Moelo Alterativo e Liha e Trasmissão Trifásica Baseaa a Teoria e Decomposição Moal R. C. Silva a S. Kurokawa Abstract Neste trabalho será mostrao o esevolvimeto e um moelo e lihas e trasmissão, baseao em elemetos iscretos e circuitos, que forecem respostas iretamete o omíio o tempo e as fases. Este moelo é válio para represetar lihas iealmete traspostas, as fases e caa um os pequeos segmetos e liha são separaas em seus moos e propagação e as corretes e tesões são calculaas o omíio moal. No etato a coversão fase-moo-fase está iseria as equações e estao que escrevem as corretes e tesões ao logo a liha seo que ão há a ecessiae o usuário o moelo cohecer a teoria e represetação e lihas o omíio moal. Keywors Circuitos π, Trasitórios eletromagéticos, Lihas e trasmissão, Moelos e liha e trasmissão. s I. INTRODUÇÃO ABE-SE que uma liha e trasmissão e eergia elétrica possui uma característica básica que é o fato e seus parâmetros logituiais e trasversais serem istribuíos ao logo o comprimeto a mesma. Esta característica, jutamete com o fato e que os parâmetros logituiais a liha são variáveis em fução a frequêcia, tora a liha e trasmissão e eergia elétrica um elemeto com certas particulariaes que evem ser levaas em cosieração o mometo e sua represetação [1]. A atureza istribuía os parâmetros logituiais e uma liha e trasmissão eve ser levaa em cota, pricipalmete, em estuos e simulações e trasitórios eletromagéticos resultates e operações e maobras e e escargas atmosféricas que ocorrem a liha ou próximas à mesma. Nestas situações, as corretes e tesões trasitórias a liha assumem características tais que uma perfeita compreesão as mesmas somete é possível se tais graezas forem trataas como oas que se propagam ao logo a liha e trasmissão. Esta particulariae faz com que iversos pesquisaores, ese 1960, trabalhem o esevolvimeto e moelos e lihas e trasmissão voltaos para aálise e trasitórios eletromagéticos que ocorrem o sistema elétrico evio a istúrbios verificaos a liha. Os parâmetros logituiais e trasversais e uma liha e trasmissão e eergia são efiios em fução as características geométricas a liha, o meio que evolve seus coutores (o caso o ar, em se tratao e lihas aéreas) e as características elétricas e magéticas os coutores e o solo sobre o qual a liha foi costruía [2]. Toos estes fatores fazem com que os parâmetros logituiais as lihas aéreas sejam variáveis em relação à frequêcia. Para aálise e trasitórios eletromagéticos resultates e operações e maobras e e chaveametos que ocorrem em lihas e trasmissão moofásicas, poe-se represetar tal liha por meio e uma cascata e circuitos π [3]. O moelo e liha, em que a mesma é represetaa por meio e uma cascata e circuitos π, poe ser utilizao para represetar lihas polifásicas. Neste caso, a liha e fases acoplaas evio às impeâcias mútuas eve ser separaa em seus moos e propagação que se comportam, o omíio moal, como lihas moofásicas totalmete esacoplaas. Em seguia, caa moo e propagação poe ser represetao por meio e uma cascata e circuitos π [3]. Uma vez calculaas as corretes e tesões em caa um os moos e propagação, é possível obter as corretes e tesões as fases a liha. A coversão fase-moo-fase á-se por meio o uso e uma matriz e ecomposição moal aequaa [4]. A represetação e lihas polifásicas por meio o moelo escrito ateriormete tem como vatagem o fato e ser um moelo esevolvio iretamete o omíio o tempo, que poe ser facilmete implemetao em programas clássicos utilizaos em simulações e trasitórios eletromagéticos em sistemas e eergia elétrica [5] (como exemplo e tais programas, é possível citar o Electromagetic Trasiets Program EMTP [6]). Este moelo também poe ser escrito a forma e equações e estao e ser utilizao e moo iepeete sem a ecessiae e se ispor e um programa o tipo EMTP [7]-[10]. Com o ituito e facilitar a trasformação fase-moo-fase, este trabalho foi esevolvio um moelo e liha e trasmissão trifásica, baseao o moelo a cascata e circuitos π, que a partir a omissão a matriz e trasformação é possível obterem as corretes e tesões em qualquer poto a liha iretamete o omíio o tempo e as fases. II. DESENVOLVIMENTO DO MODELO A Fig. 1 mostra uma liha e trasmissão trifásica iealmete trasposta R. C. Silva e S. Kurokawa, Uiversiae Estaual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, São Paulo, Brasil, rcleber@gmail.com e kurokawa@ee.feis.uesp.br. Agraecimetos ao CNPq e FAPESP pelo fiaciameto a pesquisa.
