Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL 420. Módulo 9

Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL 420 Módulo 9 Steinmetz Tesla Hertz Westinghouse

Conteúdo 9 - Análise de Regime Permanente Senoidal...1 9.1 - Números complexos...1 9.2 - Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias...1 9.2.1 - Representação de uma senoide por um fasor...1 9.2.2 - Aplicação do método fasorial às equações diferenciais...3 9.3 - Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal...6 9.3.1 - Resposta completa...6 9.4 - Impedância e Admitância...9 9.4.1 - Análise de regime permanente senoidal...10 9.4.2 - Superposição em regime permanente...10 9.5 - Ressonância...10 9.6 - Função de Rede Resposta em Frequência e Seletividade...11 9.7 - Potência em regime permanente senoidal...14 9.7.1 - Potência complexa...15 9.7.2 - Valor eficaz...16 9.8 - Máxima transferência de potência...17 9.9 - Normalização da Impedância...18 9.10 - Exercícios...20 9.11 - Soluções...23 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 2

9 Análise de Regime Permanente Senoidal 9.1 Números complexos Um número complexo pode ser expresso na forma retangular A= A R j A I ou polar A= A e j ou A= A Onde A é o módulo de A e é o ângulo de fase ( ). Algumas operações importantes com números complexos: R[ z 1 t z 2 t ]=R[ z 1 t ] R[ z 2 t ] R[a z 1 t ]=a R[ z 1 t ] d R[ A e j t ] dt =R[ d A e j t ] dt se R[ A e j t ]=R[ B e j t ] então A= B se A= B então R[ A e j t ]=R[ B e j t ] 9.2 Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias 9.2.1 Representação de uma senoide por um fasor Uma função do tempo definida como A m cos t possui amplitude A m, frequência angular e fase. A soma algébrica desta função com outras de mesma frequência, ou suas derivadas, resultará em uma nova função de mesma frequência angular. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 1

Assim, é de se esperar que, uma vez determinada a frequência da função, ela possa ser tratada algebricamente pela sua amplitude e fase. x t = A m cos j t x t =R[ A m cos j t j A m sen j t ] x t =R[ A m e j t ] x t =R[ A m e j e j t ] x t =R[ A e j t ] onde A= A m e j O número complexo A que representa a senoide A m cos t é chamado de fasor. Poderíamos ter especificado a senoide em termos da função seno, mas neste caso teríamos que obter o sinal no tempo a partir da parte imaginária de A e j t. A especificação de um fasor não carrega informação à cerca da frequência angular do sinal original e por isso, quando se trabalha com fasores, é necessário conhecer as frequências envolvidas no problema. Exemplo v t = 2 110 cos 2 60 t /3 j /3 A= 2 110 e v t =R A e j 2 60 t A representação senoidal de frequências é usada principalmente para a determinação da resposta particular (resposta de regime permanente) da equação diferencial ordinária com coeficientes reais quando a excitação é uma senoide, ou seja, quando a equação diferencial que descreve o problema é da forma: a 0 d n x dt n a 1 d n 1 x dt n 1... a n 1 d x dt a n x= A m cos t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 2

9.2.2 Aplicação do método fasorial às equações diferenciais Seja a 0 d n x dt n a 1 d n 1 x dt n 1... a n 1 d x dt a n x= A m cos t onde a 0, a 1,..., a n e A m,, são constantes reais, os fasores serão A= A m e j e X =X m e j Substituindo na equação diferencial a 0 d n R X e j t j t d R X e... a dt n n 1 a dt n R X e j t =R A e j t d n R a 0 X e j t... d R a X e n 1 dt n dt j t R[a 0 j n X e j t ]... R[a n X e j t ]=R[ A e j t ] R a n X e j t =R A e j t R[a 0 j n X e j t... a n X e j t ]=R[ A e j t ] a 0 j n X... a n X = A [a 0 j n... a n ] X =A X = X = A [ a 0 j n... a n ] A a n a n 2 2... 2 a n 1 a n 3 3... 2 X = = arctan a n 1 a n 3 3... a n a n 2 2... Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 3

