EQUAÇÃO GERAL DA RETA... EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA... 8 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA... 4 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA... 5 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO... 8 CONDIÇÃO DE PARALELISMO... 6 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO... 9 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS... 34 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA... 35 ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR... 40 RESPOSTAS... 44 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 46 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio 05-07. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
EQUAÇÃO GERAL DA RETA A toda reta r do plano está associada uma equação na forma ax + by + c = 0 onde a, b e c são números reais e a e b não são simultaneamente nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz a equação citada representa um ponto de r. ax by c 0 que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da reta. É importante destacar, que, a partir do que vimos, qualquer reta possui uma equação geral e esta pode ser encontrada a partir de dois de seus pontos. Dados os pontos A(x, y) e B(x, y), consideremos um ponto genérico G(x, y) pertencente à reta determinada por A e B, então podem os escrever que: x x x y y y 0 e, desenvolvendo o determinante, temos x x y xy xy xy xy xy y y yx x x y x y 0 e, por fim, fazendo y y a x x b e x y xy c, temos: 0, Vale ressaltar também que uma mesma reta pode assumir equações diferentes visto que a equação encontrada depende dos pontos A(x, y) e B(x, y) considerados. Entretanto, independente dos pontos escolhidos, as diferentes equações de uma mesma reta são equivalentes, daí concluímos que uma reta r do plano está associada à um conjunto de equações equivalentes e que um conjunto de equações equivalentes está associado à uma reta. O coeficientes a e b não serão simultaneamente nulos se os pontos A(x, y) e B(x, y), forem distintos, observe: a 0 y b 0 x y x 0 y 0 x A seguir, veremos alguns exemplos. y A B x y y yx x x y x y 0 x a b c CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
Ex.: Escrever a equação da reta que passa pelos pontos A(5, -) e B(, 3). Resolução: 5 x 3 y 0 5 x y 3x 5y 0 4x 3y 7 0 Logo, a equação procurada é 4x 3y 7 0. Observações:. Note que não é necessário fazer o esboço da reta em questão para encontrar sua equação. O que acabamos de fazer é, na verdade, uma forma de verificar se um ponto A pertence a uma reta r. Vale ainda ressaltar que podemos multiplicar ambos os termos da equação encontrada por um número real qualquer diferente de zero. Isto apenas nos entregará uma outra equação da mesma reta. Assim, multiplicando os dois termos por -, encontramos: 4x 3y 7 0 4x 3y 7 0 Ex.: Encontre a equação da reta da figura abaixo:. É possível verificar se a resposta está correta substituindo as coordenadas dos dois pontos A e B dados na equação encontrada, veja: Para A(5, -): 4x 3y 7 0 4 5 3 0 3 7 0 0 0 7 0 Para B(, 3) 4x 3y 7 0 4 3 3 7 0 8 9 7 0 0 0 Como, em ambos os casos, encontramos igualdades verdadeiras, podemos afirmar que a resposta está correta. Resolução: Para escrever a equação devemos escolher dois pontos da reta, vamos tomar, neste exemplo, os pontos B(-, ) e E(6, 5). 6 x 5 y 0 0 x 6y 5x y 6 0 4x 8y 6 0 MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
Vamos, agora, escolher outro par de pontos: faremos com os pontos A(-6, -) e D(4, 4). 6 4 x 4 y 0 0) Determinar as equações das retas suporte dos lados do triângulo ABC determinado pelos pontos A(0, 0), B(, 3) e C(4, 0). 4 x 4y 4x 6y 4 0 5x 0y 0 0 Note que a equação encontrada foi diferente mas as duas são equivalentes, veja: 4x 8y 6 0 4 x y 4 0 5x 0 y 0 0 5 Logo, a equação da reta da figura e x y 4 0. Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação geral de uma reta a partr de dois pontos conhecidos. CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
0) Determinar a equação da reta 7 5 definida pelos pontos A, e 5 7 B,. 03) A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(3, 4). Qual a relação entre a e b? MATEMÁTICA III 5 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