4 5 (7.51; 36) R12 R12 (5) 3.6 m 1 2 3 (9.27; 24.4) L11 L11 L12 L12 (6) (7) C11 C11 (8) C12 C12 (9) Fig. 1. Liha e trasmissão trifásica. A liha e trasmissão mostraa a Fig. 1 poe ser represetaa por uma cascata e segmetos e liha coforme mostrao a Fig. 2. Fig. 2 Represetação e um segmeto e liha por elemetos iscretos e circuitos. Na Fig. 2, V 1j e V 1(j-1) são as tesões os termiais o j-ésimo segmeto a fase 1 a liha equato que V 2j e V 2(j-1) são as tesões os termiais o j-ésimo segmeto a fase 2 a liha e V 3j e V 3(j-1) são as tesões os termiais o j-ésimo segmeto a fase 3 a liha. As graezas i 1j, i 2j e i 3j são as corretes as fases 1, 2 e 3, respectivamete, o segmeto e liha. Na Fig. 2, R 11 é a resistêcia própria as fases 1, 2 e 3 o segmeto e liha, equato que L 11 é a iutâcia própria as fases 1, 2 e 3. Observe que os termos mútuos a resistêcia e a iutâcia são represetaos por R 12 e L 12. Este segmeto e liha possui cacitâcias parciais C 01 e C 12. Os parâmetros logituiais e trasversais, o segmeto e liha mostrao a Fig. 2, poem ser escritos a forma matricial como seo: R11 R12 R12 [R] R12 R11 R 12 R12 R12 R11 L11 L12 L12 [L] L12 L11 L 12 H L12 L12 L11 C11 C12 C12 [C] C12 C11 C 12 F C12 C12 C11 Nas equações (1)-(3) têm-se: R11 R11 (1) (2) (3) (4) Nas equações (4)-(9), é o comprimeto a liha e trasmissão e é o úmero e segmetos o qual a liha foi iviia, o tipo mostrao a Fig. 2, utilizaos para represetar a liha. No omíio a frequêcia é possível escrever as matrizes e impeâcias logituiais e e amitâcias trasversais, o segmeto e liha mostrao a Fig. 2, como seo: [Z] [R] j [L] (10) [Y] j [C] (11) No omíio moal as matrizes e impeâcia e amitâcias o segmeto e liha mostrao a Fig. 2 são escritas como seo: 1 [Z m ] [T V] [Z][T I] (12) 1 [Y m ] [T I] [Y][T V] (13) Substituio as equações (10) e (11) em (12) e (13), respectivamete, e maipulao estas equações, é possível obter: 1 1 [Z m ] [T V] [R][T I] j [T V] [L][T I] (14) 1 [Y m ] j [T I ] [C][T V ] (15) As equações (14) e (15) poem ser escritas como seo: [Z m ] [R m ] j [L m] [Y m ] j [C m ] seo: (16) (17) 1 Rm TV R TI (18) 1 Lm TV L TI (19) 1 Cm TI C TV (20) As matrizes [R m ], [L m ] e [C m ], mostraas as equações (19)-(20), são costituías pelos parâmetros logituiais o segmeto e liha mostrao a Fig. 2 quao o mesmo é represetao o omíio moal. Uma vez que a liha é cosieraa iealmete trasposta, é possível cosierar [T I ] como seo a matriz e Clarke [5]: 2 1 0 6 3 1 1 1 TCk 6 2 3 1 1 1 6 2 3 (21)
