m/s. Analise o problema assumindo

5.1. Uma bola com massa m 1 = 1 g colide com um alvo parado de massa m 2. Considere que a colisão é completamente elástica e que a velocidade inicial da bola é v 1 = 1 e x m/s. Analise o problema assumindo que a colisão se passa ao longo de uma direcção que une o centros de massa de m 1 e m 2. a) Considere que há conservação da energia e do momento linear na colisão e demonstre que as expressões para v1 a velocidade da bola após a colisão e v2 a velocidade do alvo após a colisão são dadas, respectivamente, por: v 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 e v 2 = 2m 1 m 1 + m 2 v 1 b) Calcule a velocidade final da bola e do alvo nos casos em que: i) a massa da bola e do alvo são iguais; ii) a massa do alvo pode ser considerada infinitamente maior que a massa da bola. Resposta: i) v 1 = 0, v 2 = v 1; ii) v 1 = v 1, v 2 = 0. c) Calcule o momento linear transferido ao alvo nos casos anteriormente definidos como i) e ii) por cada colisão. Resposta: i) p 2 = p 1; ii) p 2 = 2p 1 5.2. Uma bola (A) é lançada com uma velocidade inicial v o,a = v 0 e x m/s de uma altura h. A uma distância D está uma outra bola (B), à mesma altura h. Um mecanismo assegura que a bola A é lançada na direcção da bola B e exactamente no mesmo instante em que a bola B é deixada cair sem velocidade inicial. As massas de A e B são iguais. a) Obtenha a expressão para a velocidade mínima que deverá ter a bola A para que possa colidir com a bola B, em função da distância D e da altura h? Resposta: Este problema é idêntico ao problema 2.5. O cálculo da velocidade mínima aí feito conduziu ao resultado v min = D g/(2h). b) Considere v o,a = 5 e x m/s, h = 1, 5 m e D = 2 m. Se por falha dos sistema, A e B fossem lançadas em instantes diferentes e não houvesse colisão, quais seriam as componentes das velocidades de A e B quando tocassem no chão? Ao fim de quanto tempo A 61

e B chegariam ao chão? Determine as coordenadas dos pontos em que A e B chegam ao chão. Resposta: Na alínea d) do exercício 2.5 obtivemos já o valor para o tempo de queda e as expressões da velocidade (embora neste caso v o,a seja diferente). Falta só obter as coordenadas dos pontos de chegada: v A = (5 e x 5, 4 e y ) m /s, v B = 5, 4 e y m/s, t = 2h/g 0, 55 s; r A = 2, 77 e x m, r B = 2 e x m A 01 00 11 00 11 000 111 v i 000 111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 L c) Considere os valores indicados no enunciado, nomeadamente que a bola A é lançada com uma velocidade inicial v o,a = 5 e x m/s. Ao fim de quanto tempo se dá a colisão? Resposta: t = 2/5 = 0, 4 s d) A que altura do chão se dá a colisão? Resposta: 0, 72 m e) Quais as componentes da velocidade ( v x,a, v y,a ) para a bola A e ( v x,b, v y,b ) para a bola B no instante antes da colisão? Resposta: v A = (5, 3.9) m /s, v B = (0, 3.9) m /s f) Considere que a colisão entre A e B é uma colisão elástica. Calcule as componentes (v x, v y) das velocidades de A e B logo após a colisão. Justifique a resposta considerando que há conservação da energia cinética e conservação do momento linear durante a colisão. Sugestão: Compare esta colisão com as conclusões do exercício 5.1 quando as massas são iguas. Resposta: v A = (0, 3.9) m /s, v B = (5, 3.9) m /s g) Calcule as coordenadas (x A, y A ) do ponto onde A atinje o solo e as coordenadas (x B, y B ) onde B atinge o solo após a colisão. Resposta: r A = 2 e x m, r B = 2, 77 e x m 5.3. Uma bola (A) é lançada por um dispositivo como indicado na figura ao lado e colide com outra bola B suspensa do tecto por um fio de comprimento L. A bola A, no ponto mais alto da sua trajectória, bate em B. A e B são praticamente pontuais, i.e. os raios de A e B são muito inferiores a L e h; têm massas iguais e a colisão é elástica. Menospreze o atrito do ar. 111 000 B h a) Determine a condição para que B alcance o tecto, em função da altura h e de L, i.e. determine a energia mínima de lançamento de A para que B atinja o tecto. 62

