UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL MARCOS ANDREW RABELO SOEIRO PÓS-PROCESSADOR PARA DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE BARRAS DE PÓRTICO PLANO DE CONCRETO ARMADO FORTALEZA 2009 i

MARCOS ANDREW RABELO SOEIRO PÓS-PROCESSADOR PARA DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE BARRAS DE PÓRTICO PLANO DE CONCRETO ARMADO Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota FORTALEZA 2009 ii

MARCOS ANDREW RABELO SOEIRO PÓS-PROCESSADOR PARA DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE BARRAS DE PÓRTICO PLANO DE CONCRETO ARMADO Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do grau de Engenheiro Civil. Aprovada em / / BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota (Orientador) Universidade Federal do Ceará - UFC Prof. Dr. Augusto Albuquerque Universidade Federal do Ceará - UFC Eng o André Luis Mourão Sólidos Engenharia Estrutural iii

Dedico este trabalho aos meus pais, Marcos Soeiro e Denise Soeiro, pela a oportunidade que me deram para poder chegar aonde cheguei, com muito estudo e dedicação. iv

AGRADECIMENTOS A DEUS, que me deu vida e inteligência, e que me dá força para continuar a caminhada em busca dos meus objetivos. Ao professor Joaquim Eduardo Mota, pela sua paciência e orientação na realização deste trabalho. À minha noiva Silmária, que me deu apoio, e esteve sempre comigo me dando força para finalizar este trabalho. E aos demais que, de alguma forma, contribuíram na elaboração desta monografia. v

RESUMO A criação de uma planilha Excel para o dimensionamento e a verificação de barras de pórtico plano de concreto armado é o objetivo principal do presente trabalho. Para apresentação de tal planilha, torna-se necessário o conhecimento de alguns fundamentos teóricos de resistência dos materiais e de cálculo de estruturas de concreto armado. O trabalho baseia-se fundamentalmente na equação da linha elástica de vigas. Tal equação será resolvida pela planilha, de modo que forneça ao usuário elementos essenciais para o dimensionamento e detalhamento das armaduras das barras estudadas. Para a resolução da equação são necessárias algumas condições de contorno, que usualmente são encontradas através de seus apoios, considerando estes como engastados ou apoio simples, desconsiderando assim, os esforços e deformações advindos da interação viga-pilar. No presente trabalho esses esforços e deformações nos apoios serão considerados, de modo que seus valores serão encontrados através de um programa auxiliar chamado PP01, criado pelo orientador, programa esse que irá calcular o pórtico e dará como resultado um relatório com os esforços e deformações nos extremos das barras. Tais valores irão ser usados como condição de contorno para resolução da equação da barra estudada pelo o usuário da planilha. Depois de resolvida a equação, a planilha fornecerá como resposta a declividade, flecha, momentos fletores e cortantes ao longo da barra, além de mostrar graficamente o diagrama de momento e cortante. Após isso, a planilha irá dimensionar automaticamente a viga estudada e dará como resultado as armaduras longitudinais e transversais, assim como a verificação do E.L.U. (Estado Limite Último) e do E.L.S. (Estado Limite de Serviço), deixando o usuário apto a detalhar a barra estudada. Palavras-chaves: Equação Linha Elástica, Cálculo de Pórticos, Concreto Armado. vi

LISTA DE FIGURAS Figura 1 Viga biapoiada... 2 Figura 2 Declividade da viga... 3 Figura 3 Condições de contorno... 3 Figura 4 Ensaio de Sttutgart... 4 Figura 5 Estádio I... 4 Figura 6 Estádio II... 5 Figura 7 Estádio III... 5 Figura 8 Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão... 6 Figura 9 Domínios de deformação no ELU... 7 Figura 10 Seção retangular com armadura simples... 7 Figura 11 Limites dos domínios de deformação em função de Kx... 9 Figura 12 Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa... 9 Figura 13 Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa... 10 Figura 14 Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura... 11 Figura 15 Distribuição de tensões normais e tangenciais na seção no ELU... 12 Figura 16 Trajetórias das tensões principais em peças não fissuradas... 13 Figura 17 Estado de cisalhamento puro... 13 Figura 18 Modelo de funcionamento de uma viga segundo a treliça de Mörsch... 14 Figura 19 Equilíbrio da treliça de Mörsch... 15 Figura 20 Esquema de entrada de dados... 19 Figura 21 Diagrama de cortantes gerado... 19 Figura 22 Diagrama de momentos gerado... 20 Figura 23 Diagrama da deformada gerado... 20 Figura 24 Diagrama de declividade gerado... 21 Figura 25 Esquema da entrada e saídas de dados (flexão)... 22 Figura 26 Diagrama de armaduras gerado... 23 Figura 27 Entrada de dados... 23 Figura 28 Cálculo da armadura positiva... 24 Figura 29 Cálculo da armadura positiva... 24 Figura 30 Esquema da entrada e saídas de dados (cortante)... 25 Figura 31 Diagrama de espaçamento para estribos com dois ramos... 26 Figura 32 Caso específico de uma seção em particular (cortante)... 26 Figura 33 Viga biapoiada para exemplo... 27 Figura 34 Viga engastada em um apoio e simplesmente apoiada em outro... 28 Figura 35 Pórtico com seu carregamento e dimensões... 30 Figura 36 Nós e barras do pórtico... 30 Figura 37 Seções da viga com seus deslocamentos e esforços... 31 Figura 38 Resultados do dimensionamento ao cisalhamento... 32 Figura 39 Espaçamentos entre estribos e armaduras mínimas... 32 Figura 40 Gráfico dos espaçamentos entre estribos... 33 Figura 41 Resultados do dimensionamento à flexão... 33 Figura 42 Gráfico das armaduras por seção da viga... 34 vii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ELU ELS M E I w L θ y Rcc Rst z Msd fcd bw σsd As d hf bf fyd Vsd Vrd2 α Vc fck kn MPa Estado Limite Último Estado Limite de Serviço Momento Fletor Módulo de Elasticidade Momento de Inércia Mestiços de ovinos deslanados Santa Inês Comprimento da Viga Declividade Flecha na Viga, Linha Neutra Fictícia Resultante das Tensões de Compressão do Concreto Resultante de Tração na armadura Braço de Alavanca Momento de Cálculo Resistência de Cálculo do Concreto à Compressão Base da Viga Tensão de Tração no Aço Área da Armadura Longitudinal Altura Útil da Viga Altura da Mesa da Viga Comprimento da Mesa da Viga Tensão de Tração no Aço no ELU Cortante de Cálculo Força Cortante Resistente de Cálculo Programa de Coeficiente para Verificação das Diagonais de Concreto Parcela da Força Cortante Absorvida por Mecanismos Complementares Tensão de Compressão Característico do Concreto Kilo Newton Mega Pascal viii