Quao se utiliza a matriz e Clarke como seo a matriz e trasformação, sabe-se que a matriz [T I ] é igual à trasposta e [T V ]. Substituio as equações (1)-(3) e (21) as equações (18)- (20) e fazeo as evias operações matemáticas, obtêm-se: RMA 0 0 [R m ] 0 R MB 0 0 0 RMC LMA 0 0 [L m ] 0 LMB 0 H 0 0 LMC CMA 0 0 [C m ] 0 CMB 0 F 0 0 CMC seo: (22) (23) (24) RMA R11 R12 (25) RMB R11 R12 (26) RMC R11 2R12 (27) LMA L11 L12 (28) LMB L11 L12 (29) LMC L11 2L12 (30) CMA C11 C12 (31) CMB C11 C12 (32) CMC C11 2C12 (33) Verifica-se, as equações (22)-(24), que as matrizes [R m ], [L m ] e [C m ] os elemetos que ão estão a iagoal pricipal são toos ulos. Isto sigifica que o segmeto e liha mostrao a Fig. 2 é represetao, o omíio moal, por três moos e propagação esacoplaos. Caa um estes moos e propagação poe ser represetao por um circuito π coforme mostra a Fig. 3. v m (j-1) i m j ' C2 m R m L m ' C2 m Fig. 3 Represetação e um segmeto e liha o omíio moal. v m j Aplicao as Leis e Kirchhoff o circuito o moo e propagação A, B e C mostraos a Fig. 3, têm-se: I MAj RMA 1 1 I MAj E MAj E MA(j 1) LMA LMA LMA (34) I MBj RMB 1 1 I MBj E MBj E MB( j 1) LMB LMB LMB (35) I MCj R MC 1 1 I MCj E MCj E MC( j 1) LMC LMC LMC (36) E MAj 2 I MA CMA (37) E MBj 2 I MB CMB E MCj 2 I MC CMC (38) (39) Escreveo as corretes e tesões os moos A, B e C o segmeto e liha a forma e vetores, obtêm-se: I MAj [I Mj] I MBj I MCj E MAj [E Mj] E MBj E MCj E MA( j1) [E M(j1) ] E MB(j1) E MC( j1) (40) (41) (42) As relações etre as graezas e fase e e moo são escritas como seo: 1 [I Mj] [T I] [i Fj] (43) 1 [E Mj] [T V] [V Fj] oe: (44) i 1j [i Fj] i 2 j i 3j V 1j [V Fj] V 2 j V 3j (45) (46) Substituio as equações (45) e (46) bem como (21) as equações (43) e (44) obtêm-se: 2 1 1 E MA V 1j V 2j V 3j 6 6 6 (47) 1 1 E MB V 2j V 3j 2 2 (48) 1 1 1 E MC V 1j V 2j V 3j 3 3 3 (49) 2 1 1 I MA i 1j i 2j i 3j 6 6 6 (50) 1 1 I MB i 2j i 3j 2 2 (51) 1 1 1 I MC i 1j i 2j i 3j 3 3 3 (52) Substituio as equações (25)-(33) e (47)-(52) as equações (34)-(39) e fazeo as evias maipulações matemáticas, obtêm-se: i 1j a1i 1j a2v 1j a3i 2 j a4v 2j a3i 3j a4v 3j a2v 1( j1) a4v 2( j1) a 4V 3( j1) (53)
i 2j a3i 1j a4v 1j a1i 2j a2v 2j a3i 3j a4v 3j a4v 1( j1) a2v 2( j1) a4v 3( j1) i 3j a3i 1j a4v 1j a3i 2j a4v 2j+a1i 3j a2v 3j a4v 1( j1) a4v 2(j1) a2v 3( j1) V 1j V 2j V 3j seo: a5i 1j a6i 2j a6i 3j (54) (55) (56) (57) a6i 1j a5i 2j a5i 3j (58) a6i 1j a6i 2j a5i 3j 1 2(R11 R 12) R11 2R12 a1 3 L11 L12 L11 2L 12 1 2 1 a2 3 L11 L12 L11 2L 12 1 R11 R12 R11 2R12 a3 3 L11 L12 L11 2L 12 1 1 1 a4 3 L11 L12 L11 2L 12 2 2 1 a5 3 C11 C12 C11 2C 12 2 1 1 a6 3 C11 C12 C11 2C 12 (59) (60) (61) (62) (63) (64) Escreveo as equações (53)-(58) a forma e equação e estao, obtém-se: [x] [A][x] [B][u] (65) oe: t i 1j V 1j i 2j V 2j i 3j V 3j x (66) Seo i 1j, i 2j e i 3j as corretes o termial o segmeto e liha, V 1j, V 2j, V 3j as tesões o termial o segmeto e liha, toas o omíio o tempo. O vetor [x] é o