PET FÍSICA POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Aula 1 TATIANA MIRANDA DE SOUZA NAYTON CLAUDINEI VICENTINI ANA CAROLINA DOS SANTOS LUCENA LÉO RODRIGUES MACENA DOS SANTOS WANESSA AFONSO DE ANDRADE FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2
DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3
SUMÁRIO 1. Potências de base 10... 05 2. Escrevendo um número em Notação Científica e Regras de Arredondamento... 06 3. Ordem de grandeza (OG)... 08 4. Operações importantes envolvendo notação científica... 08 4.1 Adição e Subtração... 06 4.2 Potenciação... 08 4.3 Obtendo a raiz de uma notação científica... 09 4.4 Comparação entre algarismos em notação científica... 09 5. Exercícios de fixação... 10 6. Referências... 11 7. Respostas dos exercícios de fixação... 11 4
1. Potências de base 10 Dentro dos vários campos da Física os estudos se deparam com corpos ou quantidades que são muito grandes ou muito pequenas, quando comparadas as quantidades usuais. Exemplo 1: Velocidade média de um carro dentro de uma cidade 6,0 m/s Velocidade aproximada da luz no vácuo 300000000 m/s Tamanho médio de uma pessoa adulta 1,70 m Tamanho médio de uma célula 0,000030 m Esse tipo de representação, em muitos casos, dificulta a operação matemática ou mesmo o entendimento real da quantidade medida. Uma forma de representar essas quantidades é pela utilização de fatores multiplicativos que permitem a escrita num formato mais amigável, e que facilitam a realização de operações matemáticas, denominada notação científica. Para podermos escrever os números em formato de notação científica, precisamos compreender o que são as chamadas potências de base 10, pois são elas que fornecerão o formato mais simplificado para os algarismos que estaremos reescrevendo. A potência é um produto de números (fatores) iguais, resultante de uma operação matemática que denominada potenciação, onde (LEZZI et al, 2005): (1) sendo a o número que se repete e n indica o número de vezes que multiplicamos a por ele mesmo. Exemplos 2: 10 10 = 100 No caso da potência estar colocada no divisor de uma operação matemática, é possível também representar o resultado dessa operação utilizando a base 10. Para isso precisamos lembrar apenas que existe uma regra básica quando realizamos o produto ou a divisão entre bases iguais, onde no produto devemos repetir a base e somar os expoentes e no caso da divisão devemos repetir a base e subtrair os expoentes. (2) 5
(3) Se considerarmos essas relações, vamos considerar que exista uma certa base como divisor de 1, nessa condição teremos que a representação será da forma a -n visto que: (4) Exemplos 3: As bases 10 e seus respectivos expoentes fornecem, além da facilitação nas operações matemáticas, representar as quantidades pelo uso de prefixos que indicam por qual fator o número é multiplicado e alguns deles podem são mostrados na tabela 1. Tabela 1: Algumas representações de base 10 e o prefixo equivalente (INMETRO, 2012). Nome Símbolo Fator de multiplicação Giga G Mega Quilo k Centi c Mili m Micro Nano Pico 2. Escrevendo um número em Notação Científica e Regras de Arredondamento Para escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato (RAMALHO JUNIOR et al, 2009): onde a é um número real maior ou igual a 1 e menor que 10, com apenas uma casa decimal, e n é um número inteiro qualquer. (5) 6
No entanto, é fácil perceber que podemos ter problemas em escrever esses números, pois no caso de certos algarismos será necessária a realização de alguma aproximação para sua total adequação ao formato desejado da notação científica. Para isso precisamos levar em conta a regra de aproximação e arredondamento vigente em nosso país, descrita pela norma ABNT NBR 5891, onde (CC, 2015): 1. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação; 2. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade; 3. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5, temos as seguintes situações: Se o número a ser conservado for ímpar ele deverá ser aumentado de uma unidade; Se o número a ser conservado for par temos que se após o 5 não houver número ou ele for seguido de zeros o algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação; Se o número a ser conservado for par temos que se após o 5 qualquer número diferente de zero o algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade; Uma vez que já sabemos os princípios básicos de arredondamento, para escrevemos um número real em notação científica é necessário transformá-lo no produto expresso pela equação (5). Isso será realizado a partir do deslocamento da vírgula, que indica o