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 1 1.1 Equação da Linha Elástica... 1 1.2 Dimensionamento das Estruturas de Concreto Armado...3 1.2.1 Elementos Lineares à Flexão... 3 1.2.2 Elementos Lineares à Força Cortante...11 1.3 Programa auxiliar PPLAN...16 2. METODOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA...18 2.1 Esforços Primeira Parte...18 2.2 Dimensionamento Segunda Parte...21 2.2.1 Dimensionamento à flexão...21 2.2.1.1 Planilha Geral...21 2.2.1.1 Planilha Auxiliar...23 2.2.2 Dimensionamento à força cortante...25 2.2.2.1 Planilha Geral...25 2.2.2.2 Planilha Auxiliar...26 2.3 Testes para verificação da planilha...27 2.3.1 Viga simplesmente apoiada...27 2.3.2 Viga engastada no primeiro apoio e simplesmente apoiada no segundo...28 3. EXEMPLOS...29 4. CONCLUSÃO...34 4.1 Resultados...34 4.2 Melhorias...35 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...36 APÊNDICES...37 ix

1. INTRODUÇÃO Pórticos são estruturas constituídas por barras retas que formam quadros entre si. No caso de edifícios, as barras horizontais são as vigas e as barras verticais são os pilares. Atualmente o método para o dimensionamento de vigas de edifícios usuais, consiste em tratar a viga isoladamente, desconsiderando ou considerando de forma simplificada a interação viga-pilar. Sabe-se que tal interação existe, e que os pilares transmitem esforços para as vigas, sendo assim necessário que as vigas e os pilares sejam tratados e estudados como elementos de pórtico. A consideração desta interação é importante, sobretudo no caso em que a ação horizontal do vento está incluída na análise. Mas para tal consideração torna-se necessário o uso de programas computacionais que muitas vezes não são de fácil manuseio e nem de acesso público. O objetivo do trabalho a ser desenvolvido é, então, apresentar um pósprocessador para análise de barras horizontais de pórticos planos de concreto armado, que de modo fácil, rápido, e de acesso a qualquer pessoa, possa servir como uma ferramenta ao Engenheiro Projetista nas tarefas de verificação de deslocamentos limites de norma, determinação e detalhamento de armaduras. Nesse trabalho será elaborada uma planilha que estará dividida em duas partes distintas, mas relacionadas entre si. Na primeira parte da planilha, será criada uma programação que dará suporte para determinar, baseado na equação da linha elástica de vigas, os esforços solicitantes e deslocamentos ao longo do eixo das barras, a partir dos esforços e deslocamentos nas suas extremidades, obtidas num programa auxiliar de análise de pórticos planos. A segunda parte da planilha consiste no dimensionamento estrutural dessas barras, que será baseado nas prescrições da Norma da ABNT NBR 6118: 2003, Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento. 1.1 Equação da Linha Elástica Segundo Beer e Johnston (1982, p.188), a deformação de uma barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra, que é definida como o inverso do raio de curvatura ρ. Fazendo a consideração de que a viga está em regime elástico e usando conhecimentos de resistência dos materiais pode-se chegar à expressão 1/ρ = M/EI (1) x

Onde, M é o momento fletor, E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra da viga. Considerando uma viga biapoiada de vão L, com uma carga distribuída uniforme w (Figura 1), se x for a distância da extremidade esquerda da viga até uma seção qualquer, pode-se escrever 1/ρ = M(x)/EI (2) Fig.1 Viga biapoiada Ainda segundo Beer e Johnston (1982, p.434), a deformação transversal da viga em um ponto é chamada flecha, representada pela letra y. A relação entre y medida em um certo ponto Q e a distância x desse ponto é a equação da linha elástica. Sabe-se que a expressão que fornece a curvatura de uma curva em um ponto Q(x,y) é 1/ρ = (d²y/dx² )/[1 + (dy/dx)²]³/² (3) No entanto, segundo Beer e Jonhston (1982, p.435), a declividade dy/dx é muito pequena, de modo que o seu quadrado é desprezado em face da unidade. Pode-se escrever, então 1/ρ = (d²y/dx² ) (4) Substituindo 1/ρ na eq.2, tem-se EI(d²y/dx² ) = -M(x) (5) Integrando a equação 5, tem-se EI(dy/dx) = - M(x)x + C1 (6) xi