vetor que cotém as erivaas o vetor [x]. a1 a2 a3 a4 a3 a4 a5 0 a6 0 a6 0 a3 a4 a1 a2 a3 a4 [A] a6 0 a5 0 a6 0 a3 a4 a3 a4 a1 a 2 a6 0 a6 0 a5 0 a2 a4 a4 0 0 0 a4 a2 a4 B 0 0 0 a4 a4 a 2 0 0 0 (67) (68) V 1( j1) u V 2( j1) V 3( j1) (69) A equação (69) escreve as corretes e tesões o segmeto e liha mostrao a Fig. 2 iretamete o omíio as fases. A solução a equação (65) poe ser obtia por meio e métoos uméricos e itegração [11]. A equação (65) foi obtia para um úico segmeto a liha coforme mostraa a Fig. 2. No etato o mesmo raciocíio poe ser utilizao para obter as equações e correte e tesão quao a liha é represetaa por segmetos e circuitos, o tipo mostrao a Fig. 2, coectaos em cascata. Deste moo, mostra-se que as corretes e tesões e fase ao logo a liha, quao a mesma é represetaa por uma cascata com circuitos o tipo mostrao a Fig. 2, reescreveo a equação e estao (65), têm-se: t [x] [i 11 i 1 v 11 v 1 i 21 i 2 v 21 v 2 i 31 i 3 v 31 v 3 ] (70) O vetor [x], a equação (70), possui 6 elemetos e é costituío pelas corretes logituiais e pelas tesões trasversais as fases a liha represetaa por uma cascata e circuitos o tipo mostrao a Fig. 2. Deste moo, as graezas i 1j, i 2j e i 3j correspoem às corretes as fases 1, 2 e 3, respectivamete, o j-ésimo segmeto represetao por um circuito igual ao circuito mostrao a Fig. 2. De moo aálogo, as graezas V 1j, V 2j e V 3j correspoe às tesões as fases 1, 2 e 3 o j-ésimo segmeto. [A 1] [A 2] [A 3] [A 4] [A 3] [A 4] [A 5] [A 7] [A 6] [A 7] [A 6] [A 7 ] [A 3] [A 4] [A 1] [A 2] [A 3] [A 4] [A] [A 6] [A 7] [A 5] [A 7] [A 6] [A 7 ] [A 3] [A 4] [A 3] [A 4] [A 1] [A 2] [A 6] [A 7] [A 6] [A 7] [A 5] [A 7 ] (71) A matriz [A], a equação (71), é uma matriz quaraa e imesão 6. Esta matriz é costituía por 36 submatrizes quaraa, e imesão, que obeece às seguites regras e formação: - Submatrizes [A 1 ] e [A 3 ]: estas submatrizes possuem elemetos ão ulos somete a iagoal pricipal e são escritas como seo: [A p] (72) A equação (72) é vália para p=1 e p=3, seo que o elemeto a p é calculao a partir as equações (59)-(64). - Submatrizes [A 2 ] e [A 4 ]: estas submatrizes possuem elemetos ão ulos somete a iagoal pricipal e a subiagoal iferior e são escritas como seo:
[A p ] a p (73) A equação (73) é vália para p=2 e p=4, seo que o elemeto a p é calculao a partir as equações (59)-(64). - Submatrizes [A 5 ] e [A 6 ]: estas submatrizes possuem elemetos ão ulos somete a iagoal pricipal e a subiagoal superior e são escritas como seo: 1 [A p] 2 a p 2 (74) A equação (74) é vália para p=5 e p=6, seo que o elemeto a p é calculao a partir as equações (59)-(64). As submatrizes [A 7 ] restates são matrizes ulas. A matriz [B] é e orem 6 x 3 que é escrita como seo: b11 b12 