04) A reta determinada por A(p, q) e B(3, -) passa pela origem. Qual a relação entre p e q? 05) Prove que os pontos A(a; b+c), B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e determine a equação de reta que os contém. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
06) Dados A(-5, -5), B(, 5), C(9, 0) e r:5x 3y = 0, verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC. 07) Desenhar no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas a seguir: r: y = x s: x + y = 5 t: x y + 5 = 0 u: x + y + 3 = 0 v: y + x = 0 w: x y 4 = 0 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 60 Exercício 06 MATEMÁTICA III 7 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Dada a equação geral de uma reta não vertical r: ax + by + c = 0 como a apresentada na página desta mesma apostila, vamos isolar y: Fazendo ax by c 0 by ax c a y x b a m e b c b c n, temos b r : y mx n denominada equação reduzida da reta. Os dois coeficientes que apareceram na equação reduzida merecem um estudo especial. Acompanhe: Sejam A(x; y) e B(x; y) dois pontos de uma reta r: ax + by + c = 0 e o ângulo formado entre r e o eixo das abscissas no sentido positivo. pelo que foi definido na página, temos que a y y e b x x. Assim, podemos reescrever a expressão acima substituindo, em seguida, a e b: y y y y a x x x x b como está definido na coluna anterior, a m, assim, concluímos que: b m tg daí m ser chamado de coeficiente angular da reta ou simplesmente de declividade. Para r vertical, temos x = 0 logo não há como representar esta reta por meio de uma equação reduzida visto que, inclusive, m não é definido para este tipo de reta. Falando ainda da equação y = mx + n, fazendo x = 0, temos y = n, assim podemos concluir que a reta cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, n) daí n ser chamado de coeficiente linear da reta. A interpretação correta destes dois coeficientes é de suma importância para a perfeita localização de uma reta no plano. temos que: tg BC AC y x y x Ex.: Reescrever na forma reduzida a equação da reta r dada por r : 3x y 6 0. Resolução: CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
3x y 6 0 y 3x 6 3 y x 3 Resolução: 3 Logo, r : y x 3 Ex.: Escrever a equação reduzida da reta que passa por A(0, 3) e B(-, 0). Resolução: m tg m tg45º m Já sabemos que m =, agora, tomando um ponto genérico (x, y) podemos escrever: y 3 x y x 4 x y 3 Como a reta passa pelo ponto (0, 3) já sabemos que n = 3. Falta determinar o valor de m que pode ser y encontrado fazendo-se : x y y m x x a a y x b b 3 0 0 3 Assim, a equação procurada é y = x + 4. Ex.4: Escrever a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, ) e B(5, -4). Resolução: Assim, a equação procurada é y = 3x+3 Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que passa pelo ponto K(3, -) e forma 45º com o eixo OX. MATEMÁTICA III 9 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
Podemos substituir as coordenadas dos pontos em y = mx + n e resolver um sistema, veja: Para A(-3, ), temos = -3m + n. Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n. 08) Determine o coeficiente angular da reta que passa por (0, ) e (5, ) e a seguir escreva sua equação reduzida. 3m n 3m n 5m n 4 5m n 4 8m 6 m 3 3 m n 3 n n 4 3 Logo, y x 4 4 Observação: Os 4 exemplos acima podem ser resolvidos de várias outras formas mas o objetivo foi mostrar apenas algumas soluções. Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação reduzida de uma reta a partir de dois pontos conhecidos. 3 4 4 09) Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente linear - e coeficiente angular -3. CÁSSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO
0) Dentre os pontos A(5; -), B(; -5), C ; 3 e D ; quais pertencem à 3 reta da questão anterior? ) Determine as equações reduzida e geral de uma reta que passa pela origem 7 e pelo ponto ;. ) Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto 5; 3 e forma, com o eixo das abscissas um ângulo de 60º no sentido positivo. MATEMÁTICA III GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
3) Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação 3x + 4y = 0 5) Qual a equação da reta mostrada na figura abaixo? 4) Encontre a tangente do ângulo indicado na figura. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
6) Determine a equação da reta que passa por P(, 3) e pelo ponto Q simétrico de P em relação à origem. 7) Dados B(-3, -9) e C(-4, ), determine a equação da reta que passa pelo ponto médio de BC e tem declividade 3. MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
8) Na figura, OABC é um quadrado. Determine as equações das retas AB e BC. EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA Consideremos uma reta que intercepta os eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como na figura: A equação da reta é: x y 0 q 0 p 0 qx py pq 0 qx py pq qx py pq pq pq x p q y 9) Qual a área do quadrado OABC da questão anterior? Esta equação é denominada equação segmentaria. Ex.: Obter a equação geral da reta que intercepta o eixo Ox no ponto P(, 0) e o eixo Oy no ponto Q(0, -3). Resolução: Como temos os pontos de interseção da reta com os eixos, podemos partir da ideia de equação segmentária. CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
x y 3 3x y 6 6 6 3xy 6 3x y 6 0 Assim, a equação procurada é 3x y 6 = 0. Ex.: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos de intersecção da reta ax by c 0 onde abc 0 com cada um dos eixos coordenados, escreva p e q em função e a, b e c. Resolução: Se P e Q pertencem à reta, então: c a p b 0 c 0... p a c a 0 bq c 0... p b Ex.3: Qual a equação segmentaria da reta de equação geral 4x 9y + 5 = 0? Resolução: 4x 9y 5 0 4x 9y 5 4x 9y 5 5 5 5 x y 5 5 4 9 Esta é a equação que estamos procurando e concluímos que a reta 5 intercepta os eixos nos pontos P,0 4 5 e Q 0, 9. EQUAÇÃO PARAMÉTRICA As equações geral, reduzida e segmentária relacionam diretamente entre si as coordenadas (x, y) de um ponto genérico da reta. As equações paramétricas dão as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da reta em função [geralmente linear] de uma terceira variável t chamada de parâmetro. Assim, temos que: x f t e y f t A partir destas equações paramétricas, encontramos a equação geral isolando e eliminando o parâmetro t. Ex.: Qual a equação geral da reta onde t x e y 3t? 5 Resolução: Isolando o parâmetro t em ambas as equações, temos: t x t 5x t 5x 5 y y 3t 3t y t 3 Comparando as equações, obtemos: y 5x 3 5x 6 y 5 y 5 0 Assim, a equação procurada é 5 y 5 0. MATEMÁTICA III 5 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Como forma geral, no caso em que é dada a equação de uma reta numa determinada forma e pedida em outra, tal mudança deve ser feita passando pela forma geral. Veja este exemplo: 0) Determinar a equação reduzida da reta AB quando A = (-, ) e B = (7, 5). Ex. Determine a equação reduzida da t x reta r :. t y 4 Resolução: Vamos em princípio escrever a equação geral de r: t x t x t x t y 4y t t 4y 4 4y x x 4y 3 0 Agora vamos passar para a forma segmentária: x 4y 3 0 x4y 3 x 4y 3 3 3 3 x y 3 3 4 Aí está, então, a equação segmentária de r. ) Dados A(3, 0) e B(-6, -5), determinar a equação segmentária da reta AB. DICA: Compare a forma paramétrica e a segmentária de reta r e tira algumas conclusões. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
) Determinar a equação geral das retas abaixo: a) c) b) 3) Quais as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo horizontal da reta do item c) acima? MATEMÁTICA III 7 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
4) Dadas as equações paramétricas de x5t3 uma reta r :, determinar a y t 4 equação segmentária de r. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Dadas duas retas r e s cujas equações são: r : ax by c s : ax b y c elas podem ocupar três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições podem ser definidas com base na quantidade de pontos em comum entre as retas, isto é: r e s concorrentes um ponto em comum 5) Achar as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s onde: `x 3t `x 3 u r : t e s : u y t y u r s r e s paralelas distintas nenhum ponto em comum r s r e s coincidentes Infinitos pontos em comum r s Obs: Com o símbolo r s indicaremos que as retas r e s são concorrentes, com o símbolo r s indicaremos que r e s são paralelas e distintas e com r s, indicaremos que r e s são coincidentes. É importante destacar ainda que r // s indica r s ou r s. CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