Onde, (dy/dx) é o ângulo que a tangente à curva elástica no ponto Q, forma com a horizontal (Figura 2), simbolizado por θ(x) Fig. 2 Declividade da viga Integrando mais uma vez, tem-se EIy = - M(x)x²/2 + C1x + C2 (7) As eqs. 6 e 7 definem respectivamente a declividade e a flecha em qualquer ponto da viga. As constantes C1 e C2 são determinadas através das equações de contorno impostas pelos seus apoios. No caso da viga considerada, suas condições de contorno são as indicadas na figura 3 Fig.3 Condições de contorno Resolvendo a viga considerada como exemplo, tem-se M(x) = - (wlx/2 - wx²/2) (8) xii

Substituindo M(x) na eq.5, tem-se EI(d²y/dx²) = - (wlx/2 - wx²/2) (9) Integrando, tem-se EI(dy/dx) = - (wlx²/4 - wx³/6) + C1 = EI θ (10) Integrando mais uma vez EIy = - (wlx³/12 - wx 4 /24) + C1x + C2 (11) Utilizando as condições de contorno para determinação das constantes, encontrase que C1 = - wl³/24 e C2 = 0. Substituindo os valores das constantes nas equações. 10 e 11, respectivamente, têm-se EI θ = - (wlx²/4 wx³/6 - wl³/24) θ = - (w (6Lx² - 4x³ - L³)/24EI) EIy = - (wlx³/12 wx4/24 - wl³x/24) y = - (w (2Lx³ - x4 - L³x)/24EI) A equação y = - (w (2Lx³ - x4 - L³x)/24EI), encontrada é exatamente a equação da linha elástica para a viga considerada no exemplo. Tomando agora como exemplo a mesma viga anterior e considerando o caso em que já conhecemos M0, Q0, θ 0 e y0, ou seja, os esforços nos extremos das barras, que são os obtidos pelo programa auxiliar, pode-se resolver a viga tomando esses dados como novas condições de contorno para o problema, assim tem-se que -M(x) = - (M0 + Q0x wx²/2) = EI(d²y/dx² ) (12) Derivando a equação 12, tem-se EI(d 3 y/dx 3 ) = - (Q0 wx) = -Q(x) (13) Achando dessa forma a equação do cortante Q(x) para qualquer ponto da viga. Derivando agora a equação 13, tem-se EI(d 4 y/dx 4 ) = w (14) Obtendo a equação que define a carga na viga. Agora integrando a equação 12, tem-se - (M0x+ wlx 2 /4 wx 3 /6) + C1 = EI(dy/dx ) (15) Que podemos escrever da seguinte forma - (M0x+ Q0x 2 /2 wx 3 /6) + C1 = EI(dy/dx ) (16) Integrando a equação 17, tem-se 2

EIy = - (M0x 2 /2 + Q0x 3 /6 wx 4 /24) + C1x + C2 (17) Calculando agora as constantes C1 e C2, tem-se que para x=0 temos θ = θ 0 e y = y0, então substituindo esses valores respectivamente nas equações 16 e 17, tem-se C1 = EI θ 0 e C2 =EIy0. Substituindo os valores dessas constantes nas equações 16 e 17, respectivamente obtêm-se - (M0x+ Q0x 2 /2 wx 3 /6) + EI θ 0 = EI(dy/dx ) = EI θ (x) (18) - (M0x 2 /2 + Q0x 3 /6 wx 4 /24) + EI θ 0 x +EIy0 = EIy =EIy(x) (19) Enfim temos todas as equações necessárias para a resolução das vigas, a citar -M(x) = - (M0 + wlx/2 wx²/2) = EI(d²y/dx² ) -Q(x) = - (Q0 wx) = EI(d 3 y/dx 3 ) θ (x) = - (M0x+ Q0x 2 /2 wx 3 /6) + EI θ 0 = EI(dy/dx ) y(x) = - (M0x 2 /2 + Q0x 3 /6 wx 4 /24) + EI θ 0x + EIy0 = EIy A partir do método da linha elástica demonstrada resumidamente, a planilha analisa as barras longitudinais do pórtico e fornece os valores dos cortantes, momentos, rotações e flechas para qualquer ponto da viga, além de gerar os diagramas de deslocamentos e de esforços solicitantes. 1.2 Dimensionamento das Estruturas de Concreto Armado 1.2.1 Elementos Lineares à Flexão Segundo Teatini (2005, p.177), a flexão de um elemento estrutural caracteriza-se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a sua rotação. Uma viga quando submetida à flexão pura ou simples, são identificadas algumas fases bem definidas no seu comportamento, tais fases são denominadas de estádios. Esses estádios foram observados a partir de um ensaio à flexão de uma viga de concreto armado, conhecido como ensaio de Stuttgart, onde são aplicadas forças iguais e simétricas em seu eixo, em estágios crescentes de carga até a ruptura da peça. 3

Fig. 4 Ensaio de Sttutgart Existem três estádios característicos da flexão a considerar, que vai do estádio I ao estádio III. O estádio I corresponde à fase em que a viga ainda não está fissurada, ou seja, os valores do momento fletor atuante não são muito elevados, ocasionando uma variação linear das tensões normais com sua distância à linha neutra. Neste estádio, a tensão máxima de tração é menor que à resistência à tração do concreto e a tensão máxima de compressão é muito menor que a resistência à compressão do concreto. Fig.5 Estádio I Conforme vai se aumentando a carga, o momento atuante aumenta também, até o limite em que o concreto esgota sua resistência à tração, fazendo com que as tensões normais de tração sejam absorvidas pela armadura longitudinal. Neste caso a peça já está fissurada, então consideramos que estamos no estádio II. 4

