Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Disciplina: TRANSPORTES Prof. Responsável: José Manuel Viegas

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Civil Disciplina: TRANSPORTES Prof. Responsável: José Manuel Viegas Sessão Prática 11 (Tipo A): Modelos de distribuição de 1/29

2 Conceitos básicos A estimação indirecta de matrizes O/D pode ser feita com base em dois modelos relativamente simples: Um modelo de geração, que estima o número de com origem ou destino em cada zona, a partir da sua carga de usos do solo (que motivam essas ) Com este modelo ficamos a conhecer uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D Um modelo de distribuição, que estima para onde se dirigem as iniciadas em cada zona, e / ou onde tiveram origem as que se sabe terminarem numa zona Com este modelo preenche-se o miolo da matriz 2/29

3 Modelo de distribuição No fim do 1º passo conhece-se uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D, e aqui o que se pretende é estimar o miolo a partir dessa bordadura completa ou parcial No caso mais simples, conhece-se apenas uma bordadura, por exemplo a das atracções. Este modelo é habitualmente chamado de modelo gravitacional a uma restrição (aqui, o somatório das por coluna é constrangido a tomar o valor obtido no 1º passo). Nesse caso, a pergunta é: do total de que chegam à zona j, quantas tiveram origem em cada uma das zonas i? Essa pergunta pode ser formulada em termos probabilísticos: para cada uma das terminadas em j, qual a probabilidade que tenha sido iniciada em i? Se conhecermos estas probabilidades p(i j), o fluxo T ij será obtido por T ij D j p( i j) 3/29

4 Modelo Gravitacional (I) A expressão actualmente mais utilizada é : p( i com o parâmetro β obtido por calibração C M i e C M k e A expressão do denominador é formalmente igual à do numerador e é independente da zona i cuja probabilidade de emissão se pretende estimar. De facto, esse valor do denominador depende apenas de j, e da sua distância ao conjunto das outras zonas. Pode por isso designar-se A j C p( i j) M ij i Aj e Se se considerar o caso em que se conhecem as duas bordaduras, ou seja o modelo gravitacional a duas restrições, a abordagem ingénua levaria a resolver sucessivamente o modelo a uma restrição para o lado da atracção e para o lado da geração, mas isso conduz a resultados bastante diferentes nos dois casos j) k ij kj 4/29

5 Modelo Gravitacional (II) A formulação que permite resolver simultaneamente as restrições nos dois sentidos deve ainda preservar o espírito gravitacional, isto é, a proporcionalidade ao produto das massas e a degradação com o aumento da distância ou custo de deslocação entre as zonas em causa. Como neste caso conhecemos a quantidade de gerada O i e atraída D j por cada zona i [são estes os resultados do 1º passo], é natural que se usem estas variáveis como massas das zonas Teríamos então uma fórmula do tipo Tij f Oi D j e sendo f tal que se verifiquem as seguintes restrições j i T T ij ij O i D j C ij 5/29

6 Modelo Gravitacional (III) A forma de resolver este problema é através da criação de duas novas variáveis, agora designadas A i e B j T ij O i em que a satisfação duma daquelas restrições de soma impõe que seja 1 Ai Cij D j B j e e a satisfação da outra j 1 B j Cij O A e i i i A Verifica-se que as expressões da A i e de B j se invocam uma à outra, o que levanta alguns problemas para a calibração do parâmetro i D j B j e C ij 6/29

7 Modelo Gravitacional (IV) A forma mais simples de fazer a calibração do modelo a duas restrições é: Começar por arbitrar valores para o parâmetro β e para a variável A (por exemplo A i = 1, para todas as zonas i), Substituir esses valores nas expressões de B j, Calibrar de seguida o valor óptimo de β e da variável A Com esse valor de β e da variável A, calculam-se os novos valores de B j que deles decorrem, passando a uma nova iteração de calibração simples de β. O processo converge normalmente em poucas iterações 7/29

8 Falibilidade dos processos de estimação de matrizes por modelos analíticos Os modelos de geração / atracção e de distribuição produzem frequentemente resultados de qualidade relativamente baixa Porque correspondem a escolhas em que intervêm factores mais difíceis de medir e representar adequadamente por modelos lineares baseados em variáveis contemporâneas entre esses factores sobressaem as economias de aglomeração, os hábitos dos cidadãos, e mesmo o estar na moda Admite-se por isso que poderão ser menores os erros de estimação de situações futuras se se adoptar em sua substituição uma abordagem diferencial, pela qual se projecta a matriz O/D presente para uma futura esta abordagem implica parcimónia nos horizontes de projecção que aliás a própria evolução dos padrões de actividades já implicaria na abordagem global 8/29