Uma vez que A e B realizam um choque elástico e têm a mesma massa, sabemos pelo exercício 5.1 que, logo após a colisão, A tem velocidade 0, transmitindo toda a energia cinética a B. Uma vez que A está no ponto mais alto da sua trajectória, a sua energia cinética é E c,a = 1 2 mv2 0,x e essa energia tem de ser igual à variação de energia potencial de B quando este toca o tecto, E c,a = E p,b = mgl. Por sua vez quando A atinge B, para além de energia cinética, tem uma energia potencial E p,a = mg(h L). Somando os dois termos, obtemos a energia mínima de lançamento de A: E 0,A = E c,a + E p,a = mgh. b) Considere que a velocidade inicial de A é 20 m /s e faz um ângulo α = 30 o com a horizontal, m A = m B = 0, 5 kg e L = 30 cm. Escreva as equações do movimento de A antes e depois da colisão. Determine o instante e a distância ao ponto de lançamento em que A chega ao chão. Determine a altura máxima, h B,max, a que B consegue chegar. Antes da colisão: Depois da colisão: x(t) = v 0 cos(α)t (5.1) y(t) = v 0 sin(α)t 1 2 gt2 (5.2) x(t) = x col y(t) = 1 2 gt2 Para determinar ao fim de quanto tempo A volta ao chão, comecemos por determinar o intervalo de tempo até à colisão, t c, à altura h L. derivando a equação (5.2) obtemos v y (t) = v 0 sin(α) gt Uma vez que no instante da colisão, t c, A está no ponto mais alto da trajectória, v y (t c ) = 0 e obtemos t c = v 0 sin(α) g = 1,02 s. Por outro lado, a bola levará exactamente o mesmo tempo a cair. Assim, o tempo até A voltar ao chão será 2t c = 2, 04 s. 63

Note que conhecendo o valor do tempo de colisão e usando a equação (5.2), podemos obter a altura h: h L = v 0 sin(α)t c 1 2 gt2 c donde obtemos a altura h = 1 v0 2 sin2 (α) 2 g + L = 5,4 m. Por sua vez a distância a que se dá a colisão pode ser obtida da equação (5.1): x c = v 0 cos(α)t c = 17,67 m Por fim, podemos obter a altura a que B pode chegar h B,max, a partir da conservação da energia para B e da condição h B,max h. Usando os valores da alínea a), podemos obter a altura a que B chegaria se estivesse livre e não estivesse limitado pelo tecto: h B = v 2 0 cos 2 (α)/(2g) + (h L) = 15, 3 m + 5, 1 m = 20, 4 m Como este valor é superior a h, a bola B baterá no tecto e portanto h B,max = h. c) Considere agora uma nova situação em que a colisão entre A e B é completamente inelástica. Após a colisão A e B seguem coladas. Obtenha a expressão para a h maxa+b altura máxima atingida por A+B. Calcule essa altura para h = 20, 4 m. Neste caso, como a colisão não é elástica, a energia mecânica não se conserva na colisão. Contudo conserva-se o momento linear, o que nos permite determinar a velocidade depois do impacto: mv 0 cos(α) = 2mv AB v AB = 1 2 v 0 cos(α) A lei da conservação da energia para o conjunto A+B permitenos obter a altura máxima h, h B = v2 0 cos2 (α) 8g + (h L) = 3, 8 m + 5, 1 m = 8, 9 m Também neste caso, apesar da diminuição do primeiro termo, as duas bolas batem no tecto e, portanto, h maxa+b = h. 5.4. Um vagão (M = 300 kg) move-se ao longo de um plano horizontal, como representado na figura 5.1. No instante t o a sua velocidade é v = 7 m /s. Nesse instante começa a receber areia de uma tremonha fixa ao solo. A massa de areia recebida é no total de m areia = 200 kg. 64