Fig.6 Estádio II O estádio III é aquele em que a peça está na iminência de ruptura à flexão, estádio este que, não queremos que ocorra, então, dimensionar uma peça no E.L.U. (Estado Limite Ultimo) à flexão significa estabelecer uma margem adequada de segurança para que a viga não atinja esse estádio. (Teatini 2005, p.182) Fig.7- Estádio III Para o dimensionamento à flexão no ELU, algumas hipóteses básicas devem ser consideradas, como a de que as seções transversais permanecem planas após as deformações de flexão. Segundo a NBR 6118 17.2.2, a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, esse diagrama pode ser substituído pelo diagrama retangular simplificado, com altura y = 0,8x, conforme a figura 8. 5

Fig.8- Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão Ainda segundo a NBR 6118:2003 17.2.2, o alongamento máximo do aço da armadura de tração é de 10, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no ELU. O encurtamento de ruptura do concreto é de 2, na compressão simples, e de 3,5, na flexão simples. (NBR 6118 17.2.2) Com essas hipóteses de dimensionamento podemos entrar no conceito de domínios de deformações das seções. De acordo com Teatini (2005, p.187), denomina-se domínio de deformações a um intervalo convencional que compreende todas possíveis situações de ruptura da seção transversal plana de um elemento linear de concreto armado, para uma determinada solicitação normal. Existem cinco domínios de deformação no ELU, cada um deles, caracterizado e associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e á taxa de armaduras de aço. O domínio 1 é caracterizado pela ruptura da peça por tração, sem compressão, ou seja, a peça rompe quando o aço alcança o alongamento de 10. O domínio 2 se dá com o escoamento do aço atingindo os 10 de alongamento máximo, e com compressão, mas sem esmagar o concreto, ou seja, sem atingir o encurtamento máximo de 3,5. Quando a peça rompe por flexão com o escoamento do aço ocorrendo juntamente ao esmagamento do concreto, caracteriza o domínio 3. O domínio 4 ocorre quando há o esmagamento do concreto sem o escoamento do aço, podendo causar uma ruptura sem aviso. 6

Já no domínio 5, há ruptura apenas por compressão, quando o concreto sofre translação e rompe com o encurtamento máximo de 2. Fig.9 Domínios de deformação no ELU No dimensionamento de vigas á flexão, procura-se obter seções que compreendam entre os domínios 2, 3 e 4, sendo que no domínio 4 há a necessidade de armadura dupla na seção. O dimensionamento ideal seria aquele em que os materiais alcancem os limites convencionais de norma, ou seja, o limite entre os domínio 2 e 3. Dizemos que uma seção retangular está dimensionada com armadura simples, quando apenas há a necessidade de armadura na zona de tração, caso contrário, dizemos que ela está armada duplamente. Sabemos que a viga na sua zona de compressão somente é necessária o concreto para constituir o binário interno resistente junto com a armadura de tração, conforme a figura 10. Fig.10 Seção retangular com armadura simples 7

De acordo com a figura 10, temos que Rcc. z = Rst. z = Msd (20) Onde, z é o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão, Rcc é a resultante das tensões de compressão do concreto e Rst a resultante de tração na armadura. Sabemos que Rcc = 0,85fcd. bw. 0,8x (21) Rst = σsd. As (22) Substituindo a equação (21) na equação (20), temos 0,85. fcd. bw. 0,8x. z = Msd (23) Onde z = d 0,4x Temos então 0,85. fcd. bw. (0,8x.d 0,32x²) - Msd = 0 (24) Resolvendo a equação do 2º grau, temos com resultado o valor da profundidade da linha neutra x. Substituindo agora a equação (22) na equação (20) temos σsd. As. z. = Msd (25) Desta equação obtém-se a área de aço necessária ao equilíbrio As = Msd / z. σsd (26) Multiplicando a equação (26) por d/d, obtém-se o coeficiente adimensional Kz = z/d, teremos então As = Msd / Kz. d. σsd (27) Existem ainda mais dois coeficientes adimensionais que têm como função identificar o domínio de deformações no ELU para o dimensionamento á flexão, são eles, Kx e Kmd. Esses coeficientes são definidos como Kmd = Msd / bw. d². fcd (28) Kx = x/d Conhecendo esses coeficientes, pode-se definir os limites dos domínios de deformações, conforme mostrado a figura 11. 8

Fig.11 Limites dos domínios de deformação em função de Kx Considerando agora uma viga de seção T, temos que inicialmente como fizemos para uma seção retangular, achar a profundidade da linha neutra x através do equilíbrio da seção, que é garantido por um binário resistente, onde a resultante de compressão é fornecida pela mesa comprimida de concreto. Logo após é necessário obter a profundidade da linha neutra fictícia y, onde y = 0,8x. Fig.12 Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa 9

Verificada a posição da linha neutra fictícia, é feita a seguinte comparação Se y = hf linha neutra fictícia tangente à mesa Se y < hf linha neutra fictícia dentro da mesa Se y > hf linha neutra fictícia dentro da nervura Temos então dois casos de dimensionamento para a seção T, o primeiro em que y é igual ou menor que a altura da mesa e o segundo em que y é maior que hf. No primeiro caso, como a linha neutra fictícia está dentro da mesa, ou no limite, tangente à face inferior da mesa, a zona comprimida da seção é retangular. Fig.13 Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa Consideramos então, para cálculo da área de aço, uma seção retangular de base igual à bf e altura h. O que torna conhecida a equação do As As = Msd / Kz. d. σsd (27) No segundo caso, a linha neutra fictícia está dentro da nervura, o que faz com que a zona comprimida tenha a forma de T. O cálculo então será feito, dividindo o Msd em duas parcelas, conforme figura 13. 10