Todo ponto comum a r e s é solução de um sistema linear formado pelas equações das retas r e s: de e a c a c 4 : y a b a b r : ax b y c s : a x b y c Se o sistema é possível e determinado, a única solução será o ponto de intersecção das retas r e s. Caso o sistema não apresente solução, podemos concluir que as retas são paralelas e distintas e, por fim, se o sistema for indeterminado, as retas r e s são coincidentes. Vamos resolver o sistema acima a fim de entender a caracterização da posição relativa entre duas retas a partir dos coeficientes a, b e c de suas equações gerais: fazendo r : ax b y c s : ax b y c b e ab x bb y bc b, temos: a b x b b y b c x a b a b b c b c 3 agora, fazendo a e a, obtemos: aa x ab y ac aa x ab y ac y a b a b a c a c 4 e, assim, temos que: bc bc de 3: x a b a b Assim, se ab ab 0 podemos afirmar que x e y são únicos, logo r e s são concorrentes: a b ab ab 0 ab ab a b Por outro lado, se ab ab 0 o sistema será indeterminado ou impossível: se bc bc 0 e ac ac 0 o sistema será indeterminado e r e s serão coincidentes; se bc bc 0 ou ac ac 0 então o sistema é impossível e as retas r e s são paralelas distintas: a b c bc bc 0e ac ac 0 a b c a b c bc bc 0ou ac ac 0 a b c e, desta forma, podemos resumir: rs rs r s a a b b a b c a b c a b c a b c Ex.: Verificar a posição relativa das retas r e s em cada caso: a) r: x + y + 3 = 0 e s: x + 3y + 4 = 0 Resolução: MATEMÁTICA III 9 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
3 a a b b r e s são concorrentes b) r: x + y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + = 0 Resolução: 3 a b c 3 6 a b c r e s paralelas distintas 7) As retas suportes dos lados do triângulo ABC são AB : 3x 4y 0, AC : 4x 3y 0 e BC : x y 7 0. Encontre os vértices deste triângulo. c) r: x + y + 3 = 0 e s: x + 3y + 4 = 0 Resolução: 3 a b c 4 6 a b c r e s paralelas coincidentes Ex.: Verificar a posição relativa das retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + = 0. Resolução: a b r e s são paralelas a b Para m = temos r s(coincidentes) Para m temos rs (paralelas distintas) 6) Achar a intersecção entre as retas r : x y 3 0 e s : x 3y 5 0. CÁSSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO
8) Mostre que as retas r : x 3y 0, s : x y 0 e t : 3x 4y 0 concorrem num mesmo ponto. 9) Mostre que as retas r : x y 0, s : x y 8 0 e t : k x k y 8 0 concorrem num mesmo ponto P, k R MATEMÁTICA III GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
30) Determine k para que as retas de equações x + y k = 0, kx y 3 = 0 e x y k = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto, 3) Mostre que as retas r : x 3y 0, s : m x 3m y 5 0 e t : x y 5 0 são concorrentes num mesmo ponto, qualquer que seja m. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
3) Determine a de modo que as retas r : 3x y a 0, s : 3x y 0 e 5x y 0 sejam suportes para os lados de um triângulo. 33) Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta r: a) P(, ) e r :8x y 0 x y b) P(, 5) e r : 3 MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
c) P(4, -4) e r : x y 5 0 e) P(-4, ) e r: y 0 d) P(-, 3) e r : x 5y 7 0 f) P(, -5) e r: x CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
34) Determine o perímetro do triângulo ABC que verifica as seguintes condições: O vértice A pertence ao eixo OX O vértice B pertence ao eixo OU A reta BC tem equação x y 0 A reta AC tem equação x y 3 0 35) Dadas as retas: r : x y 3 0 s : x y 3 0 t : x y 5 0 u : x 4y 3 0 v : 3x 6y 3 z : 4x y 6 Determine a posição relativa entre: r e s r e t r e u r e v r e z s e t s e u s e v s e z t e u t e v t e z u e v u e z v e z MATEMÁTICA III 5 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
