Investigação Operacional

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Investigação Operacional Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliação contínua Duração: 2h30 A FIA Fédération Internationale de l Automobile gere os desportos motorizados a nível mundial. Fundada em 1904, com sede em Paris, a FIA é uma associação sem fins lucrativos. Agrega 228 associações nacionais de 132 países, distribuídos pelos 5 continentes. Os membros destas organizações representam mais de 100 milhões de condutores e suas famílias. A FIA tem representado os direitos das organizações e dos utilizadores dos veículos motorizados através de campanhas e actividades que defendem os seus interesses. A FIA promove activamente os interesses dos condutores junto das Nações Unidas, da União Europeia e outras corpos internacionais, em assuntos como a segurança, a mobilidade, o ambiente e as leis de protecção do consumidor. Mas a FIA também governa os desportos motorizados a nível mundial. Define as regras e regulamentos para todas as competições internacionais motorizadas de 4 rodas, incluindo o Campeonato do Mundo de Fórmula 1, o Campeonato do Mundo de Rallies e o Campeonato do Mundo de Touring. O Conselho Mundial para o Desporto Motorizado (WMSC World Motor Sport Council) é o órgão da FIA responsável por todos os aspectos do desporto motorizado internacional. Na sua acção, o WMSC, dá prioridade à melhoria nas normas de segurança e normas ambientais em todas as formas do desporto, adopta regulamentos comuns para as várias séries competitivas e nutre as raízes do desporto motorizado, desenvolvendo todas as suas formas, especialmente entre os jovens e nos países em vias de desenvolvimento. 1

2 1. (20/3 valores) A FIA, Federação Internacional do Automóvel, é a entidade que governa o desporto automóvel mundial e a federação das principais organizações de desportos motorizados. Neste contexto, a FIA terá de garantir a supervisão de várias actividades da organização da 5 a prova do Campeonato Mundial de Rally, que vai ter lugar entre 23 e 26 de Abril na Argentina. A contratação dos serviços de charters de helicópteros necessários para as deslocações dos funcionários desta Federação é uma das tarefas da responsabilidade da equipa das operações logísticas da FIA (ELFia). Após pesquisa da oferta local deste tipo de serviços, a ELFia compilou a informação apresentada na Tabela I, relativa às três principais empresas de charters. O número máximo de passageiros que cada modelo de helicóptero pode transportar, bem como a velocidade de cruzeiro de cada um deles, são indicados na Tabela II. Modelo de N o máximo de Velocidade helicóptero passageiros de cruzeiro Bell JetRanger milhas/hora Eurocopter AStar milhas/hora Eurocopter TwinStar milhas/hora Bell LongRanger milhas/hora Tabela II Características dos modelos de helicóptero Os funcionários da FIA deslocam-se sempre em grupos de 2, 3, 4, 5 e 6 elementos. Foi feito um levantamento das necessidades de transporte dos funcionários da FIA para o período da prova, tendo-se determinado o número de milhas a efectuar por dimensão do grupo a transportar (Tabela III). 2

3 Dimensão do grupo N o de milhas a transportar a efectuar Tabela III Necessidades de transporte A ELFia pretende construir um modelo de programação linear que lhe permita determinar a política mais económica de aluguer dos helicópteros necessários ao transporte dos elementos da FIA, tendo em conta a seguinte informação: num determinado helicóptero só pode viajar um único grupo; a duração dos voos pode ser calculada com base na velocidade de cruzeiro dos helicópteros; o número de horas de voo de cada helicóptero que for alugado não pode exceder as 64 horas no período referido. (a) Descreva detalhadamente (apenas por palavras) a função objectivo para este problema. (b) Descreva detalhadamente (apenas por palavras) todas as restrições para este problema. (c) Defina de forma clara (por palavras) o significado das variáveis de decisão para este problema. (d) Escreva o modelo de programação linear para este problema. (e) Admita agora que, pelo simples facto de se alugar um determinado modelo de helicóptero a uma das empresas, se incorre no pagamento de uma caução (não reembolsável, e que é fixa independentemente do número de aparelhos desse modelo que foram alugados a essa empresa). O valor dessa caução varia com o modelo do aparelho e com a empresa contratada, conforme se apresenta na Tabela IV. Reformule o modelo da alínea anterior considerando estes novos dados. Modelo de Valor da caução helicóptero ARGENTAIR HELIARG AIRPAMPAS Bell JetRanger e e e Eurocopter AStar e e e Eurocopter TwinStar e e e Bell LongRanger e e e Tabela IV Valor das cauções 3

