Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Investigação Operacional 2011.11.28 2 o Mini-teste Prova com consulta Duração: 1h30min Jogos Olímpicos de Verão - Londres 2012 Os Jogos Olímpicos de verão são um dos principais acontecimentos à escala mundial. Realizam-se a cada quadriénio, mas a organização de um evento desta natureza é um processo megalómano. Londres entregou a sua candidatura à realização dos jogos da XXX Olimpíada a 15 de julho de 2003 sendo escolhida como cidade anfitriã em 6 de junho de 2005. Desde então a cidade tem sido equipada com os espaços necessários para a organização do evento e a sua infraestrutura melhorada significativamente. Nomeadamente, o sistema de transportes públicos foi alvo de uma modernização profunda para fazer face ao aumento esperado de passageiros durante os jogos. Quando a 27 de julho de 2012 a rainha Isabel II der como oficialmente abertos os jogos dará início a uma nova etapa de desafios. Nesta grande festa inaugural iráo ser apresentadas as 205 delegações que disputarão as medalhas olímpicas no campo desportivo. Nos últimos anos, estas delegações dispenderam inúmeros esforços para apoiar os seus atletas e as expectativas que consigam alcançar feitos prodigiosos nestas olimpiadas são muito elevadas. adaptado de http://www.london2012.com/, consultado em 22.11.2011 1
1. (50%) Tendo em vista o sucesso da participação Portuguesa nos Jogos Olímpicos de Londres 2012, o Comité Olímpico Português (COP) criou o Projeto Londres 2012. No âmbito deste projeto, serão atribuídas bolsas de apoio à preparação de atletas portugueses, que tanto podem ser coletivas como individuais. O COP tem de decidir quantas bolsas coletivas e quantas bolsas individuais deverá atribuir, de forma a maximizar o número total de bolsas atribuidas. A equipa de investigação operacional do COP (IOCOP) definiu o modelo de Programação Inteira para este problema, apresentado em seguida. Neste modelo, x e y são as variáveis de decisão e representam, respetivamente, o número de bolsas coletivas e o número de bolsas individuais a atribuir. Max Z = x + y suj. a: x +3, 7y apple 18 0, 25x +0, 75y 0 y 2 x, y 0 e inteiras Definido o modelo, a IOCOP ocupa-se agora com a determinação da sua solução ótima, utilizando o método de Branch-and-Bound, tendo obtido até ao momento a árvore apresentada na figura??. Nó 1 X = 8,1 Y = 2,7 Z = 10,8 X 8 X 9 Nó 2 X = 8 Y = 2,7 Z = 10,7 Y 2 Y 3 Nó 3 Y = 2 Z = 8 Nó 4,9 Y = 3 Z = 9,9 X 6 X 7 Nó 5 Y = 3,2 Z = 9,2 Figura 1: Árvore de Branch-and-Bound (a) A IOCOP não sabe se deve continuar com a ramificação da árvore, ou se deve utilizar somente a informação que possui até ao momento. Se utilizasse somente a informação que possui até ao momento: i) Quantas bolsas coletivas e quantas bolsas individuais deveria a COP atribuir? ii) Quantas bolsas o COP poderia estar a deixar de atribuir? (b) A IOCOP decidiu continuar com a ramificação da árvore para tentar obter uma solução melhor para o problema inicial. Sabendo que os nós na figura?? estão numerados pela ordem pela qual foram resolvidos, indique qual será o proximo nó que a IOCOP deve ramificar, de forma a continuar com a mesma estratégia de ramificação que foi utilizada até ao momento. Justifique. (c) Ajude a IOCOP a ramificar o sub-problema do Nó 5, utilizando o método gráfico. Deve apresentar um gráfico que permita identificar de forma clara: i) Restrições do sub-problema e região admissível; ii) Solução ótima; 2
iii) Isolinha da função objetivo na solução ótima; (d) Após a resolução do sub-problema do Nó 5, a IOCOP pretende saber se já encontrou a solução ótima do problema inicial. Valeu a pena a resolução deste sub-problema adicional? Justifique. 2. (50%) A cerimónia de abertura dos Jogos Olímpicos de Londres de 2012 irá ser realizada no dia 27 de julho do próximo ano, no Estádio Olímpico de Londres. Durante esse dia, apenas transportes públicos poderão circular na cidade. A organização dos Jogos Olímpicos está a elaborar alguns estudos no sentido de garantir que todas as pessoas que adquiriram bilhete para a cerimónia de abertura consigam chegar ao Estádio Olímpico, localizado no Parque Olímpico ( Olympic Park ). Em particular, a organização está interessada em saber se é viável transportar a maioria das pessoas através da rede de metropolitano da cidade. Uma das estações de metro em que é esperado um elevado fluxo de pessoas é a conhecida estação de Hampton Court pois situa-se numa zona densamente povoada de Londres. A figura 2 apresenta o conjunto de troços das linhas de metro que chegam ao Olympic Park a partir da estação de Hampton Court, bem como as capacidades desses troços, em número de pessoas por hora. Figura 2: Linhas de metropolitano de Londres e capacidades dos seus troços (a) Construa a rede que traduz este problema e indique nela as capacidades dos diferentes troços. (b) Determine o número máximo de pessoas que conseguem chegar ao Olympic Park a partir da estação de Hampton Court por hora, recorrendo ao algoritmo de fluxo máximo. Prove que a solução a que chegou é ótima, indicando o respetivo corte mínimo. (c) A rede de metropolitano de Londres está a ser alvo de obras de requalificação, que permitirão o aumento de capacidade de circulação de pessoas. Com base no resultado que obteve na alínea anterior, indique quais os troços que recomendaria serem intervencionados, por forma a aumentar o número máximo de pessoas a circular na rede esquematizada na figura 2. 3
