OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO ORIGEM DOS TERMOS

OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO ORIGEM DOS TERMOS A eqação do moimento da coordenada é: d P sen. cos. w F. atrito F. maré... Por agora amos esqecer as forças de maré. Com base em eidências eperimentais erifica-se qe para escoamentos não trblentos, as forças de atrito estão relacionadas com deriadas espaciais da elocidade (hipótese colocada por Newton e erificada), por eemplo,, mltiplicado pelo coeficiente de iscosidade, qe é ma propriedade do flido. O termo de atrito na eqação acima pode tomar a forma:, onde é o coeficiente da iscosidade cinemática, (S,T,P). Um alor típico de para a ága é 1 6 m /s. A obtenção dos termos de atrito por esta forma foi feita por Naier e Stokes e a eqação do moimento inclindo estes termos são chamadas as eqações de Naier - Stokes. Representam ma parte importante da mecânica dos flidos. d - Otra não linearidade aparece atraés do termo!!! Consideremos m caso geral. Seja a propriedade A, qe aria com a posição (,, ) e com o tempo (t), o seja: A = A (,,, t). Então a deriada da total de A,, escree-se: da A t A A A w Fisicamente, isto qer dier qe a propriedade A aria com o tempo A na posição (,, ) e também aria conforme o flido se moe desse t A ponto para otro ponto ; ;. O termo é chamado t

deriada local e os otros são os termos adectios, porqe estão relacionados como as componentes do escoamento,, e w (adecção). Consideremos m estado estacionário do escoamento: o alor de A não aria com o tempo em todos os pontos do domínio (escoamento). A Matematicamente temos qe. No entanto, A pode ariar com a posição. Assim, o flido qe se moe atraés do campo de elocidades ai da sofrer ariações da sa propriedade A e portanto, a menos qe o alor de A seja o mesmo em todo o escoamento. A é a deriada Eleriana: descree-nos o comportamento da t propriedade A do flido em cada instante em diferentes pontos. da é a deriada Lagrangeana: descree-nos o comportamento da propriedade A do flido à medida qe ai percorrendo a trajectória. Na representação Lagrangeana estamos a representar linhas de corrente, qe são tangentes aos ectores elocidade da representação Eleriana. Na eqação do moimento qe escreemos, os termos no º membro estão escritos na forma Eleriana, mas o 1º membro está escrito na forma Lagrangeana. É mais fácil passar o 1º membro a Eleriano, qe o º membro a Lagrangeano (o qe também se pode faer, mas não é tão cómodo!). Podemos escreer: d t taa da ariação local w taas de ariação adectia deido ao moimento

Os termos adectios são não-lineares, porqe as sas elocidades ocorrem ao qadrado (por eemplo: 1 ) o proos entre diferentes componentes da elocidade e sas deriadas (por eemplo: ). Por casa destes termos não lineares, ma peqena pertrbação pode crescer e tornar-se ma grande fltação. Estes termos podem casar instabilidade e serem responsáeis pela presença de trblência, qe ocorre sempre qe estes termos são sficientemente grandes qando comparados com os termos de atrito, os qais tendem a faer diminir as diferenças espaciais de elocidade. NÚMERO DE REYNOLDS Para analisar se os termos não lineares adectios são grandes o não, analisamos a raão: (termo não linear sobre o termo de atrito) Se considerarmos qe qer qer são da ordem de U (elocidade típica no oceano) e aria de U), esta raão é do ordem de: da ordem de L (distância típica em qe a elocidade U U UL L L qe é chamado número de Renolds (R e ) para o escoamento de m flido. Mede a raão entre os termos não lineares e os termos de atrito. Este processo de filtragem das eqações é mito tiliado em mecânica de flidos porqe não consegimos resoler as eqações completas. Podemos assim descobrir qe podemos desprear algns termos, facilitando a solção. O Número de Renolds (R e ) não tem dimensões. O alor de R e dá-nos a indicação se o escoamento é trblento o laminar. Um escoamento não deerá ser trblento enqanto R e < 1. Dai para cima, depende da geometria do escoamento e da estabilidade inicial. R e > 1 5 o 1 6, indica escoamento

trblento, embora dependendo da geometria. Os termos não lineares são maiores qe os termos de atrito. Utiliando a Corrente do Golfo como eemplo: U 1 m.s -1 ; L 1 Km = 1 5 m ; 1 6 m /s logo R e 1 11, logo a corrente do Golfo dee ser trblenta. Deste eemplo erificamos qe os efeitos não lineares são mito fortes comparados com o atrito. De facto podemos ignorar o atrito no oceano aberto. Ele só se torna importante mito perto de fronteiras sólidas o como ma forma de remoer energia de m escoamento trblento em escalas peqenas, impedindo qe elas cresçam infinitamente. Isto é, o atrito só é importante para peqenos alores de R e qe ocorrem com alores baios de U e/o L. Nota: apesar do atrito moleclar poder ser despreado em mitas sitações de dinâmica do oceano, deemos ter em conta a eistência de forças qe se opõem ao moimento e qe originam a redistribirão da energia e otras fnções de estado dos flidos em escoamento. Qando o moimento é trblento, isto é, nele ocorrem fltações rápidas qe se adicionam ao moimento médio, então os termos não lineares originam termos na eqação do moimento qe têm as características dos termos de atrito, com eremos mais à frente (originam também termos similares nas eqações de conseração de calor e sal). São chamadas Tensões de Renolds (Renolds Stresses) qe aparecem nas eqações do moimento médio de m flido em escoamento trblento. AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO MÉDIO Deido à natrea do escoamento trblento não parece sensato resoler as elocidades associadas a este escoamento. Procremos antes eqações para o moimento médio. A média será tomada no tempo, drante m período apropriado ao fenómeno qe pretendemos estdar (algns mintos a ários meses...). Segindo Renolds qe sgeri esta aproimação, as ariáeis,,, w e são diididas nma parte média e nma fltação, o seja: ', onde é a média e ' é a fltação em torno da média. Por definição '. Apliqemos então esta aproimação às eqações do moimento (eqações de Naier Stokes).