9 Estimação indirecta de Matrizes: Métodos de Projecção O problema é o seguinte: Supostos conhecidos uma matriz O/D de fluxos actuais estimativas da evolução da capacidade geradora e atractora das várias zonas a um horizonte dado estimar uma nova matriz O/D para esse horizonte que respeite os novos totais de geradas e atraídas por cada zona que tenha uma estrutura tão semelhante quanto possível com a matriz anterior 9/29

10 MÉTODOS MAIS COMUNS DE PROJECÇÃO DAS MATRIZES Factor Uniforme de Crescimento: Factor de Crescimento Simplesmente Restringido: T T G ou T ijtˆ ijtˆ T ijtˆ T ijt T ijt ijt G ittˆ G ttˆ jttˆ Factor de Crescimento Duplamente Restringido (Quase em paralelo, foram desenvolvidos nos anos 60 os métodos de FRATAR e FURNESS) Fratar (americano); trata linhas e colunas conjuntamente Furness (inglês)- trata alternadamente linhas e colunas da matriz 10/29

11 MÉTODOS DE FRATAR E FURNESS CARACTERÍSTICAS GERAIS: Usados para estimar matrizes de anos futuros com base numa matriz para o ano base e em factores de crescimento (das gerações e atracções) de cada zona; Preservam, tanto quanto possível, a estrutura da matriz original; Adequados quando se possui uma matriz original totalmente preenchida; 11/29

12 MODELO FURNESS Formulação Matemática (I) Dados: F 1 (i,j): matriz de fluxos O/D actuais x(i): factor multiplicativo do total de geradas por i y(j):factor multiplicativo do total de atraídas por j Somatórios R 1 (i) = soma dos fluxos actuais na linha i C 1 (j) = soma dos fluxos actuais na coluna j R 0 (i) = R1(i) * x(i) = soma dos fluxos futuros na linha i C 0 (j) = C1(j) * y(j) = soma dos fluxos futuros na coluna j Pretende-se obter F 0 (i,j): matriz de fluxos O/D futuros 12/29

13 MODELO FURNESS Formulação Matemática (II) O método de Furness é iterativo, procurando em cada iteração ajustar os valores de cada linha / coluna por forma a atingir os somatórios correctos futuros nessa direcção as iterações ímpares são em linha, e as pares em coluna Para isso, no início de cada iteração, obtém-se o novo conjunto de factores multiplicativos x k (i) = R 0 (i) / R k (i) ou y k (j) = C 0 (j) / C k (j) Aplicando-se de seguida esse novo factor a todos os elementos de cada linha (ou coluna) F k+1 (i,j) = F k (i,j) * x k (i) ou F k+1 (i,j) = F k (i,j) * y k (j) Deve definir-se à partida a margem de erro aceitável compatível com o rigor dos dados, raramente melhor que 2% ou mesmo 5% O processo converge muito rapidamente 13/29

14 Exercício Enunciado Calibre o modelo gravitacional para a matriz seguinte O/D Total Total A função de impedância é do tipo exp(β*c(ij)). A matriz de custos generalizados é a seguinte: /29

15 Exercício 11.1 Resolução (I) Expressões necessárias para a resolução do problema F( i, j) O( i)* A( i)* D( j)* B( j)*exp( * c( i, j)) A( i) B( j) k m 1 [ D( k)* B( k)*exp( *( c( i, k))] 1 [ O( m)* A( m)*exp( *( c( m, 1ª iteração (arbitrar A e Beta, calcular B e fluxos, calibrar A e Beta) j))] Os valores arbitrados inicialmente para A e beta são os seguintes: A beta 15/29

16 Exercício 11.1 Resolução (II) Calcular a matriz exp(β*c(ij)) com os valores iniciais arbitrados para beta Para estes valores calcular B e estimar os fluxos, assim como os erros quadráticos entre as previsões e os valores observados. Os valores iniciais de B são os seguintes B(dep. de A) B*D /29

17 Exercício 11.1 Resolução (III) As estimativas dos fluxos são Total Total A soma dos erros quadráticos é 64753, e o coeficiente de correlação entre os valores observados e os valores estimados é de 0,516 Em seguida utilizar o solver do Excel para se estimar os novos beta, A e B (resolvendo o problema em ordem a A e B, de modo a minimizar a soma dos erros quadráticos) 17/29