Exemplo Um circuito RLC série é excitado com uma fonte de tensão v S t = V cos t. Calcule a tensão sobre o capacitor em regime permanente. L C d 2 v C t dt 2 R C dv t C v dt C t =v S t A solução particular é da forma v C (t)= V C cos(ω t+ϕ)=r[v C e j ω t ] A relação entre o fasor resposta e a excitação é [ L C j 2 R C j 1] V C =V V V C = 1 2 L C j R C V V C = (1 ω 2 L C ) 2 +(ω R C ) 2 (ω R C) V C =θ=ϕ arctan (1 ω 2 L C ) v C (t)= V C cos(ω t+θ) Para o circuito RLC série com R=2, H=1H, C=1F e v S t =10 cos t. Calcular a resposta forçada do circuito. Realize os cálculos pela forma tradicional e utilizando fasores. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 4

di (t) L +R i(t )+ 1 dt C i(t ) dt=10 cos(t ) d 2 i(t) + R dt 2 L (t) di dt + 1 L C i (t)= 10 L sen(t) sem fasores i F t = A cos t B sen t di F t = A sen t B cos t dt d 2 i F t = A cos t B sen t dt 2 A cos t B sen t 2 [ A sen t B cos t ] A cos t B sen t = 10 sen t A 2 B A=0 B 2 A B= 10 A=5, B=0 i F t =5 cos t d 2 i t dt 2 R L di t 1 dt L C i t = 10 sen t L com fasores a saída é da forma i F (t)= I F cos(ω t+θ)=r[ I F e j ω t ] I F = I F e j θ Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 5

a entrada v é da forma v= 10 L cos t 2 =R[V e j t ] j π 2 V = V e [ j 2 R j 1 j L L C ] I = V F L e 2 [ j 2 2 j 1] I F =10 e j 2 10 I F = j 2 +2 j+1 = 10 2 =5 I F =θ= π 2 ( arctan 2 1+1) =0 i F (t)= I F cos(ω t+θ)=5 cos(t+0) 9.3 Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal 9.3.1 Resposta completa y t = y h t p p t para todo t onde a solução particular escolhida é uma senoide, e por isso pode ser obtida por fasores. A resposta homogênea pode ser obtida pelos métodos anteriormente descritos, em função das condições iniciais. Para o caso particular, com uma única fonte de excitação senoidal e uma só variável de saída y, podemos escrever y t =k 1 e s 1 t k 2 e s 2 t... k n e s n t A m cos t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 6

onde k 1, k 2,, k n e s 1, s 2, e s n dependem das condições iniciais e A m e dependem da solução particular Observa-se que se as raízes da equação característica estiverem no semiplano esquerdo as exponenciais tendem a zero quando o tempo tende a infinito, restando como resposta y(t), apenas a solução particular que pode ser obtida usando fasores. Esta é definida como sendo a resposta de regime permanente senoidal. Exemplo: Para o circuito RLC série com R=3/2, L=1/2H, C=1F e v S t =cos 2 t u t v S t =10 cos t. Calcular a resposta completa da tensão sobre o capacitor. As condições iniciais são i L 0 = I 0 =2A, v C 0 =V 0 =1V. L C d 2 v C t dt 2 R C dv t C v dt C t =v S t 1 2 2 d v C dt 2 3 2 dv C dt v C =u t cos 2 t v C, h t =k 1 e t k 2 e 2 t v C, p (t)=r(v e j 2 t )= V cos(2 t +θ) v S (t )=R(E e j 2 t )=cos(2 t ) [ 1 j 2 3 2 2 j 1] V =E E V = [ 1 j 2 3 2 2 j 1] = 1 1 j 3 =0,316 108,40 v C, p t =0,316 cos 2 t 108,4 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 7

v C t =k 1 e t k 2 e 2 t 0,316 cos 2 t 108,4 0 v C 0 =1=k 1 k 2 0,316 cos 108,4 0 k 1 k 2 =1,1 dv C 0 =2= k dt 1 2 k 2 0,316 2 sen 108,4 0 k 1 2 k 2 = 1,4 k 1 =3,6, e k 2 = 2,5 v C t =3,6 e t 2,5 e 2 t 0,316 cos 2 t 108,4 0 Como definido anteriormente, se o circuito tem frequências naturais no semiplano esquerdo ele é estável. Se as frequências naturais estão no semiplano direito então a resposta de qualquer variável de rede é instável. Se as frequências naturais estão sobre o eixo j então o circuito apresenta uma resposta natural oscilatória. Se não houver frequências naturais múltiplas sobre o eixo imaginário nem a excitação apresentar a mesma frequência de uma destas raízes, então o sistema será estável e a resposta de regime permanente será bem determinada. Exemplo: Qual a resposta homogênea de uma rede cujo polinômio característico é S 2 0 2 2 =S 4 2 0 2 S 2 0 4. y h t = k 1 k 2 t e j 0 t k 3 k 4 t e j 0 t y h t =K 1 cos 0 t 1 K 2 t cos 0 t 2 Neste exemplo, a resposta natural da rede não é estável pois a rede apresenta frequências naturais múltiplas sobre o eixo j. O mesmo acontece se a frequência de excitação da rede coincide com 0, mesmo que a rede apresente polinômio característico S 2 2 0. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 8