Atenção: eqação do moimento como: P w F.Coriolis F.Atrito t A média de t será: t 1 T T t (T) () T onde T é o período sobre o qal é feito a média. Qanto maior for o período T, mais negligíel é este termo. Consideremos o gradiente da pressão. Virá: P P' P P ' P P ' ' ' Em geral, qalqer termo qe contenha ma única fltação é nlo qando se acha a média. O termo P' porqe P' ' e P não são independentes. porqe ' P' ' não desaparece porqe ' A diferença em cada instante entre a linha obserada da grandea A e a linha é a fltação A. A Regra: AB AB A'B' correlacionaeis (E()=E()E()-co(,)). este termo só é nlo se A e B não forem Contdo, as ariações de no oceano são mito peqenas comparadas P' com e por isso ' é negligíel qando comparado com P P é da ordem da grandea de. Consideremos o termo de Coriolis: P sen( ' ) sen( '), pois a média de ma soma é igal à soma das médias e sen é constante. Mas ' =, logo o termo fica: sen. O otro termo de Coriolis será, por semelhança: cos w, qando achamos a média (em geral até é despreado porqe w é mito peqeno). O termo de atrito irá:

( ') ' porqe ' = e será idêntico para os otros termos. Consideremos agora os termos adectios: ( ') ( ') ' ' w w' Qando achamos a média deste termo temos: ( ') ' ' ' w ' ' w' Os termos qe continham apenas ma fltação são nlos, mas os termos com das fltações não, como já imos atrás. Os primeiros três d termos, combinados com, podem ser escritos como, a deriada total do t moimento médio. Reparemos qe se jntarmos todos estes termos, temos: d P ' ' ' ' ' sen cos w ' ' w' O seja, a eqação de Renolds para é idêntica à eqação do moimento para as qantidades totais, sbstitindo estas por qantidades médias e mais três noos termos qe enolem as fltações da elocidade. Estes noos termos deem representar o efeito das fltações da elocidade (o seja, da trblência) no moimento médio. Notemos qe estes termos têm origem nos termos não lineares da eqação de Naier-Stokes. A natrea não linear das eqações e a possíel eistência de trblência e os ses efeitos de atrito no moimento médio não são independentes. Qando especificamos os termos de atrito, temos também qe especificar os termos de trblência, pois ai também está contido atrito! Mas neste momento complicámos as coisas!!! Com a aproimação à Renolds mostrámos como os termos não lineares originam trblência no moimento médio. Inclsie obtiemos epressões para esses termos em fnção das fltações da elocidade. Mas acabámos de acrescentar mais três incógnitas às nossas eqações (, e w ). Bom, podemos tentar obserar estas grandeas. Na erdade isto é possíel eperimentalmente mas com grande gra de dificldade.

O fecho das eqações, contendo o atrito e os termos adectios, continam a ser m problema no estdo da trblência! Há sempre mais incógnitas qe eqações! Há agora qe tiliar conhecimentos obtidos atraés da obseração e intição física para encontrar ma forma para fechar o problema. A segir amos tentar m esqema de fecho, simples, atraés de analogia com os efeitos do atrito moleclar. TENSÕES DE ÕES DE REYNOLDS E VISCOSIDADE TURBULENTA (EDDY VISCOSITY) Vamos introdir os conceitos de edd iscosit o trblent iscosit por analogia com o atrito moleclar, mas de magnitde mito maior qe este. Notemos qe, em princípio, no moimento médio, o seja, no moimento descrito à Renolds, os termos não lineares não deem ser dominantes. Se consegirmos mostrar tiliando a analogia com o atrito moleclar, qe o atrito trblento o edd iscosit tem pocos efeitos, tale consigamos resoler as eqações ignorando o atrito e mesmo assim poder esperar resltados realistas. Em princípio, qando m escoamento entra em trblência, as deriadas espaciais do moimento médio sofrem ma redção porqe o moimento linear é homogeneiado. Assim as eqações do moimento médio deerão apenas ser ligeiramente não lineares. Se consegirmos, por esta forma, fechar as eqações podemos esperar resoler as eqações por métodos nméricos, recorrendo a m comptador, embora a solção analítica não seja única e seja difícil de consegir. Consideremos a eqação da continidade para m flido incompressíel: w O seja div o.v. Decompondo em escoamento médio + fltação: ' ' w w'

Como : w ',logo : ' w', o seja,. V'. Logo, qer a elocidade total, qer a elocidade média, qer a elocidade pertrbada, satisfa a eqação da continidade. Se adicionarmos '.V aos termos trblentos da eqação de Renolds, o se alor não se altera, apenas altera a forma matemática porqe '.V. Para a componente em, por eemplo, temos: ' ' ' ' ' w' ' ' w' ' '' ' ' ' w' e a eqação de Renolds para a componente da elocidade,, em: d P α senφ - cosφw ν '' d ' ' ' w' O termo pode ser escrito como. Notemos qe é a tensão (força por nidade de área) segndo deido ao atrito moleclar e à eistência do gradiente. Kg m m Kg.m ν qe é ma força por nidade de área 3 m s sm s m Notemos qe - também é ma tensão e qe pode ser identificada ρ como tensão deida à trblência. As deriadas espaciais destas tensões prodem forças nm elemento de olme de m flido ' ' é força por nidade de olme. Os mecanismos das tensões deido ao atrito moleclar e deido à trblência são similares, pois ambos proporcionam a troca de momento linear entre partes do flido, embora as escalas sejam mito diferentes: os deslocamentos e as massas enolidas são mito maiores nas tensões trblentas. As tensões como - ; - ; - w o os termos idênticos para os otros componentes (- ; - ; - w para a componente em e -w ; -

w ; -w w para a componente em ) são as chamadas tensões de Renolds (Renolds stresses). Por analogia com o atrito moleclar, podemos admitir qe estas tensões estão relacionadas com os gradientes da elocidade média por ma espécie de iscosidade: a edd iscosit o iscosidade trblenta. Assim (por eemplo): ' ' A ; ' ' A ; ' w' A Os coeficientes A, A e A são as edd iscosit o iscosidades trblentas (cinemáticas se mltiplicados por teremos os coeficientes dinâmicos, como eremos). Ao contrário do atrito moleclar, aqi samos diferentes alores da edd iscosit para cada direcção, ma e qe deem ser diferentes, em particlar entre as direcções horiontais e a ertical, por casa da estabilidade estática. Reparemos qe as tensões de Renolds não são simétricas: ' ' A e ' ' A não são necessariamente igais. Mas isto é otro problema qe deiamos para o ftro... para a eqação em e w : '' A ; ' ' A ; ' w' A w w w w'' A ; w' ' A ; w' w' A w Então, m termo como: ' ' irá A. É comm colocar A fora da deriada baseado no argmento qe A é mesmo importante... e por analogia com o atrito moleclar. Além do mais desprear a ariação espacial dos A s em relação a otros termos é ma aproimação tão álida como otras qe já fiemos. Por isso não há raão para não a faer. Assim, os termos de atrito trblento na direcção, irão:

A A A Os A s têm nidades m /s, por analogia com a iscosidade moleclar. Reparemos qe estes termos têm dimensões de força por nidade de massa, o seja, aceleração (m/s ). Temos qe mltiplicar por os A s para termos força por nidade de olme, tal como consta das eqações de Renolds. Temos neste caso a iscosidade trblenta dinâmica e não a cinemática. Os coeficientes da iscosidade trblenta são estranhos!!! Ao contrário da iscosidade moleclar, não são constantes para m dado flido, temperatra, salinidade e pressão, mas ariam de local para local e de instante para instante e com o tipo de moimento. Os A s são propriedade do escoamento e não propriedade do flido! Os ses alores chegam a atingir 1 11 ees o alor da iscosidade moleclar! Mitas tentatias têm sido feitas para epressar os A s como fnção da elocidade média, sa deriadas, etc... mas não têm obtido resltados aplicáeis! A representação da trblência atraés dos edd iscosit é possíel até qe percebamos esta característica do escoamento de flido sficientemente bem para o podermos representar de forma mais eacta e, certamente, mais correcta. De qalqer forma, a aproimação atraés dos edd iscosit dá bons resltados em algns casos: o escoamento do oceano jnto ao fndo costma ser tratado atraés desta forma. Introdindo os edd iscosit e inclindo neles a iscosidade moleclar, as eqações do moimento para a componente e êm: A A A w cos sen P w t d A A A sen P w t d e para componente ertical: w A w A w A g cos P w w w w t w dw onde,, w, e são qantidades medias. Assmimos qe o qe representamos são qantidades medias e por isso omitimos a barra.

MAGNITUDE DOS TERMOS DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO: NÚMERO DE ROSSBY E DE EKNAM Já tinhamos feito a filtragem das eqações do moimento na disciplina de Oceanografia Física. Na altra tínhamos apenas dito qe os termos relacionados com o atrito eram peqenos comparados com otros termos das eqações. Vejamos melhor agora a sa magnitde: os alores estimados para A e A ariam entre 1 e 1 5 m /s. Para A as estimatias ão de 1-5 a 1 1 m /s. Verificamos por estas estimatias qe as edd iscosit ariam mito. Isto dee-se ao facto da edd iscosit ser ma propriedade do escoamento e não do flido e também à forma como os A s são obtidos. Podemos estimar este termo como termo residal das eqações do moimento. Podemos ajstar o termo tão bem qanto possíel a obserações realiadas. Uma aproimação simples e possielmente correcto, pelo menos nm factor de 1, é considerar os termos não lineares da mesma ordem de magnitde da iscosidade trblenta, tal como já tínhamos dito antes. Assim ma e qe os termos não lineares tem dimensões: U d temos,por eemplo L d, temos: U U U U A A A Logo: L L L L A H 3 6 A UL e A A. Com 1 em A 1 A L H L. O facto de A <<A o A dee-se à estabilidade estática casada pela estratificação inibir a trblência ertical e forçar o escoamento a ser qase horiontal (o seja, a mesma raão porqe W<<U e qe prooca circlações onde H<<L). Notemos qe A (o A ) = UL é eqialente a dier qe o número de Renolds (termos não lineares sobre termos de atrito) baseado na iscosidade trblenta é da ordem de 1. Com U =.1 m/s (1 1 m/s) e L = 1 6 m temos A e A = 1 5 m /s, o limite sperior de estimatia destes alores. Só deem ocorrer alores mais baios qe estes porqe a circlação associada à trblência são de menor escala (qer L qer U) o têm m número de Renolds baseado no edd iscosit maior qe 1. Verifiqemos as magnitdes dos termos não lineares:

1 1 d 1 1 8 d 4 1 8 1 1 ; w 1 1 6 3 d 1 d 1 e por ai fora Verificamos qe são peqenos qando comparados com otros termos, por eemplo, a Força de Coriolis. Verifiqemos as magnitdes dos termos de edd iscosit : Por eemplo: A A A A w 1 w 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 6 4 6 1 1 1 1 11 8 11 8 termos da eqação ertical, em w termos das eqações horiontais, em (estamos a tiliar as maiores estimatias para os A s!) Verificamos assim qe para escoamentos de larga escala no oceano interior, qer os termos não lineares qer os termos de iscosidade trblenta, são mito peqenos qando comparados, por eemplo, com os termos do gradiente de Pressão e de Coriolis. Mas atenção! Notras regiões podem ser (e são...) importantes! Para classificar o escoamento notras regiões é útil considerar as raões entre os termos não lineares e o termo de Coriolis e entre os termos de atrito e o termo de Coriolis: (números adimensionais) termo não linear U 1 U R, termo de Coriolis L fu fl qe é chamado Número de Rossb (R ). termo de atrito U 1 A A E termo de Coriolis L fu fl qe são os chamados Números de Ekman. o A fl E No oceano interior E E, é por ees chamado E H. o A fh E No oceano interior R 1 3 e E E H 1 3. Notras regiões estes números são maiores, mas o se limite sperior é 1 para circlação de larga escala (o seja, os termos não lineares e de atrito nnca são speriores ao termo de Coriolis, para circlação de larga escala).