v f Figura 5.1.: Vagão a carregar e descarregar a) Qual a velocidade do vagão quando ficou carregado com os 200 kg de areia? R: M M+m areia v = 4.2 m/s b) No instante t 1, o vagão começa a despejar areia por uma fenda que se abriu no chão. A areia cai na vertical. Calcule a velocidade do vagão quando perdeu metade da areia. E quando perdeu toda a areia? R: A velocidade do vagão não se altera pelo facto da areia estar a cair pois isto corresponde à situação em que a areia sai do vagão com a mesma velocidade deste. 5.5. Um vagão (M = 230 kg) move-se ao longo de um plano horizontal, como representado na figura 5.2. No instante t o a sua velocidade é v = 7 m /s. Nesse instante começa a receber areia de uma tremonha fixa ao solo. A massa de areia recebida é no total de m areia = 200 kg, semelhante ao caso anterior da figura 5.1 curioso v f Figura 5.2.: Vagão a carregar e a ser descarregado a) Qual a velocidade do vagão quando ficou carregado com os 200 kg de areia, considerando que no vagão estava escondido um curioso com m = 70 kg? b) Um curioso, que conseguira esconder-se no vagão e ficara com os cabelos em pé por ter sido coberto com areia, resolve vingarse. No instante t 1, esse curioso começa a despejar areia enchendo sacos de plástico e atirando no sentido contrário ao do movimento 65

A 01 0000 1111 01 h 01 01 00000000 11111111 C do vagão. Os sacos são atirados com uma velocidade de 2 m /s relativamente ao vagão e cada saco tem 3 kg de areia. Atira 4 sacos por minuto. Calcule a velocidade do vagão quando perdeu metade da areia. E quando perdeu toda a areia? 5.6. Um sistema representado na figura ao lado é constituído por três pêndulos de massa e comprimentos iguais. No instante inicial, A é largado de uma altura h com velocidade nula. a) Se os choques forem elásticos, qual a altura máxima atingida pelo pêndulo C? Solução: Como se viu nos exercícios anteriores (ver por exemplo o 5.1), as massas A e B vão ficar paradas e a massa C toma a velocidade da A na altura do choque. Como há conservação da energia do sistema, C alcancará a mesma altura máxima. 11111111111111 00000000000000b) 11111111111111 O que acontece aos outros pêndulos após o choque? Solução: Como discutido na alínea a), ficam parados. c) Suponha agora que as duas esferas B e C estão coladas entre si e que A choca elasticamente com esse sistema. Analise o que se passa com as bolas, a altura máxima de A e do conjunto BC após o choque e compare a energia potencial de A à partida com a soma das energias potencial máxima de A e BC após o primeiro choque. Após o choque de A com o conjunto BC, este é posto em movimento mas a massa A é reenviada para trás, como se conclui da aplicação directa das relações deduzidas na alínea a) do exercício 5.1: v A = 1 3 v 0A, v BC = 2 3 v 0A. A altura máxima de A e do conjunto BC após o choque obtem-se da lei da conservação da energia: mgh A = 1 2 mv2 A, 2mgh BC = 1 2 (2m)v2 BC por substituição dos valores anteriores e como v 0A = 2gh, obtemos h A = 1 9 h, h BC = 4 9 h. 66

Quanto à energia potencial máxima do conjunto vem: E p = mgh A + 2mgh BC = mg 1 9 h + 2mg 4 9 h = mgh, o último valor é a energia potencial inicial da bola A, isto é, há conservação da energia, como seria de esperar uma vez que a colisão é elástica. d) Se após o choque as 3 esferas ficarem ligadas entre si, qual a altura máxima atingida pelo conjunto. Nota: Neste caso a colisão não é elástica. A velocidade da massa A na altura do choque depende da altura h donde partiu e obtem-se do princípio da conservação da energia, mgh = 1/2mv 2 : v 0A = 2gh Após a colisão uma vez que as três massas seguem juntas e a velocidade inicial do conjunto é um terço da velocidade de colisão de A, atendendo à conservação do momento linear, mv 0A = 3mv ABC e portanto v ABC = 1 3 v 0A Por sua vez a altura máxima h deste conjunto pode calcular-se de (3m)gh = 1 2 (3m)v2 ABC Substituindo valores, obtemos h = h/9. Nesta caso, a energia potencial máxima é E p = 3mgh = mgh/3. Uma vez que este valor é inferior à energia potencial inicial de A confirmamos que não houve conservação da energia na colisão de A e 2/3 da sua energia foi aí absorvida. 5.7. Uma superfície faz um ângulo α = 30 o com a horizontal. Sobre a superfície incide segundo a horizontal um fluxo uniforme de esferas, φ, onde cada esfera tem m e = 1 g e velocidade v = 2 m /s. Considere que a superfície tem uma massa m S = 1, 7 kg e está presa por um sistema de fixação que não lhe permite deslocar-se na horizontal nem girar mas permite-lhe deslocar-se na vertical. a) Calcule o momento linear transferido à superfície por cada colisão e indique o sentido desse vector momento linear transferido. Considere que as colisões são elásticas..................................... α 67