9.4 Impedância e Admitância Em regime permanente, v(t )= V cos(ω t +θ 1 ), v(t )=R[V e j (ω t) ] e i(t)= I cos(ω t +θ 2 ) i(t)=r[ I e j (ω t ) ] então podemos reescrever as relações entre corrente e tensão para o resistor, o capacitor e o indutor Para o resistor v= R i Substituindo os fasores na equação acima temos I =G V ou V =R I A relação também indica que, como R é um número real, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente é nula, ou seja, θ 1 =θ 2. Para o capacitor i=c dv dt Substituindo os fasores na equação acima temos I =( j ω C) V ou V = 1 j C I Observe que as relações entre os fasores V e I no capacitor são algébricas. Isto leva ao conceito generalizado de resistência. A generalização da resistência no plano complexo é chamada de impedância (Z) e a generalização da condutância é chamada de admitância (Y). A parte imaginária de uma impedância se chama reatância (X) e a parte imaginária de uma admitância se chama susceptância (B). Sendo assim, em regime permanente senoidal o capacitor tem um comportamento de reatância capacitiva normalmente representado por X C. Observe que a reatância do capacitor é um número complexo então os fasores de tensão e corrente não terão o mesmo ângulo, ou seja, não estarão em fase. Observe também que a corrente sempre estará adiantada em relação à tensão de um ângulo de 90 o. Para o indutor v= L di dt Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 9

Substituindo os fasores na equação acima temos I = 1 j L V ou V = j L I Observe, novamente, que as relações entre os fasores V e I são algébricas. Assim o indutor também apresenta uma reatância indutiva normalmente representada por X L. Observe, ainda, que a reatância indutiva também é um número complexo e a fase entre tensão e corrente será de 90 o. Neste caso porém, diferente do capacitor, a corrente no indutor está atrasada com relação à tensão. 9.4.1 Análise de regime permanente senoidal Para regime permanente senoidal, analisado por fasores, valem as mesmas regras de análise utilizadas circuitos resistivos, pois as leis de Kirchhoff continuam sendo aplicadas. Assim sendo são válidas as mesmas considerações sobre linearidade e invariância com o tempo, o que inclui os teoremas de superposição, Thèvenin e Norton bem como associações de componentes e simplificações e, obviamente, os métodos de análise por correntes de malha e tensões de nó. 9.4.2 Superposição em regime permanente Para os casos de circuitos excitados com fontes senoidais, sejam elas de frequências iguais ou diferentes, podemos utilizar o princípio da superposição para obter a resposta da variável de rede desejada. A justificativa aqui é igual à estudda anteriormente porém se as senoides possuírem frequências diferentes não podemos somar diretamente os fasores, pois a soma de duas ou mais senoides de frequências distintas não é uma senoide. 9.5 Ressonância Efeito que ocorre quando a impedância é puramente real, ou seja, a reatância capacitiva se iguala em módulo à reatância indutiva (circuito série), ou a susceptância capacitiva se iguala em módulo a susceptância indutiva (circuito paralelo). Seja o circuito RLC paralelo da figura abaixo Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 10

cuja admitância, no formato Y =G j B, corresponde a Y = 1 R j C 1 j L onde G= 1 R e B= C 1 L Na ressonância B vale zero, ou seja, C 1 L =0 o que ocorre em 0 = 1 L C. Observe que num circuito ressonante paralelo a impedância do circuito LC é infinita e a impedância de um circuito LC ressonante série é zero. 9.6 Função de Rede Resposta em Frequência e Seletividade Em um circuito RLC paralelo com R=10W, L=5H e C=5F, onde i 0 corresponde a corrente total fornecida pela fonte e v 0 a tensão sobre os elementos do circuito, então Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 11

i 0 = 1 R j L j C 1 v 0 j i 0 =[ j R j 2 C 1 L ] v 0 j i 0 C [ = j 2 j R C 1 L C ] v 0 cujo polinômio característico é da forma s 2 0 Q S 2 0 onde 0 = 1 L C e 0 Q = 1 R C. Então Q= 0 R C = 1 L C R C= R C L. Assim Z = v 0 1 = i 0 1 R j C 1 j L Z = R 1 j Q 0 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 12