Resolução 1. (a) i) A COP atribuiria um total de 8 bolsas: 6 bolsas coletivas e 2 bolsas individuais. Esta solução corresponde ao nó 3, que é a única solução inteira presente até ao momento. ii) Se parasse neste momento a resolução, a COP poderia ainda não ter a solução ótima para o problema, uma vez que o Nó 1, o Nó 4 e o Nó 5 ainda não foram totalmente explorados e podem levar a uma solução melhor (estes nós correspondem a problemas com solução ótima não inteira e com um valor para a função objetivo superior ao valor da melhor solução ótima inteira até ao momento). O número de bolsas que a COP poderia deixar de atribuir é dado pelo valor máximo do erro absoluto, que corresponde à diferença entre os melhores limites superior e inferior. O melhor limite inferior é dado pela solução do sub-problema do Nó 3 (melhor solução inteira), e é igual a 8. O melhor limite superior é dado pela solução do sub-problema do Nó 1 (melhor nó ainda não completamente explorado), e é igual a 10. É de notar que todos os coeficientes da função objetivo são inteiros logo, uma solução inteira obtida pela ramificação do Nó 1 não poderá ter uma função objetivo maior que 10. Erro absoluto máximo = limite superior - limite inferior = 10-8 = 2 (b) A IOCOP tem utilizado uma estratégia de ramificação em profundidade, uma vez que ramifica sempre o último nó a ser gerado. Se continuar com a mesma estratégia, o próximo nó a ser ramificado será o Nó 5. Além deste ter sido o último nó a ser gerado, possui uma solução não inteira e um valor para a função objetivo superior ao limite inferior. (c) A ramificação total do Nó 5 dá origem a dois novos sub-problemas: Nó 6 e Nó 7. O Nó 6 corresponde ao nó 5 com a seguinte restrição adicional: y apple 3. Na figura?? encontra-se a resolução gráfica deste novo sub-problema. Além das restrições do problema original, estão presentes as restrições das ramificações anteriores: x apple 8, y 3, x apple 6, y apple 3, resultando na região admissível a cinza (reta). A solução ótima deste sub-problema, indicada a vermelho, corresponde ao ponto (6,3). A isolinha da função objetivo, que permitiu achar a solução ótima, encontra-se a tracejado. 11 10 x = 6 x = 8 9 8 x + y = 9 Y 7 6 5 4-0,25 x + 0,75 y = 0 3 2 y = 3 x = 2 1 x + 3,7y = 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 X Figura 3: Resolução gráfica do sub-problema do Nó 6 O Nó 7, por sua vez, corresponde ao nó 5 com a seguinte restrição adicional: y 4. Na figura?? encontra-se a resolução gráfica deste novo sub-problema. Além das restrições do problema original, estão presentes as restrições das ramificações anteriores: x apple 8, y 3, x apple 6, y 4, resultando na região admissível a cinza. A solução ótima deste sub-problema, indicada a vermelho, corresponde ao ponto (3.2,4). A isolinha da função objetivo, que permitiu achar a solução ótima, encontra-se a tracejado. 4
11 10 9 8 x = 6 x = 8 7 x + y = 7,2 Y 6 5 4 3 2-0,25 x + 0,75 y = 0 y = 4 y = 3 y = 2 1 x + 3,7y = 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 X Figura 4: Resolução gráfica do sub-problema do Nó 7 Nó 5 Y = 3,2 Z = 9,2 X 6w Y 3a Y 4s Nó 6 Y = 3 Z = 9 Nó 7 X = 3,2 Y = 4 Z = 7,2 Figura 5: Atualização da Árvore de Branch-and-Bound (d) A IOCOP continua sem saber se possui a solução ótima, uma vez que o Nó 1 continua sem estar totalmente explorado (os Nós 4 e 5 consideram-se já explorados, uma vez que não poderão originar soluções inteiras melhores que 9). No entanto, a resolução deste novo sub-problema levou a uma melhoria da solução, que passou de 8 bolsas para 9 bolsas atribuídas. Valeu então a pena a sua resolução. 5
2. (a) A rede que traduz o problema e as respetivas capacidades pode ser representada através do esquema seguinte: (b) As iterações correspondentes ao algoritmo fluxo máximo estão representadas a seguir. O primeiro caminho não saturado escolhido foi: 1-3-6-8. Fluxo= min{200,150,130}=130 O segundo caminho não saturado escolhido foi: 1-4-5-8. Fluxo= min{300,150,300}=150 6
O terceiro caminho não saturado escolhido foi: 1-2-7-8. Fluxo= min{350,250,200}=200 Na figura anterior está representado um corte mínimo que separa totalmente a entrada da saída. Podese afirmar que o número máximo de pessoas que pode circular na rede de metropolitano analisada é 480 pessoas por hora. (c) Os troços recomendados para intervencionar correspondem aos arcos do corte mínimo: 4-5; 6-8 e 7-8. 7