4 2. (20/3 valores) A FIA pretende, na próxima época, alargar as competições de desportos motorizados aos países da Ásia Central: Kazakhstan, Kyrgyzstan, Mongolia, Tajikistan, Turkmenistan and Uzbekistan, criando um novo circuito num desses países. De todos esses países foi escolhida a Mongólia, dado o empenho dos seus governantes em manter fortes laços com os países ocidentais. Os custos da construção desse novo circuito na Mongólia, junto à capital Ulaanbaatar, são muito elevados porque é necessário, para além do circuito em si, fazer várias intervenções nas infraestruturas de transportes e também infraestruturas hoteleiras. Para ajudar a suportar esses custos a FIA poderá lançar uma campanha forte para angariação de fundos para esse novo circuito. A FIA é já muito experiente neste tipo de situações e os seus dirigentes sabem que a campanha de angariação de fundos corresponde a um investimento elevado e não é seguro que os resultados financeiros sejam satisfatórios ou mesmo positivos. De facto a resposta à campanha de angariação de fundos depende fortemente do índice de corrupção do Estado. Esse índice de corrupção foi de 10 no último estudo divulgado. Se, quando forem divulgados os novos resultados, a Mongólia tiver um índice de corrupção igual ou inferior a 5, estima-se que a campanha renda 3 milhões de Euros. Caso contrário a campanha de angariação de fundos trará um prejuízo de 2 milhões de Euros. A probabilidade do próximo índice de corrupção a ser divulgado ser igual ou inferior a 5 é de 60%. Claro que, se nenhuma campanha for levada a cabo, não há qualquer despesa nem receita extraordinária para alargar as competições de desportos motorizados aos países da Ásia Central. (a) Apresente uma formulação de teoria de decisão para este problema, indicando claramente as acções alternativas, os estados da natureza e os custos/lucros associados. (b) Indique qual a melhor decisão segundo o critério da Maximização do Valor Esperado. (c) Um analista internacional, especialista na avaliação dos índices de corrupção de estados com base em inquéritos a diversas personalidades propõe-se fazer uma avaliação prévia do índice de corrupção na Mongólia. Esse estudo custará Euros. Esse especialista já fez vários estudos desse mesmo teor noutros anos e para outros estados e tem a seguinte matriz de credibilidade: P (r k θ j ) Índice corrup. Índice corrup. 5 > 5 Prev. índice corrup. 5 0,75 0,25 Prev. índice corrup. > 5 0,25 0,75 Represente o problema através de uma árvore de decisão e calcule a melhor decisão e o seu valor esperado. 4

5 3. (20/3 valores) O Conselho Mundial para o Desporto Motorizado segue um política de rotatividade nos seus conselheiros, que são escolhidos com particulares cuidados geo-políticos de entre os 5 continentes habitados: África, Américas, Ásia, Austrália com a Oceania, e Europa. Anualmente, os conselheiros de dois destes continentes são substituídos e o Conselho recomposto podendo alterar o número total de conselheiros, sendo este o ano de substituir os conselheiros da Ásia e das Américas. Para se tomar a decisão sobre quantos conselheiros devem ser atribuídos a cada continente, é construída uma função que pesa cuidadosamente factores como a população, o número de eventos desportivos, as contribuições passadas para a FIA, mas também factores negativos, em particular os efeitos que escolher um conselheiro de um continente causa no outro bloco. Os Estados Unidos têm andado a fazer particular pressão para minimizar a participação da China, pelo lado do continente asiático. Assim, o resultado global é uma função custo que associa a cada variável, que representa o número de conselheiros a atribuir ao continente, um peso. Globalmente, essa função custo deve ser minimizada. Como o número de conselheiros tem que ser inteiro (para que entrem para o Conselho Mundial para o Desporto Motorizado vivos), a optimização da constituição do Conselho tem que ser feita através da resolução de um modelo de Programação Inteira, pelo método de branch and bound. Era este o trabalho que Mao Zedong estava a fazer para a FIA quando foi chamado com urgência a consultas à China. A única coisa que conseguiu deixar foi uma lista de sub-problemas que ele já tinha resolvido, mas nem se sabe se tinha terminado o trabalho ou não. Na tabela seguinte resume-se a informação sobre esses sub-problemas, sendo que x representa o número de conselheiros a atribuir à Ásia e y o número de conselheiros a atribuir às Américas. F representa o valor da tal função a minimizar. Sub-problema A B C D E F G x 5 3,9 2 4,2 4,1 4,5 y 2,8 4,8 3 3,1 4 1 F 43,4 48 SSA 46,5 41,3 44,4 45,1 (a) Reconstrua a árvore de sub-problemas. (b) Quais são os melhores limites superior e inferior da pesquisa? Justifique. (c) Já foi encontrada a solução óptima? Justifique. 5