corte Analisando a resposta em frequência deste sistema e buscando pelas frequências de Z 3dB = k 2 = k 1 Q 2 0 0 2 2= 1 Q 2 0 0 2 2=1 Q 2 0 0 2 ±1=Q 0 0 2 ± 0 Q 2 0=0 1,2 =± 0 2 Q ± 2 0 2 2 Q 0 1,2 =± 0 2 Q ± 0 1 4 Q 2 1 Se Q 1 então 1,2 =± 0 2 Q ± 0 Assumindo apenas as soluções positivas 1 = 0 0 2 Q e 2 = 0 0 2 Q Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 13

Isto determina um pico com largura de banda (BW), tal que BW = 2 1 = 0 Q A frequência do pico é dada por: d = 0 2 2 = 0 1 1 4 Q 2 O coeficiente de seletividade também pode ser visto como uma relação entre energia armazenada no circuito ressonante e a potência dissipada no resistor. Q= 0 2 = R C = C 0 0 G 1 0 C G 2 V 2 1 2 C V 2 energia armazenada = 1 0 = 2 V 2 1 2 0 2 V potência média dissipada no R R 9.7 Potência em regime permanente senoidal p t =v t i t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 14

p t =V M cos t V I M cos t I p t = V I M M [cos V I cos 2 t V I ] 2 Observe que há um nível contínuo somado a uma oscilação de potência com o dobro da frequência de excitação. O nível médio da potência corresponde a p t = V I M M cos V I. 2 Dependendo do ângulo de fase é possível que a rede alimentada pela fonte de excitação senoidal absorva e forneça energia. Para capacitores e indutores o ângulo de fase entre V e I é de 90 o e a potência média é zero. Apesar disto a potência instantânea ora é positiva ora é negativa (toda energia absorvida é devolvida ao circuito). No caso de resistores o ângulo de fase entre V e I é zero e a potência instantânea nunca fica negativa (o resistor só absorve energia). Para circuitos RLC o ângulo de fase entre V e I é um valor intermediário e a rede dissipa parte da energia absorvida e devolve para a fonte parte da energia que ficou armazenada nos indutores e capacitores. 9.7.1 Potência complexa S= V I * 2 onde V e I são fasores S= V M e j V I M e j I 2 = V I M M j V I e 2 S = V M I M 2 é a potência aparente S= P j Q onde Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 15

S é a potência complexa (VA) P= V I M M cos V I é a potência média (W). 2 Q= V I M M sen V I é a potência reativa (VA ou VAR). 2 ϕ=cos( V I ) é o chamado fator de potência (determina quanto da potência entregue ao circuito está sendo armazenada e quanto está sendo dissipada transformada em trabalho) 9.7.2 Valor eficaz Para um resistor ou rede cujo ângulo de fase entre V e I seja nulo p t = V M I M 2 se definirmos V EF = V M 2 e I EF = I M 2 então p t =V EF I EF Para outras funções não periódicas ou não senoidais o valor eficaz pode ser calculado como a raiz quadrada da média do sinal ao quadrado (valor RMS). X EF = 1 T T 0 X t 2 dt O sinal eficaz ou RMS esta relacionado com a energia do sinal e por isso é muito utilizado em diversas áreas da eletrônica. Os valores de tensão numa instalação elétrica residencial (220 ou 127 V) são valores eficazes e por isso podem ser utilizados diretamente para o cálculo de potências. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 16

9.8 Máxima transferência de potência Seja um equivalente Thévenin com fonte de tensão V S e impedância Z S alimentando uma carga Z L. Qual o valor de Z L para a máxima transferência de energia entre o equivalente Thévenin e a carga? p= 1 2 I 2 R(Z L ) I= V S Z S Z L p= 1 2 V S 2 Z S +Z L 2 R(Z L) R L p= 1 2 V S 2 (R L + R S ) 2 +( X L + X S ) 2 R L p MÁX = 1 2 V S 2 ( R L +R S ) 2 então X L = X S p R L = 1 2 V S 2 (R L +R S )2 2 (R L +R S ) R L (R L +R S ) 4 =0 ou seja R L =R S p MÁX = V S 2 8 R S cuja eficiência máxima chega a 50%. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 17

