. Cosidee, m efeecial o.. Oy, dois potos distitos, R e S Seja A o cojto dos potos P desse plao qe veificam a codição PR. PS = 0 ^PR. PS h desiga o podto escala de PR po PS h. Qal das segites afimações é vedadeia? (A) O cojto A é a mediatiz do segmeto de eta (B) O cojto A é o segmeto de eta (C) O cojto A é o tiâglo 6 ROS@ 6 RS@ (D) O cojto A é a cicfeêcia de diâmeto 6 RS@ 6 RS@ 7. Na Figa, estão epesetados, o plao compleo, ma cicfeêcia de ceto a oigem e dois diâmetos pepediclaes dessa cicfeêcia, 6 AC@ e 6 BD@ Im (z) Sabe-se qe o poto A é a imagem geomética de m ceto compleo z D C Qal é a imagem geomética do compleo i3z? O Re (z) (A) Poto A (C) Poto C (B) Poto B (D) Poto D A Figa B 8. Seja ^ h ma scessão eal em qe todos os temos são positivos. Sabe-se qe, paa todo o úmeo atal, Qal das afimações segites é vedadeia? + (A) A scessão (C) A scessão ^ h é limitada. (B) A scessão ^ h é ma pogessão aitmética. ^ h é cescete. (D) A scessão ^ h é m ifiitamete gade. Pova 635.V/E. Especial Págia 4/ 8
GRUPO II. Em C, cojto dos úmeos compleos, cosidee: z = w z z 4 = # i, com i!, D : cisi 4 Seja A= $ z! C :Re^zh0 / Im ^zh0 / z =. Jstifiqe qe o úmeo compleo w petece ao cojto A. Cosidee das caias, C e C. A caia C tem bolas, das qais cico são bacas e as estates são petas. A caia C tem sete bolas, mas bacas e otas petas... Cosidee a epeiêcia qe cosiste em etia, simltaeamete e ao acaso, das bolas da caia C, colocá-las a caia C e, em segida, etia, também ao acaso, ma bola da caia C Sejam A e B os acotecimetos: A : «As bolas etiadas da caia C têm a mesma co.» B : «A bola etiada da caia C é baca.» Sabe-se qe PB ^ A h= 3 Itepete o sigificado de PBA ^ h e idiqe, jstificado, qatas bolas bacas e qatas bolas petas eistiam iicialmete a caia C.. Cosidee agoa a caia C com a sa costitição iicial ( bolas, das qais cico são bacas e sete são petas). Retia-se, ao acaso, ma bola dessa caia, egista-se a sa co e coloca-se ovamete a bola a caia. Repete-se esta epeiêcia seis vezes. Detemie a pobabilidade de, essas seis vezes, sai bola baca, pelo meos, das vezes. Apesete o esltado a foma de dízima, aedodado às cetésimas. Se, em cálclos itemédios, pocede a aedodametos, coseve, o míimo, tês casas decimais. Pova 635.V/E. Especial Págia 5/ 8
3. Petede-se elimia m polete dilído a ága de m taqe de m viveio. Paa tal, é escoada ága po m oifício a base do taqe e, em simltâeo, é vetida o taqe ága ão polída, de tal modo qe a qatidade total de ága o taqe se matém. Admita qe a massa, p, de polete, medida em gamas, t hoas após o iício do pocesso, é, paa m ceto úmeo eal positivo k, dada po p^t h 0 e kt = ^t $ 0h Resolva os ites 3.. e 3.. ecoedo eclsivamete a métodos aalíticos. Na esolção do item 3.., pode tiliza a calcladoa paa efeta evetais cálclos méicos. 3.. Detemie o valo de k, sabedo qe, das hoas após o iício do pocesso, a massa de polete é metade da eistete ao fim de ma hoa. Apesete o esltado a foma l a, com a 3.. Admita agoa qe k = 07, Detemie a taa média de vaiação da fção p o itevalo 603, @ e itepete o esltado obtido o coteto da sitação descita. Apesete o valo da taa média de vaiação aedodado às idades. Se, em cálclos itemédios, pocede a aedodametos, coseve, o míimo, das casas decimais. 4. Seja f a fção, de domíio @, + 3 6, defiida po Z ] ] se^ h f^h = [ ] e + 4 + l ^ h \ se se = se Resolva os ites 4.. e 4.. ecoedo eclsivamete a métodos aalíticos, sem tiliza a calcladoa. 4.. Idiqe, jstificado, se a segite afimação é vedadeia o é falsa. «A fção f é cotía à esqeda o poto, mas ão é cotía à dieita esse poto.» 4.. Esceva a eqação edzida da eta tagete ao gáfico da fção f o poto de abcissa Pova 635.V/E. Especial Págia 6/ 8
4.3. O gáfico da fção f tem m úico poto de ifleão, cja abcissa petece ao itevalo @, 6 Detemie, ecoedo à calcladoa gáfica, a abcissa desse poto. Na sa esposta: epodza, m efeecial, o(s) gáfico(s) da(s) fção(ões) visalizado(s) a calcladoa qe lhe pemite(m) esolve o poblema; apesete a abcissa do poto de ifleão aedodada às cetésimas. 5. Na Figa 3, está epesetado, m efeecial o.. Oyz, m cilido de evolção de alta 3 Sabe-se qe: o poto A tem coodeadas ^0,, h e é o ceto da base ifeio do cilido, a qal está cotida o plao Oy o poto B tem coodeadas ^30,, h e petece à cicfeêcia qe delimita a base ifeio do cilido; o poto C é o ceto da base speio do cilido. z C 5.. Detemie a áea da secção podzida o cilido pelo plao de eqação = O A Figa 3 B y 5.. Detemie as coodeadas do poto de itesecção da eta BC com o plao Oz 5.3. Seja a o plao qe passa o poto A e qe é pepedicla à eta defiida pela codição = y = z. Seja P o poto desse plao de abcissa e odeada igais a Detemie a amplitde do âglo POC Apesete o esltado em gas, aedodado às idades. Se, em cálclos itemédios, pocede a aedodametos, coseve, o míimo, das casas decimais. Pova 635.V/E. Especial Págia 7/ 8
6. Na Figa 4, está epesetada, m efeecial o.. Oy, a cicfeêcia de ceto a oigem e aio Sabe-se qe: y o poto A está o segdo qadate e petece à cicfeêcia; C o poto D tem coodeadas ^0, h o poto C petece ao pimeio qadate e tem abcissa igal à do poto D o poto B petece ao eio Oy e é tal qe o segmeto de eta 6 AB@ é paalelo ao eio O A B a a O D os âglos AOC e COD são geometicamete igais e cada m deles tem amplitde a a!, e D 4 : o Figa 4 Moste qe a áea do tiâglo 6 ABC@, epesetado a sombeado, é dada po tga cos ^ah FIM COTAÇÕES Gpo Item Cotação (em potos) I. a 8. 8 5 potos 40 II..... 3.. 3.. 4.. 4.. 4.3. 5.. 5.. 5.3. 6. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 0 60 TOTAL 00 Pova 635.V/E. Especial Págia 8/ 8