Fig.14 - Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura Mdf = 0,85fcd. hf. (bf-bw).(d-hf/2) (29) Mdw = Msd Mdf (30) Encontramos então duas áreas de aço Asf = Mdf / (d-hf/2). fyd (31) Asw = Mdw / Kz. d. fyd (32) A área da armadura total de tração será dada por As = Asf + Asw (33) A planilha também está habilitada a fazer tal dimensionamento, segundo o capítulo de dimensionamento de elementos lineares da Norma ABNT NBR 6118:2003 Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento. 1.2.2 Elementos Lineares à Força Cortante De acordo com Teatini (2005, p.233) dá-se o nome cisalhamento na flexão à solicitação originada da atuação conjunta de forças cortantes e momentos fletores, para a qual deve ser dimensionada uma armadura específica, transversal ao eixo do elemento estrutural. Tratando-se de uma estrutura de concreto armado no estádio I, as tensões normais e de cisalhamento em cada seção, foram demonstradas através dos estudos de mecânica dos sólidos, de onde chegaram às seguintes equações σ = M.y/I (34) τ = V.Sy/b.I (35) Onde, M é o momento atuante e V é o cortante. No momento em que a estrutura fissura, passando ao estádio II, a resistência a tração do concreto se torna desprezível, considerando então, que as tensões de tração são 11

absorvidas pelo aço. A estrutura ao atingir o ELU, apresenta uma distribuição de tensões normais e tangenciais de acordo com a figura 14. Fig.15 Distribuição de tensões normais e tangenciais na seção no ELU Considerando que ela possua uma seção constante, a tensão tangencial máxima será constante na zona tracionada e é dada pela expressão τdmáx = Vsd/bw.z (36) Onde z é o braço de alavanca das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, e de forma simplificada é dado por z = 0,9.d (37) Para vigas retangulares ou de seção T, na fase elástica, as tensões principais de tração e de compressão têm trajetórias iguais as da figura 15. Em cada ponto, as tensões possuem inclinação variável ao eixo da peça e são perpendiculares entre si. Caso não exista alguma armadura, suficiente e conveniente disposta há o surgimento de fissuras no concreto, na direção perpendicular às tensões principais de tração, quando a resistência à tração do material for atingida. 12

Fig.16 Trajetórias das tensões principais em peças não fissuradas Essas fissuras que eventualmente surgirão têm inclinação de 45º com o eixo neutro, pois no que consideramos como estado de cisalhamento puro, as tensões principais de tração, σ1, e de compressão, σ2, possuem a mesma inclinação, conforme figura 16. Fig.17 Estado de cisalhamento puro Então, para dimensionar uma peça a força cortante, precisamos sempre de duas etapas, a primeira que é a verificação das diagonais comprimidas quanto ao esmagamento do concreto, causado pela a ação das tensões σ2, e a segunda que é a obtenção da armadura transversal para absorver as tensões σ1. O conceito de diagonais comprimidas foi idealizado por Ritter e Mörsch, que explicaram a resistência do concreto no estádio II, como sendo análoga a uma treliça. 13

Fig.18 Modelo de funcionamento de uma viga segundo a treliça de Mörsch De acordo com a figura 17, as diagonais tracionadas seriam a armadura transversal, que podem ter 90º ou podem ser inclinadas. Já as diagonais comprimidas, terão que ser verificadas quanto ao esmagamento do concreto, adotando o modelo II da NBR 6118: 2003. Para tal verificação, a NBR 6118:2003 17.4.2.3 diz, a resistência do elemento estrutural quanto á diagonal comprimida do concreto, é satisfatória numa determinada seção transversal quando se verifica a seguinte condição: Vsd Vrd2. Onde Vrd2 e α são dadas pelas expressões respectivamente Vrd2 = 0,54.α.fcd.bw.d.sen² θ.(cotα+cot θ) (38) α = (1-fck/250) (39) Para o dimensionamento da armadura transversal, usamos como referência a figura 18, que mostra o equilíbrio da treliça de Mörsch com uma seção S cortando uma diagonal tracionada. 14

Fig.19 Equilíbrio da treliça de Mörsch As barras transversais, com espaçamentos s, resistem a uma força por unidade de comprimento igual a (Asw/s).σswd. A resultante das forças que deve equilibrar o cortante Vsd é dada por Ft = (Asw/s).σswd.z.(cotα+cot θ) (40) Desta expressão é obtida a área de armadura transversal (Asw/s) = (Vsd/0,9.d).(1/ σswd.senα.(cotα+cot θ)) (41) A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de cálculo para o dimensionamento da armadura transversal, introduzindo uma parcela de contribuição na força cortante resistente de mecanismos complementares à treliça de Mörsch. O modelo mais utilizado é modelo de cálculo II. Segundo a NBR 6118:2003-17.4.1.1.5, o ângulo de inclinação das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45º α 90º. De acordo com o modelo II da NBR 6118:2003-17.4.2.3, a resistência do elemento estrutural quanto à armadura transversal é considerada satisfatória, se verificada a condição Vsw Vsd Vc. Onde Vsw é a parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal e Vc é a parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares a treliça, sendo Vsw = (Asw/s).0,9.d.fywd.(cotα + cot θ).senα (42) Vc = 0,09.fck 2/3.bw.d (43) 15