b13 0 0 0 b(21)1 b(21)2 b(21)3 B 0 0 0 b(41)1 b(41)2 b(41)3 0 0 0 seo: b11 a2 b12 a4 b13 a4 (75) (76) (77) (78) b211 a4 (79) b21 2 a2 (80) b213 a4 (81) b411 a4 (82) b41 2 a4 (83) b413 a6 (84) Os elemetos a 2 e a 4 são calculaos a partir as equações (59)-(64). O vetor [u] é escrito como seo: permite obter, iretamete o omíio o tempo, as corretes e tesões e fase ao logo o comprimeto a mesma. III. VALIDAÇÃO DO MODELO DESENVOLVIDO De forma aáloga esevolvia para liha bifásica, para comprovar a valiação o moelo proposto, os resultaos obtios com o mesmo foram comparaos com os resultaos obtios com o moelo EMTP. O moelo EMTP, trata-se o moelo e lihas trifásicas existete o software ATPDraw (PROKLER, 2002). Trata-se também e um moelo a parâmetros iscretos. Os ois moelos foram utilizaos para represetar uma hipotética liha trifásica com as lihas iealmete traspostas, coforme silhueta é mostraa a Fig. 4. 3.6 m 4 5 1 2 3 (7.51; 36) (9.27; 24.4) Fig. 4 Represetação a liha e trasmissão trifásica. Cosierou-se que caa uma as fases a liha mostraa a Fig. 4 é costituía e um coutor com 1 cm e raio. Os parâmetros esta liha foram calculaos a frequêcia e 60 Hz, levao a cota os efeitos solo e pelicular. Deste moo, foram obtios os seguites valores para os parâmetros logituiais e trasversais a liha. 0,6667 0,4667 0,4667 R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km 0,4667 0,4667 0,6667 1,5 0,5167 0,5167 L' 0,5167 1,5 0,5167 mh/km 0,5167 0,5167 1,5 0,0075-0,0018-0,0018 C ' -0,0018 0,0075-0,0018 F/km -0,0018-0,0018 0,0075 (86) (87) (88) Cosiera-se que a liha e trasmissão mostraa a Fig. 4, com 100 km e comprimeto, teve uma as suas fases eergizaa por uma fote e tesão costate e 440 kv equato que os termiais receptores a liha foram matios em aberto. A cofiguração escrita ateriormete é mostraa a Fig. 5. V 1 [u] V 2 V 3 (85) Seo V 1, V 2 e V 3 as fotes coectaas, as fases 1, 2 e 3, o iicio a liha. Observa-se que a equação (65) é costituía somete por graezas e parâmetros que estão o omíio a fase e Fig. 5 Teste e valiação o moelo para liha e trasmissão trifásica
O moelo proposto e o moelo EMTP foram utilizaos para simular as tesões e fase os termiais a liha mostraa a Fig. 5. Nas simulações realizaas com o moelo proposto a liha foi represetaa por 100 circuitos o tipo mostrao a Fig. 2 coectaos em cascata. No ATPDraw a liha foi represetaa também por 100 circuitos iscretos (caa um represetao um pequeo segmeto e liha) coectaos em cascata. As Figs. 6, 7 e 8 mostram, respectivamete, as tesões o receptor as fases 1, 2 e 3 a liha. A curva a mostra resultaos obtios com o moelo proposto, equato que a curva b como o software EMTP. Tesão [kv] 1000 800 600 400 200 (a) (b) 