9.9 Normalização da Impedância Resistências, indutâncias e capacitâncias de circuitos podem ser consideradas como impedâncias normalizadas, que estão associadas a frequências normalizadas. Em muitas aplicações é possível calcular filtros e outros circuitos para um funcionamento normalizado. A transformação destas impedâncias e das frequências pode ser feito como indicado abaixo. valor desejado da impedância r n = valor da impedância do projeto normalizado freqüência desejada n = freqüência do projeto normalizado R=r n R 0 L= r n n L 0 C= C 0 r n n A vantagem desta estratégia é que um só gabarito de projeto serve para todos os projetos com qualquer frequência ou impedância. Projetos normalizados sofrem menos problemas numéricos e erros de arredondamento. Valores normalizados são mais fáceis de trabalhar do que valores reais. Exemplo: A figura abaixo mostra um filtro passa baixas com valores de componentes típicos de circuitos. A função de transferência V 2 / I 1 apresenta ganho unitário em baixas frequências, e frequência de corte em 1rad/s, conforme gráfico. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 18

Supondo que este circuito tenha que ser adaptado para uma situação real onde a resistência de carga é 600W e a frequência de corte deve ser 3,5kHz. A desnormalização de frequências e impedâncias é realizada da seguinte maneira. valor desejado da impedância r n = valor da impedância do projeto normalizado = 600 1 =600 freqüência desejada n = freqüência do projeto normalizado = 2 3,5 103 =2,199 10 4 1 R=r n R 0 =600 1=600 L 1 = r n n L 0 = 600 2,199 10 4 1,33=36,37 10 3 C 1 = C 0 1,5 = r n n 600 2,199 10 4 =0,1338 10 6 e C 2 = C 0 0,5 = r n n 600 2,199 10 4 =0,0379 10 6 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 19

9.10 Exercícios 1) Considere os dois circuitos abaixo: a) calcule as funções de transferência H R (jw) = V R /V e H C (jw) = V C /V; b) esboce os gráficos de módulo e fase de H R (jw) e H C (jw); c) determine as frequências de corte para os dois circuitos. 2) Calcule a tensão sobre o indutor em regime permanente senoidal. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 20

3) Para cada um dos pares de tensão e corrente corrente abaixo calcule a potência média nos terminais dos circuitos A e B; em cada caso diga em que direção (de A para B ou de B para A) flui a potência média calculada. a) v t =100 cos t 4, i t =20 cos t 12 b) v t =100 cos t 4, i t =20 cos t 11 12 4) Para o circuito mostrado abaixo: a) Calcule Vo(t) em regime permanente; b) Qual o período de Vo(t)? c) A resposta está atrasada ou adiantada com relação a Vs(t)? d) Qual é o valor do avanço/atraso? Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 21

5) Para os sinais v t =10 2 cos 10 t e i t =0,45 cos 10 t 0,52 : a) Quem 4 está adiantado de quem? b)quantos graus? c) Quantos segundos? 6) Determinar Z L para a máxima transferência de energia. 7) Para o circuito abaixo, calcular Ix e Vx de regime permanente. permanente. 8) Calcule os valores de R8 e L3 para que I(t)=0. Considere o circuito em regime Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 22

9.11 Soluções 1) Considere os dois circuitos abaixo: a) calcule as funções de transferência H R (jw) = V R /V e H C (jw) = V C /V; b) esboce os gráficos de módulo e fase de H R (jw) e H C (jw); c) determine as frequências de corte para os dois circuitos. H R j = V R j V j = V j 1 j C R 1 R V j = j C R 1 j C R H R j = j C R j C R 1 1 j C R 1 j C R = 2 C 2 R 2 j C R 1 2 C 2 R 2 C R H R j = [ 1 C R 2 2 ] arctan C R H C j = V C j V j = V j 1 1 j C R j C 1 V j = 1 1 j R C 1 j C R 1 j C R H C j = 1 = 1 j C R 1 j C R 1 2 C 2 R 2 1 H C j = [ arctan C R ] 1 C R 2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 23

ordem. Compare estas respostas com aquelas obtidas do módulo de circuitos de primeira 2) Calcule a tensão sobre o indutor em regime permanente senoidal. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 24