ESTABILIDADE DINÂMICA; NÚMERO DE RICHARDSON O qe é qe determina qe o escoamento se torne instáel e eola para moimentos de peqena escala cjos efeitos de atrito são mito maiores qe os efeitos do atrito moleclar? (os efeitos do atrito trblento são cerca de 1 7 a 1 11 ees maiores qe os do atrito moleclar nas componentes horiontais e 1 a 1 5 ees maiores na componente ertical). Consideremos m flido com estabilidade estática netra: não há efeito de fltação (boanc) porqe qalqer parcela de ága qe seja deslocada tem a mesma densidade do qe as ágas iinhas. Isto corresponde a dier qe a salinidade e temperatra potencial são constantes no domínio considerado, o qe, por eemplo, a salinidade é niforme mas a temperatra e a densidade amentam em profndidade o qe será m eemplo realista. Neste caso simples será o Número de Renolds qe determina a estabilidade dinâmica (R e = termos não lineares / atrito moleclar). Se R e > 1 6 é proáel o escoamento ser trblento. Sponhamos U =.1 m/s (1 cm/s), ma elocidade será relatiamente baia. Se tomarmos μ = 1 6 m /s, a distância característica para qe R e = 1 6 é L = 1 m. Uma e qe a escala de distância nos oceanos é bem maior, tdo lea a crer qe o regime trblento dee acontecer por todo o lado (R e = U.L / μ). Contdo não é isso qe se erifica, logo m Número de Renolds eleado não é sficiente para faer a trblência crescer, ainda qe a possa gerar! Para qe a trblência cresça, o seja, para qe as pertrbações na elocidade cresçam, é necessário qe eista ma fonte de energia! E não haerá fontes de energia se não hoer gradientes no escoamento! Se o campo da elocidade for mito niforme, não há fonte de energia para faer crescer as pertrbações e o atrito moleclar (iscosidade moleclar) acaba por alisar as pertrbações. Claro está qe jnto às fronteiras sólidas, onde a elocidade é nla, há gradientes de elocidade e por isso é mito proáel qe a trblência ocorra de preferencia jnto às fronteiras. Otra hipótese qe inibe a trblência, assmindo qe o número de Renolds seja grande (1 7 o maior) é m tipo de escoamento tal qe os termos não

lineares sejam peqenos e, por isso, a passagem para a trblência não ocorre. Variações da densidade amentam o diminem, por eemplo, a elocidade ertical. A estabilidade estática mede isso: se for positia implica estabilidade, logo w dimini; se for negatia implica instabilidade, logo w amenta. A trblência tende a mistrar o flido, logo, a diminir a ariação ertical da densidade. Ao faer isto fa sbir flido mais pesado e descer flido mais lee. Logo, o centro de graidade da parcela de flido sobe, logo a energia potencial graitica amenta (trabalho realiado contra a força de graidade). Este amento da energia potencial em da energia cinética da trblência (energia cinética das pertrbações), qe por sa e em da energia cinética do escoamento médio.. O flido trblento também perde algma energia para energia interna, atraés da iscosidade moleclar. Se a taa de perda de energia trblenta é maior qe o ganho, a trblência morre! Também, se a estabilidade estática for grande, a trblência enolendo a coordenada ertical não será possíel. Como podemos estabelecer m critério para aaliar a importância relatia da estabilidade estática e a tendência para a instabilidade dada pelos termos não lineares? Para isto constri-se m otro número adimensional, o Número de Richardson: R i N Onde N é a freqência de Brnt-Väisälä N ge, com E 1 - ρ σ t, qe é ma medida da estabilidade estática, como já imos. Usa-se em e de porqe a trblência não depende do sinal de, mas sim da sa eistência e da sa magnitde. Com o qadrado tiramos o efeito do sinal. Se R i <, as ariações de densidade amplificam a trblência. Se R i > tendem a redi-la. Se apenas ocorre ariação ertical da elocidade horiontal, R i torna-se bastante grande e a trblência não é possíel: o efeito

estabiliador da distribição da densidade ltrapassa a instabilidade potencial deido aos termos não lineares. O alor critico eacto de R i é determinado eperimentalmente para cada escoamento. No entanto, com R i > ¼ é mito difícil gerar trblência. Notemos qe, em todas as eqações qe temos sado, o efeito das ariações de densidade, em particlar na ertical, é indirecto: acta sobre a trblência modificando a edd iscosit, mas não acta directamente no escoamento médio. De facto, não há deriadas de ρ (o σ t o α) nas eqações de Renolds, ' e despreamos os termos qe continham α por eemplo, ' qando dedimos as eqações de Renolds! A raão disto é qe as ariações da densidade são peqenas, qer as ariações dos alores médios qer as fltações. Esta aproimação é aqilo qe se chama aproimação de Bossinesq. O seja: se as ariações da densidade são peqenas, nma primeira aproimação podemos desprear o se efeito na massa do flido, mas manter o se efeito no peso. O seja ainda: temos qe manter o efeito das ariações de densidade na fltalidade (boanc), atraés da estabilidade estática, por eemplo, mas podemos desprea-los nas acelerações laterais geradas por forças deidas a ariações laterais de densidade (o seja ainda: temos qe considerar as ariações de densidade qando estão associadas a g peso!). Assim, nas eqações do moimento horiontal podemos sar ma densidade média da região considerada, mas na eqação em temos de sar os alores erdadeiros da densidade! (porqe ela red-se à eqação da eqação hidrostática). CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO A circlação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio (Ciclónico) e no Atlântico Sl é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até qe ponto esta circlação

pode ser atribída ao ento? Até finais do séclo XIX era assim qe se pensaa. A transferência de momento do ento para a ága do oceano é m processo mito lento, caso não ocorra trblência. O seja, se o escoamento indido pelo ento for considerado laminar, tiliando então o coeficiente de iscosidade moleclar, erifica-se qe modificações na circlação na camada sperior do oceano (tipicamente deenas de metros) indidas pela acção do ento demoram meses!!! No entanto o qe se obsera é qe estas modificações ocorrem em horas o pocos dias e não meses! Isto dee-se ao facto de o escoamento no oceano ser qase sempre trblento e, neste tipo de escoamento, a transferência ertical de momento e energia ocorre a ma taa na ordem de centenas o milhares de ees speriores à transferência qe ocorre atraés da iscosidade moleclar. Nos escoamentos trblentos temos qe tiliar a iscosidade trblenta, o seja o edd iscosit qe já tínhamos isto ser mito (mitíssimo!!!) sperior à iscosidade trblenta. Qer os efeitos casados pelo ento qer as ariações de densidade lateral do oceano são mito importantes para definir a circlação oceânica. O ento é mito importante nos 1 m speriores. No final do séclo XIX (1898) Nansen erifico qe os icebergs no Árctico deriam não na direcção do ento, mas sim para a direita da direcção do ento à sperfície. Porqe seria? Solção de Nansen: força tangencial indida pelo ento F t direcção do moimento no estado estacionário V cbo de ága do oceano F C inicial força de Coriolis qe aparece mal o cbo entra em moimento (estado inicial) F b força de atrito entre as faces sbmersas do cbo e a ága do oceano F C força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário VENTO

O cbo começa por acelerar na direcção do ento, mas assim qe entra em moimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado estacionário é atingido qando F,F e F entram em balanço e nessa altra a t C elocidade V é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do ento. A determinação da direcção eacta do moimento relatiamente ao ento, seria feita mais tarde (entre 195 e 193) por Ekman, com base em argmentos qantitatios, ao contrário de Nansen qe tilio apenas argmentos qalitatios. Ekman tee de recorrer à matemática! ( Nansen era biólogo... ) b AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO Se pegarmos nas eqações do moimento para o eqilíbrio geostrófico e inclirmos o atrito, temos: d P f. F d P f. F onde F e F são as componentes do atrito por nidade de massa. No estado estacionário: P f. F P f. F (Coriolis + atrito + Grad P = ) F grad.p F Coriolis o ectorialmente: a resltante é nla! F atrito Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já não são directamente opostas! O moimento será ageostrófico.

