Potências de 10 Ordem de Grandeza

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1 Potências de 10 Ordem de Grandeza Extraído e adaptado do Livro de Física Contexto & Aplicações Vol 1, A. Máximo e B. Alvarenga, Ed. Scipione Por que usamos as potências de 10 Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0, cm ou que uma dada célula tem cerca de de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias. Isto ocorre porque estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber estão fora do nosso quadro de referências. No estudo da Física encontraremos, frequentemente, grandezas como estas que são expressas por números muito grandes ou muito pequenos. A apresentação escrita ou oral desses números, da maneira habitual, tal como foram escritos acima, é bastante incômoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes números em forma de potências de 10, como veremos a seguir. Este tipo de notação, além de mais compacta, nos permite uma rápida comparação destes números entre si e facilita a realização de operações matemáticas com elas. Como escrevemos os números na notação de potências de 10 (notação científica N. C. ) Consideremos um número qualquer como, por exemplo, 842. Seus conhecimentos, das propriedades de números e operações em Matemática, lhe permitirão compreender que este número pode ser expresso da seguinte maneira: 842 = 8, = 8, Observe que o número 842 foi expresso como produto de 8,42 por uma potência de 10 (no caso 10 2 ). Tomemos outro número; por exemplo, 0,0037. Podemos escrever: 0,0037 = 3, = 3,7 = 3, Novamente, temos o número expresso pelo produto de um número compreendido entre 1 e 10 (no caso, 3,7) por uma potência de 10 (no caso, 10-3 ). Baseando-nos nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão: Um número qualquer pode sempre ser expresso como o produto de um número compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10 adequada. Procure exercitar-se no uso desta regra, analisando os dois exemplos seguintes: = 6, = 6, ,00002 = = =

2 Observação Uma regra prática para se obter a potência de 10 adequada é a seguinte: a) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos fornece o expoente de 10 positivo. Assim: = 6, casas b) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a direita; este número nos fornece o expoente de 10 negativo. Assim: 0,00002 = casas Nesta representação de potências de 10, os números citados no início desta seção poderão ser escritos, compactamente, e de maneira mais cômoda, do seguinte modo: Raio do átomo de hidrogênio = cm Número aproximado de átomos de uma célula = Operações com potências de 10 Você pode perceber facilmente que seria complicado e trabalhoso efetuar operações com os números muito grandes, ou muito pequenos, quando escritos na forma comum. Quando estes números são escritos na notação de potências de 10, estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis estabelecidas na Matemática, para as operações com potências. Os exemplos seguintes o ajudarão a recordar estas leis: a) 0, = (2, ) ( ) = (2,1 3) ( ) = 6, b) 7, = 7, = 1, c) ( ) 3 = 5 3 (10 3 ) 3 = d) 2, = = =

3 Observe como se procede na adição Nos exemplos apresentados, só apareceram as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Quando estivermos tratando com adição e subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a operação, expressar os números com os quais estamos lidando na mesma potência de 10. Considerando os exemplos seguintes: a) 6, , Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de 10, poderemos efetuar a operação diretamente, como segue: b) 4, , , , = (6,5 3,2) 10 3 = 3, Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de 10. Isto pode ser feito escrevendo a primeira parcela como uma potência de 10 6, da seguinte maneira: 4, , = 42, , = = (42,3 + 1,3) 10 6 = 43, = 4, O cálculo pode ser efetuado de outra maneira, expressando a segunda parcela como uma potência de 10 7 : 4, , = (4,23 + 0,13) 10 7 = 4, Ordem de grandeza (O. G.) Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa sua medida, isto é: Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima deste número. Portanto, a ordem de grandeza de 92 é 10 2 porque 92 está compreendido entre 10 e 100, mas está mais próximo de Da mesma forma, a ordem de grandeza de 0,00022 = 2, é Assim, conhecendo as ordens de grandeza de diversas medidas, é fácil compará-las e podemos rapidamente distinguir a menor ou a maior entre elas e aquelas que são aproximadamente iguais. Frequentemente temos condição de obter a ordem de grandeza sem cálculos laboriosos, mesmo não possuindo o valor da grandeza medida, como veremos no exemplo 2 a seguir. 3

4 Exemplo 1 São dadas as seguintes medidas de comprimento: m m m m a) Qual a ordem de grandeza de cada uma delas? Na medida , considerando apenas o algarismo 7, sabemos que sua ordem de grandeza é 10. Logo, a ordem de grandeza de será: = 10 5 Podemos proceder da mesma forma para determinar a ordem de grandeza das outras medidas: = = = 10 7 b) Qual a ordem crescente das medidas fornecidas? É evidente, observando a ordem de grandeza de cada uma, que temos: < < < Exemplo 2 Determine a ordem de grandeza do número de gotas de água que cabe em uma banheira. Devemos, inicialmente, determinar a ordem de grandeza do volume de uma banheira comum. Evidentemente, o comprimento da banheira estará compreendido entre 1m e 10m, isto é, entre as seguintes potências de 10: 10 0 m e 10 1 m. É fácil perceber, também, que esse comprimento está mais próximo de 1m. Logo, a ordem de grandeza do comprimento é 1m ou 10 0 m. Com raciocínio semelhante, concluímos que as medidas, tanto da largura, quanto da profundidade da banheira, estão mais próximas de 1m, isto é, a ordem de grandeza de ambas é 1m ou 10 0 m. Logo, a ordem de grandeza do volume da banheira é: 1 m 1 m 1 m = 1 m 3 Para encontrar a ordem de grandeza do volume da gota de água, vamos imaginar que essa gota tem a forma de cubo. A aresta desse cubo está compreendida entre 1mm (10 3 m) e 1cm (10 2 m), mas é claro que, para uma gota comum, essa aresta estará mais próxima de 1mm. Logo, a ordem de grandeza da gota é: 10 3 m 10 3 m 10 3 m = 10 9 m³ A ordem de grandeza do número de gotas que cabe na banheira será, portanto: Isto é, 1 bilhão de gotas! 1m³ 10 9 m³ = 109 gotas Na aula teórica veremos outro método para determinar essa ordem de grandeza. 4

5 Exercícios de fixação 1) Cite duas vantagens de escrever os números na notação de potências de 10. 2) Complete as igualdades seguintes, conforme o modelo: 3, = a) b) b) ) Usando a regra prática sugerida no texto, escreva os números seguintes em notação científica e determine sua ordem de grandeza. a) 382 b) c) d) 0,042 e) 0,75 f) 0, ) a) Dados os números e , qual deles é o maior? b) Coloque os números a seguir, , e , em ordem crescente de seus valores. 5) Efetue as operações indicadas. a) b) c) d) : 10 4 e) f) 4, , g) (10 2 ) 3 h) ( ) 2 i) ) Efetue as operações indicadas: a) 5, , b) 6, , ) Para adicionar ou subtrair dois números expressos em potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação? 8) Efetue as operações indicadas: a) 1, b) 7, ,