6 Resolução 1. (a) A função objectivo deverá garantir que o custo total é minimizado: Minimizar: custo total = custo das milhas a efectuar + custo das taxas de segurança (b) Número máximo de horas de voo com aparelhos do modelo do tipo i da empresa j. (esse valor máximo é igual a 64 h número máximo de aparelhos disponíveis do modelo i da empresa j). Satisfação das necessidades de transporte de passageiros (em milhas) (c) O que se pretende decidir é o número de milhas a contratar de um modelo do tipo i = 1, 2, 3, 4 à empresa j = 1, 2, 3 para transporte de grupos de dimensão k = 2,..., 6. (d) Modelo Índices i modelo de helicóptero i [1, 2, 3, 4]; j empresa de aluguer de helicópteros j [1, 3]; k número de elementos dos grupos transportados k [2,..., 6]. Dados P m ij preço por milha do modelo i da empresa j; V c i velocidade de cruzeiro do modelo i, em milhas/hora; T x i taxa/hora do modelo i; n ij número máximo de aparelhos tipo i disponíveis na empresa j m k necessidades de transporte (em milhas) de passageiros, em grupos de k elementos Mp i número máximo de passageiros que comporta o modelo i 64 número máximo de horas de voo para qualquer helicóptero. Variáveis de decisão x ijk número de milhas a contratar do modelo i à empresa j, para transporte de grupos de k elementos. Função objectivo O objectivo pretendido é a minimização do custo total, isto é: Restrições min CustoT otal = 4 i=1 3 6 j=1 k=2 ( P m ij + T x ) i x ijk V c i i,j 6 k=2 x ijk V c i 64n ij Estas restrições garantem que o número total de horas de voo dos helicópteros de um determinado modelo de uma determinada empresas não ultrapassa o número 6

7 máximo de horas por helicóptero o número de helicópteros desse modelo e dessa empresa. k i:mp i k 3 j=1 x ijk m k Estas restrições garantem que, para cada dimensão dos grupos, o número total de milhas contratadas é igual ou superior ao número de milhas necessárias. j,j,k x ijk 0 Estas restrições garantem que as variáveis são maiores ou iguais a zero. (e) Modelo com custos fixos Índices i modelo de helicóptero i [1, 2, 3, 4]; j empresa de aluguer de helicópteros j [1, 3]; k número de elementos dos grupos transportados k [2,..., 6]. Dados P m ij preço por milha do modelo i da empresa j; C ij valor da caução do modelo i na empresa j; V c i velocidade de cruzeiro do modelo i, em milhas/hora; T x i taxa/hora do modelo i; n ij número máximo de aparelhos tipo i disponíveis na empresa j m k necessidades de transporte (em milhas) de passageiros, em grupos de k elementos Mp i número máximo de passageiros que comporta o modelo i 64 número máximo de horas de voo para qualquer helicóptero. Variáveis de decisão x ijk y ij número de milhas a contratar do modelo i à empresa j, para transporte de grupos de k elementos. variável binária que será igual a 1 se for alugado algum helicóptero do modelo i à empresa j e que será igual a 0 caso contrário. Função objectivo O objectivo pretendido é a minimização do custo total (incluindo o custo das cauções), isto é: min CustoT otal = 4 i=1 3 6 j=1 k=2 ( P m ij + T x ) i x ijk + V c i 4 i=1 3 C ij y ij j=1 7

8 Restrições i,j 6 k=2 x ijk V c i 64n ij Estas restrições garantem que o número total de horas de voo dos helicópteros de um determinado modelo de uma determinada empresas não ultrapassa o número máximo de horas por helicóptero o número de helicópteros desse modelo e dessa empresa. k i:mp i k 3 j=1 x ijk m k Estas restrições garantem que, para cada dimensão dos grupos, o número total de milhas contratadas é igual ou superior ao número de milhas necessárias. i,j 6 k=2 x ijk My ij Estas restrições fazem a ligação entre as variáveis de decisão x e as variáveis de decisão y, garantindo que se, para algum i, j, x ij > 0 então y ij = 1. j,j,k x ijk 0 Estas restrições garantem que as variáveis são maiores ou iguais a zero. 8