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo [ms] Fig. 6 Tesão o termial a liha a fase 1: moelo proposto (curva a) e moelo EMTP (curva b). Tesão [kv] 400 200 0-200 (a) (b) -400 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo [ms] Fig. 7 Tesão o termial a liha a fase 2: moelo proposto (curva a) e moelo EMTP (curva b). Tesão [kv] 400 200 0-200 (a) (b) -400 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo [ms] Fig. 8 Tesão o termial a liha a fase 3: moelo proposto (curva a) e moelo EMTP (curva b). As Figs. 6, 7 e 8 mostram que ão há ifereça etre os resultaos obtios com os ois moelos. Deste moo é possível afirmar que as cosierações feitas urate o esevolvimeto o moelo proposto estão corretas. É importate estacar que o moelo proposto possibilita obter os resultaos iretamete o omíio as fases. IV. CONCLUSÃO Nesse artigo foi mostrao o esevolvimeto e um ovo moelo para lihas e trasmissão trifásica iealmete trasposta. O moelo permite calcular as corretes e tesões e fase ao logo a liha, iretamete o omíio o tempo e sem o uso e matrizes e ecomposição moal explicitamete. As corretes e tesões e fase a liha são escritas a forma e equações e estao, seo que as matrizes e estao [A] e [B] possuem eas parâmetros a liha o omíio as fases. Os resultaos obtios com o moelo proposto mostraramse iêticos aos resultaos obtios com o moelo EMTP, cofirmao assim que o moelo proposto foi esevolvio corretamete. A vatagem pricipal este moelo é que qualquer usuário poe utilizar este programa sem o cohecimeto prévio sobre a teoria e ecomposição moal. REFERÊNCIAS [1] J. R. Martí, Accurate moellig of frequecy-epeet trasmissio lies i electromagetic trasiet simulatios, IEEE Trasactios o Power Apparatus a Systems, v. PAS-101,. 1, pp.147-155, 1982. [2] L. Hofma, Series expasios for lie series impeaces cosierig iferet specific resistaces, magetic permeabilities a ielectric permittivities of couctors, air a grou, IEEE Trasactios o Power Delivery, Vol. 18, No. 2, pp. 564-570, Abril 2003. [3] M. S. Mamis e M. E. Meral, State-space moelig a aalysis of fault arcs, Electric Power Systems Research Vol. 76, pp. 46-51, Setembro 2005 [4] L. M. Weephol, H. V. Nguye e G. D. 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Sérgio Kurokawa(S 01-M 04) Grauao em Egeharia Elétrica (1990).Dese 1994 atua como Professor a Faculae e Egeharia e Ilha Solteira a Uiversiae Estaual Paulista (UNESP). Obteve o título e Doutor em Egeharia Elétrica a Faculae e Egeharia Elétrica e a Computação a Uiversiae Estaual Paulista (UNICAMP). Suas pricipais áreas e iteresse são trasitórios eletromagéticos em sistemas elétricos e potêcia e moelos e lihas e trasmissão para simulações e trasitórios eletromagéticos em sistemas e potêcia.