Da equação (42) foi obtida uma expressão genérica para a área da armadura transversal (Asw/s) = Vsw/(0,9.d.fywd.(cotα + cot θ).senα) (44) Considerando agora que armadura transversal seja constituída por estribos a 90º, será obtida a seguinte expressão (Asw/s) = (Vsw/(0,9.d.fyd)).tg θ (45) 1.3 Programa auxiliar PPLAN Para auxiliar a planilha desenvolvida é necessário um programa que resolva pórticos, de uma forma que nos forneça os dados necessários para a resolução das vigas estudadas, ou seja, as condições de contorno no apoio das barras. Este programa pode ser da preferência do usuário, mas para exemplificar, usaremos o programa PPLAN, de autoria do Dr. Prof. Joaquim E. Mota. Programa esse que tem como entrada um arquivo de dados, com todas as informações necessárias para o cálculo do pórtico. Logo abaixo, tem-se uma tabela, exemplificando um arquivo de dados qualquer para o programa PPLAN. Tabela 1 - Arquivo de Dados: PORTICO.DAD PORTICO EXEMPLO,TF/M Título, Sistema de Unidades COORDENADAS NODAIS COORDENADAS NODAIS 5, 2 X,Y 40, 20 X,Y 5, 2 X,Y INCIDENCIA INCIDENCIA 1, 2, 1, 1 Nó inicial, nó final, tipo de material, tipo de seção 2, 3, 2, 2 Nó inicial, nó final, tipo de material, tipo de seção MATERIAL MATERIAL Tabela de materiais 3000000 módulo de elasticidade SECOES Linha de comando para entrada da tabela de seções.8,.267 área da seção,momento de inércia VINCULACOES VINCULAÇÕES 16

3, 110, 0, 0, 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z 13, 110, 0, 0, 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z 23, 110, 0, 0, 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z CARGA PERMANENTE, 2, 24, 0 Carga Permanente, número de cargas nodais,número de cargas em barras, número de cargas nodais equivalentes CARGAS NODAIS Linha de comando para entrada de cargas nodais 1, 0,-6, 0 nó,fx,fy,mz (Sistema Global) 25, 0,-6, 0 nó,fx,fy,mz (Sistema Global) CARGAS NAS BARRAS Linha de comando para entrada de carga em barras 1, 1, 0,-5, 24, 0, 0 barra,código de carga, p1,p2,p3,p4,p5 1 Barra 2 Barra 3 Barra 4 Barra 5 Barra 6 Barra 7 Barra 8 Barra 9 Barra 10 Barra 11 Barra Códigos de Vinculação: Número formado por três algarismos ( # # # ). O primeiro está associado ao grau de liberdade de translação na direção X global, o segundo ao grau de translação na direção Y global e o terceiro à rotação em torno do eixo Z. Os algarismos só podem assumir os valores 0 ou 1. O valor 0 significa deslocamento livre e o valor 1 significa deslocamento impedido. Exemplos: 111 = Engastamento perfeito 010 = Deslocamento na direção Y (vertical) impedido. 110 = Translação Impedida e rotação livre. 17

Tabela 2 - Códigos de Carga em Barras Tipo de Carga código p1 P2 p3 p4 p5 Carga uniforme eixo global 1 qx qy Número de barras com esta carga 0 0 Carga trapezoidal parcial eixo local 2 Q1 q2 a B c q1 q2 a b c 2. METODOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA 2.1 Esforços Primeira Parte O início do desenvolvimento da planilha foi dado a partir da sua primeira parte, ou seja, a parte estática do problema, que é a resolução das equações da linha elástica e a criação dos diagramas dos esforços. A planilha tem como entrada, os dados gerais que caracterizam a barra estudada, tais como, o módulo de elasticidade, as dimensões, o comprimento e a carga na barra. A partir daí, já é calculado internamente o momento de inércia da seção, considerando uma seção T, e a área de concreto. Logo a planilha pede a inserção dos dados essenciais ao cálculo das equações da linha elástica, Mo, Qo, y0 e θ0, dados estes que são obtidos com o programa auxiliar utilizado. Com os dados já inseridos, a planilha divide a barra em onze seções, e a partir das equações citadas no capítulo 1.1, calcula os momentos, cortantes, flechas e rotações para todas essas onze seções da barra. 18

Fig. 20 Esquema de entrada de dados Com o resultado obtido, são gerados os diagramas respectivos, além de informar os pontos de momento nulo e máximo, e qual o momento máximo obtido. Informa também a flecha máxima e a seção onde ela ocorre. Tais informações são obtidas internamente pela planilha através de cálculos auxiliares. Fig.21 Diagrama de cortantes gerado 19

Fig.22 Diagrama de momentos gerado Fig.23 Diagrama da deformada gerado 20

Fig.24 Diagrama de declividade gerado Com a primeira parte concluída, partimos para o desenvolvimento da segunda parte da planilha, que trata do dimensionamento da barra estudada. 2.2 Dimensionamento Segunda Parte 2.2.1 Dimensionamento à flexão 2.2.1.1 Planilha Geral Para o dimensionamento à flexão, se torna necessário fornecer alguns dados iniciais a planilha, como o f ck do concreto e o f yk do aço utilizado, e a distância c e c do centro de gravidade da armadura positiva e negativa à fase inferior e superior da viga, respectivamente. A partir desses dados, a planilha calcula o fcd do concreto e o fyd do aço, assim como a altura útil da viga. São importados da primeira parte da planilha os valores dos pontos de cada seção e seus respectivos momentos característicos, de onde são obtidos os momentos de cálculos. Parte-se então para o cálculo da linha neutra da seção da barra, que é obtida através da equação (24), mostrada no capitulo 1.2.1. Encontrada a linha neutra, a planilha 21

calcula internamente a linha neutra fictícia y, e compara com a altura da mesa hf informada anteriormente, e a partir daí, informa em qual caso se enquadra a viga, a saber, Se y hf Caso 1 Se y > hf Caso 2 A linha neutra também se faz necessária para obter o coeficiente adimensional Kx, além dos outros coeficientes, como o Kmd e Kz. A partir do Kx, a planilha verifica cada seção da barra internamente, e indica em qual domínio de deformação cada seção está. A planilha indica também se a seção vai precisar de armadura simples ou dupla. Após essas etapas, serão calculadas as armaduras longitudinais positivas e negativas necessárias para cada seção da barra, de acordo com o capitulo 1.2.1, além de informar as armaduras mínimas positivas e negativas necessárias, e informar se a barra deve ser simples ou duplamente armada. Caso seja necessária uma armadura dupla, a planilha não está habilitada a fazer esse dimensionamento. Fig.25 Esquema da entrada e saídas de dados (flexão) Após de obtida todas as áreas de armaduras necessárias, é criado um diagrama com os valores das armaduras em cada seção. 22