Temos pois qe encontrar solções para estas eqações (tal como já tínhamos feito para o caso do eqilíbrio geostrófico). Foi isso qe Ekman fe! A primeira coisa a faer será escreer epressões para os termos F e F. Vejamos os argmentos qalitatios: se das partes de m flído se moerem relatiamente ma à otra, dee ocorrer atrito. Estas das partes podem moer-se em direcções opostas o na mesma direcção com elocidades diferentes. Neste caso ocorre shear na elocidade. A qantificação do shear fa- 3 4 o no limite. Para m flído Newtoniano, classe a qe pertence a ága do oceano, a se: / 4 3 tensão de atrito,, definida como ma força por nidade de área paralela ao escoamento, é dada por: conforme tiliemos o coeficiente dinâmico de iscosidade moleclar ( 1 3 Kg.m 1.s 6 1 ( 1 m.s ). 1 ) o o coeficiente cinemático de iscosidade moleclar A tiliação do coeficiente dinâmico de iscosidade ai faer com qe as forças de atrito enham em Força / Unidade de olme. O coeficiente de iscosidade cinemático fa as forças irem em Força / Unidade de massa, qe tem sido o qe temos tiliado nas eqações de Naier-Stokes já escritas. Estes são os alores moleclares qe se sam nos escoamentos laminares, o seja, escoamentos saes, de peqeno diâmetro, com baios 3 números de Renolds ( 1 ). No entanto, no oceano o moimento é em geral trblento e o alor efectio da iscosidade cinemática é a edd

iscosit cinemática, qe já imos, e qe são A, A e A, com A e A com alores até 1 5 1 m s para o shear horiontal (por eemplo, ; ; ;etc...) 1 1 e A com alores até 1 m s para o shear ertical (por eemplo, o ). As tensões de atrito trblento (edd friction stress, também chamado em portgês tensões de corte ) escreem-se portanto, por eemplo: A o e epressam a força qe ma camada de flído fa nma área da camada iinha, acima o abaio. Para sbstitir na eqação do moimento necessitamos dessa força mas feita na massa do flído iinho: A perfil da elocidade: Na figra acima há shear segndo. A força qe acta no cbo é: 1 na direcção. Como 1, logo: 1s s V, onde V é o olme do cbo. No limite s e, logo V. Portanto, representa ma força por nidade de olme. Para ser por nidade de massa, irá: 1 τ τ α α ρa ρ tiliamos A porqe estamos a tratar shear ertical. No entanto, isto é álido para o shear em qalqer direcção. Se assmirmos qe A não aria com a profndidade:

Força de atrito trblento por nidade de massa A (Sabemos tão poco sobre A, qe limitar a nossa análise ao caso de A igal a ma constante em profndidade não será grande erro!!!) Verifiqemos qe já tínhamos obtido esta epressão qando estdámos as edd iscosities e tínhamos feito a decomposição à Renolds : ma parte média mais ma parte pertrbada. Também assmimos qe ma ariação de ρ com a profndidade é peqena comparado com A! É ma aproimação consistente com a aproimação de Bossinesq. Então os termos F e F podem ser escritos: F F e as eqações do moimento horiontal: A A P f A P f A A eqação em red-se ao eqilíbrio hidrostático. Tínhamos isto qe estes termos de atrito eram despreáeis no oceano interior. Para qe estes termos sejam significatios, eles têm qe ter ma magnitde aproimada, por eemplo, ao termo de Coriolis, o seja: U A f U H 1 Por eemplo, com A 1 m / s e f 4 1 1 s, temos 1 A 1 3 H 1 m H 3 m ; com H 1m o termo de atrito será ainda 4 f 1 1% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter qe entrar em linha de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, qer do fndo qer da sperfície. Isto corresponde a dier qe, dentro destas distâncias da

sperfície o do fndo, o número de Ekman ertical ordem da nidade. A E dee ser da fh A SOLUÇÃO DE EKMAN A dificldade com estas eqações é qe ficamos com das casas para o moimento: a distribição da massa (o seja, a densidade) qe dá origem ao termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, qe na solção de Ekman é o atrito do ento. Podemos separar estas das acções forçadoras e resoler separadamente a inflência do ento e a inflência do gradiente de pressão e depois jntá-las. Esta separação só é possíel se assmirmos qe as epressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes esta separação já não pode ser feita (tiemos m eemplo disso qando fiemos a decomposição à Renolds, em qe, ao achar medias de pertrbações não pdemos considerar nlos os termos qe continham o proo de das pertrbações não independentes!). Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!! Então podemos faer: f f P g E A onde: f g P g é a elocidade geostrófica e f E A elocidade de Ekman, associada ao shear ertical. A solção de Ekman é para E E é a apenas, o seja, admiti g, o seja, admitir a não eistência de declie da sperfície lire do oceano. Para facilitar o problema, Ekman admiti ainda: - não eistência de fronteiras no oceano; - m oceano de profndidade infinita (para eitar o atrito no fndo, o seja, limito-se a estdar o efeito da tensão do ento); - A constante em profndidade; - m ento estacionário soprando drante m período longo;