9 2. (a) Acções alternativas: Fazer campanha de angariação de fundos; Não fazer campanha de angariação de fundos. Estados da natureza: na Mongólia a ser publicado no próximo ano: 5; na Mongólia a ser publicado no próximo ano: > 5. Matriz de decisão: Acontecimentos da natureza Índice corrup. Índice corrup. Acções 5 > 5 Fazer campanha 3-2 Não fazer campanha 0 0 Probabilidade de ocorrência 60% 40% (b) Acontecimentos da natureza Índice corrup. Índice corrup. Valor Acções 5 > 5 esperado Fazer campanha ( 2) 0.4 = 1 Não fazer campanha Probabilidade de ocorrência 60% 40% MVE (c) Matriz de credibilidade do analista internacional: P (r k θ j ) Índice corrup. Índice corrup. 5 > 5 Prev. índice corrup. 5 0,75 0,25 Prev. índice corrup. > 5 0,25 0,75 Probabilidade de ocorrência 60% 40% Resultado da experiência r 1 : Prev. índice corrup. 5 Resultado da experiência r 2 : Prev. índice corrup. > 5 P (r 1 ) = 0, 75 0, 6 + 0, 25 0, 4 = 0, 55 P (r 2 ) = 0, 25 0, 6 + 0, 75 0, 4 = 0, 45 P (θ j r k ) Índice corrup. Índice corrup. 5 > 5 0,45 0,1 Prev. índice corrup. 5 0,55 0,55 Prev. índice corrup. > 5 0,15 0,45 0,3 0,45 1 Me (fazer campanha) 9

10 1.01 Previsão índice de corrupção <=5 (0.55) r / 0.55 Lançar campanha angariação de fundos Não lançar campanha angariação de fundos 1.095/ <=5 P = (0.45/0.55) >5 P = (0.1/0.55) <=5 P = (0.45/0.55) M M -0,1 M Recorrer a analista internacional Previsão índice de corrupção >5 (0.45) r Lançar campanha angariação de fundos /0.45 >5 P = (0.1/0.55) <=5 P = (0.15/0.45) -0,1 M M Não lançar campanha angariação de fundos >5 P = (0.3/0.55) M Não recorrer a analista internacional 1 Lançar campanha angariação de fundos Não lançar campanha angariação de fundos 1 0 <=5 P = 0.6 >5 P = 0.4 <=5 P = <=5 P = (0.15/0.45) >5 P = (0.3/0.55) -0,1 M -0,1 M >5 P =

11 3. (a) Pelo enunciado sabemos que este é um problema de minimização. Então, como os valores da função objectivo ou pioram ou se mantêm à medida que vamos descendo na árvore de sub-problemas, temos que começar pelo sub-problema com menor valor de função objectivo, isto é, o E. A análise seguinte que se terá que fazer é se a primeira ramificação é na variável x ou na variável y. Se fosse na variável x não poderia haver mais nenhum sub-problema com valores desta variável entre 4 e 5, o que é manifestamente falso. Então, a primeira ramificação é na variável y e as restrições adicionadas são y 3 e y 4. Pegando no ramo correspondendo ao y 4, os sub-problemas que respeitam esta restrição são o B e o F. O de menor valor é o F, pelo que será este a inserir. A partir do sub-problema F não há alternativa para a ramificação, tem que ser na variável x, por ser a única não inteira: x 4 e x 5. O único sub-problema que, simultaneamente, verifica a restrição x 4 e a anterior y 4 é o B, enquanto não há nenhum que respeite simultaneamente as restrições x 5 e y 4, a não ser o C, que corresponde a um sub-problema impossível. Esta é uma possível arrumação do sub-problema C, já que o mesmo poderia ser também colocado abaixo do nó G. Explorando agora o ramo da árvore que parte do primeiro sub-problema a partir da restrição y 3, o sub-problema de valor mais baixo é o A, sendo que a partir daqui a ramificação tem que ser feita na variável y: y 2 e y 3. Desta forma, os dois sub-problemas restantes arrumam-se em cada um deste ramos de acordo com os valores que apresentam para a variável y. A árvore de sub-problemas resultante é então a seguinte: x = 4,2 y = 3,1 E F = 41,3 y 3 y 4 x = 5 y = 2,8 F = 43,4 A x = 4,1 y = 4 F = 44,4 F y 2 x = 4,5 y = 1 G x 4 F = 45,1 x = 3,9 y = 4,8 F = 48 B y 3 x = 2 y = 3 D x 5 F = 46,5 SSA C (b) O melhor limite superior é a melhor solução inteira já encontrada, isto é, o correspondente ao valor da função objectivo do sub-problema D: 46,5. O melhor limite inferior corresponde ao valor da função objectivo do sub-problema mais promissor ainda não explorado. Neste caso há dois sub-problemas não explorados, o nó B e o nó G. O mais promissor é o que tem menor valor de função objectivo, isto é, o sub-problema G: 45,1. (c) Se, por um lado, o sub-problema B nunca poderá dar origem a uma solução inteira 11

12 melhor do que a D, porque o valor da função objectivo já é 48, o sub-problema G ainda poderá gerar alguma solução inteira melhor do que a D, razão pela qual não podemos afirmar que a solução óptima já foi encontrada. 12