Fig.26 Diagrama de armaduras gerado 2.2.1.2 Planilha Auxiliar Existe a opção de se dimensionar uma seção especifica isoladamente, através de uma planilha auxiliar, onde só é necessário fornecer os momento característico positivo e o valor da linha neutra específica, além do fck e fyk. Fig.27 Entrada de dados 23

encontra. É calculada então a armadura positiva, de acordo com o caso em a seção se Fig.28 Cálculo da armadura positiva Após é calculado a armadura negativa, onde se precisa apenas fornecer o valor do momento característico negativo da seção escolhida. Fig.29 Cálculo da armadura negativa 24

2.2.2 Dimensionamento à força cortante 2.2.2.1 Planilha Geral Para o dimensionamento à força cortante, é necessário fornecer alguns dados iniciais, como o fck, o fyk, e o c, assim como no dimensionamento à flexão. A planilha então nos fornece o fcd, o fyd, a altura útil e o fctd, além do coeficiente par verificação das diagonais de concreto α. São importados da primeira planilha os valores dos cortantes em cada seção para o cálculo dos cortantes de cálculo. A planilha faz a verificação das bielas comprimidas internamente, através da condição imposta Vsd Vrd2, e nos fornece se a seção passa ou não por essa verificação. Após é calculado a área por unidade de comprimento dos estribos, considerando os estribos a 90º e usando o modelo de cálculo II da NBR 6118:2003. A planilha fornece também a armadura mínima e o espaçamento para estribos de dois ramos considerando a bitola do aço entre 5mm e 12.5mm, assim como dois diagramas desses espaçamentos em cada seção, sendo um com bitolas de 5mm, 6.3mm e 8mm, e o outro com bitolas de 10mm e 12.5mm. Fig.30 - Esquema da entrada e saídas de dados (cortante) 25

Fig.31 Diagrama de espaçamento para estribos com dois ramos 2.2.2.2 Planilha Auxiliar Assim como na flexão, existe também a opção de fazer o dimensionamento de apenas uma seção em particular, onde é necessário fornecer o cortante obtido, assim como os dados dos materiais usados, concreto e aço. Fig.32 Caso específico de uma seção em particular (cortante) 26

2.3 Testes para verificação da planilha Após de desenvolvida todas as fases da planilha foram feitos alguns testes simples, aonde foram utilizados como exemplo a resolução de algumas vigas clássicas, com apoios bem definidos, para que os resultados obtidos pela planilha fossem comparados com os resultados obtidos pela resolução das mesmas pelos métodos clássicos de dimensionamento fora da planilha. Tudo isso para verificar se as fórmulas e os cálculos obtidos estavam corretos. 2.3.1 Viga simplesmente apoiada Foi considerada uma viga simplesmente apoiada com as dimensões e carregamentos mostradas na figura 27, com comprimento de 7m, aonde foi utilizado um fck de 25MPa, fyk de 500MPa e um Ec de 2,4GPa. Fig. 33 Viga biapoiada para exemplo Sabe-se que para uma viga como esta, os valores dos esforços e deslocamentos nos apoios, já são conhecidos, como M0 = 0 kn.m Q0 = wl/2 = 70 kn θ0 = wl³/24.e.i = 3.31E-3 rad y0 = 0 m Sabe-se também que o momento máximo, que se dá no meio do vão, é dado por Mmáx = wl²/8 = 122,5 kn.m 27

Sabe-se ainda que o valor da flecha máxima, que também se dá no meio do vão, é obtido pela expressão ymáx = 5wl 4 /384.E.I = 7,24 mm Em relação à flexão e ao cortante, foi feito manualmente todo o dimensionamento, e foram obtidos os seguintes resultados para a seção no meio do vão As/s = 0,461 cm²/m As = 7,66 cm² Ao ser utilizada a planilha, foram obtidos os seguintes resultados, que estão no Apêndice A. 2.3.2 Viga engastada no primeiro apoio e simplesmente apoiada no segundo Uma segunda viga foi escolhida para ser feito mais um teste, onde foi utilizada desta vez uma seção T, com dimensões e carregamentos indicados na figura 28. Os valores inerentes ao material continuaram o mesmo. Fig.34 Viga engastada em um apoio e simplesmente apoiada em outro Neste caso a condição de contorno foi encontrada no apoio engastado, onde os valores dos esforços e dos deslocamentos são M0 = wl²/8 = -122,5 kn.m Q0 = wql/8 = 87,5 kn θ0 = 0 rad y0 = 0 m 28