P P - e, o seja, condições barotrópicas. As eqações de Ekman são, então: f A f A o seja, Coriolis + Atrito = E agora a matemática (m passe de mágica!)!!! Se o ento soprar segndo a direcção (não esqecer), mostra-se qe a solção para as eqações de Ekman são: π cos 4 π sen 4 π D π D E E.e.e (sinal + para o Hemisfério Norte, sinal para o Hemisfério Sl) onde.. / D..f é a corrente à sperfície, com f sendo o módlo E π DE π DE de f, a magnitde de tensão do ento na sperfície do oceano e D E A a profndidade de Ekman, o seja, a profndidade até onde a f inflencia do atrito à sperfície se fa sentir. Podemos agora interpretar as solções: - À sperfície,, temos: cos(45º ) e sen(45º ) o seja, a corrente à sperfície fli faendo m ânglo de 45º para a direita da direcção para onde sopra o ento (para a esqerda no H. Sl). - A elocidade da corrente à sperfície é proporcional à tensão do ento à sperfície,, e depende também inersamente da latitde, densidade da ága e do

coeficiente de iscosidade de trblento ( edd iscosit ), A (Está inclído na definição de D E ). - A magnitde da corrente dimini eponencialmente com o amento da profndidade ( cada e mais negatio!). A corrente total é: e DE, a qe depois se acrescenta o cos (...) o o sen (...) para achar a projecção o. Logo, a magnitde decresce eponencialmente com a profndidade. - A elocidade roda linearmente para a direita com o amento de profndidade ( cada e mais negatio...) no Hemisfério Norte (para a esqerda no Hemisfério Sl), o seja, roda segndo os ponteiros do relógio no H. Norte, o seja, anticiclónicamente. A tangente do ânglo entre a elocidade da corrente e o eio dos é π dada por: Tg(45º Z). Com a profndidade a amentar ( cada e mais D E negatio), a tangente é cada e menor, logo o ânglo cada e menor, o seja, o ector elocidade ai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sl eistiria m sinal (-) atrás da Tg ). A diminição da elocidade em profndidade em conjnto com a V rotação para a direita (no H. Norte) forma a espiral de Ekman (figra π 45 abaio). D E - À profndidade = D E : ento DE = V e - π cos (45º- π) DE = V e - π sen (45º- π) A esta profndidade a elocidade dimini para e - π (.4=1/3) daqilo qe era à sperfície (= V cos 45º e = V sen 45º) e é oposta do qe era à sperfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º). Neste modelo, a elocidade tende assintóticamente para ero qando mas de longe os efeitos mais importantes estão circnscritos à camada sperficial à espessra D E. Ekmam chamo D E a profndidade de inflência do atrito ( depth of frictional inflence ). Também se chama freqentemente camada de Ekman (Ekman laer) a esta camada. elocidade à sperfície

É crioso notar qe D E não depende do atrito do ento ( ), embora amente com iscosidades trblentas crescentes e latitdes decrescentes. No eqador D, logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (o melhor, as condições do modelo não se erificam, pois nesta região nem nm oceano infinitamente profndo se erifica = e = para. Para scessios alores de erificamos qe o ector elocidade, além de diminir de intensidade ai rodando para a direita no Hemisfério Norte (esqerda no Hemisfério Sl). A etremidade dos ectores forma assim ma espiral logarítmica, conhecida como a espiral de Ekman. direcção do ento corrente à sperfície Profndidade (-) Espiral de Ekman Analisar eemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89 ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA CORRENTE À SUPERFICIE, V, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, D E : τ η ρ C a D 3 ρa densidade do ar ( 1,3 Kg/m ) W W elocidade do ento -3 CD "drag coef."( 1,41 sem dimensão)

3 Logo: τ 1,31,41 W e : η V 3 π1,81 W DE 15 f ρ do da mar ága,791 5 W D f E m/s As obserações mostram qe a seginte estimatia é álida para fora das regiões eqatoriais ( fora de +/- 1º latitde): V W.17 sen Se sbstitirmos na epressão acima: D E 4.3W sen Então se medirmos a elocidade do ento, W, e sabendo a latitde, temos ma estimatia de D E e dai podermos estimar a elocidade da corrente à sperfície, V, e depois a qalqer profndidade abaio da sperfície. Reparemos qe na eqação acima D E depende do W ( mas na solção das eqações de Ekman não dependia de!). Como na solção das eqações de Ekman D E depende de A (D E = A ), logo, em princípio, A amenta f com W Bom, se tiermos medições de D E podemos estimar A. Valores nméricos (do Pond e Pickard): 1º 45º 8º V / W,3,15,13 W = 1 m/s D E 1 m 5 m 45 m W = m/s D E m 1 m 9 m Analisar estes alores!!!! NOTA: Reparemos qe sbstitímos D E na epressão da V obtemos: V π D E ρ f η π π A f η ρ f ρ η A f

Problema: Para m ento de 18 Km/h qe sopre sobre o oceano a 4ºN, qal a elocidade da corrente indida à sperfície. Faer pela estimatia Faer pelas eqações assmindo: C D = 1.41-3 ; A = 1-1 kg/ms ρ ar = 1.3 kg/m 3 ; ρ ága =1 3 kg/m 3 Comparar os alores! Qal a elocidade indida pelo ento a 5m de profndidade? Comentários: Mitas ees compara-se (e por ees confnde-se) a camada de mistra com a camada de Ekman, o qe não é correcto na maioria das ees: - a camada de mistra depende da história passada do ento no local. - a camada de Ekman depende da elocidade do ento na altra. - a camada de mistra depende da estabilidade da ága sbjacente, dos perfis de salinidade e temperatra. A teoria de Ekman assme A constante em profndidade e qe o ento é constante, sabe-se qe nenhma destas premissas se erifica! Embora os resltados fndamentais desta teoria sejam para lear a sério, (como o desio para a direita da camada sperficial relatiamente ao ento, o o se decréscimo eponencial em profndidade) os pormenores da teoria não são para lear a sério! Ainda hoje há pocas medições para confirmar a teoria de Ekman!!! (embora os resltados fndamentais estejam correctos e confirmados). Também há ma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a confirmar a teoria. O problema com a teoria de Ekman tem sobretdo a er com efeitos qe dependem das ariações temporais tais como o ento. TRANSPORTE E AFLORAMENTO A corrente de Ekman indida pelo ento é máima à sperfície e decresce em profndidade à medida qe ai rodando para a direita no Hemisfério Norte! Vamos er qe o transporte integrado na camada de Ekman fa-se com 9º para a direita relatiamente à direcção do ento.