Uma vez que a colisão é elástica e a massa do alvo muito maior do que a de uma esfera, a energia da esfera no momento da colisão mantem-se. Isto é, o módulo da sua velocidade imediatamente antes e depois da colisão é o mesmo. A colisão só altera a direcção da velocidade de cada esfera. Decompondo essa velocidade segundo um sistema de eixos segundo a superfície, podemos escrever para a componente normal: p i e N = p e e N + p f e N, onde e N é o versor da normal à superfície e os índices i e f indicam, respectivamente, o momento inicial e final da esfera. Como p i e N = p f e N = mv sin α, virá p e = 2m e v sin α. O vector momento linear transferido aponta na direcção normal à superfície. b) Calcule a força exercida na superfície pelo fluxo de esferas, sua direcção e sentido. Se for φ o fluxo de esferas, a força exercida por esse fluxo é F = dp dt = 2φm ev sin α, A força é normal à superfície apontando no sentido oposto à normal. c) Calcule a componente F S - força de sustentação, e que é a componente vertical da força F que actua na superfície devido às colisões. Calcule qual deve ser o fluxo para a superfície estar em equilíbrio. A força de sustentação é a componente vertical da força F. Usando o resultado anterior (com o eixo yy vertical), F S = F cos α e y = 2φm e v sin α cos α e y O peso da superfície é P = m S g e y. Como, em equilíbrio F S = P, temos m S g φ = 2m e v sin α cos α, substituindo valores obtemos φ 9 619 s 1. 68

5.8. Uma bola de massa igual a 100 g choca contra uma parede, tendo no instante do choque uma velocidade horizontal de 10 m /s. A colisão contra a parede deu-se a 2 m de altura do chão e após a colisão a bola cai a 4 m de distância da parede. a) Calcule o tempo que a bola demora a atingir o chão. b) Calcule as componentes da velocidade da bola após a colisão contra a parede. c) calcule a perda de energia cinética no choque. 5.9. Um neutrão a uma velocidade de 2 700 m /s colide frontalmente com um núcleo de azoto em repouso. Em resultado dessa colisão o neutrão é absorvido. Qual a velocidade final do novo núcleo assim formado? 5.10. Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos iguais quando se encontra a 3 000 m de altura. No instante da explosão a velocidade é de v 0 = 60 e y m/s. Após a explosão um dos fragmentos adquire uma velocidade v 1 = 80 e y m/s. Determine: a) A velocidade e a posição de cada um dos fragmentos no instante após a explosão; Ao ocorrer a explosão o momento linear conserva-se e, se for p 0 o momento da granada antes de explodir e p 01 e p 02 o momento dos dois fragmentos, temos p 0 = p 01 + p 02 ou, se for 2m a massa da granada, atendendo ao valor das velocidades nesse instante: 2m v 0 = m v 01 + m v 02. Substituindo os valores de v 0 e v 01 obtemos v 02 = 200 e y m/s. Já quanto à posição dos fragmentos, no preciso instante da explosão eles ainda não se afastaram pelo que r 01 = r 02 = 3 000 e y m. b) A velocidade e a posição de cada um dos fragmentos 10 segundos após a explosão; As equações do movimento para cada fragmento são idênticas e podemos escrever para o movimento ao longo de yy (não existem 69