Sabe-se que no segundo apoio temos os seguintes valores M = 0 kn.m Q = -3wl/8 = -52,5 kn θ = wl³/48.e.i = 9,683 rad y = 0 m Foi feito o dimensionamento manual e foi encontrado que a seção possui a linha neutra fictícia dentro da mesa, e foram calculadas também as suas respectivas armaduras positiva e negativa, além da armadura de cisalhamento, onde foi considerada a seção central e no primeiro apoio do vão. No primeiro apoio foi obtido As = 0 cm² As = 7,66 cm2 As/s = 1,559 cm²/m No meio do vão foi encontrado o seguinte As = 3,5 cm² As = 0 cm2 As/s = 0 cm²/m Ao ser feito o dimensionamento pela planilha obtivemos os resultados que se encontrão no Apêndice B. Feito esses testes para verificação do funcionamento da planilha, foi verificado que a mesma estava corretamente desenvolvida. 3. EXEMPLOS Para mostrar a eficiência da planilha desenvolvida, foi feito um exemplo, onde foi considerado um pórtico plano de um edifício, com carregamento vertical uniformemente distribuído e também foi considerado um carregamento horizontal simulando a carga de vento. Foi considerado vigas de dimensões 15cmx60cm, e pilares de 30cmx30cm, todos com coeficientes de elasticidades iguais à 24GPa. 29

Fig.35 Pórtico com seu carregamento e dimensões abaixo. Primeiramente dividimos o pórtico em oito nós e oito barras, como mostrado logo Fig.36 Nós e barras do pórtico Logo após foi feito o arquivo de dados EXEM1.DAD para o programa auxiliar PPLAN, de acordo com a tabela 1 do capítulo 1.3, para o cálculo do pórtico. O arquivo citado está em no Apêndice C, assim como o relatório de saída que foi gerado, que está no Apêndice D, de onde foram obtidos os valores dos esforços e deslocamentos nodais essenciais para a planilha. Para a análise e dimensionamento foi escolhida a viga superior, que é composta pelos nós 6,7 e 8, e pelas barras 5 e 6. 30

Com o relatório de saída em mãos, foi observado que para a barra 5 nó 6, os valores do momento fletor, cortante, flecha e declividade são respectivamente M0 = -66.810 kn.m Q0 = 146.645 kn y0 = 0.794E-3 m θ0 = 0.355E-2 rad As dimensões da viga foram inseridas na planilha juntamente com o seu módulo de elasticidade, carregamento e o seu comprimento. Os valores obtidos pelo relatório são informados para a planilha, que automaticamente gera os diagramas de esforços e de deslocamentos e informa para cada seção em que a viga foi dividida os valores dos mesmos. Fig.37 Seções da viga com seus deslocamentos e esforços A próxima etapa é o dimensionamento ao cisalhamento, onde foi considerado um fck de 25MPa, um fyk de 500MPa, e as distancias do centro de gravidade das armaduras negativas e positivas iguais a 3cm. Foi obtido então os seguintes resultados, indicados logo abaixo 31

Fig.38 Resultados do dimensionamento ao cisalhamento Observe que para as seções em que a armadura é muito pequena, a planilha automaticamente usa a armadura mínima de norma. Observe também os espaçamentos dos estribos para cada bitola de aço, exemplo, se quiséssemos usar uma bitola de 6.3mm, deveríamos usar um espaçamento de 7cm na seção 1 da viga. Fig.39 Espaçamentos entre estribos e armaduras mínimas 32

Os espaçamentos entre estribos também é informado graficamente, assim como indicado na figura 34, logo abaixo. Fig.40 Gráfico dos espaçamentos entre estribos mostradas na figura 35. O dimensionamento á flexão teve as seguintes respostas dadas pela planilha, Fig.41 Resultados do dimensionamento à flexão 33

Observe que as seções centrais foram dimensionadas para o domínio 3, enquanto as outras ficaram no domínio 2, a maior área de armadura foi de 10,06cm², exatamente no meio do vão, como esperado, a área de armadura negativa se deu nos apoios, com o valor máximo de 5,4cm². Logo abaixo temos o gráfico com as áreas de armadura por seção. Fig.42 - Gráfico das armaduras por seção da viga A viga está agora com todos os elementos essenciais para que o Engenheiro Calculista possa a detalhar. O resultado completo pode ser encontrado no Apêndice E. 4. CONCLUSÃO 4.1 Resultados Com o desenvolvimento desta planilha temos agora uma ferramenta muito útil para Engenheiros e estudantes, ferramenta esta que é muito fácil de ser manuseada e que com uma linguagem muito simples, fornece rapidamente seus resultados, contemplando um dos objetivos deste trabalho. Apesar de que a planilha necessite de um programa auxiliar, ela ainda assim é de muita importância, pelo fato de fazer a análise estática do problema juntamente com o dimensionamento. 34

A planilha também serve para dimensionamento e verificação de vigas simples, com apoios bem definidos, como vimos anteriormente. 4.1 Melhorias Há alguns procedimentos que visam à melhoria da planilha, procedimentos esses, que infelizmente não puderam ser abordados neste trabalho. Uma das melhorias seria a inclusão da verificação das flechas decorrentes da deformação lenta. Outra seria o dimensionamento da viga, considerando ela no estádio II, onde para isso teríamos que calcular o momento de inércia para a viga fissurada, utilizando a fórmula de Branson. Dessa forma teríamos uma ferramenta mais completa para verificação e dimensionamento de vigas e barras de pórticos, abrangendo mais as prescrições da NBR 6118-2003. 35

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118:2003. Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento. 2003 Beer, F. P. Resistências dos Materiais. São Paulo: Ed. McGraw-Hill, 1982. cap 4, p.188, cap.8, p.434-435. Clímaco, J. C. T. S. Estruturas de Concreto Armado: Fundamentos de Projeto, Dimensionamento e Verificação. Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 2005. cap. 5, p.177, 182, 187, cap. 6, p. 233. 36

APÊNDICE A Resolução da viga biapoiada 37

APÊNDICE B Resolução da viga engastada 38

APÊNDICE C Arquivo de Dados do PPLAN 39

APÊNDICE D Relatório de Saída do PPLAN 40

APÊNDICE E Resultado do exemplo 41