Na asência de gradiente de pressão, ma das formas das eqações do moimento, qe já tínhamos escrito, era: τ ρf ρfd dτ τ ρf ρfd dτ Analisemos o qe significa ρd : representa a massa qe fli por nidade de tempo na direcção atraés de ma área de profndidade d e largra ma nidade (1 metro...) na direcção, perpendiclar ao escoamento o mesmo para ρd!!! Logo d será a massa total passa desde a profndidade até à sperfície nma nidade de largra do escoamento, perpendiclar a esse escoamento, o seja, é a massa total transportada por nidade de largra na direcção. Se escolhermos a profndidade - bem fnda, então o transporte irá inclir toda a corrente indida pelo ento. Seja então = -D E, onde a elocidade da corrente será e., da corrente à sperfície, logo irtalmente nla. Então os transportes de Ekman (o seja, os transportes indidos pelo ento), serão: fm fm E XE f f D E D d d E D E D d E d sp sp ( D E ) ( DE ) Mas e serão aproimadamente nlos porqe à profndidade -D ( ) E, ( ) D E D E as elocidades e conseqentemente as tensões, serão qase ineistentes. Logo fm XE e fm o em transporte de olme em e de sp E sp massa : M XE Q E e ME Q E, temos: fq E e fq sp E sp. Continando a considerar o ento soprando segndo, então: e M, mas M XE porqe, mostrando qe o transporte sp E total indido pelo ento fa-se para a direita e com m ânglo de 9º em relação à direcção de onde sopra o ento! (ice-ersa no Hemisfério Sl). sp

Notas: pwelling A eqação da continidade impõe qe haja sbstitição de ága qe é transportada para a direita relatiamente à direcção do ento. Essa ága terá então qe ir da esqerda (isto tdo no Hemisfério Norte). Contdo, se o ento soprar paralelamente a ma linha de costa, deiando a costa à esqerda (no Hemisfério Norte) de onde irá a ága? ( para o oceano infinito de Ekman isto não seria problema!!). O qe ocorre na natrea é qe essa ága de sbstitição em das camadas sbsperficiais. Este comportamento é conhecido como afloramento costeiro o pwelling em inglês. As regiões de

pwelling são por isso regiões de diergência. Este fenómeno ocorre com freqência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o ento tem qe soprar para Sl ao longo da costa, o qe ocorre com freqência em especial no Verão, deido ao estabelecimento de baias pressões de origem térmica. No Hemisfério Sl o transporte é para a esqerda em relação ao ento e o ento tem qe soprar para Norte ao longo de fronteira Este para ocorrer pwelling (o qe ocorrer com freqência). O seja, o pwelling ocorre qando o ento sopra para o Eqador ao longo de ma fronteira Leste do oceano o para o Pólo ao longo de ma fronteira Oeste (sitação mito menos comm ) De qe profndidades êm as ágas afloradas? Não mais de - 3 m de profndidade. O pwelling tem grandes implicações biológicas. Downwelling : o ento sopra deiando a linha de costa à direita (no Hemisfério Norte). Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling: Estas correntes ao longo da costa têm em geral elocidades mito maiores qe as correntes para o largo o para a costa indidas directamente pelo ento, ia teoria de Ekman, tornando estas ltimas mito difíceis de medir. Mitas ees estas correntes geostróficas associadas ao pwelling não são bem geostróficas!: perto das costas e/o em ágas poco profndas, o atrito no fndo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e a Força de Coriolis não fnciona! A m dado níel, perto da sperfície, a ága jnto à costa será mais densa qe a ága ao largo. Esta diferença de densidades ai diminindo em profndidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento ai diminindo em profndidade, sendo portanto baroclínica. Por ees há ma sobre compensação e o gradiente de pressão mda de sinal, gerando-se ma ndercrrent (corrente de sb-sperfície) para o Pólo (para norte no Hemisfério Norte).

UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS A teoria de Ekman assme qe o ento é niforme, o qe não é erdade. Por eemplo, se considerarmos m ento qe é constante na direcção e sentido, mas aria na intensidade, irá gerar onas de conergência e de diergência, qe serão acompanhadas de moimentos de downwelling e pwelling respectiamente, nas camadas sperficiais do oceano: Nesta sitação há conergência, logo downwelling

Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitdes o ento sopra para leste e nas baias latitdes para oeste: Sbida Ekman pmping : Assim regiões de conergência são regiões de sbida do níel do mar (regiões de downwelling). Regiões de diergência são regiões de descida do níel do mar (regiões de pwelling) logo Ekman pmping :

Upwelling Eqatorial: Um ento a soprar para oeste ao longo da região eqatorial irá casar diergência e pwelling no eqador, porqe o transporte será para a direita no hemisfério norte e para a esqerda no hemisfério sl (assmindo qe a teoria de Ekman fnciona no eqador...). ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS POUCO PROFUNDAS: Qando a corrente fli jnto ao fndo do oceano, o atrito ind ma espiral de Ekman de fndo, de forma análoga espiral indida pelo ento, com a diferença qe as espirais são opostas! A demonstração matemática pode ser ista no Pond e Pickard!!!! Vejamos os resltados e a análise qalitatia: A corrente roda da sa direcção geostrófica para a esqerda de m ânglo de 45º enqanto a elocidade se torna ero no fndo: Análise qalitatia Longe do fndo a corrente é geostrófica força de Coriolis, eqilíbra a força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actar para a direita e a força do gradiente de pressão para a esqerda da corrente geostrófica. Com a aproimação do fndo, a corrente dimini de elocidade deido ao atrito. Logo a força de Coriolis dimini, porqe é proporcional à elocidade. Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento roda para a esqerda até qe haja balanço entre a força de Coriolis, a força do gradiente de pressão e a força de atrito no fndo, o qe ocorre qando a elocidade rodo 45º para a esqerda. Mas também nessa altra a elocidade é nla!! Por isso não chega a rodar 45º...

elocidade geostrófica F grad.p corrente F atrito F Coriolis fndo do mar eqilíbrio perto do fndo rodo para a esqerda Coisas interessantes: Esta mesma solção aplica-se ao ento, o seja à interface Atmosfera Terra (o Oceano). Assim o ento à sperfície, no hemisfério Norte, sopra 45º para a esqerda do ento geostrófico e a corrente de sperfície é 45º para a direita do ento à sperfície. Assim, a corrente à sperfície terá a mesma direcção do ento geostrófico, o seja, do ento acima da camada de Ekman atmosférica. Contdo, estes resltados não são para ser leados mito a sério, porqe fiemos mitas aproimações ao escolher a forma de A... Assim, o qe se erifica na prática é qe o ento à sperfície roda menos qe 45º, em geral entre 1º e º, isto também porqe o ento não sopra de forma constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da mesma forma, a corrente à sperfície indida pelo ento também não chega a rodar 45º para a direita em relação ao ento à sperfície, mas neste caso aproima-se bastante. A 1 m de altitde o ento é cerca de 6 a 7% do ento geostrófico. A redção para ento igal a ero ocorre mito perto da sperfície. A espessra da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 1 ees a do oceano. Se olharmos para o oceano real, erificamos qe é possíel pensar na seginte combinação: ma corrente geostrófica deido a m forçamento