componentes em xx): v i (t) = v 0i gt r i (t) = r 0i + v 0i t 1 2 gt2 para i = 1, 2 Substituindo valores, obtemos para t = 10 s: v 1 = 18 m /s e v 2 = 298 m /s r 1 = 3 310 m e r 2 = 510 m c) A velocidade do centro de massa no instante da explosão; O centro de massa é o mesmo da granada. Logo v CM = 60 e y m/s. d) A velocidade e a posição do centro de massa 10 segundos após a explosão; A posição do centro de massa é o que a granada teria se não tivesse explodido: v CM (t) = v 0 gt e y r CM (t) = r 0 + v 0 t 1 2 gt2 e y Substituindo valores, obtemos ao fim de 10 s: v CM = 158 e y m/s, r CM = 1 910 e y m. Obteriamos o mesmo resultado partindo das definições para a velocidade e posição do centro de massa: v CM (t) = m v 1 + m v 2 m + m r CM (t) = m r 1 + m r 2 m + m Usando os valores calculados na alínea b) nestas expressões obtemos os mesmos valores. e) O momento linear total do sistema no referencial do centro de massa. No referencial do centro de massa o módulo do momento linear antes da explosão é zero. Pela lei da conservação do momento 70

tem de manter este valor. Podemos confirmar este valor por substituição directa. A velocidade de cada fragmento em relação ao centro de massa é v i,cm = v i v CM e o momento linear total no centro de massa é p CM = m v 1,CM + m v 2,CM Usando os valores das alíneas b) e d) obtemos v 1,CM = 140 e y m/s e v 2,CM = 140 e y m/s e portanto p CM = 0 kg m/s. f) Como é a variação por unidade de tempo do sistema (constituído pelos dois fragmentos) no referencial de laboratório, em que a granada estava em queda livre antes de explodir. O momento linear do sistema no referencial laboratório é p = m v 1 + m v 2 Usando os valores da alínea b) tem-se p = m(v 01 + v 02 2gt) e y e, a sua variação temporal, d p/dt é d p dt = 2mg e y 5.11. Num dia de chuva intensa em que a altura das nuvens em relação ao solo era de 500 metros, mediram-se várias grandezas para caracterizar essa chuva, obtendo-se: ˆ caudal de água: c = 5 10 3 l m 2 s 1 ; ˆ velocidade das gotas de água: v = 5 m /s; ˆ massa média das gotas de água: m = 65 10 3 kg. a) Qual seria a velocidade das gotas de água se não houvesse atrito do ar? b) Qual o trabalho realizado pelas forças de atrito sobre uma gota de chuva? Calcule o valor médio da força de atrito que actua numa gota de chuva. c) Foi colocada uma balança com dinamómetro à chuva. O prato da balança tem uma área de 0, 4 m 2. Quantas gotas de chuva caem por unidade de tempo no prato da balança? 71

Que peso indica a balança, assumindo que as gotas que caem no prato escorrem de imediato para fora? Sugestão: Calcule o momento transferido à balança por colisão de cada gota de chuva e o número de colisões por segundo. Tente perceber a origem da força que actua na balança e que aparenta ser o peso. 5.12. Uma nave desloca-se a 3 10 3 m/s relativamente à Terra. Quando os motores são ligados libertam combustível a uma velocidade de 5 10 3 m/s relativamente ao foguetão. a) Qual a velocidade relativamente à Terra quando a massa se reduziu a metade? b) Qual a propulsão se queimar combustível a uma taxa de 80 kg /s? 5.13. A massa de um foguetão é no instante inicial M i = 1, 7 10 6 kg. Considere que em cada motor a taxa de libertação de combustíveis líquidos é de 470 kg /s, a velocidade de saída dos combustíveis é v e,liq = 3 600 m /s. a) Qual a propulsão quando tem três motores accionados? b) Qual a resultantes das forças que actuam no foguetão nesta fase? A 0,5 s antes do lançamento dá-se a ignição dos combustíveis sólidos. Estes combustíveis escapam-se com uma velocidade v e,sol =3 300 m /s a uma taxa de 4 000 kg /s. O foguetão tem 2 motores a combustíveis sólidos. a) Quais as forças que actuam no foguetão no momento do lançamento? b) Qual a aceleração no momento de lançamento a que são submetidos os astronautas? c) Ao fim de 100 segundos a massa do foguetão reduziu-se a metade. Qual a aceleração do sistema nesse instante? 72