V 0,707 j 0,707 v L3 j = j L R 2 j L 3 = 3 40 j 200 0,06 j 200 0,06 = V L3 v L3 t = V L3 cos 200 t 3) Para cada um dos pares de tensão e corrente abaixo calcule a potência média nos terminais dos circuitos A e B; em cada caso diga em que direção (de A para B ou de B para A) flui a potência média calculada. a) v t =100 cos t 4, i t =20 cos t 12 b) v t =100 cos t 4, i t =20 cos t 11 12 a) P= 1 2 v i 100 20 MAX MAX cos v i = cos 45 o 15 o =500W 2 potência média fornecida por A b) P= 1 2 v i cos v i =100 20 MAX MAX cos 45 o 165 o = 866W 2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 25

potência média fornecida por B 4) Para o circuito mostrado abaixo: a) Calcule Vo(t) em regime permanente; b) Qual o período de Vo(t)? c) A resposta está atrasada ou adiantada com relação a Vs(t)? d) Qual é o valor do avanço/atraso? a) Vo j = Vs R 1 R j X R 1 = Vs R j R C 1 1 2 2 C1 R 1 j R 2 C 1 R 2 R 2 j X C1 onde =2 500 b) Período=T = 1 f = 1 500 s 5) Para os sinais v t =10 2 cos 10 t e i t =0,45 cos 10 t 0,52 : a) Quem 4 está adiantado de quem? b)quantos graus? c) Quantos segundos? a) A tensão está adiantada com relação a corrente. Desenhando os fasores que representam v e i e girando os fasores no sentido anti-horário percebe-se que o fasor de tensão cruza o eixo real positivo antes do fasor de corrente (normalmente se escolhe o fasor que leva ao menor ângulo entre os dois fasores). b) 75 0 ou 1,31 rad (se optarmos por dizer que a corrente está adiantada com relação a tensão, o ângulo seria 105 0 ). c) Uma regra de três resolve o problema. Sabe-se que os cossenos variam a 10rad/s então 1,31 radiano demora 0,31 s Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 26

restante. 6) Para o circuito abaixo, retire Z L e calcule o equivalente Thévenin do circuito Colocando uma fonte de tensão de valor v no lugar de ZL e considerando que uma corrente i entra nesta fonte temos: Para o nó A, onde se ligam R, C 1 e L v A V R 1 v A j C 1 v A v j L =0 v A = j L V v R 1 j L 2 L C 1 1 Para o nó B, entre L, C 2 e v v v A j L v j C 2 i=0 v [ 1 j L R 1 L 2 j L 3 L 2 C 1 j C 2] = V 1 2 L C 1 j L i Comparando a equação acima com a de um equivalente Thévenin observa-se que: v Y TH =Y TH V TH i 7) Para o circuito abaixo, calcular Ix e Vx de regime permanente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 27

O problema só pode ser resolvido por superposição pois as fontes de corrente e tensão apresentam frequências diferentes. V2 rms ( j ω )=10 13 146,3 o, V2 =1000 j X L2 = j e j X C1 = j 4 V2 Ix V2 j = = 10 13 146,3o = 10 13 146,3o =10 90 o R 1 j X L2 j X C1 2 j 3 13 56,3 o Vx V2 j = R 1 j X C1 Ix V2 = 2 5 63,4 o 10 90 o =20 5 153,4 o Ix V2 t =10 2 sen 1000 t Vx V2 t =20 10 sen 1000 t 63,4 o I2 rms ( j ω)=2 2 135 o, I2 =2000 j X C2 = j 2 Z EQ = j X L2 // R 1 j X C1 = 2 j 2 // j 2 =2 j 2 Vx I2 j =I 1 Z EQ R 2 j X C2 =2 2 135 o [ 2 j 2 j 2 2]=8 2 135 o Ix I2 j = I2 Z EQ = 2 2 135o 2 2 45 o = 4 90 o j X L2 2 90 o Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 28

Ix I2 t =4 2sen 2000 t Vx I2 t =16 cos 2000 t 135 o Ix t =Ix V2 t Ix I2 t Vx t =Vx V2 t Vx I2 t permanente. 8) Calcule os valores de R8 e L3 para que I(t)=0. Considere o circuito em regime O circuito pode ser redesenhado como onde 1 R 7 j C Z 1 = R 7 // C2= 2 j R R 7 1 = 7 R 7 C 2 j j C 2 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 29

Z 4 =R 8 j L 3 A corrente em Z L é zero se Z 1 Z 3 = Z 2 Z 4 j R 7 R 7 C 2 R 8 j L 3 =R 4 R 5 j R 7 R 8 j L 3 = R 4 R 5 R 7 C 2 R 7 L 3 j R 7 R 8 =R 4 R 5 R 7 C 2 j R 4 R 5 Assim R 1 L 3 = R 4 R 5 R 7 C 2 L 3 =R 4 R 5 C 2 e j R 7 R 8 = j R 4 R 5 R 8 = R 4 R 5 R 7 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 30