número de casas decimais, para a direita ou para esquerda. O expoente da base 10 terá o número de posições deslocadas pela vírgula e será positiva e este será positivo caso o deslocamento seja feito para esquerda e negativo caso ela tenha sido deslocada para a direita. Exemplo 4: Como ficará,, escrito na forma de notação científica? O número 1973, que representará o, deve ser colocado de tal forma que a condição para notação científica seja satisfeita, isto é: 1. No caso apresentado, será é necessário deslocarmos a vírgula três posições para a esquerda, deixando o valor na condição desejada e fornecendo o expoente multiplicativo. Assim, teremos: No entanto o número 1,973 não está no formato adequado, pois ele possui mais de uma casa decimal, assim será necessária uma aproximação com base nas regras já estabelecidas. Como o número a ser mantido é nove e o algarismo imediatamente a ele é maior que cinco então ele será alterado. Logo 7
3. Ordem de grandeza (OG) Determinar a ordem de grandeza de uma medida consiste em fornecer, como resultado, a potência de 10 mais próxima do valor encontrado para a grandeza. Para isso é necessário comparar o valor de a com, tal que temos a seguinte regra (RAMALHO JÚNIOR, 2009): 1. Se em um número em notação cientifica a for maior ou igual a, então OG será a base 10 n+1 ; 2. Se em um número em notação cientifica a for menor a, então OG será a base 10 n. 4. Operações importantes envolvendo notação científica As operações matemáticas envolvendo notação científica envolvem um pequeno número de regras básicas, necessárias, para apresentação correta do resultado. Apresentaremos a seguir os procedimentos para a operação algébrica envolvendo esse tipo de notação. 4.1 Adição e Subtração Para somar ou subtrair números em notação científica é necessário que todos eles estejam multiplicando bases com mesmo expoente, caso isso não ocorra é necessário à conversão desses valores: Exemplo 5: X = 1,2 10 2 +3,729 10 3 +9,46 10-2 X = 1,2 10 2 +37,29 10 2 +0,000946 10 2 X = 38,49946 10 2 X = 3,849946 10 3 X 3,8 10 3 X = 4,25 10 3 2,5 10 2 X = 42,5 10 2 2,5 10 2 X = 40,0 10 2 X = 4,00 10 3 X 4,0 10 3 4.2 Potenciação Para elevarmos um número em notação científica a um expoente k, devemos elevar a ao expoente k e multiplicar o expoente da base por. (6) 8
4.3 Obtendo a raiz de uma notação científica Para obtermos a raiz de um número em notação científica é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice da raiz: onde o módulo de n/k deve ser um número inteiro e maior que um. (7) Exemplo 6: X = X = X = 10 3/3 X = 0,5428... 10 1 X = 5,428... 10 0 X 5,4 10 0 X = X = X = 10 8/4 X = 0,72742... 10 2 X = 7,274... 10 1 X 7,3 10 1 4.4 Comparação entre algarismos em notação científica Duas importantes relações que o leitor deve ter em mente é que: 1. Independentemente do valor de a, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior entre eles; 2. Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir o maior valor de a. Exemplo 7: 9,9 10 2 < 1,3 10 3 2,7 10 3 > 1,3 10 3 9
5. Exercícios de fixação 1. Dados os números e, qual deles é o maior? 2. Coloque os valores, e, ordem crescente. 3. Efetue as operações indicadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) i) j) k) l) 4. Antes de realizar as operações matemáticas utilizando números expressos em potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser observado e feito? 5. A luz proveniente do Sol demora, aproximadamente, 8 minutos para chegar à Terra. A ordem de grandeza da distância entre esses dois astros celestes, em km, é: Dado: Velocidade da luz no vácuo = km/s 6. A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra, qual seria a ordem de grandeza de planetas semelhantes à Terra em toda Via Láctea? 10
6. Referências CC. Regras de arredondamento na Numeração Decimal - Norma ABNT NBR 5891. Disponível em: http://goo.gl/lcfleq, Acesso em 15 dez. 2015. INMETRO. Resolução nº 12, de 12 de outubro de 1988. Disponível em: http://goo.gl/rwtto. Acesso em: 18 de out. 2012. LEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade: 5ª série/ensino fundamental. 5ª edição. São Paulo: Atual, 2005. RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Os Fundamentos da Física: Mecânica & hidrostática. v.1, 10 ed, São Paulo: Moderna, 2009. 7. Respostas dos exercícios de fixação 1. 9 10-6 2. 7 10-7, 3 10-5, 1 10-2 3. a) 10 4 b) 8 10-8 c) 10 6 d) 10 26 e) 8,1 10-4 f) -1,7 10 7 g) 4 10-10 h)4 10-3 i) 4 10-7 j) 10 6 k) 1,32 10 5 l)7,17 10 8 4. Observar se os números estão na mesma potência de 10. Caso não esteja, expressar os números na mesma potência de 10. 5. 6. 11