36) Quando nos deparamos com a equação x + 6y 0 = 0 temos o hábito de dividir todos os coeficientes por a fim de simplificar os coeficientes. Neste caso, obtemos a equação x + 3y 5 = 0. Verifique se as duas equações representam ou não a mesma reta. CONDIÇÃO DE PARALELISMO Dadas duas retas r e s, não verticais, são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais. r // s m r ms Demonstração: r // s tg tg m r m s Ex.: Verificar se as retas r : 3x 6y 0 e s : x 4y 7 0 são paralelas. Resolução: Vamos escrever as duas equações na forma reduzida: Reta r: 3x 6y 0 6y 3x Reta s: x 4y 7 0 4y x 7 3x x 7 y y 6 4 7 y x y x 6 4 mr ms Como m r =m s, podemos afirmar que r//s. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
Ex.: Escrever a equação da reta s que passa pelo ponto (3, -) e é paralela á reta r : x 3y 6 0. Resolução: Vamos, em princípio, encontrar a inclinação da reta r escrevendo sua equação reduzida: x 3y 6 0 3y x 6 3y x 6 x 6 y 3 y x 3 assim, concluímos que mr. Como 3 mr ms pois s deve ser paralela a r, já conhecemos a inclinação de s e um de seus pontos. Usaremos agora o mesmo princípio visto nos exemplos 3 e 4 das páginas 45 e 46: x 3y c 0 3 3 c 0 6 3 c 0 9c 0 c 9 por fim, substituímos c 9 na primeira linha a fim de encontrarmos a equação e fica s : x 3y 9 0. 37) Determinar a equação da reta s que contém P(-5, 4) e é paralela à reta de x 3t equações paramétricas r : y 5t y y p ms x x p y 3 x 3 x 6 3y 3 x 3y 9 0 daí, a equação procurada é s : x 3y 9 0. Obs.: Existe uma outra forma de resolver esta questão e partiremos da ideia de que duas retas paralelas, quando escritas na forma geral ( ax by c 0 ) possuem os coeficientes a e b iguais diferenciando apenas o coeficiente c caso não sejam coincidentes. Daí substituímos as coordenadas do ponto P em r deixando c como incógnita, observe: MATEMÁTICA III 7 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
38) Determinar a equação da reta que passa por P(-5, ) e é paralela à reta 6 definida por A, 5 e 3 4 B, 5. 39) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s. Dados: x y r :, x 3t s : y 3t e t : 3x 4y 0. CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
40) Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas r : y x e s : x y. Dado o vértice A (5, 4), determine os vértices B, C e D. CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Duas retas r e s são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -. r s m m r s Demonstração: Conforme o caso, das figuras acima, tiramos: ou Pois o ângulo externo é igual a soma dos ângulos externos não adjacentes, lembra-se? Então: tg tg tg cot g tg tg tg tg m m r s r s Observação: Existem duas formas práticas de determinar se duas retas são perpendiculares: MATEMÁTICA III 9 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
. A partir de suas equações reduzidas r : y mrx br e s : y msx bs, as retas r e s serão perpendiculares se: m r m. A partir de suas equações gerais r : a x b y c 0 e r r r s : as x bs y cs 0, as retas r e s serão perpendiculares se: a a s b b 0 r s r s Ex.: Verificar se as retas r : 3x y 0 e s : 4x 6y 3 0 são perpendiculares. Resolução: m s ar 3 m r b r 3 as 4 3 bs 6 3 logo, as retas r e s são perpendiculares. Ex.: Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto (6, -) e é perpendicular à reta r : 3x y 0. Resolução: ar 3 mr b m m s s r m 3 3 r m s y x 6 3 3y 3 x x 3y 5 0 Assim, a equação procurada é s : x 3y 5 0 Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do segmento AB onde A = (3, ) e B = (-4, 6)? Resolução: Primeiramente vamos encontrar o ponto médio do segmento AB. 34 6 x M y M 4 M,4 Agora calculamos a inclinação da reta que passa por A e B. 6 4 4 mab mab 3 4 7 7 A inclinação da reta r, perpendicular àquela determinada por A e B pode ser encontrada a partir de mr, assim: m AB m r 7 4 4 7 Por fim, vamos escrever a equação da reta r que passa por M,4 e tem inclinação 7 mr : 4 7 y 4 4 x 7 7x 4y 6 49 7x 4y 0 4x 8y 49 0 CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO
b) P(, 6) e r : x y 3 0 x y 4) Mostre que as retas r : e 7 9 x y s : são perpendiculares. 9 7 c) P(, 4) e r : x y 0 4) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r em cada caso: a) P(-3, ) e r : 3x 4y 4 0 MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
d) P(3, 5) e r : y 4 0 43) Dadas as retas r : p x py p 0 e s : 3x p y 7 0, determine p de forma que r e s sejam perpendiculares. 44) Determinar a projeção ortogonal do x t ponto P(-7, 5) sobre a reta r :. y 3t CÁSSIO VIDIGAL 3 IFMG CAMPUS OURO PRETO