18 Exercício 11.1 Resolução (IV) 18/29

19 Exercício 11.1 Resolução (V) Os novos valores de A e beta são beta A A*O Os novos valores de B são A matriz de fluxos resultante da 1ª iteração é Soma Soma A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é B(dep. de A) B*D O valor da soma dos erros quadráticos é 917, e o coeficiente de correlação é 0,986 19/29

20 Exercício 11.1 Resolução (VI) 2ª iteração Calcular A a partir de B, calcular B e fluxos, calibrar beta Os novos valores de A calculados a partir de B são A A*O Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados. Os resultados da calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor: A soma dos erros quadráticos é 934,86 e o coeficiente de correlação é 0,986 Estes parâmetros são piores que os da 1ª iteração, mas tal deve-se ao facto de que acrescentámos mais uma restrição na 2ª iteração 20/29

21 Exercício 11.1 Resolução (VII) A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é Os valores finais de B (após a calibração de beta) são B B*D dif.rel.iter.ant Os fluxos estimados são Calcula-se também a diferença relativa entre B e o B da iteração anterior, a qual serve de critério de paragem /29

22 Exercício 11.1 Resolução (VIII) 3ª iteração Os passos são semelhantes aos da iteração anterior. Estimação inicial de A (com base nos B s finais da iteração anterior) A A*O Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados Os resultados da calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor: A soma dos erros quadráticos é e o coeficiente de correlação é 0,986 22/29

23 Exercício 11.1 Resolução (IX) A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é Os valores finais de B (após a calibração de beta) são B B*D dif.rel.iter.ant A matriz resultante de fluxos é a seguinte: Os resultados das diferenças entre B e o B anterior são suficientemente pequenos para se considerar que o processo iterativo pode terminar nesta iteração. Nota: Os resultados da calibração são melhores que o habitual com o modelo gravitacional porque este exercício foi feito com poucos graus de liberdade (variáveis a estimar menos parâmetros calibrados). 23/29

24 EXERCÍCIO 11.2 (MODELO FURNESS) Dados do Problema Somas iniciais Coefs. Somas finais Matriz inicial Dados do problema Soma_ini Coef.Mult Soma_fin , , , , , , Soma_ini Coef.Mult 1,06 1,125 0,92 1,07 0,95 1,13 Soma_fin Tolerância pretendida na convergência 2% Somas iniciais Coefs. erro de fecho Somas finais 24/29

25 EXERCÍCIO Iteração 1 em linha Após iteração nº 1 / Em linha soma dos inteiros soma dos inteiros coef erro 1.4% 5.9% 13.4% 3.1% 6.7% 8.4% Erros maiores que a tolerância coefs. para prox. iteração 25/29

26 EXERCÍCIO Iteração 1 em coluna Após iteração nº 1 / coluna soma dos inteiros coef erro % % % % % % soma dos inteiros coefs. para prox. iteração Erros maiores que a tolerância 26/29

27 EXERCÍCIO Iteração 2 em linha Após iteração nº 2 / linha soma dos inteiros soma dos inteiros coef erro 0.5% 0.3% 0.5% 0.5% 0.1% 0.5% Erros inferiores à tolerância coefs. para prox. iteração 27/29

28 EXERCÍCIO Solução Final Solução final, após 2 iterações (incompletas) soma dos inteiros ,0% ,0% ,0% ,0% ,0% ,0% soma dos inteiros erro 0,5% 0,3% 0,5% 0,5% 0,1% 0,5% erro 28/29

29 MODELO FURNESS Problemas com estes métodos As iterações só podem começar depois de ter factores multiplicativos que conduzam a bordaduras equilibradas normalmente este ajuste faz-se com facilidade Uma célula da matriz com o valor zero no ano base fica sempre com o valor zero Genericamente, o método não consegue ser sensível a dois factores importantes de evolução da matriz real de deslocações (que de facto mudam a estrutura dessa matriz) instalação de novos geradores em terrenos antes vazios construção de novas infra-estruturas de transportes que facilitem algumas ligações antes muito difíceis A melhor forma de ultrapassar estas debilidades é por aplicação externa de um modelo gravitacional na linhas / colunas onde ocorrem essas situações (calibrado na situação de base e aplicado com as novas massas na situação futura) 29/29