termohalino, ma espiral de Ekman nas camadas speriores, ma espiral de Ekman no fndo qe se sobreporá à da sperfície se o oceano for poco profndo (jnto à costa, sobre a plataforma) e ainda ma corrente de maré. A descrição do moimento torna-se assim mito complicada. Por isso é mito difícil analisar o moimento nas sas três componentes: geostrófica, indida pelo ento e de maré, em particlar se todas estierem a ariar no tempo. À medida qe a ága se torna poco profnda, na ordem de D E o menos, as espirais de Ekman de sperfície e de fndo sobrepõem-se. As das espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretdo na direcção do ento à sperfície e não perpendiclarmente a ele. Qando a profndidade decresce para cerca de D E /1, o transporte dá-se na direcção do ento, sendo o efeito de Coriolis abafado pelo atrito é o qe acontece nas praias. LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN: A teoria de Ekman é bem fndamentada, é bonita, mas na realidade nnca ningém obsera ma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O qe não qer dier qe a teoria esteja errada! A espiral de Ekman é bem obserada em laboratório, onde a iscosidade é moleclar e não trblenta. E há eidencia qe os ses efeitos integrados ocorrem, como é o caso do pwelling. Contdo, o problema resolido por Ekman é ideal: - Não eistem fronteiras: não é realista, mas não é ma má aproimação longe da costa e as conseqências jnto ás costas sportam a solção obtida. - Oceano de profndidade infinita: não é eacto mas é ma peqena fonte de erro: D E 1 m e a profndidade média do oceano é 4 m. - A constante O mais certo é não ser erdade, mas o nosso conhecimento sobre isto é tão poco qe não se sabe se é o não ma grande fonte de erro. - Vento estacionário, o qe lea a ma solção apenas para o estado estacionário Proaelmente a maior fonte de erro, pois nem o ento nem o oceano são estacionários.

- Ága homogénea (o qe implica condições barotrópicas) Não é manifestamente erdade. Serdrp tento corrigir esta falha na teoria de Ekman, como eremos a segir. A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO As eqações do moimento para m moimento niforme e despreado o atrito deido aos gradientes horiontais da elocidade, são: P f A P f A (F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito) Ekman assmi m oceano horiontal e por isso ignoro os termos à P P esqerda e. Aqi apenas estamos a ignorar os gradientes horiontais da elocidade nm moimento niforme. O seja, a solção qe amos encontrar não será própria para descreer moimentos onde esses gradientes sejam importantes (nas correntes mito fortes!). O qe Serdrp fe foi faer constar da eqação os gradientes de pressão e abandono qalqer tentatia de descreer o comportamento da elocidade em profndidade. O seja, apenas procro descreer o transporte total nas direcções e em toda a camada afectada pelo ento (o seja, M e M em termos de transporte de massa). Assim, integro as eqações desde = - h, qe será ma profndidade onde o efeito do ento já não se fa sentir. Por isso h >> D E. Logo: h h P d P d h h fd fd sp sp fm fm sp sp Lembrar qe: ρd, é o transporte de massa na direcção entre as camadas 1 e (M ). 1

e representam a tensão do ento à sperfície (qando sp sp integramos os limites h e o alor da tensão do ento em h é nla. Como o alor do integral é determinado pela diferença entre o alor da fnção nos dois limites só fica o alor da fnção à sperfície, o seje e ). Se constrirmos o eliminante entre as das eqações, deriando a primeira em ordem a e a segnda em ordem a, temos: h Sbtraindo as das eqações: sp P f M sp d M f h P f M d M f M f sp sp f pois porqe f não aria com (é constante ao longo de m paralelo) e M M f pela eqação da continidade (na horiontal...). Logo o transporte de massa é descrito pelas eqações: M f sp M M O interessante nestas eqações é qe o qe aparece são os gradientes horiontais da tensão do ento à sperfície e não a tensão do ento ela mesmo! A epressão tensão do ento rot sp M M. sp sp sp sp é a componente ertical do rotacional da sp î sp ĵ sp kˆ sp sp sp î sp sp ĵ sp sp kˆ Esta última componente é a única não nla para o ento horiontal.

Serdrp pretende determinar o escoamento como resposta à tensão do ento e ao gradiente de pressão horiontal, sacrificando a descrição ertical do moimento, procrando apenas flos integrados na ertical. Assim: M rot sp é a eqação de Serdrp. f como já imos a aproimação reparemos qe o qe gera rotacional é o shear da tensão do ento: Tensão segndo a ariar com e tensão segndo a ariar com. A eqação de Serdrp mostra qe só há transporte norte sl qando há rotacional da tensão do ento. As qantidades M e M (qe se obtém pela eqação da continidade a partir de M ) são os transportes totais de massa na camada de inflenciada pelo ento: M h d e M h d Diidindo no transporte de Ekman e nos transportes geostróficos: Podemos escreer: fm f M E M M f geost h f M M h E E E M M d geost geost geost sp d (solção de Ekman) h P d E o mesmo para M. Serdrp mostro qe o transporte total meridional no oceano é proporcional ao rotacional da tensão ao ento: 1 M rot mas a constante da proporcionalidade não é constante, é de ariação meridional do parâmetro de Coriolis. sp tensão do ento rot < rot > 1 f, o seja, a taa

Mais tarde Stommel aperfeiçoo a teoria de Serdrp e eplico a intensificação das correntes nas fronteiras oeste dos oceanos, como é o caso da corrente do Golfo. VORTICIDADE VORTICIDADE RELATIVA Vorticidade em cinemática de flidos qer epressar a tendência de ma porção de flido para rodar. Está directamente associada com a qantidade, shear da elocidade (como aliás imos na eqação de Serdrp). > (ciclónica) = (ñ há orticidade relatia porqe não há shear da elocidade do flido) < (anticiclónica) Neste caso, a rotação do flido, o seja a orticidade, é medida por. Qando a orticidade é medida relatiamente à Terra é a Vorticidade Relatia (). Qando é medida relatiamente a m sistema de eios fios é a Vorticidade Absolta ( + f). No caso geral, a orticidade relatia no plano horiontal, o seja a componente ertical da orticidade (qe é m ector!) é dada por: V rot kˆ ^k VORTICIDADE PLANETÁRIA Para m objecto sólido a rodar, a orticidade é das ees a elocidade anglar. Assim, deido à rotação da Terra, qalqer ponto à sperfície do planeta tem sen de orticidade em torno do sen