45) Determinar a projeção do ponto P(3, ) sobre a reta r : x y 0. 46) Determinar o ponto Q, simétrico de P 3, em relação á reta r: x + y = 0. MATEMÁTICA III 33 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS Consideremos duas retas concorrentes r e s, oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si, de coeficientes mr e ms respectivamente. A tangente do ângulo formado entre elas pode ser encontrada a partir de mr e ms. tg tg tg tg tg tg tg mr ms tg m m r s Ex.: Determinar o ângulo agudo formado r : y 4 3 x 5 e entre as retas s : x y 7 0. Resolução r : y 4 3 x 5 y 4 3x 5 y 3x m r 3 tg s : x y 7 0 y x 7 m 3 5 3 5 tg 45º s Observação: As retas r e s deste exemplo formam dois ângulos: um de 45 e outro de 35º. Pense nisso e justifique a presença do módulo na fórmula a que chegamos na coluna ao lado. Observações:. Se r e s forem paralelas, mr = ms e = 0.. Se r e s são perpendiculares, mrms = - e = 90º. 3. Se uma das retas for vertical, temos: 47) Determinar o ângulo agudo formado entre as retas r : y 4x 6 e s : y 3 x 5. 4 90º 90º tg tg 90º tg cotg tg tg tg m s CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO
48) Determinar a tangente do ângulo agudo formado pelas retas r: y = 7 e s:x 3y + 5 = 0. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Sabemos que calcular a distância entre um ponto P e uma reta r é, na verdade, encontrar a MENOR distância entre P e r e isto pode ser feito encontrando-se a distância de P até sua projeção ortogonal P em r. Uma outra forma de encontrar tal distância é aplicando uma fórmula de demonstração não tão simples a ponto de não caber neste curso mas que pode ficar como pesquisa para interessados. Dados um ponto P(xP, yp) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância entre P e r pode ser encontrada a partir de: 49) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(, ) e forma um ângulo de 45º com a reta de equação y = 5x + 3. d Pr ax by c P a P b Ex.: Determinar a distância entre o ponto P(3, -) e a reta r : x y 4 0. Resolução: 3 4 3 3 5 dpr 5 5 Assim, a distância procurada é 3 5 5 u. c. Ex.: Encontrar a distância ente as retas r : x 3y 0 0 e s : x 3y 6 0. Resolução: Se r e s são duas retas paralelas, então a distância entre elas é igual à distância entre um ponto e r e a reta s, MATEMÁTICA III 35 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
assim, vamos encontrar um ponto qualquer de r e achar a distância deste ponto até s. b) P(, -5) e r: 3x 4y = 0 Determinando um ponto de r: Fazendo, arbitrariamente, x = -, temos 3y 0 0 3y 0 3y y 4 P(, 4) Agora vamos, aplicando a fórmula, calcular a distância de P(, 4) à reta s : x 3y 6 0 : d Pr 3 4 6 4 4 3 3 3 3 c) P(3, -) e r: x + y + 6 = 0 Logo, a distância procurada é 4 3 3 u. c. 50) Nos seguintes casos, calcule a distância de P e r: a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + = 0 d) P(6, 4) e r: y = 0 CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG CAMPUS OURO PRETO
5) Sendo P a intersecção a reta r: x + y 4 = 0 e o eixo das abscissas e s a reta de equação 3x 4y + 0 = 0, determine a distância entre P e s. 5) Determine a distância entre as retas paralelas r : 4x 3y 9 0 e s : 4x 3y 6 0. MATEMÁTICA III 37 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
53) Determine k sabendo que a distância entre o ponto P(0, k) e a reta r : 4x 3y 0 é, 55) Qual a distância do ponto A(8, 7) à reta determinada pelos pontos B(7, -) e C(-, 3)? 54) Se a distância de P(k, ) à reta r : 3x 4y 40 0 é 4 unidades, qual o valor de k? CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG CAMPUS OURO PRETO
56) Os pontos A(, -), B(9, 3) e C(-, 4) são vértices de um triângulo. Quanto mede a altura relativa ao lado BC? 57) As retas r : 5x 3y 7 0, s : x 4y 7 0 e t : 3x y 3 0 são suportes dos lados de um triângulo. Determine a altura relativa ao lado definido pela reta t. MATEMÁTICA III 39 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
58) Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(, -), B(9, 3) e C(-, 4). (Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto A à reta BC de altura e, a seguir, faça S = b x h) ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR No último tópico da apostila anterior vimos que o determinante x y x y x y 3 3 é igual a zero se, e somente se, os pontos A(x, y ), B(x, y ) e C(x 3, y 3) estão alinhados. Caso estes pontos não estejam alinhados, eles formarão os vértices de um triângulo e esse mesmo determinante ajudará a encontrar a área deste triângulo. Chamando de D o determinante acima e de S a área do triângulos de vértices A, B e C temos que: x y D x y e x y 3 3 S D Ex.: Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(, -), B(9, 3) e C(-, 4). Resolução: D 9 3 58 4 S 58 9 Assim, a área do ABC é 9 u. a. CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO
59) Calcule a área do triângulo que tem como vértices, os pontos A(4, 0), B(-, ) e C(-3, 3). 6) As retas suporte dos lados de um triângulo, tem como equações r : y 5 0, s : x y 0 e t : x y 7 0. Calcule a área deste triângulo. 60) Um triângulo com vértices nos pontos A(5, 3), B(4, ) e C(, k) tem área igual a 8. Calcule k. MATEMÁTICA III 4 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
6) Sabendo que os pontos A(m, m), B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um triângulo, determine sua área em função de m. 63) Calcule a área do quadrilátero definido pelos pontos A(-, -), B(, -) C(-, 4) e D(, 5). CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
Para resolver as questões a seguir, você deve utilizar todo o conhecimento adquirido nesta apostila e na anterior. Não fique preso a um único tópico. 65) Sendo A, B e C os vértices que um triângulo e M, N e P os pontos médios de cada lado, determine a razão entre as áreas dos triângulos ABC e MNP. 64) Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo: a) é paralelo ao terceiro lado. b) tem comprimento igual à metade do comprimento do terceiro lado. MATEMÁTICA III 43 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
RESPOSTAS 0) AB: 3x y = 0; BC: x + y 4 = 0; e AC: y = 0 0) x y = 0 03) 3b + 4a ab = 0 04) p + 3q = 0 05) x + y (a + b + c) = 0 06) G r 07) 4) 3 5 5) x + y + = 0 3 6) y x 7) 6x 4y + 7 = 0 8) AB: y = x + 6 BC: y = x 6 9) 8 u. a. 0) y=3x+4 x y ) 3 5 ) a)3x 3y + 6 = 0 b) x y = 0 c) 3x + y + 4 = 0 08) m ; y 5 x 5 3) 4 0, 3 09) y 3x 0) B e C 4) x y 3 6 5 ) y 3x 6 3 ) y x e x 7y 0 7 3 3) Coef. Angular 4 Coef. Linear: 3 5) (3, ) 6) (, ) 7) A(0, 0); B(4, 3); e C(3, 4) 8) (demonstração) CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO
9) Resolução: Em princípio vamos obter a intersecção entre r e s: xy 0 x 4e y x y 8 0 Vamos agora verificar se P(4, ) pertence à reta t: k x k y 8 0 30) k ou k k 4 8 0 4 4k 4 4k8 0 3 k 3) (Demonstração) 3) a 7 e a 33) a) y 4x 6 3 b) y x 8 c) yx 7 d) y x 5 5 e) y f) x 0 0, k 34) Resolução: A OX y A 0 AxA, y A A AC xa y A 3 0 B x, y B B, 3,0 A x y A A A B OY xb 0 B BC xb yb 0, 0,0 B x y B B B C x, y C C C AC xc yc 3 0 C BC xc yc 0,, C x y C Perímetro: d d d C 3 0 C AB AC BC 3 5 35) r e s Concorrentes r e t Paralelas distintas r e u Concorrentes r e v Concorrentes r e z Paralelas coincidentes s e t Concorrentes s e u Concorrentes s e v Paralelas distintas s e z Concorrentes t e u Concorrentes t e v Concorrentes t e z Paralelas distintas u e v Concorrentes u e z Concorrentes v e z Concorrentes 36) Você deve vericar que as retas são coincidentes. 37) s: 5x + 3y + 3 = 0 38) x + y + 8 = 0 39) x y 4 = 0 40) B (4, ), C (0, 0) e D (, ) 4) Demonstração 4) a) 4x 3y 5 0 b) x y 4 0 c) x y 5 0 d) x 3 0 MATEMÁTICA III 45 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA
43) p 4 59) 4 44) P 6 93 ', 3 3 45) P ', 3 46) Q, 4 47) 90º 60) -6 ou 6 6) 84,5 6) m 63) 48 64) Demonstração 48) 3 65) Demostração 49) y 3 x 4 e y x 3 3 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 50) 4 3 5) a) c) 5 b) 5 d) 5) 5 53) 4 ou 54) 55) 56) 8 3 5 3 ou 4 43 06 53 58 89 89 DANTE, Luiz Roberto; Matemática, Volume dois. São Paulo, Atica, 005. IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. Links dos vídeos sugeridos nesta apostila: Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac ao-geral-de-reta/ Pág. 0 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac ao-reduzida-da-reta/ 57) 3 30 65 Pág. 58) 9 CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO